Navegación Aérea - Tema 1: Geodesia. Cartografía. Sistemas de
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Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Navegación Aérea Tema 1: Geodesia. Cartografı́a. Sistemas de referencia. Tiempos. Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Geodesia Geodesia: Ciencia que se ocupa de la forma, medida y representación de la Tierra y de su campo gravitatorio. También estudia otros fenómenos, como por ejemplo el movimiento de las placas tectónicas, la rotación de la Tierra, el desplazamiento de los Polos o las mareas. Forma de la Tierra: Se plantean modelos locales (útiles para una cierta región, como por ejemplo o un paı́s) o globales. Medida de la Tierra: A pequeña escala (topografı́a: estudios geodésicos, triangulaciones geodésicas con teodolitos), o a gran escala (radio de la Tierra, aplanamiento, etc...). Representación de la Tierra: En este aspecto, ı́ntimamente ligada a la cartografı́a. Campo gravitatorio de la Tierra: en este aspecto se denomina geodesia fı́sica (rotación, mareas, densidad de las capas de la Tierra...). 2 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Modelos de Tierra en la Antigüedad En tiempos antiguos (primeras civilizaciones), los desplazamientos eran muy cortos y por tanto el efecto de la curvatura muy poco apreciable. Por tanto, tı́picamente se asumı́a un modelo de Tierra plana1 . No obstante ya habı́a algunos efectos apreciables para una mente observadora: En un eclipse de Luna, la sombra de la Tierra es circular (¿y si la Tierra fuera un disco?). Cuando un barco se adentra en el mar, lo último que desaparece son las velas! Los griegos fueron los primeros en proponer otro modelo de Tierra diferente: una Tierra esférica. 1 Aún existe quien ası́ lo piensa, p.ej. los miembros de la Flat Earth Society. 3 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Modelos de Tierra en la Antigüedad Los griegos eligieron una esfera por coherencia con las observaciones, pero sobre todo por motivos filosóficos: la esfera es el sólido más perfecto. Entre otros, argumentaron que la Tierra era una esfera Pitágoras, Aristóteles, Platón o Arquı́medes. El primero en estimar la circunferencia de la esfera terrestre fue Eratóstenes, alrededor del año 240 A.C. Eratóstenes de Cirene era un matemático, poeta, atleta, geógrafo y astrónomo griego. También estimó la inclinación del eje de la Tierra con respecto a la eclı́ptica (plano donde orbita la Tierra en torno al Sol), y se le atribuye estimar la distancia Tierra-Sol y la invención del año bisiesto. 4 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Midiendo la circunferencia de la Tierra Eratóstenes usó trigonometrı́a para medir el radio de la Tierra, supuesta ésta esférica (el radio real es aproximadamente 6370 kilómetros). En Asuán, durante el Solsticio de Verano, el Sol se encontraba totalmente vertical. ¿Qué es el Solsticio de Verano y qué implica que el Sol esté vertical? El mismo dı́a, en Alejandrı́a, un obelisco proyectaba una sombra de ángulo 7,12o . Eratóstenes sabı́a que la distancia entre Alejandrı́a y Asuán era de unos 5000 estadios. En unidades modernas, 1 estadio = 157.5 metros. Ejercicio: Reproducir el cálculo de Eratóstenes. 5 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Modelo de Tierra esférico Posteriormente Ptolomeo (en el siglo II D.C.) estimó el perı́metro de la Tierra en 29000 kilómetros (realmente son unos 40000 kilómetros). Dado el prestigio de Ptolomeo, ésta estimación se mantuvo durante la Edad Media y Renacimiento y fue la utilizada por Colón para planear su viaje a las Indias. Si la Tierra es esférica, se pueden definir latitud, longitud, meridianos y paralelos. ¿Cuál es la latitud y longitud de Sevilla? ¿qué longitud tiene un cierto arco dado sobre un meridiano? ¿y sobre un paralelo? Tomando el radio de la Tierra como 6366.7 kilómetros, ¿qué longitud cubre un minuto de arco de meridiano? (1’=1/60 grados) 6 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Modelo de Tierra elipsoidal Cassini (Francia, s.XVIII) midió con precisión un arco de meridiano y observó el siguiente fenómeno: tomando como referencia Parı́s, 1 grado de arco medido hacia el Norte era más largo que un grado de arco medido hacia el Sur. Para resolver la discrepancia, propuso un modelo elipsoidal (de revolución) de la Tierra, de forma que el radio en el Polo es mayor que el radio en el Ecuador. Huygens y Newton habı́an propuesto décadas atrás el modelo opuesto, un elipsoide de revolución con mayor radio en el Ecuador que en el Polo. El asunto se convertió en una cuestión de orgullo nacional, Francia vs. Gran Bretaña. 7 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra La geodesia en tiempos modernos La academia de Ciencias francesa mandó una expedición a regiones polares para hacer medidas más precisas. Las medidas dieron la razón a los ingleses. Éste fue el primer avance importante en geodesia en casi 20 siglos. En el siglo XIX, la geodesia aparece como ciencia independiente gracias a las contribuciones de Bessel, Gauss, etc... En tiempos modernos, la geodesia ha experimentado un nuevo auge gracias a la exploración del espacio. Sistemas basados en satélites como GPS y otros permiten determinar medidas geodéticas con una precisión antes inalcanzable. 