Fundación Tecnológica Colombo Germana
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TEGNOLOGIA ASIGNATURA: MODULO MATEMÁTICAS Este material es propiedad de la Fundación Tecnológica Colombo Germana, para los estudiantes. 2013 FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS CREDITOS El módulo de estudio de la asignatura MODULOMATEMÁTICAS es propiedad de la Fundación Tecnológica colombo Germana. Las imágenes fueron tomadas de diferentes fuentes que se relacionan en los derechos de autor y las citas en la bibliografía AUTOR SANDRA MILENA PACHÓN PERALTA [email protected] [email protected] Nota: el autor certificó (de manera verbal o escrita) No haber incurrido en fraude científico, plagio; en caso contrario eximió de toda responsabilidad a la Fundación, y se declaró como el único responsable. RESPONSABLES Diana Catalina Vallejo Cruz Vicerrectora Académica Sistemas Académicos Roman Jaimes [email protected] FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS PLAN DEL CURSO SEMANA 1-6 1 2 3 4 5 6 7-11 CONTENIDOS TEMÁTICOS FECHAS MATEMÁTICA BÁSICA AGOSTO 5 AL 9 DE SEPTIEMBRE Operaciones Algebraicas Productos y cocientes notables Factorización Ecuaciones (igualdades desigualdades) Funciones Trigonometría Parciales ALGEBRA LINEAL 7 8 9 10 11 12-17 Matrices Determinantes e Inversa de una matriz Método de Cramer Método de Gauss Parciales CALCULO DIFERENCIAL 12 13 14 15 16 Limites Regla de la derivada Proyectos (Propiedades de las derivadas) Derivadas funciones trigonométricas Primera y segunda derivada, derivada en cadena 17 AGOSTO 16 AL 21 DE OCTUBRE OCTUBRE 28 AL 25 DE NOVIEMBRE FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS PRESENTACION DEL CURSO Las matemáticas, son una ciencia y como tal permiten el análisis de fenómenos que ocurren en la cotidianidad, representando así una herramienta esencial en campos tan versátiles como las ciencias naturales, sociales, la medicina y sus aplicaciones así como en las ingenierías. Hoy por hoy, Nadie es indiferente frente a los cambios, determinados por la conquista del espacio, la influencia de las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC), la era de la Informática, la Robótica, la Genética, inventos inimaginables que han facilitado la vida del ser humano y los cuales necesitan del razonamiento lógico permitido en el desarrollo de ciencias como la matemática y la física. OBJETIVOS General: Este curso tiene como objetivo mejorar y fortalecer la fundamentación de las matemáticas tanto básicas como universitarias para poder ser aplicadas en situaciones que se presentan en el desarrollo del individuo integral con capacidades de transformar su entorno a través de sus cualidades intelectuales. Específicos Desarrollar y comprender las aplicaciones básicas de las matemáticas. Aplicar de manera lógica postulados de matemáticas. FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS TABLA DE CONTENIDO TEMAS GENERALES 1. Matemática Básica 2. Algebra Lineal 3. Calculo diferencial 1. Matemática básica 1.1 Operaciones algebraicas Productos y cocientes notables Factorización 1.2 igualdades y desigualdades Ecuaciones Lineales y cuadráticas Desigualdades lineales, valor absoluto y cuadráticas 1.3 Funciones Definición y tipos Función inversa 1.4 Trigonometría Teorema Pitágoras y Thales Funciones trigonométricas Teoremas e identidades trigonométricas 2. Algebra lineal 2.1 Matrices Concepto Tipos según forma y elementos 2.2 Operaciones entre matrices Suma Resta Producto escalar Producto matricial 2.3 Determinantes Calculo 2x2 y 3x3 Inversa de una matriz Método de Cramer Método de Gauss 3. Calculo diferencial FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS 3.1 Limites Propiedades de los limites Calculo de limites 3.2 Derivadas Propiedades Fundamentos regla de la derivada Derivadas de algunas funciones Primera y segunda derivada FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS SEMANA 1. Desarrollar en el estudiante la habilidad y capacidad de diferenciar y aplicar las operaciones algebraicas y productos y cocientes notables a situaciones planteadas. OPERACIONES ALGEBRAICAS Como la palabra lo indica son operaciones suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas (monomios y polinomios) Sabías que? Las expresiones algebraicas son combinaciones de letras y números separadas por signos de suma y resta. Los