unidad 3 funciones trigonométricas

Transcripción

UNIDAD 3
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Concepto clave:
1. Razones trigonométricas
Si A es un ángulo interior agudo de un triángulo rectángulo y su medida es
 , entonces:
sen  
longitud del cateto opuesto al A
longitud de la hipotenusa
cos  
longitud del cateto adyacente al A
longitud de la hipotenusa
tan  
longitud del cateto opuesto al A
longitud del cateto adyacente al A
Figura 1
Ejemplo 3.1
Si en un triángulo rectángulo se mantiene constante la
longitud de la hipotenusa y se varía la medida de alguno de
sus ángulos agudos, ¿qué pasará con las longitudes de los
catetos, varían o permanecen constantes?
Para explorar la situación, supongamos que la longitud
de la hipotenusa es h que permanecerá constante, y que el
ángulo agudo de medida variable  es el indicado en la figura
Unidad 3. Funciones Trigonométricas
3-1
2. También representemos a la longitud del cateto horizontal con la letra a , y a la
longitud del cateto vertical con la letra b .
Figura 2
Observa con cuidado la figura 3, donde el triángulo correspondiente a la
figura 2 es el sombreado, y responde las preguntas que le siguen.
Figura 3
P1. Al variar la medida  , ¿cambia la longitud del cateto horizontal?
P2. Al variar la medida  , ¿cambia la longitud del cateto vertical?
P3. Cuando la medida  disminuye, ¿qué sucede con la longitud del cateto
horizontal?
P4. Cuando la medida  aumenta, ¿qué sucede con la longitud del cateto
horizontal?
3-2
P5. Cuando la medida  disminuye, ¿qué sucede con la longitud del cateto
vertical?
P6. Cuando la medida  aumenta, ¿qué sucede con la longitud del cateto
vertical?
P7. ¿Cuáles son los posibles valores en grados que podría tomar  ?
El análisis anterior nos permite concluir que las longitudes a y b de los
catetos del triángulo de la figura 2 están variando y dependen de la medida  del
ángulo interior agudo.
Ejemplo 3.2
Encuentra expresiones matemáticas que indiquen cómo
están relacionadas las variables del ejemplo anterior, la
independiente  con la dependiente a , y la independiente 
con la dependiente b .
Recuerda que la longitud de la hipotenusa es constante.
Para responder, tomemos como referencia el triángulo
rectángulo de la figura 2.
P8. ¿Cuál razón trigonométrica de las que aparecen en el concepto clave 1
relaciona la longitud a del cateto horizontal, la longitud h de la hipotenusa y la
medida  del ángulo agudo en el triángulo de la figura?
P9. De las razones trigonométricas que aparecen en el concepto clave 1,
¿cuál relaciona la longitud b del cateto vertical, la longitud h de la hipotenusa y la
medida  del ángulo agudo en el triángulo de la figura?
3-3
Considerando la respuesta P8, tendremos la siguiente relación:
a
, de donde la expresión matemática que establece la relación entre
h
la variable independiente  y la variable dependiente a es a  h  cos  .
cos  
De manera análoga, al considerar la respuesta P9, obtenemos el siguiente
resultado:
b
, de ahí se concluye que la relación que hay entre la
h
variable independiente  y la variable dependiente b , está dada por la expresión
matemática b  h  sen  .
Como sen  
Ejercicio 3.1
Suponiendo que h  5 y utilizando las relaciones:
a  h  cos 
y
b  h  sen 
Completa sin hacer redondeos la tabla siguiente:

a  5  cos 
b  5  sen 
10
20
30
40
50
60
70
80
3-4
Observa que a cada valor  de la variable independiente le has hecho
corresponder un y sólo un valor a de la variable dependiente, por lo tanto en el
triángulo rectángulo de la figura 2, la relación que existe de la medida  del ángulo
a la longitud a del cateto horizontal, es una función.
Por la misma razón, la relación de la medida  del ángulo a la longitud b del
cateto vertical, también es una función.
Lo anterior es porque, como recordarás, una función es una relación entre un
par de variables, dependiente e independiente, tal que a cada valor de la variable
independiente le corresponde un y sólo un valor de la variable dependiente.
Responde las siguientes preguntas, referentes a los componentes de una
función.
P10. ¿Cómo se le llama a la expresión algebraica que indica cómo asignar a
cada valor de la variable independiente su correspondiente valor de la variable
dependiente?
P11. ¿Cuál es el nombre que recibe el conjunto de todos los posibles valores
que puede tomar la variable independiente?
P12. ¿Con qué nombre se identifica al conjunto de todos los valores que
toma la variable dependiente?
Por ejemplo, en la relación a  h  cos  obtenida en el ejemplo 3.2 que como
ya vimos es una función, la expresión h  cos  es su regla de correspondencia.
También es conveniente recordar que cuando una relación es una función se
acostumbra utilizar una notación especial para enfatizar la relación entre las
variables independiente y dependiente, por ejemplo en la relación a  h  cos 
sabemos que el valor de a depende del valor de  , este hecho lo simbolizamos
con a   que se lee “ a de  ”, así en lugar de a  h  cos  escribiremos
a    h  cos  .
3-5
Ejemplo 3.3
Suponiendo que h  5 , encuentra el dominio y el rango
de la función a    h  cos  del ejemplo 3.2.
Puesto que h  5 , la función será a    5  cos  .
Por la respuesta P11, el dominio debe ser el conjunto
formado con todos los valores posibles que podría tomar la
variable independiente, que en este caso es la variable  ,
correspondiente a la medida de un ángulo agudo, por lo cual
afirmamos que el dominio de la función es el conjunto de
valores  que satisfacen la desigualdad 0    90 , la cual define al intervalo
abierto  0,90  .
Atendiendo la respuesta P12, para encontrar en este caso el rango de la
función, indaguemos de manera tabular lo que sucede con el valor de a  
cuando el valor de  se aproxima a los extremos del intervalo que conforman el
dominio.
P13. ¿A qué valor se aproxima a   , cuando el valor de  es cada vez más
cercano 0 ?
Conviene mencionar que utilizaremos la expresión   0 para representar
simbólicamente el hecho que el valor de  es cada vez más cercano a cero.
Para observar que sucede con el valor de a   , cuando   0 , podemos
completar una tabla como la siguiente:

0.2
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.00001
5  cos 
La conclusión que podemos inferir del llenado de la tabla anterior es que
cuando   0 , sucede que a    5 , es decir que el valor de a   es cada vez
más próximo a cinco.
P14. ¿A qué valor se aproxima a   , cuando el valor de  es cada vez más
cercano a 90 ? O bien, ¿qué pasa con el valor de a   , si   90 ?
3-6
Para responder podemos proceder de manera análoga al caso anterior,
completando una tabla como la que sigue:

