TEMA 3: Funciones de varias variables: límites y continuidad

Transcripción

TEMA 3: Funciones de varias variables: lı́mites y
continuidad
Cálculo
Ingeniero de Telecomunicación
Cálculo ()
TEMA 3
1 / 69
1
Funciones Elementales
2
El conjunto Rn
Estructuras en Rn
Principales tipos de coordenadas en R2
3
Funciones de varias variables
Dominio e Imagen de una función
Función inversa. Función compuesta
4
Lı́mites de funciones escalares
Lı́mite de una función de dos variables
Cálculo práctico de lı́mites de funciones escalares
Propiedades de los lı́mites
Lı́mites iterados
Lı́mites direccionales
Teorema de compresión
Infinitésimos equivalentes
Cálculo del lı́mite por cambio a coordenadas polares
Caracterización sucesional del lı́mite
Cálculo práctico de lı́mites de funciones vectoriales
5
Funciones continuas
Funciones continuas en compactos
Cálculo ()
TEMA 3
2 / 69
Índice
1
2
3
4
El conjunto Rn
Estructuras en Rn
Lı́mites iterados
5
Funciones continuas
Cálculo ()
TEMA 3
3 / 69
Función exponencial
Dado un número real a > 0,
f : R
x
−→
7−→
R
ax
Propiedades
(
R+
Dom(f ) = R, Im(f ) =
1
si a 6= 1
si a = 1
f es continua en R.
f es derivable en R, con f 0 (x) = ax ln a.
Si a ≥ 1, f es creciente. Si 0 < a < 1, f es decreciente.
a0 = 1
ax ay = ax+y
ax
= ax−y
ay
Cálculo ()
TEMA 3
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Función exponencial
Dado un número real a > 0,
f : R
x
Cálculo ()
−→
7−→
TEMA 3
R
ax
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Función logarı́tmica
Sea a > 0, a 6= 1. Se llama función logarı́tmica de base a, f (x) = loga (x), a la
función inversa de la exponencial ax .
aloga (x) = x
loga (ax ) = x
Si a = e, hablamos del logaritmo neperiano, denotado ln x.
Propiedades
Dom(f ) = R+ , Im(f ) = R
f es continua en R+ . f es derivable, con f 0 (x) =
1
x ln a .
Si a ≥ 1, f es creciente. Si 0 < a < 1, f es decreciente.
loga (1) = 0.
loga (xy ) = loga (x) + loga (y ), ∀x, y , ∈ R+ .
loga (x y ) = y loga (x), ∀x, y , ∈ R+ .
loga ( yx ) = loga (x) − loga (y ), ∀x, y , ∈ R+ ; 6= 0.
Cálculo ()
TEMA 3
5 / 69
Función logarı́tmica
Sea a > 0, a 6= 1. Se llama función logarı́tmica de base a, f (x) = loga (x), a la
función inversa de la exponencial ax .
aloga (x) = x
loga (ax ) = x
Si a = e, hablamos del logaritmo neperiano, denotado ln x.
Cálculo ()
TEMA 3
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Función seno
f : R
x
−→
7−→
[−1, 1]
sin x
Propiedades
Dom(f ) = R, Im(f ) = [−1, 1].
sin x es continua en R.
sin x es derivable, con
f 0 (x) = cos x.
sin x es una función impar.
sin(x + 2π) = sin x.
Cálculo ()
TEMA 3
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Función coseno
f : R
x
−→
7−→
[−1, 1]
cos x
Propiedades
Dom(f ) = R, Im(f ) = [−1, 1].
cos x es continua en R.
cos x es derivable, con
f 0 (x) = − sin x.
cos x es una función par.
cos(x + 2π) = cos x.
Cálculo ()
TEMA 3
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Función tangente
f : R
x
−→
7−→
R
tan x =
sin x
cos x
Propiedades
Dom(f ) = R−{ π2 +kπ, k ∈ Z},
Im(f ) = R.
tan x es continua en su
dominio.
tan x es derivable, con
f 0 (x) = cos12 x .
tan x es una función impar.
tan(x + π) = tan x.
Cálculo ()
TEMA 3
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Función cosecante
f : R
−→
R
x
7−→
cosec x =
1
sin x
Propiedades
Dom(f ) = R − {kπ, k ∈ Z},
Im(f ) =] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[.
cosec x es continua en su
dominio.
cosec x es derivable, con
f 0 (x) = − cosec x cot x.
cosec x es una función impar.
cosec(x + 2π) = cosec x.
Cálculo ()
TEMA 3
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Función secante
f : R
−→
R
x
7−→
sec x =
1
cos x
Propiedades
Dom(f ) = R−{ π2 +kπ, k ∈ Z},
Im(f ) =] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[.
sec x es continua en su
dominio.
sec x es derivable, con
f 0 (x) = sec x tan x.
sec x es una función par.
sec(x + 2π) = sec x.
Cálculo ()
TEMA 3
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Función cotangente
f : R
x
−→
7−→
R
cos x
cot x =
sin x
Propiedades
Dom(f ) = R − {kπ, k ∈ Z},
Im(f ) = R.
cot x es continua en su
dominio.
cot x es derivable, con
f 0 (x) = − cosec2 x.
cot x es una función impar.
cot(x + π) = cot x.