términos semejantes son monomios que tienen la misma parte literal con el mismo exponente Adición y sustracción Para sumar o restar polinomios se debe tener en cuenta los términos del polinomio, ya que solo podemos realizar estas operaciones con términos semejantes así: Sumar a³-b²+ab³; -2a²b²+4ab³+2b² FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS Multiplicación El producto o multiplicación de polinomios se efectúa multiplicando todos los factores así: Ejm: (4x²+6x-8) X ( 5x+2), División La división se realiza teniendo en cuenta los pasos de una división tradicional FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS Sabias qué? El resultado de productos y cocientes notables, puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la operación PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES Son reglas o normas que se cumplen para algunos casos de división y multiplicación de polinomios. Para el cálculo de productos notables es utilizado el triangulo de pascal el cual puedes ver en el siguiente link http://samiperal23.wordpress.com/modulo-matematicas/ FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS ACTIVIDAD Para desarrollar ejercicios de operaciones algebraicas y de productos y cocientes notables ingresa a http://samiperal23.wordpress.com/modulomatematicas/ FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS SEMANA 2. Que el estudiante identifique los casos de factorización y pueda aplicarlos a ejercicios y problemas propuestos. CASOS DE FACTORIZACIÓN FACTOR CUMUN, un factor común es un término que se repite en todos los miembros de una expresión algebraica o un numero que es divisor de cada uno de dichos miembros así: a³ + a² + a factor común a los tres miembros es a: 4x² - 8x + 2 factor común a todos los miembros de la expresión es 2: a (a² + a + 1) 2 (2x² - 4x +1) FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS, se da cuando el factor común no se da para todos los términos sino para algunos así: 2x²-3xy-4x+6y 1. Primero se agrupan los términos que tienen un factor en común 1. (2x²-3xy) – (4x-6y) 2. Se saca el factor común de los términos 2. x(2x-3y) -2(2x -3y) agrupados 3. (2x – 3y)(x - 2) 3. El monomio se convierte en factor común de x y -2 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO,es la operación inversa de la suma y diferencia de un binomio al cuadrado: a² - 2ab + b² 1. se saca raíz del primer y tercer termino a b 2. se verifica que el segundo termino sea dos multiplicado por las raíces 2ab 3. se escribe en forma de binomio al cuadrado, si el segundo termino es – es una (a-b)² diferencia sino es una suma DIFERENCIA DE CUADRADOS, se desarrolla en base al cociente notable que recibe el mismo nombre 4a² - 9 1. se saca raíz cuadrada de ambos términos. 2a 3 2. el resultado es el producto de la suma por la diferencia de dichas raíces (2+3) (2-3) COMBINACIÓN CASOS 3 Y 4, es un caso de factorización en el que se mezcla el trinomio cuadrado perfecto con la diferencia de cuadrados: FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS a² + 2ab + b² - x² 1. a 2ab b - x² 2. (a + b)² - x² (a+b) x (a+b+x)(a+b-x) 1. Se desarrolla el trinomio cuadrado perfecto, sacando las raíces y comprobando el segundo término. 2. se resuelve la diferencia de cuadrados, sacando las raíces de ambos términos. TRINOMIO CUADRADO POR ADICCIÓN Y SUSTRACCIÓN, consiste en convertir un trinomio en trinomio cuadrado perfecto sumado al segundo término lo que falta para que cumpla con las características de dicho trinomio: 4a^4 + 8a²b² + 9b^4 2a²3b² 12a²b² faltan 4 a²b² 4a^4 + 8a²b² + 9b^4 +4a²b²-4a²b² 4a^4+12a²b² +9b^4 -4a²b² 2a² 3b² (2a²+3b²)² - 4a²b² (2a²+3b²) – 2ab (2a²+3b²+2ab)(2a²+3b²-2ab) 1. se verifica el trinomio cuadrado para saber cuánto debemos sumar al segundo término. (lo que sumamos aquí se debe restar al final para no alterar el trinomio original) 2. se resuelve convierte el trinomio en uno cuadrado perfecto y se soluciona. 3. se soluciona la diferencia de cuadrados obtenida TRINOMIO DE LA FORMA x²+bx+c, hay que tener en cuenta los coeficientes de la parte literal de x², siempre es 1: x²+7x+10 1. se descompone la expresión en dos binomios de los cuales el primer término es la raíz del literal al cuadrado. (x+5)(x+2) 2. luego se consiguen dos números que multiplicados den el tercer término y sumados o restados den el coeficiente del segundo término. TRINOMIO DE LA FORMA ax² + bx+ c, se debe tener en cuenta que el coeficiente del primer término es diferente de uno al igual que el del segundo término. 