89.9
89.9999
89.99999999
89.9999999999
89.999999999999
5  cos 
En conclusión, cuando   90 , sucede que a    0 .
Por las respuestas P13 y P14, deducimos que para cualquier valor de  , el de
a   debe estar entre cero y cinco, es decir que el rango debe ser el conjunto
formado con los valores que cumplen con la desigualdad 0  a    5 , la cual
determina al intervalo abierto  0,5 .
En resumen, la función del ejemplo 3.3 cumple con lo siguiente:
Regla de correspondencia
Dominio
Rango
5  cos 
El intervalo  0,90 
El intervalo  0,5
Ejemplo 3.4
Encuentra el rango de la función a    7  cos  , si su
dominio es el intervalo cerrado 10,80 , es decir cuando
el valor de  cumpla con la desigualdad 10    80 .
Para responder bastará con encontrar la imagen de
cada uno de los extremos del intervalo dado como
dominio, es decir el valor de a 10  y el valor de a  80  .
P15. ¿Cuál es el valor de a 10  ?
P16. ¿Cuál es el valor de a  80  ?
3-7
Puesto que el dominio es un intervalo cerrado, el rango también será un
intervalo cerrado cuyos extremos son los valores calculados en la P15 y en la P16,
esto es el intervalo 1.215537244,6.893654271 .
Ejercicio 3.2
Determina el rango de la función b    3  sen  , si su
dominio es:
a) El intervalo abierto  0,90 
b) El intervalo cerrado 5,85
Las funciones hasta aquí expuestas, a    h  cos  y b    h  sen  con h
constante son ejemplos de un tipo especial de funciones, que como recordarás
son llamadas funciones trigonométricas.
En particular, si h  1 , tendremos las funciones a    cos  y b    sen 
que reciben el nombre de función básica del coseno y función básica del seno,
respectivamente.
Ejemplo 3.5
Si suponemos que en el triángulo rectángulo de la figura
2 quien permanece constante es la longitud a del cateto
horizontal, entonces al variar la medida  del ángulo
sombreado también variarán las longitudes b y h , del cateto
vertical y de la hipotenusa, respectivamente, y dichas
longitudes dependerán de la medida  del ángulo.
¿Cuál será la expresión matemática que indica cómo se
relacionan la variable independiente  con la variable
dependiente b ?
3-8
P17. De las razones trigonométricas expuestas en el concepto clave 1, ¿cuál
relaciona la longitud a del cateto vertical, la longitud b del cateto vertical y la
medida  del ángulo agudo sombreado?
Aplicando al triángulo de la figura 2 la razón trigonométrica de la respuesta
b
P17, obtenemos la relación tan  
, de donde b  a  tan  .
a
Afirmamos que la relación de la medida  del ángulo a la longitud b del
cateto vertical obtenida es una función, y como el valor de b depende del valor de
 , podemos escribir la relación anterior como b    a  tan  , donde a es
constante y el valor de  es cualquiera que esté en el intervalo abierto  0,90  .
La función obtenida en este ejemplo también es una función trigonométrica y
si a  1 , tendremos la función b    tan  conocida como la función básica de la
tangente.
Ejercicio 3.3
Utilizando los mismos supuestos del ejemplo 3.5,
encuentra la función trigonométrica que establece la relación
de la medida  del ángulo a la longitud h de la hipotenusa.
De todo el análisis anterior podemos concluir que las razones trigonométricas
seno, coseno y tangente, se pueden considerar funciones trigonométricas con
dominio en el intervalo abierto  0,90  , el cual como se verá más adelante está
restringido.
3-9
Ejercicio 3.4
Indica cuál es el rango de las funciones básicas del seno,
coseno y tangente para el dominio  0,90  .
Te sugerimos explorar de manera tabular a cuál valor se
aproxima cada una de ellas cuando el valor de  es cada vez
más cercano a 0 y a 90 , puedes utilizar tablas como las que
aparecen en el ejemplo 3.3.
A partir de los resultados obtenidos en el ejercicio 3.4, establece en cada
caso una conjetura de cómo será el comportamiento gráfico de cada una de las
funciones trigonométricas básicas del seno, coseno y tangente en el intervalo
 0,90 , ¿creciente o decreciente? Más adelante verificarás si tus conjeturas son
ciertas.
Recordemos que un ángulo es el conjunto de puntos barridos al girar un rayo
en el plano sobre su punto de origen desde una posición inicial hasta una posición
final.
En la definición no se restringe ni la magnitud ni el sentido de giro, por lo
tanto es posible que el rayo de varias vueltas o que el giro sea en sentido de las
manecillas del reloj o en sentido contrario, dando lugar a situaciones como las
mostradas en las figuras 4 y 5.
Figura 4
3 - 10
Figura 5
Concepto clave
2. El ángulo como rotación del radio de una circunferencia.
No pierde sentido la definición anterior de ángulo, al ubicar el vértice del
ángulo en el origen del plano cartesiano y considerar el lado inicial como el radio
de una circunferencia con centro en el origen que coincida con la parte positiva del
eje de abscisas como se ilustra en la figura 6.
Figura 6
Es decir, que podemos pensar que un ángulo es el giro positivo o negativo
del radio que está sobre la parte positiva del eje de abscisas de una circunferencia
con centro en el origen.
La medida de un ángulo depende de la magnitud del giro y generalmente se
utilizan las siguientes unidades de medición:
 El grado
 El radián
3 - 11
Concepto clave
3. El grado
Si la circunferencia de la figura 6 se divide en 360 partes iguales, entonces el
ángulo central subtendido por cada arco, corresponderá a un grado sexagesimal.
Es decir, un grado sexagesimal es la medida del ángulo central subtendido
1
por un arco cuya longitud es igual a
de la circunferencia.
360
El grado    tiene un par de submúltiplos: El minuto ´ , correspondiente al
1
de la
21600
circunferencia y el segundo ´´ , que corresponde al ángulo central subtendido por
ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a
un arco cuya longitud es igual a
1
de la circunferencia.
1296000
De lo anterior se obtienen las siguientes equivalencias: 1´
1´´
1
. O bien que, 1  60´ , 1´ 60´´ y 1  3600´´ .
3600
1
1´
y 1´´
y
60
60
Ejercicio 3.5
Aplica estas equivalencias para completar lo que sigue:
a) 25  _________´
b) 12´ _________´´
c) 240´ __________ 
d) 2400´´ _________ 
e) 2.5  __________´´ __________´
Existen dos tipos de notación para expresar la medida de un ángulo en
grados, la llamada decimal y la sexagesimal, como se muestra en la tabla
siguiente:
3 - 12
Notación decimal
Notación sexagesimal
20.25
2015´
54.37
5422´12´´
18.126
187´33.6´´
Las calculadoras modernas permiten transitar entre estas notaciones de una
manera sencilla, utilizando la tecla “grados, minutos, segundos”.
Ejercicio 3.6
Completa la tabla siguiente:
Notación decimal
Notación sexagesimal
18.6
35.56
3518´
68.231
648´6´´
6527´24.48´´
La razón de introducir aquí el concepto de medición de un ángulo en grados
es simplemente para compararlo con otro sistema de medición, que será el que
utilizaremos, por ser el más adecuado, para realizar el análisis de las funciones
estudiadas en esta unidad.
Si nos remitimos a la figura 6 y representamos con la letra A al punto donde
intersecta el lado inicial del ángulo a la circunferencia, con la letra O al vértice del
ángulo que coincide con el origen del plano cartesiano y con la letra B al punto
de intersección del lado final del ángulo con la circunferencia, se formará el ángulo
central AOB cuya medida se puede determinar comparando mediante una razón a
la longitud del arco AB que subtiende, con la longitud del radio OA de la
circunferencia, siempre que estén expresadas en las mismas unidades.
AOB 
AB
OA
En este contexto, la magnitud del giro del radio para formar el ángulo se
define con el uso de cantidades relacionadas con medidas de longitud.
3 - 13
Concepto clave
4. El radián
AB
, la longitud del arco AB es igual a la
OA
longitud del radio OA , se obtiene la unidad de medida del ángulo en este sistema
y se conoce como radián.
Cuando en la relación
AOB 
Es decir, un radián es la medida del ángulo central de una circunferencia que
abarca un arco de longitud igual a la de su radio.
Ejemplo 3.6
Si AOB es positivo de una vuelta completa, ¿cuál
será su medida en radianes?
Para dar la respuesta, antes contesta las siguientes
preguntas:
P18. ¿Cuánto medirá en grados dicho ángulo?
P19. Si OA  r cm , ¿cuál será la longitud del arco AB ?
Por el concepto clave 4,
AOB 
AB 2 r cm

 2 .
r cm
OA
Este último resultado está dado en radianes.
Hemos así establecido en el ejemplo 3.6 una equivalencia entre los distintos
sistemas de medida, 360 es equivalente a 2 radianes.
Es importante notar que en el sistema de medición en radianes, como ya se
mencionó anteriormente, las unidades de longitud del radio y del arco son iguales,
por lo que éstas se cancelan obteniendo un resultado cuyas unidades serán
radianes. Por tal razón, la palabra “radianes” generalmente se omite y sólo se usa
para ser enfático.
3 - 14
Ejercicio 3.7
Si AOB es positivo, completa la tabla siguiente:
AOB en grados
AOB en radianes
90
180
270
P20. ¿A cuántos radianes equivale un grado?
P21. ¿A cuántos grados equivale un radián?
Si G es el número de grados y R es el número de radianes, dichas
cantidades son directamente proporcionales, ya que se puede ver que para
R
cualquier par de valores correspondientes la razón
permanece constante.
G
P22. ¿Cuál es el valor constante para la razón
R
?
G
El resultado anterior permite transitar entre ambos sistemas de medición.
De grados a radianes:
Si G es el número de grados, entonces el número correspondiente de
  
radianes está dado por R   G  
.
 180 
3 - 15
De radianes a grados:
Si R es el número de radianes, entonces el número correspondiente en
 180 
grados está dado por G   R  
.
  