8 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Modelos de Tierra Dependiendo del objetivo que se pretende alcanzar, en diferentes disciplinas se pueden emplear diferentes modelos de Tierra. En estudios simplificados y locales se puede usar Tierra plana (p. ej. en Mecánica del Vuelo). En el otro extremo está la superficie topográfica de la Tierra: es la forma real de la Tierra, pero para poder usarla hacen falta infinitos puntos: no es práctica en la mayor parte de los casos. Otra posibilidad es definir una superficie ideal, matemática, de referencia, admitiendo que la Tierra “se parece” a pero no es exactamente dicha superficie. Hay dos posibilidades: Esfera: más simple pero menos precisa. Elipsoide de revolución achatado en los polos. Finalmente, el geoide es una superficie compleja que aproxima bien la topográfica, definida en base al modelo geopotencial (gravitatorio y de rotación terrestre). 9 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Elipsoides de referencia Puesto que la Tierra tiene una forma aproximadamente elipsoidal, éste modelo tiene el mérito de ser lo suficientemente simple como para ser manejable y lo suficientemente preciso como para ser útil en la práctica. Para definir un elipsoide son necesarios dos parámetros: re = semieje ecuatorial (mayor) [a veces llamado a]. rp = semieje polar (menor) [a veces llamado b]. Tı́picamente no se emplea b, sino que se utiliza el “factor de achatamiento” o de aplanamiento (flattening): f = 1 − rp /re . En tablas se suele dar más bien 1/f . Otraq alternativa a f es la excentricidad e = 1 − rp2 /re2 . 10 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Elipsoides de referencia Existen muchos elipsoides definidos, que aproximan mejor diferentes zonas de la Tierra. Es sencillo convertir coordenadas de un elipsoide a otro. En la actualidad ha emergido un estándar comúnmente aceptado en todo el mundo. Se denomina Elipsoide Internacional de Referencia WGS84. Para el WGS84, re = 6378,137 kilómetros y 1/f = 298,257224. El uso del WGS84 se debe a que es empleado por los satélites GPS; todos los receptores GPS trabajan con coordenadas definidas por el elipsoide WGS84. 11 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Otros elipsoides de referencia Ejemplos de otros elipsoides de referencia: En España hasta hace poco se usaba el ED50, basado en el Internacional, pero ahora se usa el GRS80, que es equivalente (por milı́metros) al WGS84. 12 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Sistema Geográfico de referencia También llamado ejes Tierra o ECEF (Earth Centered, Earth Fixed). Ligado a la Tierra, rota con ella. Util para referenciar posiciones en toda la Tierra. Coordenadas cartesianas: xECEF = [x ECEF y ECEF z ECEF ]T . El plano Ox e y e contiene al Ecuador y el plano Ox e z e al Meridiano de Greenwich. La forma de la Tierra se asimila al elipsoide WGS84. 13 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Coordenadas geodéticas o geodésicas Un punto queda determinado por su altitud h, latitud geodésica φ y longitud geodésica λ. Obsérvese que h mide la altitud sobre una perpendicular al suelo (vertical local) que no coincide en general con una lı́nea que una el punto con el centro de la Tierra. Relación con las coordenadas cartesianas: x ECEF y ECEF z ECEF = = = h+ p h+ p h+ p re ! cos φ cos λ = 1 − f (2 − f ) sen2 φ re 1 − f (2 − f ) sen2 φ sen φ = cos φ cos λ, re ! cos φ sen λ, 1 − e 2 sen2 φ ! re (1 − e 2 ) h+ p sen φ. 1 − e 2 sen2 φ cos φ sen λ = ! ! 1 − e 2 sen2 φ ! 1 − f (2 − f ) sen2 φ re (1 − f )2 h+ p re h+ p 14 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Coordenadas geocéntricas También se pueden emplear coordenadas esféricas tradicionales:Un punto P queda determinado por el radio r (medido desde el centro de la Tierra), la latitud geocéntrica φC y la longitud geocéntrica λC . Es evidente que λC = λ, al ser el elipsoide de revolución. No obstante, φ 6= φC . En la figura se ha elegido un meridiano β por el que se ha “cortado” el elipsoide. Usando la figura se pueden demostrar las fórmulas de la anterior transparencia. Relación con las coordenadas cartesianas: x ECEF = r cos φC cos λC , r = y ECEF = r cos φC sen λC , tan λC = z ECEF = r sen φC , tan φC = q (x ECEF )2 + (y ECEF )2 + (z ECEF )2 , y ECEF , x ECEF z ECEF q (x ECEF )2 +(y ECEF )2 . 15 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Pasar de coordenadas cartesianas a geodésicas Dadas las coordenadas geodésicas, es inmediato obtener las coordenadas x ECEF . El procedimiento inverso ha de hacerse numéricamente. Únicamente se puede calcular con facilidad λ de y ECEF tan λ = x ECEF . Para ello conviene definir la función N(φ) = √ r2e 2 y 1−e sen φ p escribir p = (x ECEF )2 + (y ECEF )2 . 1 2 Asumir h0 = 0. Entonces tan φ0 = Iterar para i = 0, 1, . . .: z ECEF . p(1−e 2 ) re . 1−e 2 sen2 φi p cos φi − Ni . a Calcular Ni = √ b Calcular hi+1 = c Calcular φi+1 de tan φi+1 = z ECEF N p 1−e 2 N +hi i 3 . Volver a (a). i+1 Parar cuando el procedimiento iterativo converja. 16 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Sistema de referencia local y radios de curvatura En la figura se ve un sistema de ejes definido localmente, llamado NED: North-East-Down. Coincide con el sistema definido por las coordenadas curvilineas φ, λ, h, de forma que N=e φ , E=e λ , D=−e h . Dicho sistema es fundamental en navegación aérea, a veces se llama “navigation frame”. El radio de curvatura del elipsoide a lo largo de un meridiano re (1−e 2 ) (λ =cte) es Rmer = (1−e 2 sen2 φ)3/2 . El radio de curvatura del elipsoide a lo largo de un paralelo (φ =cte) es Rnormal cos φ, donde Rnormal = √ r2e 2 . 