Navegación Aérea - Tema 1: Geodesia. Cartografía. Sistemas de

Transcripción

Geodesia
Cartografı́a
Sistemas de referencia. Tiempos
Navegación Aérea
Tema 1: Geodesia. Cartografı́a. Sistemas de referencia.
Tiempos.
Geodesia
Cartografı́a
La geodesia a través de la Historia
Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
Geodesia
Geodesia: Ciencia que se ocupa de la forma, medida y
representación de la Tierra y de su campo gravitatorio.
También estudia otros fenómenos, como por ejemplo el
movimiento de las placas tectónicas, la rotación de la Tierra,
el desplazamiento de los Polos o las mareas.
Forma de la Tierra: Se plantean modelos locales
(útiles para una cierta región, como por ejemplo o
un paı́s) o globales.
Medida de la Tierra: A pequeña escala (topografı́a:
estudios geodésicos, triangulaciones geodésicas con
teodolitos), o a gran escala (radio de la Tierra,
aplanamiento, etc...).
Representación de la Tierra: En este aspecto,
ı́ntimamente ligada a la cartografı́a.
Campo gravitatorio de la Tierra: en este aspecto se
denomina geodesia fı́sica (rotación, mareas,
densidad de las capas de la Tierra...).
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Geodesia
Cartografı́a
Modelos de Tierra
Modelos de Tierra en la Antigüedad
En tiempos antiguos (primeras civilizaciones), los
desplazamientos eran muy cortos y por tanto el efecto de la
curvatura muy poco apreciable.
Por tanto, tı́picamente se asumı́a un modelo de Tierra plana1 .
No obstante ya habı́a algunos efectos
apreciables para una mente observadora:
En un eclipse de Luna, la sombra de la
Tierra es circular (¿y si la Tierra fuera un
disco?).
Cuando un barco se adentra en el mar, lo
último que desaparece son las velas!
Los griegos fueron los primeros en proponer
otro modelo de Tierra diferente: una Tierra
esférica.
1
Aún existe quien ası́ lo piensa, p.ej. los miembros de la Flat Earth Society.
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Modelos de Tierra
Modelos de Tierra en la Antigüedad
Los griegos eligieron una esfera por coherencia con las
observaciones, pero sobre todo por motivos filosóficos: la
esfera es el sólido más perfecto.
Entre otros, argumentaron que la Tierra era una esfera
Pitágoras, Aristóteles, Platón o Arquı́medes.
El primero en estimar la circunferencia de la
esfera terrestre fue Eratóstenes, alrededor
del año 240 A.C.
Eratóstenes de Cirene era un matemático,
poeta, atleta, geógrafo y astrónomo griego.
También estimó la inclinación del eje de la
Tierra con respecto a la eclı́ptica (plano
donde orbita la Tierra en torno al Sol), y se
le atribuye estimar la distancia Tierra-Sol y
la invención del año bisiesto.
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Modelos de Tierra
Midiendo la circunferencia de la Tierra
Eratóstenes usó trigonometrı́a para medir el radio de la Tierra,
supuesta ésta esférica (el radio real es aproximadamente 6370
kilómetros).
En Asuán, durante el Solsticio de Verano, el Sol se encontraba
totalmente vertical. ¿Qué es el Solsticio de Verano y
qué implica que el Sol esté vertical?
El mismo dı́a, en Alejandrı́a, un obelisco
proyectaba una sombra de ángulo 7,12o .
Eratóstenes sabı́a que la distancia entre
Alejandrı́a y Asuán era de unos 5000
estadios.
En unidades modernas, 1 estadio = 157.5
metros.
Ejercicio: Reproducir el cálculo de
Eratóstenes.
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Modelos de Tierra
Modelo de Tierra esférico
Posteriormente Ptolomeo (en el siglo II D.C.) estimó el
perı́metro de la Tierra en 29000 kilómetros (realmente son
unos 40000 kilómetros). Dado el prestigio de Ptolomeo, ésta
estimación se mantuvo durante la Edad Media y Renacimiento
y fue la utilizada por Colón para planear su viaje a las Indias.
Si la Tierra es esférica, se pueden definir
latitud, longitud, meridianos y paralelos.