Ejercicio 3.8
Completa la tabla siguiente:
Medida en grados
Medida en radianes
45
120

3
54

5
2
2
7
La principal diferencia entre estos dos sistemas de medición, es que en el
caso de radianes, la medida será un número real, razón por la cual de aquí en
adelante, en todos los análisis que realicemos, sólo consideraremos al sistema de
medición en radianes.
Esto es adecuado, ya que todas las funciones que se estudian en el curso de
Matemáticas IV son funciones reales de variable real, es decir funciones cuyo
dominio y rango, o son el conjunto de los números reales o bien un subconjunto de
él.
Bajo este contexto, la conclusión establecida en la página 3-9 la podemos
reescribir de la siguiente manera:
Las razones trigonométricas seno, coseno y tangente, se pueden considerar
  
funciones trigonométricas con dominio el intervalo abierto  0,
 que es un
 2 
subconjunto de los números reales.
3 - 16
Otra ventaja de considerar al sistema de medición en radianes es que
podemos observar el comportamiento de la función de una manera gráfica, por
ejemplo en las figuras 7, 8 y 9 aparecen las graficas de las funciones básicas del
  
seno, coseno y tangente, respectivamente, para el dominio  0,
.
 2 
Observa que hemos cambiado el símbolo  de la variable independiente por
la letra minúscula x , pues la estamos considerando un número real, por las
razones expuestas.
Figura 7
Figura 8
3 - 17
Figura 9
Es el momento para que verifiques a través de las gráficas anteriores la
validez de tus respuestas al ejercicio 3.4 y de las conjeturas que estableciste
inmediatamente después de dicho ejercicio.
  
En las gráficas se observa que en el intervalo abierto  0,
:
 2 
Figura
Función básica
Rango
La función es:
7
sen x
Intervalo abierto  0,1
Creciente
8
cos x
Intervalo abierto  0,1
Decreciente
9
tan x
Intervalo abierto  0,  
Creciente
Con el fin de generalizar el concepto de función trigonométrica de un ángulo
agudo a un ángulo cualquiera, es importante señalar que cuando el ángulo se
considera como la rotación de un radio de una circunferencia (ver concepto clave
2), la medida del ángulo es independiente de la longitud del radio de la
circunferencia, de tal suerte que podemos trabajar en lo que sigue bajo el
supuesto que la longitud del radio de la circunferencia es la unidad, en cuyo caso
tendremos un modelo geométrico llamado circunferencia unitaria.
En tal modelo (ver figura 10) se tiene la particularidad de que si x es la
distancia que se recorre sobre la circunferencia desde el punto 1, 0  hasta el
punto P , positiva si el recorrido se hace en sentido contrario a las manecillas del
reloj o negativa en sentido inverso, entonces dicha distancia será la medida en
radianes del ángulo central que se forma.
3 - 18
La relación anterior permite omitir en las definiciones de las funciones
trigonométricas el concepto de ángulo, razón por la cual a las funciones
trigonométricas también se les conoce como funciones circulares.
Concepto clave
5. Triángulo y ángulo de referencia en la circunferencia unitaria.
Para un punto P sobre la circunferencia y el lado final del ángulo que no esté
sobre alguno de los ejes de coordenadas:
1. El triángulo de referencia es aquel que se forma al trazar una
perpendicular desde el punto P hasta el eje de abscisas.
2. El ángulo de referencia es el ángulo agudo que se forma con el lado final
del ángulo y el eje de abscisas, siempre se considera positivo.
Por ejemplo, en la figura 10 se muestra el triángulo de referencia para un
ángulo positivo con P en el primer cuadrante, el AOP es el ángulo de referencia
cuya medida es AOP  x .
Figura 10
3 - 19
Ejemplo 3.7
Construye en la circunferencia unitaria el triángulo de
referencia para un ángulo positivo con P en el tercer
cuadrante (ver figura 11) e indica cuál es el ángulo de
referencia y encuentra su medida.
Por el concepto clave 5.1, para construir el triángulo de
referencia debemos trazar una perpendicular desde el punto
P hasta el eje horizontal como se muestra en la figura 12.
Figura 11
Figura 12
Atendiendo el concepto clave 5.2, el ángulo de referencia es AOP . Para
determinar su medida, en la figura 12 se observa que x    AOP , de donde
AOP  x   .
Ejercicio 3.9
Construye en la circunferencia unitaria el triángulo de
referencia para un ángulo positivo e indica cuál es el ángulo de
referencia y encuentra su medida, si
a) El punto P está en el segundo cuadrante, figura 13.
b) El punto P está en el cuarto cuadrante, figura 14.
3 - 20
Figura 13
Figura 14
A continuación considera el triángulo y ángulo de referencia de la figura 10
para responder las preguntas siguientes:
P23. ¿A qué es igual sen x ?
P24. ¿A qué es igual cos x ?
P25. ¿A qué es igual tan x ?
De las respuestas anteriores concluimos que el punto P tiene coordenadas
P  cos x, sen x  , lo cual es válido para cualquier punto P sobre la circunferencia
unitaria y que tan x 
sen x
.
cos x
La importancia de este resultado es que con él extendemos el dominio
restringido de las funciones básicas trigonométricas, seno, coseno y tangente, de
  
medidas de ángulos agudos o números reales en el intervalo abierto  0,
 a
 2 
cualquier medida de ángulo que puede ser cero, positivo o negativo, en pocas
palabras, a cualquier número real, lo cual como se verá más adelante no aplica a
todas las funciones mencionadas.
3 - 21
Ejemplo 3.8
Utilizando la circunferencia unitaria, encuentra el valor
de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente,
3
para x  0 y para x 
. Te sugerimos que compares los
2
resultados que vamos a obtener, con los que te arrojen una
calculadora científica, teniendo la precaución de que esté en
el modo radianes.
Para responder, primero ubiquemos la posición del punto P sobre la
circunferencia unitaria, para los valores de x dados.
Observa que si x  0 , entonces el punto P está en la parte positiva del eje
3
de abscisas y sus coordenadas son P 1, 0  , mientras que si x 
, entonces P
2
está en la parte negativa del eje de ordenadas y sus coordenadas son P  0, 1 .
Aplicando las conclusiones derivadas de las respuestas P23, P24 y P25,
tenemos los resultados siguientes:
a) Para x  0 , consideramos el punto P 1, 0  .
1) sen 0  0 , correspondiente a la ordenada de P .
2) cos 0  1 , que es la abscisa de P .
3) tan 0 
b) Para x 
sen 0
0

 0.
cos 0
1
3
, consideramos el punto P  0, 1 .
2
1) sen
3
 1 , que es la ordenada de P .
2
2) cos
3
 0 , esto es la abscisa de P .
2
3
sen
3
2  -1 , cuyo valor no está definido, pues como
3) tan

3
2
0
cos
2
recordarás la división entre cero no está permitida.
3 - 22
Este último resultado nos dice que la función básica de la tangente no está
3
definida para el valor x 
, es decir que dicho valor no pertenece al dominio de
2
dicha función, pero ¿será el único valor para el cuál no está definida está función?
Ejercicio 3.10
Utilizando la circunferencia unitaria, encuentra el valor de
las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.
a) Para x 

2
b) Para x  
P26. ¿Encontraste algún otro valor donde no esté definida la función básica
de la tangente?
De los resultados obtenidos en el ejemplo 3.8 y en el ejercicio 3.10,
afirmamos que de las tres funciones trigonométricas básicas estudiadas, la del
seno y la del coseno están definidas en todo el intervalo cerrado  0, 2  , mientras
que la de la tangente no está definida para los valores

2
y
3
2
de dicho
intervalo.
Ahora analicemos algunas otras características de estas funciones en el
intervalo cerrado  0, 2  apoyándonos de la circunferencia unitaria, observa que el
intervalo corresponde a las distancias de los recorridos desde el punto de
coordenadas 1, 0  hasta el punto P , en sentido positivo (contrario a las
manecillas del reloj), completando una vuelta.
Veamos lo que pasa con la función básica del seno:
3 - 23
1) El valor mínimo que toma es 1 , lo que sucede cuando el punto P tiene
3
abscisa x 
.
2
2) El valor máximo que toma es 1 , esto cuando el punto P tiene abscisa
x