Cálculo ()
TEMA 3
11 / 69
Función arcoseno
Para cada x ∈ [−1, 1], se define arcsin x como el único y ∈ [− π2 , π2 ] tal que
sin(y ) = x.
arcsin(sin x) = x
sin(arcsin x) = x
Propiedades
Dom(f ) = [−1, 1],
Im(f ) = [− π2 , π2 ].
arcsin x es continua en [−1, 1].
arcsin x es derivable, con
1
f 0 (x) = √
.
1 − x2
arcsin x es una función impar.
Cálculo ()
TEMA 3
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Función arcocoseno
Para cada x ∈ [−1, 1], se define arccos x como el único y ∈ [0, π] tal que
cos(y ) = x.
arccos(cos x) = x
cos(arccos x) = x
Propiedades
Dom(f ) = [−1, 1],
Im(f ) = [−π, π].
arccos x es continua en [−1, 1].
arccos x es derivable, con
1
f 0 (x) = − √1−x
.
2
arccos x es una función par.
Cálculo ()
TEMA 3
13 / 69
Función arcotangente
Para cada x ∈ R, se define arctan x como el único y ∈] − π2 , π2 [ tal que tan(y ) = x.
arctan(tan x) = x
tan(arctan x) = x
Propiedades
Dom(f ) = R,
Im(f ) =] − π2 , π2 [.
arctan x es continua en R.
arctan x es derivable, con
1
f 0 (x) =
.
1 + x2
arctan x es una función impar.
Cálculo ()
TEMA 3
14 / 69
Relaciones trigonométricas
1
sin2 x + cos2 x = 1.
2
sin(x + y ) = sin x cos y + cos x sin y ; sin(2x) = 2 sin x cos x.
3
cos(x + y ) = cos x cos y − sin x sin y ; cos(2x) = cos2 x − sin2 x.
4
tan(x + y ) =
5
sin2 x =
6
cos2 x
7
sec2 x = 1 + tan x.
tan x+tan y
1−tan x tan y .
1−cos(2x)
.
2
1+cos(2x)
=
.
2
2
Cálculo ()
TEMA 3
15 / 69
Índice
1
2
3
4
El conjunto Rn
Estructuras en Rn
Lı́mites iterados
5
Funciones continuas
Cálculo ()
TEMA 3
16 / 69
El conjunto Rn
Definición
El conjunto Rn es el producto cartesiano Rn = R × R × · · · × R, es decir
Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) | xj ∈ R, para j = 1, 2, . . . , n}
El conjunto Rn con las operaciones usuales de suma y producto por escalares, es
decir:
~x + ~y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )
λ~x = (λx1 , λx2 , . . . , λxn xn )
siendo ~x = (x1 , x2 , . . . , xn ), ~y = (y1 , y2 , . . . , yn ) y λ ∈ R, tiene estructura de
espacio vectorial, cuya dimensión es n.
Cálculo ()
TEMA 3
17 / 69
Distancia euclı́dea
Norma de un vector
Si se define el producto escalar ordinario como
~x · ~y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn
Rn tiene estructura de espacio euclı́deo, pudiéndose definir la norma de un vector
como
q
√
~
~
||~x || = x · x = x12 + x22 + · · · + xn2
Definición
La distancia euclı́dea entre dos vectores ~x = (x1 , x2 , . . . , xn ) y ~y = (y1 , y2 , . . . , yn )
se define como
p
d(~x , ~y ) = ||~x − ~y || = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2
Cálculo ()
TEMA 3
18 / 69
Topologı́a en Rn
Bola con centro ~a y radio r
Dado el vector ~a de Rn , la bola con centro ~a y radio r es el conjunto
Br (a) = {~x ∈ Rn | d(~x ,~a) = ||~x − ~a|| < r }
Ejemplo
La bola de R2 con centro el vector
~a = (a1 , a2 ) y radio r es
precisamente el conjunto de los
puntos interiores a la circunferencia
con centro ~a y radio r .
2
Br (~a) = {(x1 , x2 ) ∈ R |
2
q
(x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 < r }
2
2
2
= {(x1 , x2 ) ∈ R | (x1 − a1 ) + (x2 − a2 ) < r }
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TEMA 3
19 / 69
Topologı́a en Rn
Punto interior y conjunto abierto
Un punto x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn se dice que es un punto interior del conjunto
A (x ∈ int(A)) si existe una bola con centro x totalmente contenida en A, es
decir,
x punto interior de A si ∃Br (x) ⊆ A
Se dice que el conjunto A es abierto si todos sus puntos son interiores.
Ejemplo
El conjunto A = {(x, y ) ∈ R2 | (x − 1)2 + (y + 1)2 < ( 12 )2 } es abierto.
El conjunto B = {(x, y ) ∈ R2 | x 2 + y 2 ≤ 13 } no es abierto.
Cálculo ()
TEMA 3
20 / 69
Topologı́a en Rn
Punto frontera
Un punto x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn se dice que es un punto frontera del
conjunto A (x ∈ Fr (A)) si toda bola con centro x contiene puntos de A y
puntos no pertenecientes a A.