1−e sen φ 17 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Modelos gravitatorios Si la Tierra fuera una esfera perfecta, homogénea por capas esféricas (como una cebolla), la aceleración de la gravedad g serı́a igual a G = − µr 3e r , donde r = x ECEF . En realidad, se tiene que G = G (r , λ, φ). Para estudiar G es más sencillo usar un potencial U G y utilizar coordenadas geocéntricas r , λC , φC . Por tanto G = ∇U G , es decir, en esféricas: 1 ∂U G 1 ∂U G ∂U G G = ∂r e r + r ∂φC e φC + r cos λC ∂λC e λC . Modelo esférico: U G = µre . Modelo elipsoidal (J2 ): h i 2 U G = µre 1 + J22 rre (1 − 3 sen2 φC ) , donde J2 es un coeficiente. Modelo EGM96: hasta 360 términos realizando correciones por la forma de la Tierra y la distribución másica. 18 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra La rotación de la Tierra La Tierra rota con una velocidad ωe en torno al eje z e . Puesto que los ejes ECEF son solidarios con la Tierra, en dichos ejes hay que añadir las fuerzas de inercia ficticias. Concretamente aparece una aceleración centrı́fuga, dada por acent = −ω e × (ω e × x ECEF ). ECEF ECEF T 2 Se tiene que acent = −ωe x y 0 . Si escribimos Uω = ωe2 r 2 cos2 φC 2 , se tiene que acent = ∇U ω . Nótese que desde el punto de vista de un observador, la aceleración centrı́fuga es completamente indistinguible de la gravitatoria. 19 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra El geopotencial Por tanto a todos los efectos se puede sumar la aceleración centrı́fuga a la gravitatoria, y considerar la suma como la “gravedad sentida” g . Se tiene por tanto g = G + acent . A nivel de potenciales, U g = U G + U ω . La función U g se denomina geopotencial. Obsérvese que esta misma operación no se puede realizar con la otra fuerza de inercia producto de la no inercialidad del sistema de referencia ECEF, que es la fuerza de Coriolis. 20 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra El geoide El geopotencial se utiliza para definir el geoide, una superficie que aproxima la forma verdadera de la Tierra. Se define el geoide como la superficie equipotencial (con respecto al geopotencial U g ) que mejor aproxima (en el sentido de mı́nimos cuadrados) el nivel medio del mar global. Con los modelos gravitatorios antes expuestos: Si se considera la gravedad de una esfera y se desprecia la rotación de la Tierra, se tiene que el geoide es una esfera. 2 Si se considera la gravedad con el modelo J2 (de un elipsoide) y con la rotación de la Tierra, se obtiene el elipsoide WGS84. 3 Si se considera el modelo completo de gravedad EGM96 se obitene el llamado geoide EGM96. 1 Un geoide (exagerado). 21 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra El geoide En las figuras se puede ver la relación entre la superficie de la Tierra (topográfica), el geoide, y el elipsoide. Se define N como la undulación del geoide. Se tiene N ≤ 100 m (para el geoide EGM96 respecto al elipsoide WGS84). En la figura de la izquierda aparece la altura elipsoidal (como h) y la altura ortométrica o elevación geoidal (como H). La altura AGL hAGL es la distancia a la superficie, y se define como altitud menos altura elipsoidal. Un modelo de terreno vendrá dado como una función que da la altura elipsoidal dependiendo de los valores de λ y φ. 22 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Otros modelos gravitatorios de referencia Para simplificar, en ocasiones se usan otros modelos más simples de gravedad, p.ej. gravedad constante. No obstante, si se quiere una gran precisión habrá que utilizar el modelo más complejo disponible. La mayor parte de los sistemas de navegación emplean modelos simplificados, donde se define g como un escalar y luego se escribe g n = [0 0 g ], donde n es el sistema de referencia NED (luego D es “hacia abajo”). e Nosotros usaremos g = (re µ+h) 2. El WGS84 define un modelo simplificado con algunos coeficientes (no lo usaremos). Puesto que el modelo no es correcto, se debe incluir la posibilidad de que tenga errores (anomalı́as gravitatorias): g n = [ξg − ηg g ], donde ξ y η son pequeños ángulos, que se mantendrán constantes en pequeñas distancias. 23 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Lı́nea de plomada y deflexión vertical La linea de plomada o vertical astronómica es perpendicular al geoide, y es hacia donde en la realidad se dirige g . La linea perpendicular al elipsoide es hacia donde se dirige g según el modelo de la anterior transparencia. La diferencia entre ambas es la llamada “deflexión vertical”. 24 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Cartografı́a Cartografı́a: es la disciplina que estudia la teorı́a y la confección de mapas geográficos y cartas. Para ello combina ciencia, técnica e incluso estética, partiendo de la premisa de que se puede comunicar información geográfica de forma efectiva modelando adecuadamente la realidad fı́sica. Los principales problemas que encuentra la cartografı́a son: Seleccionar los aspectos geográficos que se muestran en una representación. Eliminar la complejidad innecesaria o irrelevante contenida en una representación. Combinar los elementos representativos que tiene una representación para comunicar de forma efectiva la información deseada. Plasmar la representación de la realidad tridimensional sobre una superficie plana (el mapa o carta): mediante proyecciones. 