2
.
3) Es cero cuando el punto P tiene abscisa x  0 , x   y x  2 .
Estas primeras tres propiedades las podemos llevar a un sistema de
coordenadas cartesianas donde se utiliza en el eje de abscisas una escala en
términos de  , al que llamaremos Plano Trigonométrico, como se muestra en la
figura 15.
Figura 15
4) En el primer cuadrante es positiva y varía continuamente desde 0 hasta
1 , lo cual quiere decir que es continua (no tiene interrupciones), creciente
  
y positiva en el intervalo abierto  0,
 como se ve en la figura 16.
 2 
3 - 24
Figura 16
5) En el segundo cuadrante es positiva y varía continuamente desde 1
hasta 0 , lo cual quiere decir que es continua, decreciente y positiva en el
 

,   , tal como se muestra en la figura 17.
intervalo abierto 
 2

Figura 17
6) En el tercer cuadrante es negativa y varía continuamente desde 0 hasta
1 , lo cual quiere decir que es continua, decreciente y negativa en el
 3 
intervalo abierto   ,
 , lo que se muestra gráficamente en la figura
2 

18.
3 - 25
Figura 18
7) Por último en el cuarto cuadrante es negativa y varía continuamente
desde 1 hasta 0 , lo cual quiere decir que es continua, creciente y
 3

, 2  , lo que se ve en la gráfica de
negativa en el intervalo abierto 
 2

la figura 19.
Figura 19
Si reunimos las graficas que aparecen en las figuras 16, 17,18 y 19,
tendremos la gráfica mostrada en la figura 20, que es la gráfica de la función
básica del seno desde 0 hasta 2 , correspondiente a las distancias recorridas
3 - 26
por un punto P de la circunferencia unitaria, iniciando en punto 1, 0  y hasta
completar una vuelta completa en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Figura 20
Como estrategia de aprendizaje te sugerimos realizarle a la función básica
del coseno un análisis como el que se efectuó con la función básica del seno,
para que obtengas su gráfica en el intervalo cerrado  0, 2  , la cual aparece en la
figura 21.
Figura 21
3 - 27
Con respecto a la función básica de la tangente, podemos hacer uso del
sen x
hecho que tan x 
para concluir que en el intervalo cerrado  0, 2  , la
cos x
función será cero para los valores de x que hacen cero a la función básica del
seno y que no estará definida para aquellos valores x que hacen cero a la función
básica del coseno.
P27. ¿Para qué valores de x en el intervalo  0, 2  la función básica del seno
es cero?
P28. ¿Para qué valores de x en el intervalo  0, 2  la función básica del
coseno es cero?
En la figura 22 aparece la gráfica de la función básica de la tangente en el
intervalo cerrado  0, 2  , observa que en efecto sus ceros coinciden con los de la
función básica del seno, en tanto que en aquellos valores donde la variable
independiente hace cero a la función básica del coseno, la función básica de la
tangente no está definida, es discontinua y tiene en cada uno de ellos una asíntota
vertical
Figura 22
3 - 28
Hasta aquí hemos analizado las características y comportamiento de las
funciones trigonométricas básicas, del seno, coseno y tangente, considerando las
distancias sobre la circunferencia unitaria de los recorridos desde el punto de
coordenadas 1, 0  hasta el punto P , en sentido positivo hasta completar sólo una
vuelta.
También en este contexto, tal como sucede con los ángulos, no se restringe
ni la magnitud ni el sentido del recorrido del punto P sobre la circunferencia
unitaria, por lo tanto es posible que el punto de varias vueltas a la circunferencia
iniciando en el punto 1, 0  , o que el sentido del recorrido sea positivo o negativo.
Veamos lo que sucede con la función básica del seno en una segunda vuelta
positiva completa:
Primero observamos que la distancia recorrida por el punto P iniciará en 2
y terminará en 4 , tal como se modela en la figura 22.
Figura 22
Apoyándote de la figura 22, responde las siguientes preguntas, respecto a la
función básica del seno:
P29. En la segunda vuelta, ¿cuál es el valor máximo que toma la función y
para qué valor de x se logra?
P30. En la segunda vuelta, ¿cuál es el valor mínimo que toma la función y
para qué valor de x se logra?
P31. ¿Para qué valores de x la función es cero?
3 - 29
Además no es difícil observar que el comportamiento de la función será:
5 

En el intervalo  2 ,
 el mismo que en el intervalo
2 

  
 0,
.
 2 
 5

 

,3  el mismo que en el intervalo 
,  .
En el intervalo 
 2

 2

7 

En el intervalo  3 ,
 el mismo que en el intervalo
2 

 3 
 ,
.
2 

 7

 3

, 4  el mismo que en el intervalo 
, 2  .
En el intervalo 
 2

 2

Trasladando toda esta información al Plano Trigonométrico, obtendremos la
gráfica de la función básica del seno en el intervalo cerrado  2 , 4  tal como
aparece en la figura 23.
Figura 23
3 - 30
Realizando un análisis similar y apoyándonos de la figura 24, la gráfica de la
función básica del seno en el intervalo cerrado  2 , 0 es la que aparece en la
figura 25.
Figura 24
Figura 25
3 - 31
Si reunimos las gráficas de las figuras 20, 23 y 25 tendremos la gráfica de la
función trigonométrica f  x   sen x , desde x  2 hasta x  4 , ver figura 26.
Figura 26
Este proceso se puede repetir una infinidad de veces, ya que como se
mencionó anteriormente, en el recorrido del punto P sobre la circunferencia
unitaria no se limita ni el número de vueltas ni el sentido de ellas.
Lo anterior nos lleva a concluir que el dominio natural de la función básica del
seno son todos los números reales1.
Responde las siguientes preguntas, referentes a la función básica del seno
con dominio el conjunto :
P32. ¿Cuál es su valor máximo y su valor mínimo?
P33. ¿Cuál es su rango?
P34. ¿Cuál es la forma general de sus ceros?
1
Recordemos los símbolos que representan a los distintos conjuntos de números:
Números naturales:
Números enteros:
Números racionales:
Números irracionales:
Números reales:
Números complejos:
3 - 32
Todo el análisis anterior respecto a la función básica del seno lo resumimos
en el concepto clave 6.
Concepto clave
6. Gráfica de la función f  x   sen x y sus características básicas
Figura 27. Onda senoidal básica
1. Dominio:
2. Máximo: 1
3. Mínimo: 1
4. Rango:  1,1
5. Intersección con el eje de ordenadas: f  x   0
6. Intersección con el eje de abscisas (ceros): valores de x  k , k 
7. Es continua (no tiene interrupciones).
3 - 33
Otra vez, como estrategia de aprendizaje te sugerimos realizar a la función
básica del coseno y a la función básica de la tangente, un análisis similar al
realizado con la función básica del seno, y luego compara tus resultados con lo
expuesto en los conceptos claves 7 y 8.
Conceptos clave
8. Gráfica de la función f  x   cos x y sus características básicas
Figura 28. Onda cosenoidal básica
1. Dominio:
2. Máximo: 1
3. Mínimo: 1
4. Rango:  1,1
6. Intersección con el eje de abscisas (ceros): valores de x 
 2k  1 
2
, k
7. Es continua (no tiene interrupciones).
3 - 34
9. Gráfica de la función
características básicas
f  x   tan x
con asíntotas verticales y sus
Figura 29
1. Dominio:
{valores de x  k 