¿Cuál es la latitud y longitud de Sevilla?
¿qué longitud tiene un cierto arco dado
sobre un meridiano? ¿y sobre un paralelo?
Tomando el radio de la Tierra como 6366.7
kilómetros, ¿qué longitud cubre un minuto
de arco de meridiano? (1’=1/60 grados)
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Modelo de Tierra elipsoidal
Cassini (Francia, s.XVIII) midió con precisión un arco de
meridiano y observó el siguiente fenómeno: tomando como
referencia Parı́s, 1 grado de arco medido hacia el Norte era
más largo que un grado de arco medido hacia el Sur.
Para resolver la discrepancia, propuso un
modelo elipsoidal (de revolución) de la
Tierra, de forma que el radio en el Polo es
mayor que el radio en el Ecuador.
Huygens y Newton habı́an propuesto
décadas atrás el modelo opuesto, un
elipsoide de revolución con mayor radio en el
Ecuador que en el Polo.
El asunto se convertió en una cuestión de
orgullo nacional, Francia vs. Gran Bretaña.
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La geodesia en tiempos modernos
La academia de Ciencias francesa mandó una expedición a
regiones polares para hacer medidas más precisas.
Las medidas dieron la razón a los ingleses.
Éste fue el primer avance importante en geodesia en casi 20
siglos.
En el siglo XIX, la geodesia aparece como
ciencia independiente gracias a las
contribuciones de Bessel, Gauss, etc...
En tiempos modernos, la geodesia ha
experimentado un nuevo auge gracias a la
exploración del espacio.
Sistemas basados en satélites como GPS y
otros permiten determinar medidas
geodéticas con una precisión antes
inalcanzable.
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Modelos de Tierra
Modelos de Tierra
Dependiendo del objetivo que se pretende alcanzar, en
diferentes disciplinas se pueden emplear diferentes modelos de
Tierra.
En estudios simplificados y locales se puede usar Tierra plana
(p. ej. en Mecánica del Vuelo).
En el otro extremo está la superficie topográfica de la Tierra:
es la forma real de la Tierra, pero para poder usarla hacen
falta infinitos puntos: no es práctica en la mayor parte de los
casos.
Otra posibilidad es definir una superficie ideal, matemática, de
referencia, admitiendo que la Tierra “se parece” a pero no es
exactamente dicha superficie. Hay dos posibilidades:
Esfera: más simple pero menos precisa.
Elipsoide de revolución achatado en los polos.
Finalmente, el geoide es una superficie compleja que aproxima
bien la topográfica, definida en base al modelo geopotencial
(gravitatorio y de rotación terrestre).
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Elipsoides de referencia
Puesto que la Tierra tiene una forma aproximadamente
elipsoidal, éste modelo tiene el mérito de ser lo
suficientemente simple como para ser manejable y lo
suficientemente preciso como para ser útil en la práctica.
Para definir un elipsoide son necesarios dos parámetros:
re = semieje ecuatorial (mayor) [a veces llamado a].
rp = semieje polar (menor) [a veces llamado b].
Tı́picamente no se emplea b, sino que se
utiliza el “factor de achatamiento” o de
aplanamiento (flattening): f = 1 − rp /re .
En tablas se suele dar más bien 1/f .
Otraq
alternativa a f es la excentricidad
e = 1 − rp2 /re2 .
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Modelos de Tierra
Elipsoides de referencia
Existen muchos elipsoides definidos, que aproximan mejor
diferentes zonas de la Tierra.
Es sencillo convertir coordenadas de un elipsoide a otro.
En la actualidad ha emergido un estándar
comúnmente aceptado en todo el mundo.
Se denomina Elipsoide Internacional de
Referencia WGS84.
Para el WGS84, re = 6378,137 kilómetros y
1/f = 298,257224.
El uso del WGS84 se debe a que es
empleado por los satélites GPS; todos los
receptores GPS trabajan con coordenadas
definidas por el elipsoide WGS84.
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Modelos de Tierra
Otros elipsoides de referencia
Ejemplos de otros elipsoides de referencia:
En España hasta hace poco se usaba el ED50, basado en el
Internacional, pero ahora se usa el GRS80, que es equivalente
(por milı́metros) al WGS84.