25 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Proyecciones. Mapas y Cartas Mapas/Cartas: representaciones en un plano y a tamaño reducido de la superficie de la Tierra o una parte de ella. Un mapa siempre introduce distorsiones (es decir, no es completamente fiel a la realidad) debido a que la superficie que se pretende representar tiene curvatura. Ésto fue demostrado matemáticamente por Euler. Para crear un mapa se emplea una proyección. Concretamente, se proyecta el plano terráqueo sobre una cierta superficie: Un plano (proyección tipo azimutal). Un cilindro (proyección cilı́ndrica). Un cono. 26 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Proyecciones. Otras formas de clasificar una proyección podrı́an ser: Por la orientación de la superficie respecto al Ecuador: normales, trasversales u oblicuas. Por la posición del globo terráqueo respecto a la superficie: tangente (podrı́a tener una lı́nea sin deformación) o secante (podrı́a tener dos lı́neas sin deformación). Más importante es el tipo de proyección; p.ej. para el caso de un plano: Gnomónica (la proyección pasa por el centro de la Tierra). Estereográfica (pasa por el punto antipodal). Ortográfica (la proyección tiene una dirección fija). Escenográfica (la proyección viene desde fuera del globo terrestre). 27 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Propiedades de una proyección Las propiedades más importantes de una proyección son: Conformidad. Una proyección es conforme si preserva los ángulos (y por tanto los rumbos); además preserva las formas a nivel local. Los meridianos y paralelos siguen siendo perpendiculares. Muy útiles en navegación. Conservación de áreas. Una proyección es equiareal si mantiene la proporción entre áreas. Útiles sobre todo en aplicaciones administrativas/polı́ticas. Equidistancia: una proyección NO puede mantener la proporción correcta entre TODAS las distancias. No obstante sı́ pueden existir algunas lı́neas con esta propiedad: lı́neas automecoicas. Una carta que tenga “muchas” lı́neas automecoicas se denomina equidistante. Un mapa no puede ser conforme y equiareal (Euler); si lo fuera, serı́a una representación perfecta del globo terrestre. Siempre hay que renunciar al menos a una de las propiedades. 28 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Proyección de Mercator. Muy utilizada en navegación marı́tima. Inventada en el siglo XVI. Cilı́ndrica, trasversal y conforme. Ecuaciones matemáticas: φ π x = λ − λ0 , y = ln tan 4 + 2 . No acotada en y : se suele cortar a altas latitudes. Cuanto más cerca de los polos, más se distorsiona el mapa (observar como se amplı́a la distancia en proyección entre paralelos equidistantes en la realidad). 29 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Proyección cilı́ndrica equidistante. Permite ver la Tierra completa. Cilı́ndrica, trasversal, tangente, ortográfica. Tı́picamente usada para representar trazas de satélites. Ecuaciones matemáticas: x = λ − λ0 , y = φ. Acotada en y . Por tanto, no conforme. Tampoco es equiareal. Su sencillez la hace popular en representaciones generadas por ordenador. 30 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Proyección estereográfica. Útil para estudiar las proximidades de un punto, p.ej. el Polo. Conforme. Plana, normal, tangente, estereográfica. Ecuaciones matemáticas: x = cos φ sen(λ − λ0 ), y = cos φ0 sen φ − sen φ0 cos φ cos(λ − λ0 ). No acotada: se suele cortar a puntos cercanos al antipodal del centro de la proyección. Útil para estudiar las proximidades de un punto. 31 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Proyección de Lambert. Utilizada en navegación aérea. Cónica, normal, secante y estereográfica. Las lineas rectas aproximan rutas ortodrómicas (ver más adelante). Ecuaciones matemáticas: x = ρ sen(n(λ − λ0 )), y = ρ0 − ρ cos(n(λ − λ0 )), donde: ln(cos φ sec φ ) 1 2 , n = ln(tan(π/4−φ /2) cot(π/4−φ1 /2)) 2 ρ = F cotn (π/4 + φ/2), ρ0 = F cotn (π/4 + φ0 /2), F = 1/n cos φ1 tann (π/4 + φ1 /2). No acotada se suele reducir a una zona de interés. 2 paralelos automecoicos (φ1 , φ2 ). Suelen ser locales y no globales. 32 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Proyección azimutal equidistante. En el emblema de la ONU. Azimutal, escenográfica, tangente, normal. Ecuaciones matemáticas: x = senc c cos φ sen(λ − λ0 ), y = senc c [cos φ0 sen φ − sen φ0 cos φ cos(λ − λ0 )], donde cos c = sen φ0 sen φ − cos φ0 cos φ cos(λ − λ0 ). Acotada: convierte el punto antipodal en una circunferencia limı́trofe. Sólo libre de distorsión en torno al punto central. Todas las distancias medidas desde el punto central son verdaderas (lı́neas automecoicas). 33 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Rutas más usuales Dado un mapa, un origen y un destino, se plantea el problema de encontrar el camino más apropiado para ir de uno a otro. En la realidad, esta elección del camino (que se plasma en el plan de vuelo) está sujeta a numerosas restricciones. A dı́a de hoy, se vuela entre “waypoints”. Además habrı́a que tener en cuenta los vientos. No obstante, en esta lección vamos a simplificar el problema y vamos a suponer que en principio cualquier camino es volable. Además supondremos que la Tierra es una esfera de radio Re . Veremos dos posibilidades: El camino más corto: Ruta ortodrómica. El camino más simple de volar: Ruta loxodrómica. 