2
,k 
}
2. No tiene máximo ni mínimo.
3. Rango:
5. Intersección con el eje de abscisas (ceros): valores de x  k , k 
6. Asíntotas verticales: rectas x 
 2k  1 
2
, con k 
7. Es discontinua (tiene interrupciones).
Ejercicio 3.11
Para su dominio natural, ¿cuáles de las afirmaciones
siguientes son verdaderas?
a) La función básica del seno alcanza su valor máximo
una infinidad de veces.
b) La ecuación tan x  0 no tiene solución.
c) La función básica del coseno tiene un número finito de
ceros.
d) La ecuación sen x  0 tiene una infinidad de soluciones.
3 - 35
Otra característica que tienen las funciones trigonométricas y que no aparece
en los conceptos clave 6, 7 y 8, es, como seguramente te has percatado, su
comportamiento repetitivo.
A las funciones que tienen dicho comportamiento se les conoce como
funciones periódicas.
Concepto clave
10.
Función periódica
1. Si para todo valor de x en el dominio de una función f existe algún número
real p tal que f  x  p   f  x  , entonces la función f es periódica.
2. Al menor número positivo p se le conoce como el periodo de la función f .
Ejemplo 3.9
Verifica que la función básica del seno y del coseno son
ambas periódicas y determina su periodo.
Para responder nos apoyaremos de la circunferencia
unitaria, donde consideraremos de inicio cierta posición de un
punto P de ella durante su primera vuelta en recorrido
positivo, y a partir de ella determinaremos cuáles serán sus
coordenadas cuando éste logre en su recorrido exactamente
la misma posición.
La posición que consideraremos de inicio para el punto P en la
circunferencia unitaria, será la que se muestra en la figura 30 de la página
siguiente, conviene recordar que por las respuestas P23 y P24 concluimos que
este punto tiene coordenadas P  cos x, sen x  , donde x , que llamaremos el
argumento de las coordenadas del punto, es la distancia (recorrida) desde el punto
de coordenadas 1, 0  hasta el punto P .
3 - 36
Figura 30
P35. ¿Por lo menos, cuántas unidades tendrá que recorrer de manera
positiva el punto P de la figura 30 para que quede exactamente en la misma
posición?
Es decir, que deberá recorrer al menos una vuelta completa, en cuyo caso
tendríamos que considerar las nuevas coordenadas de P suponiendo que este se
encuentra en la segunda vuelta.
¿Cambiará el argumento de las coordenadas del punto?
P36. ¿Cuál será la distancia total recorrida por P desde la primera vuelta
hasta su posición en la segunda vuelta?
3 - 37
De la respuesta P36 concluimos que en la nueva posición del punto P ,
aunque queda exactamente en la posición inicial, cambia el argumento de sus
coordenadas, ya que en lugar de recorrer sobre la circunferencia x unidades, ha
recorrido x  2 unidades, de tal manera que sus nuevas coordenadas son las que
aparecen en la figura 31.
Figura 31
De lo mostrado en la figuras 30 y 31, deducimos que las coordenadas del
punto P deben ser las mismas en ambos casos, puesto que tiene exactamente la
misma posición.
Lo anterior nos lleva a la conclusión siguiente:
cos  x  2   cos x y sen  x  2   sen x
Procediendo de la misma manera, se puede ver que para que el punto P
quede exactamente en la misma posición que en la figura 31, tendría que recorrer
otra vez al menos 2 unidades, lo cual ubicaría al punto en la tercera vuelta,
cambiando con ello el argumento de sus coordenadas a x  4 .
En otras palabras, que también cos  x  4   cos x y sen  x  4   sen x .
En general, si sumamos al argumento x de las coordenadas del punto P de
la figura 30 cualquier múltiplo de 2 , regresaremos exactamente a la misma
posición, lo cual también es válido si en lugar de sumarlo, lo restamos.
3 - 38
Lo anterior lo expresamos de manera matemática como sigue:
Para cualquier x  : cos  x  2k   cos x y sen  x  2k   sen x , con k  .
Por el concepto clave 10.1, concluimos que las funciones básicas del seno y
del coseno son periódicas.
Por el concepto clave 10.2, el periodo de cada una de ellas será el menor
número positivo de la forma 2k , con k  .
P37. ¿Cuál es el menor número positivo de la forma 2k , con k  ?
Por la respuesta P37, el periodo de las funciones básicas del seno y del
coseno es 2 .
Ejercicio 3.12
Sabiendo que para cualquier x donde está definida la
función básica de la tangente se cumple con la relación
tan  x  k   tan x , con k  , responde las siguientes
preguntas:
a) ¿Indica esto que la función básica de la tangente es
periódica?
b) En caso afirmativo, ¿cuál es su periodo?
La solución del ejemplo 3.9, conjuntamente con la respuesta del ejercicio
3.12, nos muestran que las funciones básicas del seno, del coseno y de la
tangente son funciones periódicas, característica tienen todas las funciones
trigonométricas.
En las gráficas que aparecen en los conceptos clave 7 y 8, hemos anotado al
pie de cada una de ellas los términos onda senoidal y onda cosenoidal, estos
términos los utilizaremos de aquí en adelante para referirnos a las gráficas de la
función seno y coseno, respectivamente.
3 - 39
Concepto clave
11. Amplitud de las ondas senoidales y cosenoidales
Es el valor de la máxima distancia que separa a la onda senoidal o
cosenoidal del eje de abscisas.
Ejemplo 3.10
¿Cuál es la amplitud de las funciones básicas del seno
y del coseno?
Para responder observa sus gráficas en los conceptos
clave 7 y 8, y responde la pregunta que sigue:
P38. ¿Cuál es el valor de la máxima distancia que
separa a cada una de las ondas del eje de abscisas?
En la figura 32 podemos ver gráficamente la amplitud de la onda
correspondiente a la función básica del seno, la de la función básica del coseno es
análoga.
Figura 32
3 - 40
A continuación se muestran las transformaciones que sufre la onda senoidal
correspondiente a la función básica del seno, cuando esta es multiplicada por una
constante positiva.
Concepto clave
12. La función f  x   A  sen x , con A  0
1. Si A  1 , la onda senoidal sen x se expande verticalmente.
Figura 33
2. Si 0  A  1 , la onda senoidal sen x se contrae verticalmente.
Figura 34
3 - 41
Ejercicio 3.13
Observa con cuidado las ondas senoidales mostradas en
las figuras 33 y 34 para completar la tabla siguiente:
sen x
2  sen x
1
 sen x
2
Dominio
Amplitud
Rango
Periodo
Ceros
A continuación generalizamos la respuesta al ejercicio 3.13.
La función trigonométrica f  x   A  sen x , con A  0 tiene:
1. Dominio: Conjunto
(el mismo que el de la función básica del seno)
2. Amplitud: A
3. Rango: Intervalo   A, A
4. Periodo: 2 (el mismo que el de la función básica del seno)
5. Ceros: Valores x  k , donde k 
del seno)
(los mismos que los de la función básica
La función básica del coseno sufre al ser multiplicada por una constante
positiva exactamente las mismas transformaciones que la función básica del seno,
de tal suerte que se tiene el resultado general siguiente:
La función trigonométrica f  x   A  cos x , con A  0 tiene:
1. Dominio: Conjunto
(el mismo que el de la función básica del coseno)
2. Amplitud: A
3. Rango: Intervalo   A, A
4. Periodo: 2 (el mismo que el de la función básica del coseno)
5. Ceros: Valores x  k 

2
, con k 
(los mismos que los de la función básica
del coseno)
3 - 42
En el siguiente concepto clave se muestran las transformaciones que sufre la
onda senoidal correspondiente a la función básica del seno, cuando su argumento
x es multiplicado por una constante positiva.
Concepto clave
13. La función f  x   sen Bx con B  0
1. Si B  1 , la onda senoidal sen x se contrae horizontalmente.
Figura 35
2. Si 0  B  1 , la onda senoidal sen x se expande horizontalmente.
Figura 36
3 - 43
P39. Al comparar las ondas senoidales de las gráficas 35 y 36, de las
características amplitud, ceros y periodo, ¿cuáles de ellas cambian?
Ejemplo 3.11
Determina el periodo y expresa de manera general la
forma de los ceros de la onda senoidal sen 2 x que aparece
en la figura 35.
Aunque podríamos inferir cual es su periodo a través de
la gráfica, recurramos a un procedimiento algebraico que nos
permitirá determinar el periodo que inicia en el origen.
Sabemos que la onda senoidal sen x tiene periodo 2 , por lo tanto, el
periodo que inicia en x  0 debe terminar en x  2 , observa que en estas
relaciones se iguala el argumento de la función con los números 0 y 2 .
Si procedemos de manera análoga con la onda senoidal sen 2 x , tendremos
que el periodo que inicia en 2 x  0 , debe terminar en 2 x  2 , despejando x de
estas igualdades, deducimos que el periodo que inicia en x  0 , termina en x   .
Por lo tanto, la onda senoidal sen 2 x tiene periodo  .
En la figura 35 se observa que estos resultados son ciertos.
También en la figura 35, se aprecia que los valores de x donde la onda
senoidal sen 2 x intersecta al eje de abscisas son:
3 , 
5
3