6x² - 7x – 3 1. se multiplica toda la expresión por el coeficiente del 36x²- 6(7x) – 18 primer término, para no alterar el trinomio se divide por el 6 mismo coeficiente. 36x²-7 (6x) -18 2. se reescribe el segundo término de la expresión. 6 3. se buscan 2 números que multiplicados den el tercer (6x-9)(6x+2) término y sumados o restados den el segundo. 6 4. se descompone la expresión en dos binomios con la raíz (6x-9)(6x+2) = 6x-9 X 6x+2 del primer término y los dos números conseguidos en el 3 x 2 3 2 paso anterior (2x-3)(3x+1) 5. Se descompone el denominador en factores y se operan numeradores y denominadores. x²- 2x -8 x²+ 15x + 56 FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS ACTIVIDAD, para practicar FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS SEMANA 3. Que el estudiante reconozca las propiedades de las igualdades y desigualdades, así como el valor absoluto para que generar soluciones a problemas y ejercicios propuestos ECUACIONES Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de letras que son cantidades desconocidas llamadas variables o incógnitas también se puede decir que es un enunciado matemático con dos expresiones separadas por un signo igual. Una identidad es una ecuación que se cumple para cualquier valor que tomen dichas variables ejm: las identidades trigonométricas. Una ecuación se compone de: SABIAS QUE? Miembros: son las expresiones separadas por el signo = Términos: componen a los miembros Variables: son la parte literal de la ecuación. Grado: Esta dado por el mayor exponente de la incógnita Ecuaciones lineales Ejm: 2x-5=-x-2 2x+x=-2+5 3x=3 X=3/3 X=1 1. Solucionar una ecuación, es hallar el valor de la parte literal. 2. Se comienza por dejar a un lado los términos que tienen parte literal y al otro aquellos que no tienen. 3. Se operan términos semejantes y se despeja la variable. Ecuaciones cuadráticas ejm: Son ecuaciones de segundo grado las cuales se pueden solucionar de dos maneras, por medio de la formula cuadrática y si es posible factorizando, representan la formula de la función cuadrática y su solución representa los dos puntos donde corta al eje x. Comprobación 2(1)-5=-1-2 2-5=-3 -3=-3 Para comprobar se reemplaza el valor de la variable y se opera. Para solucionar la cuadrática se debe definir los coeficientes a, b y c. FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co a es el de x² b, es el de x c, es el que no tiene variable FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS x² + 2x – 8 a=1, b=2, c=-8 Cuadrática x² + 2x – 8 Factorizando √ √ ( )( ) √ √ x= 2 solución (x + 4)(x - 2) X+4 = 0 x-2 = 0 x=-4 y x=2 x= -4 INECUACIONES Una inecuación es una expresión o enunciado matemático en la aparecen los símbolos ≤, ≥, <, > que indican desigualdad. SABIAS QUE? Un intervalo es un subconjunto de la recta Reglas para desigualdades con a, b, y cєR Si a>b y b>c a>c Si a ≥ b y b ≥ a a=b Si a ≥ b y c> 0 ac≥bc Si a ≥ b y c<0 ac ≤ bc Si a > 0 1/a < 0 Si a < b 1/b < 1/a Reglas para valor absoluto en desigualdades intervalos 1. X = a 2. X < a -a< x < a 3. X > a x > a ó x <-a 4. X ≤ a -a ≤ x ≤ a 5. X ≥ a x ≥ a ó x ≤ -a Propiedades absoluto -a = a a b = a b a = a b b para valor EJEMPLO Desigualdades lineales 2x – 1 < x + 3 2x – 1 + 1 < x + 3 + 1 2x < x + 4 2x – x < x – x + 4 X < 4 (-∞, 4) 1. Se despeja la incógnita dejándola al lado izquierdo de la desigualdad, realizando operaciones básicas. 2. Se escribe el intervalo, los valores que puede tomar x para cumplir con la desigualdad inicial. FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS Desigualdades cuadráticas x²≤ 4x + 12 1. Se organiza la desigualdad y x²- 4x -12 ≤0 luego se iguala a cero. x²- 4x -12 = 0 2. Se soluciona la ecuación (x - 6)(x + 2) cuadrática por alguno de los X = 6 y x = -2 métodos vistos. 3. Estas soluciones dividen la recta numérica en tres partes o intervalos. 4. Se toma un numero de cada intervalo y se reemplaza en la desigualdad, para verificar cual cumple con la condición dada. 5. El intervalo que cumple la condición es la solución. Desigualdades con valor absoluto 2x – 3 ≥ 1 2x-3 ≥1 2x ≥1+3 x≥4/2 x≥2 ó 2x-3≤-1 2x≤-1+3 x≤2/2 x≤1 1²-4(1)-12≤0 -3-4(-3)-12≤0 -15≤0 9≤0 7²-4(7)-12≤0 9≤0 Solución [-2,6] 1. se mira que regla de valor absoluto se puede aplicar ( X ≥ a x≥a óx≤a) 2. Se resuelve la desigualdad realizando operaciones básicas. Los dos valores obtenidos representan la solución. 