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Sistema Geográfico de referencia
También llamado ejes Tierra o ECEF (Earth
Centered, Earth Fixed).
Ligado a la Tierra, rota con ella.
Util para referenciar posiciones en toda la
Tierra.
Coordenadas cartesianas:
xECEF = [x ECEF y ECEF z ECEF ]T .
El plano Ox e y e contiene al Ecuador y el
plano Ox e z e al Meridiano de Greenwich.
La forma de la Tierra se asimila al elipsoide
WGS84.
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Coordenadas geodéticas o geodésicas
Un punto queda determinado por su
altitud h, latitud geodésica φ y longitud
geodésica λ.
Obsérvese que h mide la altitud sobre
una perpendicular al suelo (vertical
local) que no coincide en general con
una lı́nea que una el punto con el
centro de la Tierra.
Relación con las coordenadas cartesianas:
x
ECEF
y
ECEF
z
ECEF
=
=
=
h+ p
h+ p
h+ p
re
!
cos φ cos λ =
1 − f (2 − f ) sen2 φ
re
1 − f (2 − f ) sen2 φ
sen φ =
cos φ cos λ,
re
!
cos φ sen λ,
1 − e 2 sen2 φ
!
re (1 − e 2 )
h+ p
sen φ.
1 − e 2 sen2 φ
cos φ sen λ =
!
!
1 − e 2 sen2 φ
!
1 − f (2 − f ) sen2 φ
re (1 − f )2
h+ p
re
h+ p
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Coordenadas geocéntricas
También se pueden emplear coordenadas
esféricas tradicionales:Un punto P queda
determinado por el radio r (medido desde el
centro de la Tierra), la latitud geocéntrica φC y
la longitud geocéntrica λC .
Es evidente que λC = λ, al ser el elipsoide de
revolución. No obstante, φ 6= φC .
En la figura se ha elegido un meridiano β por el
que se ha “cortado” el elipsoide.
Usando la figura se pueden demostrar las
fórmulas de la anterior transparencia.
Relación con las coordenadas cartesianas:
x ECEF
=
r cos φC cos λC ,
r
=
y ECEF
=
r cos φC sen λC ,
tan λC
=
z ECEF
=
r sen φC ,
tan φC
=
q
(x ECEF )2 + (y ECEF )2 + (z ECEF )2 ,
y ECEF
,
x ECEF
z ECEF
q
(x ECEF )2 +(y ECEF )2
.
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Pasar de coordenadas cartesianas a geodésicas
Dadas las coordenadas geodésicas, es inmediato obtener las
coordenadas x ECEF .
El procedimiento inverso ha de hacerse numéricamente.
Únicamente se puede calcular con facilidad λ de
y ECEF
tan λ = x ECEF .
Para ello conviene definir la función N(φ) = √ r2e 2 y
1−e sen φ
p
escribir p = (x ECEF )2 + (y ECEF )2 .
1
2
Asumir h0 = 0. Entonces tan φ0 =
Iterar para i = 0, 1, . . .:
z ECEF
.
p(1−e 2 )
re
.
1−e 2 sen2 φi
p
cos φi − Ni .
a Calcular Ni = √
b Calcular hi+1 =
c Calcular φi+1 de tan φi+1 =
z ECEF
N
p 1−e 2 N +hi
i
3
.
Volver a (a).
i+1
Parar cuando el procedimiento iterativo converja.
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Sistema de referencia local y radios de curvatura
En la figura se ve un sistema de ejes
definido localmente, llamado NED:
North-East-Down.
Coincide con el sistema definido por las
coordenadas curvilineas φ, λ, h, de
forma que N=e φ , E=e λ , D=−e h .
Dicho sistema es fundamental en
navegación aérea, a veces se llama
“navigation frame”.
El radio de curvatura del elipsoide a lo largo de un meridiano
re (1−e 2 )
(λ =cte) es Rmer = (1−e 2 sen2 φ)3/2 .
El radio de curvatura del elipsoide a lo largo de un paralelo
(φ =cte) es Rnormal cos φ, donde Rnormal = √ r2e 2 .