El conjunto frontera de A está formado por todos los puntos frontera de A.
Nota
Un punto frontera de A no pertenece necesariamente a A.
Ejemplo
Siendo A y B los conjuntos del ejemplo
anterior,
1
Fr (A) = {(x, y ) ∈ R2 | (x−1)2 +(y +1)2 = ( )2 }
2
Fr (B) = {(x, y ) ∈ R2 | x 2 + y 2 =
Cálculo ()
1
}.
3
TEMA 3
21 / 69
Topologı́a en Rn
Conjunto cerrado
Se dice que el conjunto A es cerrado si contiene a todos sus puntos frontera.
Ejemplo
En muchos de los problemas de optimización, los dominios estarán definidos por
una o más desigualdades. Por ejemplo, si p, q y m son parámetros positivos, el
conjunto de los puntos (x, y ) que verifican las desigualdades
px + qy ≤ m,
x ≥ 0, y ≥ 0
es cerrado.
Cálculo ()
TEMA 3
22 / 69
Topologı́a en Rn
Conjunto cerrado
Se dice que el conjunto A es cerrado si contiene a todos sus puntos frontera.
Importante
En general, si g (x) = g (x1, , . . . , xn ) es una función continua de n variables y c es
un número real, los tres conjuntos
{x ∈ Rn | g (x) ≥ c}
{x ∈ Rn | g (x) ≤ c}
{x ∈ Rn | g (x) = c}
son cerrados. Si sustituimos ≥ por > ó ≤ por <, los conjuntos correspondientes
son abiertos.
Ejemplo
El conjunto C = {(x, y ) | 2x − 3y ≤ 12} es cerrado.
El conjunto D = {(x, y ) | 2x − 3y < 12} es abierto.
Cálculo ()
TEMA 3
23 / 69
Topologı́a en Rn
Conjunto acotado
Se dice que el conjunto A es acotado si existe una bola que lo contenga.
Ejemplo
El conjunto {(x, y ) | 4 < x 2 + y 2 ≤ 9} es acotado.
Cálculo ()
TEMA 3
24 / 69
Topologı́a en Rn
Conjunto acotado
Se dice que el conjunto A es acotado si existe una bola que lo contenga.
Ejemplo
El conjunto {(x, y ) | 4 < x 2 + y 2 } no es acotado.
Cálculo ()
TEMA 3
24 / 69
Topologı́a en Rn
Conjunto compacto
Se dice que el conjunto A es compacto si es cerrado y acotado.
Ejemplo
El conjunto {(x, y ) | 4 < x 2 + y 2 ≤ 9} no es compacto, pues es acotado pero no
cerrado. Sin embargo, el conjunto {(x, y ) | 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9} sı́ es compacto.
Cálculo ()
TEMA 3
25 / 69
Topologı́a en Rn
Conjunto compacto
Se dice que el conjunto A es compacto si es cerrado y acotado.
Ejemplo
El conjunto {(x, y ) | 4 ≤ x 2 + y 2 } no es compacto, pues es cerrado pero no
acotado.
Cálculo ()
TEMA 3
25 / 69
Coordenadas en R2
Coordenadas en R2
Coordenadas cartesianas: Un punto P tiene como coordenadas cartesianas
(x, y ), siendo x la abcisa e y la ordenada del punto P.
Coordenadas polares: Un punto P tiene como coordenadas polares (ρ, θ),
siendo
ρ es la distancia del punto P al origen, es decir ρ =
p
x 2 + y 2.
→
θ ∈ [0, 2π[ es el ángulo que forma el vector OP con el semieje positivo de las x.
Cálculo ()
TEMA 3
26 / 69
Coordenadas en R2
C.cartesianas −→ C.polares
C.polares −→ C.cartesianas
Dado un punto (x, y ) en coordenadas
cartesianas, obtenemos (r , θ) como
Dado un punto (r , θ) en coordenadas
cartesianas, obtenemos (x, y ) como
ρ=
p
x2 + y2
Cálculo ()
θ = arctan
y
x
x = ρ cos θ
TEMA 3
y = ρ sin θ
27 / 69
Coordenadas en R2
C.cartesianas −→ C.polares
C.polares −→ C.cartesianas
Dado un punto (x, y ) en coordenadas
cartesianas, obtenemos (r , θ) como
Dado un punto (r , θ) en coordenadas
cartesianas, obtenemos (x, y ) como
ρ=
p
x2 + y2
θ = arctan
y
x
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
Ejemplos
√ √
El punto de R2 cuyas coordenadas cartesianas son ( 2, 2) tiene como
expresión en coordenadas polares (2, π4 ).
La circunferencia de radio 1 y centrada en el origen, x 2 + y 2 = 1, viene
expresada como ρ = 1 en coordenadas polares.
Cálculo ()
TEMA 3
27 / 69
Coordenadas en R3
Coordenadas cartesianas en R3
Un punto P tiene como coordenadas cartesianas (x, y , z).