34 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Rutas ortodrómicas. Cı́rculos máximos Una Ruta ortodrómica entre dos puntos de la Tierra es el camino más corto entre dichos puntos. Podemos traducir el problema a términos matemáticos, considerando un modelo de Tierra esférica. Dados dos puntos PA y PB en la esfera, dados como (φA ,λA ) y (φB ,λB ), de todas las curva sobre la esfera que unen dichos puntos, ¿cuál es la de mı́nima distancia? Si estuvieramos en el plano, la respuesta es una lı́nea recta. En una superficie con curvatura, dicha curva se denomina geodésica y en general no es una recta. La geometrı́a diferencial da unas ecuaciones para hallar la geodésica en función de la primera forma diferencial, los sı́mbolos de Christoffel, etc... Para el caso de la esfera, la solución es simple y sólo requiere el uso de geometrı́a elemental. 35 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Cı́rculos máximos En una esfera, un “cı́rculo mayor” (gran cı́rculo, cı́rculo máximo) viene dado por la intersección de un plano que pasa por el centro de la esfera con la esfera. ® Las “rectas esféricas” (geodésicas) son los cı́rculos mayores. Obsérvese que cualesquiera dos rectas esféricas cortan siempre en dos puntos; por tanto, no existen paralelas en geometrı́a esférica. El problema queda reducido a: Dados dos puntos, determinar el cı́rculo mayor que contiene a ambos. ¿Es dicho cı́rculo único? Medir la distancia sobre dicho cı́rculo: dará la distancia entre los dos puntos. 36 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Cı́rculo máximo entre dos puntos Dados dos puntos PA = (φA , λA ), PB = (φB , λB ), se dice que PA y PB son antipodales si φB = −φA y λB = 180o + λA . Si PA y PB NO son antipodales, existe un único cı́rculo máximo que contenga a ambos. La ortodrómica será el arco más corto que los una. Si PA y PB son antipodales, existen infinitos cı́rculos máximos que los unen; cualquier semicircunferencia de dichos cı́rculos máximos es una ortodrómica. ¿Por qué? ¿Cuál es por tanto la distancia entre dos puntos antipodales (en millas náuticas)? ¿Son los meridianos ortodrómicas? ¿Son los paralelos ortodrómicas? 37 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Cálculo de la ruta ortodrómica. Rumbo Recordemos que en una esfera, r = Re [cos φ cos λ cos φ sen λ sen φ]. Recordemos además los vectores que definen la base local en coordenadas curvilı́neas: cos φ cos λ − sen φ cos λ − sen λ e r = cos φ sen λ , e φ = − sen φ sen λ , e λ = cos λ . sen φ cos φ 0 Fı́sicamente e r apunta hacia el cénit, e φ hacia el Norte y e λ hacia el Este. Dada una curva cualquiera en la esfera, se define el rumbo (también llamado azimut) en un punto de la curva como el ángulo que forma el vector e φ con el vector tangente de dicha curva e t , medido en el sentido de las agujas del reloj. ¿Qué significado fı́sico tienen los rumbos 0o , 90o , 180o y 270o ? En general el rumbo cambiará según el punto de la curva y el sentido en que se recorra. 38 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Cálculo de la ruta ortodrómica Escribamos los vectores de los puntos: cos φA cos λA cos φB cos λB r A = Re cos φA sen λA , r B = Re cos φB sen λB . sen φA sen φB Geométricamente, se puede ver que el arco que abarca la ortodrómica es el ángulo α formado por los vectores. Por tanto: r A · r B = kr A kkr B k cos α, y se llega a: cos α = sen φA sen φB + cos φA cos φB cos(λB − λA ) ¿Cuál serı́a la ecuación implı́cita que verificarı́an todos los puntos de la ortodrómica? Una vez se tiene α, dA,B = αRe . 39 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Cálculo del rumbo en la ortodrómica I ¿Cómo calcular el rumbo del que habrı́a que partir desde A para recorrer la ortodrómica? Recordemos que el rumbo serı́a el ángulo entre el vector e φ en A y la tangente e t en A. En primer lugar, se tiene que el vector normal al plano que define la ortodrómica será: n = rA × rB Por otro lado, e t será perpendicular tanto a n como a e r en A. Por tanto: e t (A) = n × e r (A) = (r A × r B ) × e r (A) Usando la identidad: a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c, se llega a: e t (A) = −e r (A) × (r A × r B ) = (e r (A) · r A )r B − (e r (A) · r B )r A = Re (r B − cos αr A ) 40 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Cálculo del rumbo en la ortodrómica II El módulo de dicho vector e t es: ke t (A)k = kRe (r B − cos αr A ) k p = Re (r B − cos αr A ) · (r B − cos αr A ) q = Re Re2 + cos2 αRe2 − 2Re2 cos2 α = Re2 sen α Por tanto el vector e t normalizado es: e ∗t (A) = e r (B) − cos αe r (A) sen α El rumbo χ(A) se encontrará de cos χ(A) = e φ (A)·e ∗t (A) e φ (A) · e r (B) − cos αe φ (A) · e r (A) = sen α 41 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Cálculo del rumbo en la ortodrómica III Luego finalmente: e φ (A) · e r (B) cos χ(A) = sen α Sustituyendo el valor de los vectores, se llega a: cos χ(A) = cos φA sen φB − cos φB sen φA cos(λB − λA ) sen α ¿Es el rumbo constante en todos los puntos de la ortodrómica? ¿Cómo se resolverı́a el problema inverso? (Dado un punto inicial, un rumbo inicial y una distancia a volar, determinar el punto al que se llega siguiendo una ortodrómica). ¿Cuál es el rumbo en el caso antipodal? 42 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Rutas loxodrómicas En la práctica, un piloto no puede volar una ruta ortodrómica porque el rumbo de la ruta se modifica continuamente. La ruta más fácil de volar es una que mantenga el rumbo constante. Una ruta loxodrómica entre dos puntos de la Tierra es el camino más corto entre dichos puntos tal que el rumbo de dicho camino es constante. Por tanto, son fáciles de volar para un piloto humano. Una ruta ortodrómica será más corta, pero no volable; por tanto se puede aproximar por varios segmentos loxodrómicos. ¿Son los meridianos loxodrómicas? ¿Son los paralelos loxodrómicas? ¿Son las loxodrómicas curvas cerradas? 