3
5
, 2 , 
,  , 
, 0,
, ,
, 2 ,
2
2
2
2
2
2
y 3
Pero estos son sólo algunos de los ceros de la onda senoidal, ya que
realmente tiene una infinidad de ceros.
En conclusión tenemos que los ceros de la onda senoidal sen 2 x son todos
k
los valores de x 
, donde k  .
2
3 - 44
Ejemplo 3.12
Determina algebraicamente el periodo de la onda
1
x
senoidal sen
que aparece en la figura 36 y
x  sen
2
2
expresa de manera general a sus ceros.
Para encontrar el periodo, apliquemos el procedimiento
algebraico incluido en el ejemplo anterior, esto es, igualando
el argumento de la función con 0 y con 2 .
En este caso, el periodo que inicia en
x
x
 0 debe terminar en
 2 .
2
2
Al despejar x de ambas igualdades, tendremos que el periodo que inicia en
x
es igual a 4 .
x  0 , termina en x  4 , por lo tanto, el periodo de sen
2
En la figura 36, se observan algunos de sus ceros: 2 , 0 , 2 y 4 .
Generalizando la forma de estos números, tenemos que los ceros de sen
son los valores x  2k , con k  .
x
2
Ejercicio 3.14
Utilizando el procedimiento algebraico, encuentra el
periodo de las siguientes funciones trigonométricas:
a) f  x   sen 4 x
b) f  x   sen
x
4
c) f  x   sen
3x
7
Los resultados obtenidos en los ejemplos 3.11 y 3.12, y en el ejercicio 3.14
se generalizan a continuación, te sugerimos que los apliques a las funciones de
estos ejemplos y ejercicio para que verifiques que se obtienen los mismos
resultados.
3 - 45
La función trigonométrica f  x   sen Bx , con B  0 , tiene:
1. Periodo igual a
2
.
B
2. Ceros en los valores x 
k
, con k  .
B
Para el caso de la función trigonométrica coseno se tienen los siguientes
resultados generales, los cuales se pueden verificar con las ondas cosenoidales
que aparecen en la figura 37.
La función trigonométrica f  x   cos Bx , con B  0 , tiene:
1. Periodo igual a
2
.
B
2. Ceros en los valores x 
 2k  1 
2B
, con k  .
Figura 37
3 - 46
Ejemplo 3.13
Determina la amplitud, el periodo y los ceros de la
función trigonométrica f  x   3  sen 5 x .
Primero observemos que la función dada, es un caso
particular
de
la
función
senoidal
generalizada
f  x   A  sen Bx , que resulta de la combinación de las dos
transformaciones a la función básica del seno estudiadas.
En la expresión generalizada anterior llamaremos a A y a B , los parámetros
de la función.
Si relacionamos el modelo general con el caso particular dado, no es difícil
ver que en este caso los parámetros A y B , toman respectivamente los valores 3
y 5.
Remitiéndonos al inciso 2 del primer resultado general expuesto en la página
3-42, concluimos que la función tiene amplitud 3 .
Por otro lado, el primer resultado general que aparece en la página anterior,
nos conduce a responder, por el inciso 1 que el periodo de la función es igual a
2
k
, y por el inciso 2 que sus ceros son los valores x 
, con k  .
5
5
Ejemplo 3.14
Para
la
función
trigonométrica
f  x   9  cos
2x
,
3
determina su amplitud, periodo y ceros.
Ahora tenemos un caso particular de la función
generalizada f  x   A  cos Bx , donde A y B son sus
parámetros.
Procediendo de manera semejante al ejemplo anterior, en este caso el valor
2
para cada uno de los parámetros son A  9 y B 
.
3
La función dada tiene:
Amplitud 9 , por lo afirmado en el inciso 2 del segundo resultado general de la
página 3-42.
3 - 47
2
, según el inciso 1 del
3
segundo resultado general que aparece en la página anterior.
Periodo 3 , que es el resultado de dividir 2 entre
Finalmente, aplicando el inciso 2 del segundo resultado general de la página
 6k  3  , con
anterior, los ceros de la función están en los valores x 
k .
4
Ejercicio 3.15
Establece la amplitud, el periodo y los ceros de cada una
de las funciones trigonométricas siguientes:
a) f  x   7  cos 3x
b) f  x  
3
3x
 sen
2
5
Ejemplo 3.15
Indica las operaciones que se tienen que realizar para
que la gráfica de la función básica del coseno sufra las
siguientes transformaciones:
a) Cambiar su amplitud a 5.
b) Cambiar su periodo a 3 .
Las operaciones pedidas quedarán establecidas en una expresión de la
forma A  cos Bx .
Por lo tanto, el problema será asignar valores particulares a los parámetros A
y B , y sustituirlos en el modelo general.
En la función cosenoidal generalizada A  cos Bx , sabemos que el parámetro
A determina la amplitud de la onda cosenoidal, por lo tanto A  5 .
2
, y como
B
se desea que el nuevo periodo sea 3 , entonces el valor para el parámetro B
2
 3 .
debe ser tal que cumpla con la relación
B
También sabemos que el periodo de A  cos Bx está dado por
3 - 48
P40. Si despejas B de la expresión anterior, ¿cuál es su valor?
Por lo tanto, las operaciones que hay que efectuar para lograr las
2x
transformaciones pedidas en el ejemplo están dadas en la expresión 5  cos
.
3
En la figura 38 se muestran gráficamente las transformaciones realizadas.
Figura 38
Ejercicio 3.16
Indica las operaciones que tendrías que realizar para
lograr en la onda senoidal sen x , las transformaciones
siguientes:
a) Cambiar su amplitud a 3.
b) Cambiar su periodo a

3
.
3 - 49
Además de las transformaciones expuestas, las ondas senoidales y las
cosenoidales se pueden desplazar horizontalmente y verticalmente, con lo cual se
introducirán dos nuevos parámetros, C y D , según lo indicado en los conceptos
clave 14 y 15.
Concepto clave
14. Desplazamiento horizontal o desfasamiento
Al sumar o restar C unidades al argumento de una onda senoidal o cosenoidal,
C
esta se desfasará (desplazar horizontalmente)
unidades a la derecha o a la
B
izquierda según lo siguiente:
1. Si se le suma C , el desfasamiento es hacia la izquierda.
2. Si se le resta C , el desfasamiento es hacia la derecha.
Ejemplo 3.16
Verifica utilizando las ondas senoidales sen x y
 

sen  x 
 que aparecen en la figura 38, que lo afirmado
2 

en el concepto clave 14.1 es cierto.
Como se le ha sumado

al argumento de la función
2
básica del seno, y como en la función básica del seno el parámetro B  1 ,
 

debemos mostrar que la onda senoidal sen  x 
 está desfasada
2 

unidades a la izquierda de la onda senoidal sen x .

2
1


2
P41. En la onda senoidal sen x , ¿en dónde termina el periodo que inicia en
x  0?
3 - 50
Este periodo de la onda senoidal sen x tiene un correspondiente en la onda
 

senoidal sen  x 
 . Para saber donde inicia este, bastará con igualar el
2 

argumento de la función con 0 y despejar x , y para determinar su fin, hay que
igualar el argumento con 2 y despejar x .
P42. ¿Dónde inicia y dónde termina el periodo de la onda senoidal
 

sen  x 
 correspondiente al periodo que inicia en x  0 y termina en x  2
2 

de la onda senoidal sen x ?
Figura 38
3 - 51
En la figura 39 se muestran solamente los periodos encontrados de ambas
ondas que están en correspondencia, lo cual muestra claramente que la onda
 


senoidal sen  x 
a la izquierda de la onda senoidal
 está desfasada
2 
2

sen x .
Por lo tanto, si al argumento de la función sen x le sumamos


2
, esta
2   unidades hacia la izquierda, confirmando con
1
2
esto que lo afirmado en el concepto clave 14.1 es verdadero.
operación la desfasa
Figura 39
Realizando el mismo proceso, verifiquemos que lo afirmado en el concepto
clave 14.2 también es verdadero, utilizando en particular las ondas cosenoidales
3  cos 4x y 3  cos  4 x    que aparecen en la figura 40.
P43. ¿Cuáles son los valores de los parámetros A y B en la onda cosenoidal
3  cos 4x ?
P44. En la onda cosenoidal 3  cos 4x , ¿en dónde termina el periodo que inicia
en x  0 ?
3 - 52
P45. ¿Dónde inicia y dónde termina el periodo de la onda cosenoidal
3  cos  4 x    correspondiente al periodo que inicia en x  0 y termina en x 
de la onda cosenoidal 3  cos 4x ?