3.Seescriben los intervalos que para los que x cumple la condición inicial que se dan por los valores obtenidos. (-∞,2] U [1,∞) FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS SEMANA 4. Identificar y reconocer las características de las diferentes funciones, para ser aplicadas a ejercicios y problemas propuestos. FUNCIONES Una función es la relación entre un conjunto dado x llamado dominio y un conjunto y llamado codominio o rango, pueden representar situaciones cotidianas tales como la relación entre el costo de una llamada y la duración de la misma, la velocidad de un automóvil con el tiempo y distancia recorrida entre otras. Se dice que y es función de x cuando a cada valor de la variable x corresponden uno o varios valores determinados de la variable y. INYECTIVA BIYECTIVA SOBREYECTIVA A cada valor de x le pertenece una imagen en y pero a cada imagen no necesariamente le pertenece un valor en x cada valor de x le pertenece una imagen en Y y viceversa Cada valor de x le puede corresponder uno o mas valores de y Las funciones se pueden representar de diferentes maneras Grafica Ecuación F(x)= 2x³+4 FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co Tabla de valores FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS TIPOS DE FUNCIONES POLINOMICAS CUADRATICAS DE LA FORMA: F(x)=ax²+bx+c Si a > 1 la parábola abre hacia arriba Si a < 1 la parábola abre hacia abajo C es el punto de origen de la ordenada Dominio todos los R Codominio todos los R + o - dependiendo hacia donde abra. Vertice de la parábola Vx=-b/2a Vy= f(-b/2a) LINEALES DE LA FORMA: Y= mx+b m=Δy/Δx m la pendiente de la recta el grado de inclinación que tiene respecto a la abscisa si m > 1 la función es creciente, si m < 1 es decreciente Dominio todos los R Codominio o rango todos los R SABIAS QUE? Δy es una posición final menos una inicial en y Δx es una posición final menos una inicial en x FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co Para las funciones cuadráticas mostradas en le imagen el vértice esta en el punto 0,0, ya que solo tienen a y b=0. FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS RACIONALES DE LA FORMA: F(X)= 1/X La variable independiente esta en el denominador y este no puede ser 0 entonces el dominio de la función no pueden ser todos los R, solo aquellos que hacen que el denominador sea mayor a 0. El rango o codominio son todos los R ≠ 0 RADICALES DE LA FORMA F(X)= √ el dominio de la función son todos los valores que hacen que el resultado dentro de la raíz sea ≤0. Es creciente cuando F(X)= √ Decreciente cuando F(X)= √ LOGARITMICA DE LA FORMA: ( ) Dominio todos los R + Con a>0 y a ≠ 1 Si a > 1 es creciente Si a < 1 es decreciente EXPONENCIAL DE LA FORMA: ( ) Si a>1 es creciente Si a<1 decreciente Dominio todos los R FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS TRIGONOMÉTRICAS DE LA FORMA ( ) DE LA FORMA ( ) Dominio todos los R Función periódica 2∏ Dominio todos los R Función periódica 2∏ DE LA FORMA ( ) DE LA FORMA ( ) DE LA FORMA ( ) DE LA FORMA ( ) ACTIVIDAD Para desarrollar ejercicios de operaciones algebraicas y de productos y cocientes notables ingresa a http://samiperal23.wordpress.com/modulomatematicas/ FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS SEMANA 5. Identificar, reconocer y aplicar a situaciones planteadas el teorema de Pitágoras, así como la definición para triángulos rectángulos de las funciones trigonométricas TRIGONOMETRÍA Es la matemática aplicada a triángulos, es decir permite relacionar la medida de los lados de estos con sus ángulos. Teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma de los catetos al cuadrado: SABIAS QUE? h h² = a² + b² El teorema de Pitágoras solo se aplica para triángulos rectángulos. a b Funciones trigonométricas y triángulos rectángulos Senα = cateto opuesto Hipotenusa Cosα = cateto adyacente Hipotenusa Tan α = cateto opuesto Cateto adyacente Ctgα= 1/tanα Secα= 1/cosα Cscα = 1/senα FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS Ejemplo: La distancia entre la base de la torre inclinada de Pisa y su parte más alta es de 180 pies. La torre está desviada 16 pies de la vertical. Encuentra la distancia desde la parte más alta de la torre hasta el piso Tenemos que: h= 180ft b=16ft 180² = a² + 16² 180² - 16² = a² = a² √ = a² √ = a² ACTIVIDAD Encontrar la información requerida para los siguientes triángulos haciendo uso del teorema de Pitágoras ¿Cuál es el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6cm y 8cm respectivamente? ¿Cuánto mide el cateto de un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 13cm y su otro cateto mide 5cm? ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 5 unidad de longitud respectivamente? ¿Cuánto mide el cateto de un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 10 y su otro cateto mide 5unidades de longitud? FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS SEMANA 6. PARCIALES Con el fin de procurar una evaluación formativa, observar de qué manera el estudiante aplica conceptos vistos a problemas, ejercicios y situaciones planteadas. 1. Hallar la solución de: {(x^5-x^3+5x^2) + (-2x^4+2x^2-10x)+(6x^3-6x+30)} ÷x^2-2x+6 2. Productos y cocientes notables a. 3. Factorizar: (a²x+by²)²= a. b. (4x+5)³= b. c. c. 8x³+27y³ ÷ 2x+3y= 2xy-6y+xz-3z (x+1)²-81 -x²+2xy-15y² d. a²-b² ÷ a+b = 4. Solucionar: 5. De la siguiente función f(x) = 3x2 – 5x y– 5=3y-25 6x-18>-2+4x Hallar, el dominio, el rango, el vértice, decir de que tipo es y si es creciente o decreciente x²-8<2x 3–y ≤6 5 6. Un poste de madera mide 8m. y se quiere sujetar, con tres cables que van de un extremo superior a un punto del suelo que diste de la base del poste 3m. ¿qué longitud del cable se necesita? “El hombre nunca sabe de lo que es capaz hasta que lo intenta” SOLUCIONES 1. 2. 3. 4. X³ - X + 5 a. a⁴x²+2a²bxy²+b²y⁴ b. 64x³+240x²+300x+125 c. 4x²6xy+9y² d. a-b (x+5y)(x-3y) (-2,4) 6. 8,54m la medida de cada cable en total se necesitaran 25,6m. 5. Dominio: x ϵ R Rango: x ϵ R > -2,8 Parábola abre hacia arriba pues a> 1 Vx = 0,83 Vy = -2,08 FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS SEMANA 7. Identificar las características de las matrices como arreglos bidimensionales, y aplicar a operaciones entre estas Matriz Es un conjunto de números ordenados en forma bidimensional. Se le llama matriz a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales y n verticales, suele representar en dichos elementos entre un paréntesis que encierra sus elementos. Orden de la matriz TIPOS DE MATRICES POR ELEMENTOS NULA, todos sus elementos son cero POR FORMA FILA, tiene orden de 1xn, tiene una sola fila COLUMNA Tiene orden de mx1, esto es se compone de una sola columna. DIAGONAL, todos sus elementos son ceros excepto los de su diagonal principal. Son matrices cuadradas Identidad, diagonal principal 1 CUADRADA, tiene igual número de filas y columnas, m=n Escalar, diagonal principal números R FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS TRIANGULAR, son matrices que tienen debajo o encima de su diagonal principal elementos neutros TRANSPUESTA, intercambio de filas por columnas. SUPERIOR, debajo de la diagonal INFERIOR, encima de la diagonal OPERACIONES ENTRE MATRICES SUMA Y RESTA Sea A una matriz mxn y sea B otra matriz mxn, la suma o diferencia de esta viene dada por: Para sumar o restar dos matrices deben tener el mismo orden, en la resta se cambia el signo de todos los elementos de la matriz sustraendo. Estas operaciones se realizan elemento a elemento. FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ Sea A una matriz mxn y sea nE R, entonces nxA, está dado por: Nota: el orden de la matriz no se ve alterado PRODUCTO ENTRE MATRICES Para multiplicar matrices se debe tener en cuenta que la primera tenga el mismo número de columnas que la segunda de filas, no necesariamente deben tener el mismo orden si cumplen con esta condición. Nota: el producto de matrices no es conmutativo ACTIVIDAD Para realizar ejercicios de matrices ingresa a: http://samiperal23.wordpress.com/algebra-lineal/ FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS SEMANA 8. Que el estudiante identifique las propiedades y características de los determinantes para luego ser aplicadas a situaciones y ejercicios propuestos. Aplicar las propiedades de los determinantes para hallar la inversa de una matriz DETERMINATES El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden mxn, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden mxn, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det A o