43 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Cálculo de la loxodrómica I En primer lugar resolvamos el problema inverso: dado un rumbo χ y un punto inicial, ¿qué curva se obtiene si se vuela con dicho rumbo constante? La solución está clara en el caso de meridianos y paralelos. Supongamos, en el caso general, que describimos la curva sobre la esfera con una ecuación del tipo φ = φ(λ). Por tanto se tendrı́a: r (λ) = Re [cos φ(λ) cos λ cos φ(λ) sen λ sen φ(λ)]T d De geometrı́a diferencial sabemos que e = t dλ r (λ). Por tanto: e t = Re e φ φ0 + e λ cos φ . Se calcula fácilmente que p ke t k = Re φ02 + cos2 φ. 0 et φ Puesto que cos χ = e φ · ke k , obtenemos: cos χ = √ 02 , 2 t φ +cos φ y despejando φ0 llegamos a la ecuación diferencial φ0 1 = cos φ tan χ 44 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Cálculo de la loxodrómica II dφ Puesto que se tiene cos φ = − ln tan (π/4 − φ/2), integrando llegamos a la siguiente solución: λ − λA tan (π/4 − φA /2) = ln tan (π/4 − φ/2) tan χ R ¿Cuál serı́a la distancia entre dos puntos de una loxodrómica? Recordar: Z λ Z λp d= ke t kdλ = Re φ02 + cos2 φdλ λA λA Usando la ecuación diferencial: Z λ p d = Re φ0 1 + tan2 χdλ = Re λA 1 cos χ Z λ 1 0 φ dλ = Re cos χ λA Z φ dφ φA A Se llega a: d = Re φ−φ cos χ . 45 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Cálculo de la loxodrómica III Ya podemos resolver el problema directo: dados dos puntos A y B, hallar la loxodrómica que los une y la distancia loxodrómica que los separa. En primer lugar hallar el rumbo de la ecuación: tan (π/4 − φA /2) λB − λA ln = tan (π/4 − φB /2) tan χ φB − φA En segundo lugar calcular la distancia de: d = Re . cos χ Tener cuidado con los casos especiales!! En una proyección de Mercator las loxodrómicas son rectas. 46 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Rutas ejemplo Estudiemos las rutas entre Sevilla (λ = 5o 590 W, φ = 37o 240 N) y las ciudades: Madrid (λ = 4o 10 W, φ = 40o 460 N). Nueva York (λ = 73o 580 W, φ = 40o 470 N). Melbourne (λ = 144o 580 E, φ = 37o 490 S). Los resultados obtenidos fueron los siguientes: Ciudad Madrid NY Melbourne Distancia (ort., km) 411.01 5728.8 17466 Rumbo inicial (grados, ort) 23.78 296.27 100 Distancia (lox., km) 411.02 5877.2 17641 Rumbo (lox., grados) 24.38 273.67 118.3 Si numéricamente se calculan los mismos casos sobre el elipsoide WGS84, se obtienen los siguientes resultados: Ciudad Madrid NY Melbourne Distancia (ort., km) 410.64 5742.7 17469 Rumbo inicial (grados, ort) 23.86 296.26 99.86 Distancia (lox., km) 410.65 5891.5 17644 Rumbo (lox., grados) 24.47 273.65 118.16 47 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Rutas ejemplo: Sevilla-Madrid longitud (grad.) −4 −4.5 −5 Ortodromica Loxodromica −5.5 −6 0 50 100 150 200 250 distancia (km.) 300 350 400 450 latitud (grad.) 41 40 39 Ortodromica Loxodromica 38 37 0 50 100 150 200 250 distancia (km.) 300 350 400 450 Rumbo (grad.) 25.5 25 24.5 Ortodromica Loxodromica 24 23.5 0 50 100 150 200 250 distancia (km.) 300 350 400 450 48 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Rutas ejemplo: Sevilla-Nueva York longitud (grad.) 0 −20 −40 Loxodromica Ortodromica −60 −80 0 1000 2000 3000 distancia (km.) 4000 5000 6000 latitud (grad.) 45 40 Loxodromica Ortodromica 35 0 1000 2000 3000 distancia (km.) 4000 5000 6000 Rumbo (grad.) 300 280 260 240 Loxodromica Ortodromica 0 1000 2000 3000 distancia (km.) 4000 5000 6000 49 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Rutas ejemplo: Sevilla-Melbourne longitud (grad.) 150 100 50 Loxodromica Ortodromica 0 −50 0 2000 4000 6000 8000 10000 distancia (km.) 12000 14000 16000 18000 latitud (grad.) 40 20 0 Loxodromica Ortodromica −20 −40 0 2000 4000 6000 8000 10000 distancia (km.) 12000 14000 16000 18000 Rumbo (grad.) 130 120 110 Loxodromica Ortodromica 100 90 0 2000 4000 6000 8000 10000 distancia (km.) 12000 14000 16000 18000 50 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Aproximación de ortodrómicas por loxodrómicas En el ejemplo (Sevilla-NY) se crean dos waypoints extra de forma que la ortodrómica se aproxima por tres loxodrómicas. La proyección de la figura es tipo Mercator. 51 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas El “Jet Stream” Se conoce como “Jet Stream” (corriente de chorro) unas corrientes de aire que se pueden encontrar en la atmósfera terrestre a la altura de la tropopausa. Fluyen fundamentalmente hacia el Este por caminos “sinuosos”, en forma de tubos estrechos. Pueden alcanzar velocidades desde 100 km/h hasta incluso 400 km/h (más velocidad en invierno que en verano). 52 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Rutas ortodrómicas y loxodrómicas Uso del “Jet Stream” En los vuelos largos hacia el Este se busca el “Jet Stream” para economizar combustible y disminuir considerablemente el tiempo de vuelo (incluso hasta un 30 %!). Ejemplo: Tokyo Los Ángeles. También se utiliza en vuelos continentales en Norteamérica. Volando hacia el Oeste, simplemente se evita el “Jet Stream”. 53 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Sistemas de referencia Tiempos Sistemas de referencia usuales en Navegación Aérea Veremos los siguientes sistemas de referencia: Sistema inercial geocéntrico (ECI: Earth Centered Inertial). Sistema de Ejes Tierra (ECEF: Earth Centered, Earth Fixed) Sistema de referencia topocéntrico. Sistema de ejes horizonte local (LLS: Local Level System, NED: North East Down). Sistema de referencia de azimut de deriva (Wander azimuth frame). Sistema de ejes cuerpo (BFS: Body Fixed System). Además estudiaremos las relaciones entre los diferentes sistemas de referencia y como pasar de uno a otro. En este proceso se definirán cantidades útiles, como la velocidad respecto a Tierra y los ángulos de Euler que definen la actitud de una aeronave. 