Cálculo ()
TEMA 3
28 / 69
Coordenadas en R3
Coordenadas cilı́ndricas en R3
Un punto P tiene como coordenadas cilı́ndricas (ρ, θ, z), siendo (ρ, θ) las
coordenadas polares del punto Q proyección de P sobre el plano OXY .
Cálculo ()
TEMA 3
29 / 69
Coordenadas en R3
C.cartesianas −→ C.cilı́ndricas
C.cilı́ndricas −→ C.cartesianas
Dado un punto (x, y , z) en
c.cartesianas, obtenemos (ρ, θ, z)
como
p
y
ρ = x 2 + y 2 θ = arctan
z =z
x
Dado un punto (ρ, θ, z) en
coordenadas cilı́ndricas, obtenemos
(x, y , z) como
Cálculo ()
TEMA 3
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
z =z
30 / 69
Coordenadas en R3
C.cartesianas −→ C.cilı́ndricas
C.cilı́ndricas −→ C.cartesianas
Dado un punto (x, y , z) en
c.cartesianas, obtenemos (ρ, θ, z)
como
p
y
ρ = x 2 + y 2 θ = arctan
z =z
x
Dado un punto (ρ, θ, z) en
coordenadas cilı́ndricas, obtenemos
(x, y , z) como
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
z =z
Ejemplos
√ √ √
El punto de R3 cuyas coordenadas cartesianas
√ π √ son ( 3, 3, 3) tiene como
expresión en coordenadas cilı́ndricas ( 6, 4 , 3).
El cilindro de radio 1 con eje el eje z, x 2 + y 2 = 1, viene expresado como
ρ = 1 en coordenadas cilı́ndricas.
Cálculo ()
TEMA 3
30 / 69
Coordenadas en R3
Coordenadas esféricas en R3
Un punto P tiene como coordenadas cilı́ndricas (ρ, θ, ϕ), donde ρ ≥ 0,
0 ≤ θ < 2π y 0 ≤ ϕ < π, siendo:
~ es decir, ρ es la distancia del punto P al origen.
ρ el módulo del vector OP,
~ con el semieje positivo de OX ,
θ es el ángulo formado por el vector OQ
siendo Q el punto proyección de P sobre el plano OXY .
~ y el eje OZ .
ϕ es el ángulo formado por OP
Cálculo ()
TEMA 3
31 / 69
Coordenadas en R3
C.cartesianas −→ C.esféricas
Dado un punto (x, y , z) en coordenadas cartesianas, obtenemos (ρ, θ, ϕ) como
ρ=
p
x2 + y2 + z2
θ = arctan
y
x
z
ϕ = arccos p
2
x + y2 + z2
C.esféricas −→ C.cartesianas
Dado un punto (ρ, θ, ϕ) en coordenadas esféricas, obtenemos (x, y , z) como
x = ρ cos θ sin ϕ
Cálculo ()
y = ρ sin θ sin ϕ
TEMA 3
z = ρ cos ϕ
32 / 69
Coordenadas en R3
Ejemplos
El punto (3, π4 , π4 ) en coordenadas esféricas tiene como coordenadas
√
cartesianas ( 32 , 32 , 3 2 2 ).
La esfera de radio 1 centrada en el origen, x 2 + y 2 + z 2 = 1, viene expresado
como ρ = 1 en coordenadas esféricas.
Cálculo ()
TEMA 3
33 / 69
Índice
1
2
3
4
El conjunto Rn
Estructuras en Rn
Lı́mites iterados
5
Funciones continuas
Cálculo ()
TEMA 3
34 / 69
Definición
Una función f : A ⊂ Rn −→ Rm es una aplicación que a cada punto ~x ∈ A ⊂ Rn
le hace corresponder ~y ∈ Rm
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = (y1 , y2 , . . . , ym ) ∈ Rm
Cálculo ()
TEMA 3
35 / 69
Definición
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = (y1 , y2 , . . . , ym ) ∈ Rm
Ejemplo
Si expresamos el área de un triángulo en función de la base y de la altura,
tendremos una función de dos variables:
A = 12 bh =⇒ A = f (b, h)
Cálculo ()
TEMA 3
35 / 69
Definición
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = (y1 , y2 , . . . , ym ) ∈ Rm
Si m = 1, se denomina función escalar y si m > 1, función vectorial.
Cálculo ()
TEMA 3
35 / 69
Dominio e Imagen
Definición
Dada f : Rn −→ Rm , se define su dominio como
Dom(f ) = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn | ∃ f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rm }
Ejemplos
√
x + y , entonces Dom(f ) = {(x, y ) ∈ R2 | x + y ≥ 0}
y
Si g (x, y ) = (sin(xy ), 2
, entonces Dom(g ) = R2 − {(0, 0)}
x + y2
Si f (x, y ) =
√
2
e x +8
Si h(x, y ) =
, entonces
ln(x + y − 1)
Dom(h) = {(x, y ) ∈ R2 | x + y − 1 > 0, x + y 6= 2}.
Si l(x, y ) = (x, log y , arcsin x), entonces
Dom(l) = {(x, y ) ∈ R2 | y > 0} ∩ {(x, y ) ∈ R2 | |x| ≤ 1}.