1−e sen φ
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Modelos gravitatorios
Si la Tierra fuera una esfera perfecta, homogénea por capas
esféricas (como una cebolla), la aceleración de la gravedad g
serı́a igual a G = − µr 3e r , donde r = x ECEF .
En realidad, se tiene que G = G (r , λ, φ).
Para estudiar G es más sencillo usar un potencial U G y
utilizar coordenadas geocéntricas r , λC , φC .
Por tanto G = ∇U G , es decir, en esféricas:
1 ∂U G
1
∂U G
∂U G
G = ∂r e r + r ∂φC e φC + r cos λC ∂λC e λC .
Modelo esférico: U G = µre .
Modelo elipsoidal
(J2 ):
h
i
2
U G = µre 1 + J22 rre (1 − 3 sen2 φC ) , donde J2 es un
coeficiente.
Modelo EGM96: hasta 360 términos realizando correciones
por la forma de la Tierra y la distribución másica.
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La rotación de la Tierra
La Tierra rota con una velocidad ωe en torno al eje z e . Puesto
que los ejes ECEF son solidarios con la Tierra, en dichos ejes
hay que añadir las fuerzas de inercia ficticias.
Concretamente aparece una aceleración centrı́fuga, dada por
acent = −ω e × (ω e × x ECEF ).
ECEF ECEF T
2
Se tiene que acent = −ωe x
y
0 .
Si escribimos
Uω
=
ωe2 r 2 cos2 φC
2
, se tiene que acent = ∇U ω .
Nótese que desde el punto de vista de un observador, la
aceleración centrı́fuga es completamente indistinguible de la
gravitatoria.
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El geopotencial
Por tanto a todos los efectos se puede sumar la aceleración
centrı́fuga a la gravitatoria, y considerar la suma como la
“gravedad sentida” g .
Se tiene por tanto g = G + acent .
A nivel de potenciales, U g = U G + U ω .
La función U g se denomina geopotencial.
Obsérvese que esta misma operación no se puede realizar con
la otra fuerza de inercia producto de la no inercialidad del
sistema de referencia ECEF, que es la fuerza de Coriolis.
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El geoide
El geopotencial se utiliza para definir el geoide, una superficie
que aproxima la forma verdadera de la Tierra.
Se define el geoide como la superficie equipotencial (con
respecto al geopotencial U g ) que mejor aproxima (en el
sentido de mı́nimos cuadrados) el nivel medio del mar global.
Con los modelos gravitatorios antes
expuestos:
Si se considera la gravedad de una esfera y
se desprecia la rotación de la Tierra, se
tiene que el geoide es una esfera.
2 Si se considera la gravedad con el modelo
J2 (de un elipsoide) y con la rotación de la
Tierra, se obtiene el elipsoide WGS84.
3 Si se considera el modelo completo de
gravedad EGM96 se obitene el llamado
geoide EGM96.
1
Un geoide (exagerado).
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Modelos de Tierra
El geoide
En las figuras se puede ver la relación entre la superficie de la
Tierra (topográfica), el geoide, y el elipsoide.
Se define N como la undulación del geoide. Se tiene
N ≤ 100 m (para el geoide EGM96 respecto al elipsoide
WGS84).
En la figura de la izquierda aparece la altura
elipsoidal (como h) y la altura ortométrica o
elevación geoidal (como H).
La altura AGL hAGL es la distancia a la
superficie, y se define como altitud menos
altura elipsoidal.
Un modelo de terreno vendrá dado como
una función que da la altura elipsoidal
dependiendo de los valores de λ y φ. 22 / 70
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Modelos de Tierra
Otros modelos gravitatorios de referencia
Para simplificar, en ocasiones se usan otros modelos más
simples de gravedad, p.ej. gravedad constante. No obstante, si
se quiere una gran precisión habrá que utilizar el modelo más
complejo disponible.
La mayor parte de los sistemas de navegación emplean
modelos simplificados, donde se define g como un escalar y
luego se escribe g n = [0 0 g ], donde n es el sistema de
referencia NED (luego D es “hacia abajo”).
e
Nosotros usaremos g = (re µ+h)
2.
El WGS84 define un modelo simplificado con algunos
coeficientes (no lo usaremos).