54 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Sistemas de referencia Tiempos Sistema Inercial Geocéntrico (ECI) Útil para el estudio del movimiento de cuerpos orbitando la Tierra, por ejemplo los satélites GPS, y como sistema de referencia inercial absoluto. El eje Oz coincide con el eje de rotación de la Tierra. El plano Oxy contiene al Ecuador y Ox apunta a , el primer punto de Aries (una dirección fija en las estrellas). No es realmente inercial (se está despreciando el movimiento de la Tierra en torno al Sol, y el movimiento propio del Sol respecto a las estrellas). 55 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Sistemas de referencia Tiempos Sistema de Ejes Tierra (ECEF) Ligado ı́ntimamente a la Tierra, rota con ella. Util para referenciar posiciones terrestres. El plano Oxy contiene al Ecuador y el plano Oxz al Meridiano de Greenwich. La forma de la Tierra se asimila a un elipsoide de revolución (Elipsoide Internacional WGS84) alrededor del eje Oz (de rotación de la Tierra). 56 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Sistemas de referencia Tiempos Sistema Topocéntrico Ligado ı́ntimamente a la Tierra, con origen en el donde se encuentre el observador (E ). Se usa para tomar medidas desde Tierra. El plano Exy es tangente al Elipsoide Internacional WGS84 en la superficie, la dirección Ex apunta al Este, la dirección Ey al Norte, y la Ez sigue la vertical local “hacia arriba” (cénit). La dirección local “hacia abajo” se denomina nadir. Las observaciones se componen de tres medidas: r o ρ (distancia al objeto); A, azimut; y h, la altura o elevación sobre el plano horizontal. 57 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Sistemas de referencia Tiempos Sistema de ejes horizonte local (LLS,NED) 42 APPLIED MATHEMATICS IN INTEGRATED NAVIGATION SYSTEMS Llamada en inglés LLS=Local Level System o NED=North East Down. También “ejes geodéticos o geodésicos locales”. Es un sistema local centrado en un punto que puede o no estar en la superficie de la Tierra. Por tanto cambia al moverse el punto. Fig. 3.1 ECEF coordinate frame with z axis along Earth's rotation axis. Está definida respecto al elipsoide: la dirección Norte es e φ , la dirección Este es e y la dirección abajo es −e h . Earth-Centered, Earth-Fixed Frame The Earth-centered, Earth-fixed (ECEF) frame is fixed within the Earth and its λ in current use vary. rotation, and it is centered at the Earth's center. Axis definitions Shown in Figs. 3.1, 3.2, and 3.3 are illustrations of three possible ECEF frames. In the first frame, shown in Fig. 3.1, the z axis is parallel to and aligned with the direction of the Earth's rotation. In the equatorial plane, the x axis locates the Greenwich meridian and the y axis completes the right-hand system. In Fig. 3.2, the y axis is parallel to the direction of the Earth's rotation. In the equatorial plane, the z axis locates the Greenwich meridian and the x axis completes the righthand system. In the third frame, Fig. 3.3, the x axis is parallel to the direction of the Earth's rotation. The z axis locates the Greenwich meridian and the y axis completes the right-hand system. Es el sistema de referencia fundamental usado en navegación, aunque a veces es sustituido por el de azimut errante (ver siguiente transparencia). 58 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Sistemas de referencia Tiempos Sistema de referencia de azimut de deriva Llamada en inglés “Wander azimuth frame”. Se usa frecuentemente en navegación en vez del sistema de referencia horizonte local debido a que, en las proximidades de los polos, dicho sistema está mal definido y ocasiona problemas numéricos. Se rota un ángulo α respecto a la dirección N/E. Dicho ángulo y su variación se puede definir por el diseñador del sistema de navegación. Con α = α̇ = 0 recuperamos el sistema de ejes horizonte local. Tı́picamente se define α̇ = λ̇ sin φ. 59 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Sistemas de referencia Tiempos Sistema de referencia ejes cuerpo (BFS) Llamada en inglés BFS=Body Fixed System. Se utiliza para definir la actitud (orientación) de la aeronave, respecto el sistema de ejes de navegación (NED o wander azimuth). 60 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Sistemas de referencia Tiempos Sistema de referencia ejes cuerpo (BFS) Los ejes están definidos como en la figura. El centro del sistema de referencia, en el centro de masas del avión. El eje xb contenido en el plano de simetrı́a del avión, hacia el morro. El ángulo rotado en torno a xb es ϕ (alabeo o roll). El eje zb contenido en el plano de simetrı́a del avión, hacia abajo. El ángulo rotado en torno a zb es ψ (guiñada o yaw). El eje yb completa el triedro (dirección aproximada del ala derecha). El ángulo rotado en torno a yb es θ (cabeceo o pitch). 