Cálculo ()
TEMA 3
36 / 69
Dominio e Imagen
Definición
Sea f : Rn −→ Rm . La imagen de f se define por
Im(f ) = {(y1 , y2 , . . . , ym ) ∈ Rm | ∃ (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn con f (x1 , x2 , . . . , xn ) = (y1 , y2 , . . . , ym
Ejemplos
Si f (x, y ) =
√
x + y , entonces Im(f ) = [0, +∞[
Si g (x, y ) = ln(xy ), entonces Im(g ) = R
Si h(x, y ) = sin(x + y ), entonces Im(h) = [−1, 1].
2x
Si h(x, y ) = (ln(x + y − 1), e xy , sin(x − y ), √1−x−y
), entonces Dom(h) = ∅
Cálculo ()
TEMA 3
37 / 69
Función compuesta y función inversa
Definición
Sean f : Rn −→ Rm y g : Rm −→ Rp . Si Im(f ) ⊂ Dom(g ), se define la función
compuesta (g ◦ f ) : Rn −→ Rp como
g
f
Rn −→ Rm −→ Rp
(g ◦ f )(x) = g (f (x))
Ejemplos
Sean
f : R2 −→ R3 definida por f (x, y ) = (x + y , x − y , x 2 )
g : R3 −→ R definida por g (x, y , z) = x 2 + y 2 + z 2
Entonces,
(g ◦ f )(x) = (x + y )2 + (x − y )2 + x 4
Cálculo ()
TEMA 3
38 / 69
Función compuesta y función inversa. Función acotada
Definición
Sea f : Rn −→ Rm . Si f es inyectiva, se puede definir la función inversa
f −1 : Im(f ) ⊂ Rm −→ Rn de modo que,
(f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x)) = x
∀x ∈ Dom(f )
Ejemplos
Sea f : R2 −→ R definida por f (x, y ) = e x+y . Entonces, f −1 (z) = ln z
Si g : R −→ R está definida por g (x) = sin x, entonces g −1 (x) = arcsin x
Si h : R −→ R está definida por h(x) = cos x, entonces h−1 (x) = arccos x
Cálculo ()
TEMA 3
39 / 69
Función acotada
Definición
Sea f : A ⊆ Rn −→ R. f está acotada en A si
∃M ∈ R
tal que
|f (x)| ≤ M
∀x ∈ A,
o equivalentemente, Im(f ) es un subconjunto acotado de R.
Ejemplos
Sea f : R2 −→ R definida por f (x, y ) = sin2 (x + y ) cos(x − e y ). Entonces, f
está acotada, pues
|f (x, y )| ≤ 1
∀(x, y ) ∈ R2 .
Si g : R3 −→ R está definida por g (x, y , z) = e x+y + z, entonces g no está
acotada.
Cálculo ()
TEMA 3
40 / 69
Curvas de nivel
Funciones escalares
Para representar funciones escalares f : Rn −→ R, necesitamos “n+1”
dimensiones. Por ello, analizaremos principalmente funciones f : R2 −→ R. Dada
una función f : R2 −→ R, el conjunto de puntos de la forma (x, y , z) con
z = f (x, y ) (grafo de una función), es una superficie en R3 que denominaremos
representación gráfica de f .
Definición
Curvas de nivel Dada la función f : A ⊂ R2 −→ R y una constante c, la curva de
nivel c de la superficie z = f (x, y ) es el conjunto
Tc = {(x, y ) ∈ A : f (x, y ) = c}
Cálculo ()
TEMA 3
41 / 69
Curvas de nivel
Cálculo ()
TEMA 3
42 / 69
Índice
1
2
3
4
El conjunto Rn
Estructuras en Rn
Lı́mites iterados
5
Funciones continuas
Cálculo ()
TEMA 3
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Definición
Sea f : R2 → R. Entonces,
lim
f (x, y ) = L
(x,y )→(a,b)
si y sólo si para cada > 0 existe un correspondiente δ > 0 tal que
p
|f (x, y ) − L| < , siempre que 0 < (x − a)2 + (y − b)2 < δ
Cálculo ()
TEMA 3
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Significado
El lı́mite de una función en un punto P = (a, b) es L si los valores que toma la
función en los alrededores de P = (a, b) están tan cerca de L como queramos. Es
importante tener en cuenta que el valor que la función tome en P no interesa a la
hora de calcular el lı́mite.
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TEMA 3
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El estudio de los lı́mites de funciones de dos variables es mucho más complejo que
el de funciones de una variable, pues en éste únicamente se tienen dos caminos
para acercarse a un punto, por la derecha o por la izquierda. Sin embargo, en el
caso de dos variables, existe una infinidad de caminos para acercarnos al punto
(a, b), como muestra la siguiente figura.