Puesto que el modelo no es correcto, se debe incluir la
posibilidad de que tenga errores (anomalı́as gravitatorias):
g n = [ξg − ηg g ], donde ξ y η son pequeños ángulos, que se
mantendrán constantes en pequeñas distancias.
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Modelos de Tierra
Lı́nea de plomada y deflexión vertical
La linea de plomada o vertical astronómica
es perpendicular al geoide, y es hacia donde
en la realidad se dirige g .
La linea perpendicular al elipsoide es hacia
donde se dirige g según el modelo de la
anterior transparencia.
La diferencia entre ambas es la llamada
“deflexión vertical”.
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Proyecciones. Mapas y Cartas
Rutas ortodrómicas y loxodrómicas
Cartografı́a
Cartografı́a: es la disciplina que estudia la teorı́a y la
confección de mapas geográficos y cartas.
Para ello combina ciencia, técnica e incluso estética, partiendo
de la premisa de que se puede comunicar información
geográfica de forma efectiva modelando adecuadamente la
realidad fı́sica.
Los principales problemas que encuentra la
cartografı́a son:
Seleccionar los aspectos geográficos que se
muestran en una representación.
Eliminar la complejidad innecesaria o
irrelevante contenida en una representación.
Combinar los elementos representativos que
tiene una representación para comunicar de
forma efectiva la información deseada.
Plasmar la representación de la realidad
tridimensional sobre una superficie plana (el
mapa o carta): mediante proyecciones.
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Mapas/Cartas: representaciones en un plano y a tamaño
reducido de la superficie de la Tierra o una parte de ella.
Un mapa siempre introduce distorsiones (es decir, no es
completamente fiel a la realidad) debido a que la superficie
que se pretende representar tiene curvatura.
Ésto fue demostrado matemáticamente por Euler.
Para crear un mapa se emplea una proyección.
Concretamente, se proyecta el plano terráqueo sobre una
cierta superficie:
Un plano (proyección tipo azimutal).
Un cilindro (proyección cilı́ndrica).
Un cono.
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Proyecciones.
Otras formas de clasificar una proyección podrı́an ser:
Por la orientación de la superficie respecto al Ecuador:
normales, trasversales u oblicuas.
Por la posición del globo terráqueo respecto a la superficie:
tangente (podrı́a tener una lı́nea sin deformación) o secante
(podrı́a tener dos lı́neas sin deformación).
Más importante es el tipo de proyección; p.ej. para el caso
de un plano:
Gnomónica (la proyección pasa por el centro de la
Tierra).
Estereográfica (pasa por el punto antipodal).
Ortográfica (la proyección tiene una dirección fija).
Escenográfica (la proyección viene desde fuera del
globo terrestre).
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Propiedades de una proyección
Las propiedades más importantes de una proyección son:
Conformidad. Una proyección es conforme si preserva los
ángulos (y por tanto los rumbos); además preserva las formas
a nivel local. Los meridianos y paralelos siguen siendo
perpendiculares. Muy útiles en navegación.
Conservación de áreas. Una proyección es equiareal si mantiene
la proporción entre áreas. Útiles sobre todo en aplicaciones
administrativas/polı́ticas.
Equidistancia: una proyección NO puede mantener la
proporción correcta entre TODAS las distancias. No obstante
sı́ pueden existir algunas lı́neas con esta propiedad: lı́neas
automecoicas. Una carta que tenga “muchas” lı́neas
automecoicas se denomina equidistante.
Un mapa no puede ser conforme y equiareal (Euler); si lo
fuera, serı́a una representación perfecta del globo terrestre.
Siempre hay que renunciar al menos a una de las propiedades.
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Proyección de Mercator.
Muy utilizada en navegación marı́tima.
Inventada en el siglo XVI.
Cilı́ndrica, trasversal y conforme.
Ecuaciones matemáticas:
φ
π
x = λ − λ0 , y = ln tan 4 + 2 .
No acotada en y : se suele cortar a
altas latitudes.
Cuanto más cerca de los polos, más
se distorsiona el mapa (observar
como se amplı́a la distancia en
proyección entre paralelos
equidistantes en la realidad).