2
Figura 40
En la figura 41 están solamente los periodos dados en las respuestas P.44 y
P.45, donde se hace evidente la verdad de la afirmación hecha en el concepto
clave 14.2, mostrándose que al restar  unidades al argumento de la onda
cosenoidal 3  cos 4x , esta se desfasa

4
unidades hacia la derecha.
3 - 53
Figura 41
P46. ¿Cuántas unidades y hacia dónde se desfasará la onda senoidal
3  sen 2 x , si le sumamos

2
a su argumento?
En efecto, ya que al sumar

unidades al argumento de la onda senoidal
2
3  sen 2 x , obtendremos una nueva onda senoidal que corresponderá a la función
 


3  sen  2 x 
, y
 , en esta última expresión los parámetros B  2 y C 
2 
2


según el concepto clave 14, su desfase es de
2
2


4
unidades hacia la
izquierda.
3 - 54
Ahora veamos con algunos casos particulares lo que sucede con la onda
senoidal o cosenoidal, cuando se le suma o se le resta alguna cantidad a la
función trigonométrica correspondiente.
En la figura 42 están las ondas senoidales sen x , sen x  1 y sen x  2 ,
obsérvalas con cuidado y responde las preguntas P47 y P48.
Nota: La regla de correspondencia sen x  1 indica sumar 1 a sen x y no a su
argumento, análogamente sen x  2 indica restar 2 a sen x y no a su argumento.
P47. ¿Cuál es el efecto de sumarle 1 a la onda senoidal sen x ?
P48. ¿Cuál es el efecto de restarle 2 a la onda senoidal sen x ?
Figura 42
Si observas con cuidado las rectas horizontales punteadas en la figura 42,
podrás darte cuenta que el significado de amplitud enunciado en el concepto clave
11 cambia cuando la onda está desplazada de onda de manera vertical, ¡ya no es
la máxima distancia de la onda al eje de abscisas!
3 - 55
Las observaciones hechas en estos casos particulares se generalizan en el
concepto clave 15.
Conviene recalcar que el término “desfasamiento” solamente lo utilizaremos
cuando el desplazamiento sea horizontal, y no cuando sea vertical.
Concepto clave
15. Desplazamiento vertical
Para desplazar verticalmente D unidades hacia arriba o hacia abajo a una onda
senoidal o cosenoidal, hay que sumar o restar a la función correspondiente dicha
cantidad.
1. Si se le suma D , el desplazamiento es hacia arriba.
2. Si se le resta D , el desplazamiento es hacia abajo.
Con este nuevo concepto clave, las expresiones generalizadas para seno y
coseno hasta el momento conocidas, f  x   A  sen Bx y f  x   A  cos Bx se
amplían, respectivamente a las siguientes:
f  x   A  sen  Bx  C   D y f  x   A  cos  Bx  C   D
P49. ¿Cuáles serán los valores para los parámetros A , B , C y D en la
función básica del seno y en la función básica del coseno?
Ejemplo 3.17
¿Qué operaciones debemos efectuar para que la onda
x
senoidal correspondiente a la función f  x   4  sen
se
2
2
5
desfase
unidades a la izquierda y se desplace
3
2
unidades hacia arriba?
3 - 56
Para lograr el desfasamiento pedido debemos sumar al argumento de la
C
2
función dada, el valor para el parámetro C que cumpla con la relación

B
3
(consultar concepto clave 14).
1
, el valor para el parámetro C se obtiene despejándolo de
2
Pero como B 
la igualdad
C
2
.

1
3
2
P50. ¿Cuál es el valor para el parámetro C ?
 
 x

Este desfasamiento queda registrado en la expresión 4  sen 
.
3 
 2
Para que a continuación se desplace
concepto clave 15.1,
debemos sumar
5
2
5
2
unidades hacia arriba, según el
a la expresión anterior, obteniendo
  5
 x

finalmente la nueva expresión 4  sen 
, en la cual aparecen las

3  2
 2
operaciones que logran los desplazamientos pedidos en el ejemplo.
Ejemplo 3.18
Indica a través de una expresión de la forma
A  sen  Bx  C   D las operaciones que hay que efectuar
para que a partir de la onda senoidal correspondiente a la
función básica del seno, se realicen de manera secuencial y
en el orden que aparecen las transformaciones y
desplazamientos que aparecen en la siguiente página.
3 - 57
1) Cambiar su amplitud a 5 .
2) Cambiar su periodo a
3
.
4
3) Desfasarla  unidades a la derecha.
4) Desplazarla 2 unidades hacia arriba.
Para responder, partamos de la regla de correspondencia de la función
básica del seno, la cual sabemos que es sen x .
1) Como deseamos que tenga amplitud 5 , el parámetro A  5 .
La primera operación es multiplicar por 5 la regla de correspondencia de
la función de la cual partimos, obteniendo la expresión 5  sen x .
3
, el valor para el parámetro B lo
4
2
3
8
obtenemos de la relación
, de donde B 
.

B
4
3
2) Para modificar su periodo a
8
el argumento de la
3
expresión obtenida en el inciso anterior, lo cual nos lleva a otra expresión
8x
que es 5  sen
.
3
Así que la segunda operación será multiplicar por
3) Por lo expuesto en el concepto clave 14.2, la siguiente operación será
restar del argumento de la expresión obtenida en el inciso 2, el valor del
8
C
parámetro C , que se obtiene de la igualdad
.
  , esto es C 
8
3
3
Esta operación
8
 8x
5  sen 

3
 3
queda registrada en una nueva expresión que es



4) Por lo afirmado en el concepto clave 15.2, el valor para el parámetro
D  2 , por lo tanto la última operación será sumar este valor a la
expresión obtenida en el inciso anterior, logrando así la expresión que
contempla las modificaciones y desplazamientos pedidos, esta es
8 
 8x

finalmente 5  sen 
2.
3 
 3
3 - 58
Ejercicio 3.17
Indica con una expresión de la forma A  cos  Bx  C   D
los valores de los parámetros A , B , C y D para que la onda
cosenoidal de la función básica del coseno cumpla con las
transformaciones y desplazamientos siguientes:
a) Cambie su periodo a 4 y su amplitud a
b) Se desplace hacia abajo
3
4
7
.
3
unidades y se desfase
2
5
unidades hacia la izquierda.
A continuación, en la figura 47 aparecen las gráficas de las funciones básicas
del seno y del coseno, en ella se observa que al desfasar

2
unidades hacia la
izquierda a la onda sen x , se obtiene la onda cos x , mientras que al desfasar

2
hacia la derecha a la onda cos x , se obtiene la onda sen x .
Esto nos permite relacionar las funciones seno y coseno de la manera
siguiente:
 
 


sen x  cos  x 
 y cos x  sen  x 

2 
2 


Figura 47
3 - 59
La importancia de este resultado es que nos permite expresar de manera
equivalente a una función senoidal como función cosenoidal e inversamente, tal
como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.19
Realiza las conversiones siguientes:
a) La función senoidal f  x   2  sen  3x   
equivalente como función cosenoidal.
a su
3
 

 cos  2 x 
 1 a
5
4 

su equivalente como función senoidal.
b) La función cosenoidal f  x  
 

a) Para hacer la conversión aplicamos el resultado sen x  cos  x 
,
2 

interpretándolo de la manera siguiente:
“Restamos

2
al argumento de la función e intercambiamos seno por
coseno”.
3 

De lo anterior obtenemos que f  x   2  sen  3x     2  cos  3x 
.
2 

 

b) Análogamente, el resultado cos x  sen  x 
 lo interpretamos como:
2 

“Sumamos

2
al argumento de la función e intercambiamos coseno por
seno”.
Por lo tanto, f  x  
3
 cos
5
 