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TEMA 3
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Propiedades
Sean f : Rn → R, g : Rn → R tales que los lı́mites lim f (x) y lim g (x) existen y
x→x0
x→x0
valen L y M, respectivamente. Entonces:
1
lim (f + g )(x) existe y vale L + M.
x→x0
2
lim λf (x) existe y vale λL, ∀λ ∈ R.
x→x0
3
lim |f (x)| existe y vale L. lim
x→x0
4
x→x0
f (x)
L
existe y vale
, si M 6= 0.
g (x)
M
lim f (x) = L.
x−x0 →0
5
lim (f · g )(x) exixste y vale L · M.
x→x0
6
lim |f (x)| = 0 ⇐⇒ lim f (x) = 0
x→x0
x→x0
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Lı́mites iterados o reiterados
Definición
Dada una función f : R2 → R, los lı́mites iterados de f en (a, b) se definen, si
existen, como
lim lim f (x, y ) = L1 y lim lim f (x, y ) = L2
x→a
y →b
y →b
Para calcular el lı́mite iterado lim
y →b
x→a
lim f (x, y ) = L2 , en primer lugar fijamos la
x→a
variable y , y hacemos que la variable x se aproxime al punto a. Al hacer este
lı́mite, obtenemos una función de una variable, que depende únicamente de y .
Calculamos entonces el lı́mite de dicha función cuando y se acerca a b.
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Definición
existen, como
x→a
y →b
y →b
x→a
Ejemplos
xy
en (1, 2) son:
x +y
xy
2x
2
lim lim
= lim
=
x→1 y →2 x + y
x→1 x + 2
3
xy
y
2
lim lim
= lim
=
y →2 x→1 x + y
y →2 1 + y
3
Los lı́mites reiterados de f (x, y ) =
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Definición
existen, como
x→a
y →b
y →b
x→a
Ejemplos
x2 + y3
en (0, 0) son:
x2 + y2
x2 + y3
lim lim 2
= lim 1 = 1
x→0 y →0 x + y 2
x→0
x2 + y3
lim lim 2
= lim y = 0
y →0 x→0 x + y 2
y →0
Los lı́mites reiterados de f (x, y ) =
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Nota
Sea f : R2 → R. Si existe el lı́mite doble
lim
f (x, y ) = L, y existen los
(x,y )→(a,b)
lı́mites reiterados,
lim
x→a
lim f (x, y ) = L1
y →b
y
lim
y →b
lim f (x, y ) = L2
x→a
entonces los tres lı́mites deben ser iguales, es decir, L = L1 = L2 .
Importante
Aunque f : R2 → R tenga los lı́mites iterados iguales
lim lim f (x, y ) = L1 = L2 = lim lim f (x, y )
x→a
y →b
eso no significa que exista
y →b
lim
x→a
f (x, y ).
(x,y )→(a,b)
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Importante
Si f : R2 → R verifica que
lim lim f (x, y ) = L1 6= L2 = lim lim f (x, y )
x→a
y →b
entonces no existe el lı́mite doble
y →b
lim
x→a
f (x, y ).
(x,y )→(a,b)
Ejemplo
Como los lı́mites reiterados de
f (x, y ) =
x +y
x −y
son distintos,
6∃
lim
(x,y )→(0,0)
Cálculo ()
x +y
x −y
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Importante
x→a
y →b
y →b
lim
x→a
f (x, y ).
(x,y )→(a,b)
Ejemplos
x2 + y3
en (0, 0) son distintos,
x2 + y2
x2 + y3
x2 + y3
=
lim
1
=
1
=
6
lim
lim
= lim y = 0
lim lim 2
x→0
y →0 x→0 x 2 + y 2
y →0
x→0 y →0 x + y 2
Como los lı́mites reiterados de f (x, y ) =
tenemos que no existe
lim
(x,y )→(0,0)
Cálculo ()
x2 + y3
.
x2 + y2
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Importante
x→a
y →b
y →b
lim
x→a
f (x, y ).
(x,y )→(a,b)
Ejemplos
x −y
en (0, 0) son distintos,
x +y
x −y
x −y
lim lim
= lim 1 = 1 6= lim lim
= lim −1 = −1
x→0 y →0 x + y
x→0
y →0 x→0 x + y
y →0
Como los lı́mites reiterados de f (x, y ) =
tenemos que no existe
Cálculo ()
x −y
.
(x,y )→(0,0) x + y
lim
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Teorema
Sea f : R2 → R. Si
lim
f (x, y ) = L , entonces para toda función continua
(x,y )→(x0 ,y0 )
y = g (x) tal que g (x0 ) = y0 , se tiene:
lim
f (x, y ) = lim f (x, g (x)) = L
x→x0
(x, y ) → (x0 , y0 )
y = g (x)
Similarmente, para toda función continua x = h(y ) tal que h(y0 ) = x0 , se tiene:
lim
f (x, y ) = lim f (h(y ), y ) = L
y →y0
(x, y ) → (x0 , y0 )
x = h(y )
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Ejemplos
xy
no existe.