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Proyección cilı́ndrica equidistante.
Permite ver la Tierra completa.
Cilı́ndrica, trasversal, tangente, ortográfica.
Tı́picamente usada para representar trazas de satélites.
x = λ − λ0 , y = φ.
Acotada en y . Por tanto, no
conforme.
Tampoco es equiareal.
Su sencillez la hace popular en
representaciones generadas por
ordenador.
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Proyección estereográfica.
Útil para estudiar las proximidades de
un punto, p.ej. el Polo.
Conforme.
Plana, normal, tangente, estereográfica.
x = cos φ sen(λ − λ0 ),
y = cos φ0 sen φ − sen φ0 cos φ cos(λ − λ0 ).
No acotada: se suele cortar a
puntos cercanos al antipodal del
centro de la proyección.
Útil para estudiar las proximidades
de un punto.
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Cartografı́a
Proyección de Lambert.
Utilizada en navegación aérea.
Cónica, normal, secante
y estereográfica.
Las lineas rectas aproximan rutas
ortodrómicas (ver más adelante).
x = ρ sen(n(λ − λ0 )), y = ρ0 − ρ cos(n(λ − λ0 )),
donde:
ln(cos φ sec φ )
1
2
,
n = ln(tan(π/4−φ /2)
cot(π/4−φ1 /2))
2
ρ = F cotn (π/4 + φ/2), ρ0 = F cotn (π/4 + φ0 /2),
F = 1/n cos φ1 tann (π/4 + φ1 /2).
No acotada se suele reducir a una
zona de interés.
2 paralelos automecoicos (φ1 , φ2 ).
Suelen ser locales y no globales.
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Geodesia
Cartografı́a
Proyección azimutal equidistante.
En el emblema de la ONU.
Azimutal, escenográfica,
tangente, normal.
x = senc c cos φ sen(λ − λ0 ),
y = senc c [cos φ0 sen φ − sen φ0 cos φ cos(λ − λ0 )], donde
cos c = sen φ0 sen φ − cos φ0 cos φ cos(λ − λ0 ).
Acotada: convierte el punto antipodal en
una circunferencia limı́trofe.
Sólo libre de distorsión en torno al punto
central.
Todas las distancias medidas desde el
punto central son verdaderas (lı́neas
automecoicas).
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Cartografı́a
Rutas más usuales
Dado un mapa, un origen y un destino, se plantea el problema
de encontrar el camino más apropiado para ir de uno a otro.
En la realidad, esta elección del camino (que se plasma en el
plan de vuelo) está sujeta a numerosas restricciones. A dı́a de
hoy, se vuela entre “waypoints”.
Además habrı́a que tener en cuenta los vientos.
No obstante, en esta lección vamos a simplificar el problema y
vamos a suponer que en principio cualquier camino es volable.
Además supondremos que la Tierra es una esfera de radio Re .
Veremos dos posibilidades:
El camino más corto: Ruta ortodrómica.
El camino más simple de volar: Ruta loxodrómica.
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Geodesia
Cartografı́a
Rutas ortodrómicas. Cı́rculos máximos
Una Ruta ortodrómica entre dos puntos de la Tierra es el
camino más corto entre dichos puntos.
Podemos traducir el problema a términos matemáticos,
considerando un modelo de Tierra esférica.
Dados dos puntos PA y PB en la esfera, dados como (φA ,λA )
y (φB ,λB ), de todas las curva sobre la esfera que unen dichos
puntos, ¿cuál es la de mı́nima distancia?
Si estuvieramos en el plano, la respuesta es una lı́nea recta.
En una superficie con curvatura, dicha curva se denomina
geodésica y en general no es una recta.
La geometrı́a diferencial da unas ecuaciones para hallar la
geodésica en función de la primera forma diferencial, los
sı́mbolos de Christoffel, etc...
Para el caso de la esfera, la solución es simple y sólo requiere
el uso de geometrı́a elemental.
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Geodesia
Cartografı́a
Cı́rculos máximos
En una esfera, un “cı́rculo mayor” (gran
cı́rculo, cı́rculo máximo) viene dado por la
intersección de un plano que pasa por el
centro de la esfera con la esfera.