también por A Para una matriz 2x2 SABIAS QUE Para hallar el determinante de una matriz de orden superior a 3x3 se tiene en cuenta este método, reduciendo siempre a determinantes 2x2 Se redujo determinantes 2x2 Para una matriz 3x3 FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS INVERSA DE UNA MATRIZ Para calcular la inversa de matrices por determinantes se utiliza la siguiente formula general: En donde: Representación de la matriz inversa Determinante de la matriz Adjunta de la matriz Cómo hallar la adjunta Matriz 2X2 Nota: si el determinante de la matriz es igual a 0, la matriz no tiene inversa EJEMPLO FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co Matriz 3X3 FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS Determinante Cuando se multiplica la inversa de una matriz, con la matriz Original se cumple que: A ¹XA=I ACTIVIDAD Para realizar ejercicios de determinantes e inversas ingresa a: http://samiperal23.wordpress.com/algebra-lineal/ FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS SEMANA 9. Aplicar el método de Cramer con sus respectivos pasos, para la resolución de sistemas de ecuaciones y situaciones planteadas. METODO DE CRAMER Es una regla o teorema de algebra lineal que permite solucionar sistemas de ecuaciones, en términos de determinantes. Para sistemas de ecuaciones lineales de más tres incógnitas, su aplicación desde el campo informático resulta muy costosa, por ello es muy usado para el desarrollo de matrices pequeñas sobre todo en aplicaciones SIMD en cuanto al paralelismo de datos (una instrucción múltiples operaciones). SABIAS QUE? Para aplicar la regla de Cramer se debe tener en cuenta que el número de ecuaciones debe ser igual al de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes debe ser distinto de cero Cuando se habla de sistemas de ecuaciones, se hace referencia a varias ecuaciones en simultánea. Pasos para resolver un sistema de ecuaciones por la regla de Cramer Llamaremos Δ al determinante de la matriz de los coeficientes, Δx, Δy, Δz, a los determinantes que dependen de cada variable. Paso 1: Paso 2: Se escribe y se halla coeficientes Δ= 3 2 1 5 3 4 el determinante de los = 3(-3-4)-2(-5-4)+1(5-3) -21 +18 +2 -1 1 1 -1 Es diferente de cero así que se puede resolver por Cramer. Se escribe y se halla el determinante respectoa a x, entonces los coeficientes de las x van a ser reemplazados por los términos independientes (resultados) ΔX = 1 2 1 2 3 4 1 1 -1 FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co = 1(-3-4)-2(-2-4)+1(2-3) -7+12-1 4 FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS Paso 3: Se escribe y se halla el determinante respecto a y, entonces los coeficientes de las y van a ser reemplazados por los resultados 3 1 1 2 4 Δy = 5 -24+9+3 -12 = 3(-2-4)-1(-5-4)+1(5-2) Paso 4: Se escribe y se halla el determinante respecto a z, entonces los coeficientes de las z van a ser reemplazados por los resultados Δz = 1 1 -1 3 2 1 5 3 2 1 1 1 = 3(3-2)-2(5-2)+1(5-3) 3-6+2 -1 Paso 5: ACTIVIDAD Solucionar sistemas de ecuaciones por Cramer En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa? FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS SEMANA 10. Comprender y aplicar las propiedades del método de Gauss Jordan en la resolución de sistemas de ecuaciones y situaciones planteadas. GAUSS JORDAN La eliminación de Gauss Jordan es un método de algebra lineal que permite determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales a través de la transformación de la matriz de coeficientes del sistema a una matriz identidad o diagonal escalar. SABIAS QUE? El método de Gauss se puede utilizar para calcular la inversa de una matriz. Solucionar Escribir la matriz de coeficientes, teniendo en cuenta los términos independientes: A= 3 5 2 3 1 1 4 1 -1 1 2 1 Se comienza por conseguir o transformar la primera columna de la matriz de los coeficientes por medio de operaciones entre filas (intercambios). A= Esta parte de la matriz debe transformarse en una matriz identidad. FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co 1 5 3 1 -1 3 4 2 1 1 2 1 FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS ACTIVIDAD Solucionar sistemas de ecuaciones por Gauss En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa? FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS SEMANA 11. PARCIALES 1. Encontrar el sistema de ecuación y solucionarlo por Gauss y Cramer para: En una tienda un cliente, se ha gastado 150 E en la compra de 12 artículos, entre discos, libros y carpetas. Cada disco le ha costado 20E, cada libro 15E y cada carpeta 5E, se sabe que entre discos y carpetas hay el triple que libros. Determinar cuántos artículos ha comprado de cada tipo. Un cliente de un supermercado ha pagado en total 150E por 24 L de leche, 6Kg de jamón y 12 L de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1L de aceite cuesta el triple que uno de leche y que 1Kg de jamón cuesta igual que 4L de aceite más 4L de leche. 