x2 + y2
Si nos acercamos al origen a través de la recta y = mx, obtenemos que
Vamos a probar que el lı́mite
lim
(x,y )→(0,0)
xy
mx 2
m
lim
=
lim
=
2
2
2
2
x→0 x + (mx)
1 + m2
(x, y ) → (0, 0) x + y
y = mx
Como el lı́mite a través de la recta y = mx, depende de la pendiente de ésta,
tenemos que
xy
6∃
lim
(x,y )→(0,0) x 2 + y 2
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Teorema del Sandwich o de compresión
Teorema
Sean f , g , h : A ⊆ Rn → R y a ∈ Rn , verificando
g (x) ≤ f (x) ≤ h(x)
∀x ∈ A
y lim g (x) = lim h(x) = L. Entonces,
x→a
x→a
lim f (x) = L
x→a
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Ejemplo
Estudiar la existencia del lı́mite en el origen para la función
f (x, y ) =
Como
x 2y
+ y2
x2
√
p
x2 ≤ x2 + y2
p
p
|y | = y 2 ≤ x 2 + y 2
|x| =
entonces:
p
p
(x 2 + y 2 ) x 2 + y 2
|x|2 |y |
≤
= x2 + y2
|f (x, y )| = 2
2
2
2
x +y
x +y
p
Ahora bien, como
lim
x 2 + y 2 = 0, entonces, aplicando el Teorema del
(x,y )→(0,0)
Sandwich:
x 2y
=0
(x,y )→(0,0) x 2 + y 2
lim
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Corolario
Sean f , g : A ⊆ Rn → R y a ∈ Rn , verificando
f (x) acotada y lim g (x) = 0
x→a
Entonces,
lim f (x)g (x) = 0
x→a
Ejemplos
lim
xy sin(
(x,y )→(0,0)
1
) = 0, ya que
xy
−1 ≤ sin(
Cálculo ()
1
)≤1
xy
TEMA 3
y
lim
xy = 0
(x,y )→(0,0)
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Corolario
Sean f , g : A ⊆ Rn → R y a ∈ Rn , verificando
f (x) acotada y lim g (x) = 0
x→a
Entonces,
lim f (x)g (x) = 0
x→a
Ejemplos
lim
(x,y )→(0,0)
x 2y
cos(x − y 2 ) = 0, ya que
x2 + y2
−1 ≤ cos(x − y 2 ) ≤ 1
y
lim
(x,y )→(0,0)
Cálculo ()
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x 2y
=0
x2 + y2
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Definición
Sea f : Rn → R. Diremos que f (x) es un infinitésimo en a ∈ Rn si
lim f (x) = 0
x→a
Definición
Sean f , g : Rn → R infinitésimos en a. Diremos que f (x) es de orden superior,
f (x)
igual o inferior a g en x = a si lim
= l con l = 0, l ∈ R − {0} ó ∞,
x→a g (x)
respectivamente.
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57 / 69
Definición
Sean f , g : Rn → R infinitésimos en a. Diremos que f (x) y g (x) son infinitésimos
f (x)
equivalentes en a si lim
= 1. En este caso, escribiremos f (x) ∼ g (x) si
x→a g (x)
x → a.
Tabla de infinitésimos equivalentes
Si (x) es un infinitésimo en a (es decir, lim (x) = 0, entonces:
x→a
(x) ∼ sin (x) ∼ tan (x)
1 − cos((x)) ∼ 21 ((x))2
(x) ∼ arcsin (x) ∼ arctan (x)
(1 + (x))p − 1 ∼ p(x)
ln(1 + (x)) ∼ (x)
a(x) − 1 ∼ (x) ln a
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Princinpio de sustitución
Principio de sustitución
Sean f , g : Rn → R infinitésimos en a y ψ : R → R. Entonces
lim ψ(x)f (x) = lim ψ(x)g (x)
x→a
x→a
ψ(x)
ψ(x)
= lim
x→a f (x)
x→a g (x)
lim
Ejemplos
(xy )2
sin2 (xy )
=
lim
=
lim
y2 = 0
(x,y )→(0,0) 1 − cos(x)
(x,y )→(0,0) 1 x 2
(x,y )→(0,0)
2
lim
ln(1 + (x − y ))
x −y
=
lim
=1
tan(x − y )
(x,y )→(1,1) x − y
x − 2y
x − 2y
1
lim
=
lim
=
3
(x,y )→(2,1) (1 + (x − 2y ))3 − 1
(x,y )→(2,1) 3(x − 2y )
lim
(x,y )→(1,1)
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Cambio a coordenadas polares
Teorema
f (x, y ) = L si y sólo si exixte una función G (ρ) ≥ 0 tal que
lim
(x,y )→(0,0)
lim G (ρ) = 0 y de forma que:
ρ→0
|f (ρ cos θ, ρ sin θ) − L| ≤ G (ρ)
Importante
Si lim f (ρ sin θ, ρ cos θ) = L depende del ángulo θ, entonces el lı́mite doble
ρ→0
lim
f (x, y ) no existe.
(x,y )→(0,0)
El cambio a coordenadas polares se emplea únicamente cuando calculamos
lı́mites para (x, y ) → (0, 0).