61 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Sistemas de referencia Tiempos Relación entre sistemas de referencia Dado un sistema de referencia A y un sistema de referencia B, para pasar de uno a otro habrá que tener en cuenta dos hechos: Cuando no coinciden los orı́genes de A y B, habrá que realizar una translación: r A = r B + r BA . Cuando A y B están rotados entre sı́, habrá que realizar una rotación: r A = CBA r B , donde CBA será la matriz del cambio de base entre A y B (ortogonal). Además, a la hora de estudiar derivadas, hay que tener en cuenta que la derivada tomada en dos sistema de referencia distintos cambia si dichos sistemas rotan uno en relación al otro con velocidad angular ωB/A . Lo estudiaremos más adelante. 62 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Sistemas de referencia Tiempos Algunas definiciones de interés Velocidad inercial: es la derivada de la posición, tomada en el sistema de referencia inercial, es decir, v i = ṙ i . Velocidad respecto a Tierra: es la derivada de la posición, tomada en el sistema de referencia ejes Tierra, es decir, v e = ṙ e . Obsérvese que ambas definiciones no coinciden puesto que la Tierra rota; además v e 6= Cie v i porque las derivadas no están tomadas en el mismo sistema de referencia. Más adelante veremos como están relacionadas ambas cantidades. Posición en los ejes de navegación: es la posición respecto a Tierra r e tomada en el sistema de referencia de navegación, es decir, r n = Cen r e . Velocidad en los ejes de navegación: es la velocidad respecto a Tierra v e tomada en el sistema de referencia de navegación, es decir, v n = Cen v e . Obsérvese que v n 6= ṙ n ! 63 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Sistemas de referencia Tiempos Algunas definiciones de interés Ésta velocidad v n es la velocidad “percibida” en el avión. Cuando n es el sistema de referencia horizonte local, esta velocidad se suele descomponer en: Módulo: velocidad respecto a Tierra, a veces llamada Vg . Serı́a la velocidad real del avión respecto al suelo. Ángulo formado entre v n y el plano horizonte local: ángulo de trayectoria γ (flight path angle). Ángulo formado entre la proyección de v n en el plano horizonte local y la dirección Norte: ángulo de rumbo χ (heading angle). Hay que tener en cuenta que el ángulo de rumbo χ y el de guiñada ψ pueden no coincidir, especialmente en presencia de viento. 64 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Sistemas de referencia Tiempos Relación entre ECEF y ECI. Para encontrar Cie , hay que tener en cuenta que la Tierra gira con velocidad angular ωi/e = [0 0 ωE ]T , es decir, ambos sistemas de referencia estarán rotados una cantidad θE = θE 0 + ωE t. Luego: θ E ECI −→ ECEF zi Por tanto: cθE Cie = −sθE 0 sθE cθE 0 0 0 1 Donde c = cos y s = sen. 65 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Sistemas de referencia Tiempos Relación entre LLS y ECEF. Para encontrar Ceg (donde g hace referencia al carácter geodésico de LLS), hay que tener en cuenta la posición (λ, φ) y realizar las siguientes operaciones: Rotar λ grados en torno a z e . Rotar −φ grados en torno al nuevo eje y . El sistema resultante tiene x en la dirección −z y z en la dirección x. Por tanto girar -90 grados adicionales. λ −φ −90 z yS yS 0 −→ LLS ECEF −→ S −→ S e 0 Por tanto: Ce S = g = Ce sλ 0 cφ 0 sφ 0 0 cλ 0 CSS = 0 1 0 C g0 = 0 S 0 1 −sφ 0 cφ −1 −sφcλ −sφsλ cφ g S0 S −sλ cλ 0 C 0 CS Ce = S −cφcλ −cφsλ −sφ cλ −sλ 0 0 1 0 1 0 0 66 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Sistemas de referencia Tiempos Relación entre LLS y azimut errante (n). Para encontrar Cgn , hay que tener en cuenta que la rotación de ángulo α en torno al eje z. Por tanto: α LLS −→ WA z Por tanto: cα sα 0 Cgn = −sα cα 0 0 0 1 67 / 70 Fig. 2.3 Single rotation in three-axis coordinate frame. Geodesia Sistemas de referencia Cartografı́a vector's components described in one frame can be described in another frame Tiempos Sistemas de referencia. Tiempos marbitrary orientation with respect to the original frame by a transformation composed of three sequential rotations (Euler angles) starting from the original me's axes. These rotations are illustrated in Fig. 2.4. In this figure, the primes used to represent the corresponding transformed axis. The final y frame coronds to the triple primed x axes. Written in vector form, the transformation is Relación entre n y BFS Para encontrar Cnb hay que tener en cuenta los ángulos de re the transformation DCM, c:, transforms the components of the r vector Euler (ψ, θ, ϕ). m the x frame to the y frame. Las operaciones son: Rotar ψ grados en torno a z n . Rotar θ grados en torno al nuevo eje y . Rotar ϕ grados en torno al nuevo eje x. ψ θ ϕ z yS xS 0 n −→ S −→ −→ BFS S n 0 Se llega a: Fig. 2.4 Three rotations in three-axis coordinate frame. b Cn = cθcψ b S0 S CS 0 CS Cn = −cϕsψ + sϕsθcψ sϕsψ + cϕsθcψ cθsψ cϕcψ + sϕsθsψ −sϕcψ + cϕsθsψ −sθ sϕcθ cϕcθ 68 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Sistemas de referencia Tiempos Tiempos de interés en Navegación Aérea Tiempo Universal Coordinado (UTC): Medido por relojes atómicos a lo largo del mundo. Cada cierto tiempo (a lo largo de años) se añaden o restan segundos para compensar la pequeña irregularidad de la rotación de la Tierra. El huso horario se define como UTC±n. Además hay que tener en cuenta el cambio de horario de verano. Por ejemplo, Sevilla es UTC+1, y en verano UTC+2. A efectos prácticos UTC coincide con el viejo GMT. Tiempo GPS (GPST): Sirve de referencia para las aplicaciones relacionadas con GPS. Medido en los relojes atómicos a bordo de los Navstar. No se añaden ni restan segundos: no coincide con UTC (difiere en segundos). 69 / 70 Geodesia Cartografı́a Sistemas de referencia. Tiempos Sistemas de referencia Tiempos Husos horarios 70 / 70