2. Realizar la operación propuesta 2 3 A= -1 C=2 A+B B= 3. Mostrar que 4 1 -5 6 -2 1 3 0 6 1 3 2 0 4 B -C -8 9 4 X 1 2 -3 5A + 2B - C 4. Solucionar el siguiente sistema por Gauss y 10 3 14 4 5 -2 5. Hallar la inversa de Cramer 6 7 2 1 0 4 2x + 4y +6z =18 4x + 5y +6z = 24 3x + y – 2z = 4 5 3 8 “La inteligencia es lo que usas cuando no sabes que hacer” SOLUCIONES 3. 1. a. El cliente ha comprado 4 discos, 3 libros y 5 carpetas. b. leche 1E, jamón 15E y el aceite 3E 2. 38 0 0 0 38 0 38I3 0 0 38 4. x=4, y= 2, z= 3 A+B B-C 5A+2B-C 6 4 -1 8 9 -5 -1 3 23 11 -6 19 5. -12/18 12/18 3/18 FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co -50/18 38/18 17/18 28/18 -22/18 7/18 = 38I3 FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS SEMANA 12. Aplicar la definición de límites para evaluar la continuidad de una función en un punto dado LIMITES Los límites se utilizan para estudiar el comportamiento de una función f(x) en un punto dado c, la definición matemática del límite dice: Sea f (x) una función definida en un intervalo abierto que contienen a c (salvo posiblemente en c) y L un número real. La afirmación Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0, tal que si 0< x - c <δ, entonces F(x) – L < ε Método grafico para hallar el límite de una función: El método grafico consiste en obtener la gráfica de una función y por medio de la tabulación, con números cercanos al límite saber a qué valor tiende la función su continuidad (si el limite existe o no). X F(x) 0.9 2.313 A 3 0.999 2.710 1 ? 1.001 3.003 1.01 3.030 A 3 La función es continua y el limite cuando x tiene de a 1 es 3 por izquierda y derecha. FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS PROPIEDADES Y REGLAS DE LOS LIMITES, DADO QUE : Regla de la suma Regla de la diferencia Regla del producto Regla del cociente Regla del múltiplo constante Regla de la potencia Regla de la raíz Límites de funciones trigonométricas si el exponente del numerador es mayor que el del denominador Cuando los exponentes son iguales FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co Cuando el exponente del denominador es mayor FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS ACTIVIDAD Encontrar los siguientes límites: Lim (2x +5) x 7 Lim (x³-2x²+4x+8) X -2 Lim 1/x X ∞ Limtanx X π Lim 3 (2x -1) X -1 Lim X ∞ Lim x²-2x+1 x 7 x-1 FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co Lim sen4x x 0 x Lim x³ +125 x -5 x+5 FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS SEMANA 13. Aplicar el concepto de derivada como la pendiente de la recta tangente a la curva en las diferentes funciones. DERIVADA La derivada es un límite que tiende a cero, es decir es un límite que se evalúa en un determinado punto de una función y permite determinar la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto, así como su comportamiento, (crece o decrece) y determinación de máximos y mínimos. SABIAS QUE? La derivada de una función f(x), se representa por f’(x), y’ o dy. dx Sirve para hallar la velocidad de un móvil. Calculo de la derivada por el límite FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS Ejemplo Hallar la derivada si f(x) = x² 1. El ∆x reemplaza las x en la función original. 2. Se solucionan casos de factorización que se presenten ya que el límite da indeterminado por sustitución directa y se debe trabajar en el denominador. 3. Se pueden operar términos semejantes. 4. Se factoriza de nuevo, se puede hacer las veces que sea posible para poder simplificar el denominador y quitar la indeterminación. 