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60 / 69
Cambio a coordenadas polares
Ejemplos
x 2y
=0
+ y2
Pasando a coordenadas polares:
lim
(x,y )→(0,0) x 2
(ρ cos θ)2 (ρ sin θ)
ρ3 cos2 θ sin θ
=
lim
= lim ρ cos2 θ sin θ = 0
ρ→0 (ρ cos θ)2 + (ρ sin θ)2
ρ→0
ρ→0
ρ2
lim
xy
no existe.
x2 + y2
Pasando a coordenadas polares:
lim
(x,y )→(0,0)
ρ2 cos θ sin θ
(ρ cos θ)(ρ sin θ)
=
lim
= lim cos θ sin θ = cos θ sin θ
ρ→0 (ρ cos θ)2 + (ρ sin θ)2
ρ→0
ρ→0
ρ2
lim
EL LÍMITE DEPENDE DEL ÁNGULO!!, luego no existe el lı́mite doble
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61 / 69
Teorema
Sea f : A ⊆ Rn → R. Entonces, son equivalentes:
lim f (x) = L
x→a
Para cualquier sucesión {xn }n∈N ⊆ A ∼ {a} convergente a a, se tiene que la
sucesión {f (xn )} converge a L.
Ejemplo
1
Demostrar que 6 ∃ lim sin( )
x→0
x
En efecto, consideremos las siguientes sucesiones convergentes a 0:
{xn }n∈N = {
1
}n∈N
nπ
e
1
}n∈N
{yn }n∈N = { π
+ 2nπ
2
Entonces,
lim sin(
n→∞
1
) = lim sin(nπ) = 0
n→∞
xn
mientras que
lim sin(
n→∞
Cálculo ()
1
π
) = lim sin( + 2nπ) = 1
n→∞
yn
2
TEMA 3
62 / 69
Teorema
Sea f : A ⊆ Rn → Rm . Sean f1 , f2 , . . . , fm las funciones coordenadas de f , esto es,
f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x)) y L = (L1 , L2 , . . . , Lm ) ∈ Rm . Entonces, son
equivalentes:
lim f (x) = L
x→a
lim fi (x) = Li ∈ R
x→a
∀i
Importante
Para calcular el lı́mite de una función vectorial en un punto a ∈ Rn , basta con
calcular por separado el lı́mite de cada una de sus funciones coordenadas en
a ∈ Rn .
Cálculo ()
TEMA 3
63 / 69
Teorema
Sea f : A ⊆ Rn → Rm . Sean f1 , f2 , . . . , fm las funciones coordenadas de f , esto es,
f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x)) y L = (L1 , L2 , . . . , Lm ) ∈ Rm . Entonces, son
equivalentes:
lim f (x) = L
x→a
lim fi (x) = Li ∈ R
x→a
∀i
Ejemplo
Sea F : R2 → R3 definida por F (x, y ) = (1 + y sin( yx ),
lim
x 2y
, xy ). Entonces,
x2 + y2
F (x, y ) = (1, 0, 0)
(x,y )→(0,0)
Cálculo ()
TEMA 3
63 / 69
Índice
1
2
3
4
El conjunto Rn
Estructuras en Rn
Lı́mites iterados
5
Funciones continuas
Cálculo ()
TEMA 3
64 / 69
Funciones continuas
Definición
Decimos que f : A ⊆ Rn → Rm es una función continua en el punto a ∈ Dom(f )
si existe el lı́mite de f cuando x tiende a a y además coincide con f (a),
∃ lim f (x) = f (a).
x→a
Definición
Decimos que f : A ⊆ Rn → Rm es una función continua en A si es continua en
cualquier punto a ∈ A
Cálculo ()
TEMA 3
65 / 69
Funciones continuas
Las siguientes funciones son continuas en su dominio:
Funciones constantes. (Ej: f (x, y ) = 2)
Polinomios. (Ej: f (x, y ) = x 2 + xy + 2)
Exponenciales. (Ej: f (x, y ) = e x−y )
Seno, coseno, tangente... (Ej: f (x, y ) = sin(x 2 + y ))
Logaritmos. (Ej: f (x, y ) = ln(x 2 + y 2 ))
Cálculo ()
TEMA 3
66 / 69
Propiedades de las funciones continuas
Teorema
Sean f , g : A ⊆ Rn → Rm . Sea h : A ⊆ Rn → R. Sea a ∈ A. Si f , g y h son
continuas en a, entonces:
1
||f || es continua en a.
2
αf + βg , f · g y hf son continuas en a.
1
Si h(x) 6= 0 ∀x ∈ A, entonces es continua en a.
h
3
Cálculo ()
TEMA 3
67 / 69
Composición de funciones continuas
Teorema
Consideremos las funciones f : Rn → Rm , g : Rm → Rp y sea
a ∈ Dom(g ◦ f ) 6= ∅. Si f es continua en a y g es continua en f (a) ∈ Dom(g ),
entonces g ◦ f : f : Rn → Rp es continua en a.
Ejemplos
sin(x − y )
es continua en R2 ∼ {(0, 0)}.
x2 + y2
g (x, y ) = ln(x + y 2 ) es continua en {(x, y ) ∈ R2 | x + y 2 > 0}.
f (x, y ) =
h(x, y ) = e tan(xy ) es continua en {(x, y ) ∈ R2 | cos(xy ) 6= 0}.
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68 / 69
Teorema de Weierstrass
Sea f : Rn → Rm una función continua y K ⊂ Dom(f ) un conjunto compacto.
Entonces, f tiene un máximo absoluto y un mı́nimo absoluto en K .
Cálculo ()
TEMA 3
69 / 69

TEMA 3: Funciones de varias variables: límites y continuidad

Transcripción

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