3

 sen
 2x 
 1 
4 
5

3 

 2x 
 1.
4 

Si tienes instalado en tu computadora algún programa para graficar
funciones, te sugerimos verificar que en cada caso se obtiene la misma onda.
3 - 60
Ejemplo 3.20
Considera la gráfica de la figura 48 para resolver lo
siguiente:
a) Determina
una
expresión
de
la
forma
f  x   A  cos  Bx  C   D que corresponda a la
onda graficada.
b) ¿Cuál
será
la
expresión
de
la
forma
f  x   A  sen  Bx  C   D que produzca la misma
gráfica?
Figura 48
a) Partamos de la gráfica de la función básica del coseno que aparece en la
figura 49.
Si tomamos como referencia la línea punteada horizontal que aparece en la
figura 48, observamos que ésta se encuentra a dos unidades por arriba del eje de
abscisas, lo cual nos dice que la onda cosenoidal básica fue desplazada dos
unidades hacia arriba, por lo tanto una primera operación que le podemos realizar
a la regla de correspondencia cos x es sumarle 2 .
El resultado de esta operación se muestra en la figura 50, donde aparece
graficada la onda cosenoidal cos x  2 .
3 - 61
Figura 49 f  x   cos x
Figura 50 f  x   cos x  2
También tomando como referencia la línea horizontal punteada, notamos que
también ha sido cambiada la amplitud de la onda cosenoidal básica a dos, que se
logra multiplicando a cos x por 2 .
En la figura 51 se muestra la transformación lograda con dicha operación.
3 - 62
Figura 51 f  x   2  cos x  2
Realizando una observación cuidadosa, nos podremos dar cuenta que la
siguiente operación podría ser desfasar la onda obtenida en la figura 51 
unidades a la derecha o a la izquierda.
Si decidimos desfasarla a la derecha, entonces la siguiente operación sería
restar  unidades al argumento de cos x , que conjuntamente con las operaciones
anteriores tendremos la onda cosenoidal f  x   2  cos  x     2 que aparece en la
figura 52
Figura 52 f  x   2  cos  x     2
3 - 63
Por último modificamos el periodo de la onda cosenoidal de la figura 52,
observando que la onda graficada en la figura 48 tiene periodo 4 .
Esta transformación se logrará al determinar el valor para el parámetro B
2
1
que se obtiene de la relación
 4 , de donde B  .
B
2
 x

    2 cuya gráfica es la
Así que la expresión pedida es f  x   2  cos 
 2

que está en la figura 53.
 x

   2
Figura 53 f  x   2  cos 
 2

b) Para convertir a función senoidal la función cosenoidal, aplicamos la
interpretación dada en el inciso b del ejemplo 3.19.
“Sumamos

2
al argumento de la función e intercambiamos coseno por
seno”.
 
 x

Por lo tanto, la función como senoidal es f  x   2  sen 
  2.
2 
 2
Cabe señalar que la solución no es única, ya que por ejemplo si en la tercera
operación hubiésemos decido desfasarla a la izquierda, entonces los resultados
3 
 x
 x

    2 y f  x   2  sen  
finales serían f  x   2  cos 
2.
2 
 2
 2

3 - 64
Ejercicio 3.18
Realiza las conversiones siguientes:
a) La función cosenoidal
 

f  x   3  cos  x 
2 a
4 

senoidal.
b) La función senoidal
3 
 3x
f  x   5  sen 

8 a
5 
 2
cosenoidal.
Ejercicio 3.19
En la figura 54 se muestran gráficamente los cambios
realizados a la onda senoidal básica.
a) Determina la función graficada mediante una
expresión de la forma f  x   A  sen  Bx  C   D .
b) Convierte la función senoidal obtenida en el inciso
anterior a cosenoidal.
Figura 54
3 - 65
Las funciones trigonométricas nos permiten modelar y analizar fenómenos
del mundo real que tienen naturaleza cíclica (periódica), como los que aparecen
en los ejercicios y ejemplos que siguen.
Ejercicio 3.20
Un adulto normal aspira y exhala, cuando está sentado,
cerca de 0.8 litros de aire cada 4 segundos, el fenómeno se
describe gráficamente en la figura 55 durante los primeros 8
segundos. Si el volumen V de aire en los pulmones t
segundos después de exhalar puede determinarse mediante
una función de la forma V  t   A  cos  Bt  C   D , encuentra la
función e indica en términos del problema su dominio y su
rango.
Figura 55
En los fenómenos periódicos relacionados con el tiempo, se considera al
periodo como el intervalo de tiempo que tarda en efectuarse, por ejemplo en el
problema anterior un periodo tarda en completarse 4 segundos, por lo tanto
decimos que su periodo es de 4 segundos.
P51. En el ejercicio 3.20. Si cada periodo tarda en efectuarse 4 segundos,
¿cuántos periodos realizará en un segundo?
3 - 66
Otro concepto afín a estos fenómenos es el de frecuencia, el cual indica el
número de periodos o ciclos por segundo que suceden, donde la unidad estándar
“ciclos por segundos” se denomina Hz que se lee “hertz”.
Así por ejemplo, la frecuencia en el fenómeno descrito en el ejercicio 3.20 es
1
de
Hz .
4
Lo anterior nos hace ver que los conceptos de periodo y frecuencia están
relacionados según el concepto clave 16.
Concepto clave
16. Frecuencia
Si P es el periodo y f es la frecuencia de un fenómeno periódico relacionado
con el tiempo, entonces:
1)
2)
1
, correspondiente al tiempo en que tarda en realizarse un periodo
f
completo.
P
f 
1
, correspondiente al número de periodos efectuados en un segundo.
P
Ejemplo 3.21
Un generador de corriente alterna produce a los t
segundos una corriente en ampers descrita por la función:
 

I  t   10  sen 120 t 

2 

¿Cuál es la amplitud, la frecuencia y el desfase para
esta corriente?
3 - 67
En la regla de correspondencia observamos que la función tiene parámetros
A  10 , B  120 , C 

2
y D  0.
La amplitud de la función es el valor del parámetro A , por lo tanto la
corriente tiene una amplitud de 10 ampers.
Por el concepto clave 16.2, la frecuencia será el recíproco del periodo, así
que debemos obtener primero el periodo de la corriente.
Sabemos que el periodo de una función trigonométrica está dado por el valor
2
de la razón
. Sustituyendo el valor del parámetro B en dicha razón tenemos
B
2
1
que la función tiene un periodo igual a
, es decir que la corriente

120
60
1
tarda
segundos en completar un periodo.
60
Aplicando el concepto clave 16.2, concluimos que la corriente tiene una
frecuencia de 60 Hz , lo cual indica que realiza 60 periodos en un segundo.
Como el parámetro C está restado, la función está desfasada hacia la
derecha y para calcular cuántas unidades está desfasada sustituimos en la razón
C
el valor de los parámetros correspondientes.
B

Por consiguiente, el desfase de la corriente es de
1
2  

120
240
240
segundos.
Ejercicio 3.21
En la figura 56 aparece la gráfica de la corriente eléctrica
I , medida en ampers, producida por un generador de
corriente alterna.
a) Determina mediante una expresión en la forma
I  t   A  sen Bt a la función que describe a dicha
corriente eléctrica, donde t es el tiempo en segundos.
b) ¿Cuál es la frecuencia de la corriente eléctrica
producida, cuál es la máxima corriente eléctrica
producida que se logra y cuál es la mínima?
3 - 68
Figura 56
Ejercicio 3.22
Si el máximo y el mínimo voltaje E (medido en volts) en
un circuito eléctrico son 12 V y 12 V , respectivamente, y
tiene una frecuencia de 40 Hz , determina una expresión de la
forma E  t   A  cos Bt que proporcione el voltaje en el circuito
en cualquier tiempo t medido en segundos.
¿Cuál es el voltaje en el circuito a los 3 segundos y a los
2 minutos?
Hasta ahora, siempre hemos considerado a los parámetros A y B positivos,
pero, ¿qué transformación o desplazamiento sufrirá una onda senoidal o
cosenoidal, si se multiplica alguno de ellos por 1 ?
Para saberlo y como estrategia de aprendizaje, observa y compara las ondas
senoidales o cosenoidales de las figuras de las páginas siguientes para que
establezcas alguna conjetura que describa la transformación o desplazamiento
logrado en cada caso expuesto, y luego compruébala con otros casos que tú
propongas o muéstrasela a algún profesor del área de Matemáticas.
a) En la figura 57 aparece la onda senoidal 2  sen  x     3 y la onda que
resulta de multiplicar el parámetro A  2 por 1 .
¿Qué cambio ocurrió?
3 - 69
Figura 57
b) En la figura 58 está la onda senoidal 3  sen 2 x y la onda que resulta de
multiplicar por 1 al parámetro B  2 .
Figura 58
3 - 70
c) En la figura 59 está la onda cosenoidal 3  cos 2 x y la onda que resulta de
multiplicar por 1 al parámetro B  2 .
Figura 59
 

d) En la figura 60 está la onda senoidal 3  sen  x 
 y la onda que resulta
4 

de multiplicar por 1 al parámetro B  1 .
Figura 60
3 - 71
 

e) En la figura 61 está la onda cosenoidal 3  cos  x 
 y la onda que
4 

resulta de multiplicar por 1 al parámetro B  1 .
Figura 61
3 - 72

unidad 3 funciones trigonométricas

Transcripción

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