5. Se simplifica 6. Se desarrolla el límite sustitución directa y se obtiene el resultado. Derivada de una potencia Si f(x) = x² f’(x) = 2x ACTIVIDAD Hallar la derivada de las siguientes funciones por límite y regla de la potencia F(x) = 3x² F(x) = x²-x+1 F(x) = 2x-6x+5 FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS SEMANA 14. Aplicar reglas de derivación en la solución de problemas con la recta tangente a una función en un punto cualquiera PROPIEDADES Y REGLAS DE LA DERIVADA Múltiplo constante f(x)= k U f’(x) = k U’ Suma y resta f(x) = U + V f’(x)= U’ + V’ Producto f(x) = U.V f’(x) = U’V+UV’ Cociente f(x) = U ______V f’(x)= U’V – UV’ ________V² Cociente constante y función F(x)= k _____V f’(x) = -k.V’ ________V² Constante f(x)= K Derivada de una raíz cuadrada f(x)= √ f’(x)= U’ _____2√ Raíz de índice K f(x)= √ f’(x)=U’ _____k √ Función exponencial f(x)= Función exponencial con base e F(x) = f’(x) = U’ Logaritmo neperiano f(x)= ln U f’(x) = U’ _______U Logaritmo f(x) = f’(x)= U’ . 1 _____U ln a f’(x)= 0 f’(x)= U’ Algunos ejemplos FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co ln a FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS Se derivan por separado y luego se unen las derivadas Hallar la derivada de las siguientes funciones aplicando las propiedades vistas F(t)= -2t² + 3t -6 F(x)= (3x – 2x²) (5 + 4x) F(x) = x³+ 3x + 2 ACTIVIDAD F(x)=2x²-6x+5 F(x)= √ + ln x F(x)= – 25 F(x)= + ACTIVIDAD F(x)= 5 F(x)= 1 + ……… x F(x)= √ - FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS SEMANA 15. Aplicar la definición de derivada a las funciones trigonométricas, como la pendiente de la recta tangente en un punto de dichas funciones. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Se puede hallar la pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera de una función trigonométrica, y así poder mirar su continuidad y por consiguiente existencia del límite en dicho punto de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Tabla de derivadas Algunos ejemplos Si f(x)= senπ F’(x) = cosπ = 0 Si f(x)= csc 30 F’(x)= Si f(x)= tan 45 F’ (x)= Si f(x)= cos 3π/2 F’(x)= -sen 0 = 0 ACTIVIDAD Derivar las siguientes funciones trigonométricas y comentar resultado f(x)= sec π/2 --------------------------------------------------------- f(x)= tan π cos π f(x)=-cos 2π/2------------------------------------------------------- f(x)= csc 2π f(x)= sen 3π/2------------------------------------------------------ f(x)= cos²π+sen²π f(x)= tan π/2----------------------------------------------------------- f(x)= 1 FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co - 4ctan π cosπ FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS SEMANA 16. Reconocer las propiedades de la derivación en cadena y la segunda derivada para aplicar a ejercicios y situaciones propuestas. DERIVADA EN CADENA La regla de la cadena se aplica a funciones compuestas y añade versatilidad a las demás reglas y propiedades de la derivada. Si y= f(u) es una función derivable de u y además u = g(x) es una función derivable de x, entonces y = f(g(x)) es una función derivable de x y: SABIAS QUE? La regla de la derivada también se le conoce como el método de afuera hacia adentro, para poder derivar la función compuesta d [f(g(x))] = f’(g(x))g’(x) dx Función exterior Función interior La derivada de y= f(u) es la derivada de la función exterior (en la función interior u) multiplicada por la derivada de la función interior. Y’ = f’(x).u’ EJEMPLO Sea f(x) = (3x – 2x²)³ Entonces u = 3x – 2x² f(x) = u³ f’(x) = 3u².u’ f’(x) = 3(3x – 2x²)² (3 – 4x) PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA También conocida como derivación implícita se representada por: FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS Ejemplo Dada x²+y²=25, encontrar la segunda derivada 2x + 2y dy = 0 dx 2y dy = - 2x dx dy =-2x = -x dx 2y y Primera derivada Segunda derivada d²y dx² d²y= -1(y)-(x)(dy/dx) dx² y² =-y – (x)(-x/y) y² = - y² + x² y³ = -25 y³ ACTIVIDAD 1. Derivar teniendo en cuenta la regla de la cadena 2. Hallar la segunda derivada F(x)= 2x³ + 3x² F(x)= x³-2x²+x+1 F(x)= 12 + 2x² -x⁴ FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA MODULO MATEMÁTICAS BIBLIOGRAFIA THOMAS CALCULO UNA VARIABLE PEARSON ADDISON WESLEY THOMAS CALCULO VARIAS VARIABLES PEARSON ADDISON WESLEY CALCULO 1 LARSON, HOSTETLER EDWARDS ED MC GRAW HILL ALGEBRA LINEAL STANLEY I. GROSSMAN ED. MC GRAW HILL MATRICES FRANK AYRES Jr ED. MC GRAW HILL ALGEBRA DE BALDOR http://www.vitutor.com FUNDACION TECNOLÓGICA COLOMBO GERMANA Avenida Caracas Nº 63-87 PBX: 5875166 www.colombogermana.edu.co