®
Las “rectas esféricas” (geodésicas) son
los cı́rculos mayores. Obsérvese que
cualesquiera dos rectas esféricas cortan
siempre en dos puntos; por tanto, no
existen paralelas en geometrı́a esférica.
El problema queda reducido a:
Dados dos puntos, determinar el cı́rculo mayor que contiene a
ambos. ¿Es dicho cı́rculo único?
Medir la distancia sobre dicho cı́rculo: dará la distancia entre
los dos puntos.
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Geodesia
Cartografı́a
Cı́rculo máximo entre dos puntos
Dados dos puntos PA = (φA , λA ), PB = (φB , λB ), se dice que
PA y PB son antipodales si φB = −φA y λB = 180o + λA .
Si PA y PB NO son antipodales, existe un único cı́rculo
máximo que contenga a ambos. La ortodrómica será el arco
más corto que los una.
Si PA y PB son antipodales, existen infinitos cı́rculos máximos
que los unen; cualquier semicircunferencia de dichos cı́rculos
máximos es una ortodrómica. ¿Por qué? ¿Cuál es por tanto la
distancia entre dos puntos antipodales (en millas náuticas)?
¿Son los meridianos ortodrómicas?
¿Son los paralelos ortodrómicas?
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Geodesia
Cartografı́a
Cálculo de la ruta ortodrómica. Rumbo
Recordemos que en una esfera,
r = Re [cos φ cos λ cos φ sen λ sen φ].
Recordemos además los vectores que definen la base local en
coordenadas curvilı́neas:






cos φ cos λ
− sen φ cos λ
− sen λ
e r =  cos φ sen λ  , e φ =  − sen φ sen λ  , e λ =  cos λ  .
sen φ
cos φ
0
Fı́sicamente e r apunta hacia el cénit, e φ hacia el Norte y e λ
hacia el Este.
Dada una curva cualquiera en la esfera, se define el rumbo
(también llamado azimut) en un punto de la curva como el
ángulo que forma el vector e φ con el vector tangente de dicha
curva e t , medido en el sentido de las agujas del reloj.
¿Qué significado fı́sico tienen los rumbos 0o , 90o , 180o y 270o ?
En general el rumbo cambiará según el punto de la curva y el
sentido en que se recorra.
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Geodesia
Cartografı́a
Cálculo de la ruta ortodrómica
Escribamos los vectores de los puntos:




cos φA cos λA
cos φB cos λB
r A = Re  cos φA sen λA  , r B = Re  cos φB sen λB  .
sen φA
sen φB
Geométricamente, se puede ver que el arco que abarca la
ortodrómica es el ángulo α formado por los vectores.
Por tanto:
r A · r B = kr A kkr B k cos α,
y se llega a:
cos α = sen φA sen φB + cos φA cos φB cos(λB − λA )
¿Cuál serı́a la ecuación implı́cita que verificarı́an todos los
puntos de la ortodrómica?
Una vez se tiene α, dA,B = αRe .
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Geodesia
Cartografı́a
Cálculo del rumbo en la ortodrómica I
¿Cómo calcular el rumbo del que habrı́a que partir desde A
para recorrer la ortodrómica? Recordemos que el rumbo serı́a
el ángulo entre el vector e φ en A y la tangente e t en A.
En primer lugar, se tiene que el vector normal al plano que
define la ortodrómica será:
n = rA × rB
Por otro lado, e t será perpendicular tanto a n como a e r en
A. Por tanto:
e t (A) = n × e r (A) = (r A × r B ) × e r (A)
Usando la identidad: a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c, se llega
a:
e t (A) = −e r (A) × (r A × r B ) = (e r (A) · r A )r B − (e r (A) · r B )r A
= Re (r B − cos αr A )
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Geodesia
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Cálculo del rumbo en la ortodrómica II
El módulo de dicho vector e t es:
ke t (A)k = kRe (r B − cos αr A ) k
p
= Re (r B − cos αr A ) · (r B − cos αr A )
q
= Re Re2 + cos2 αRe2 − 2Re2 cos2 α = Re2 sen α
Por tanto el vector e t normalizado es:
e ∗t (A)
=
e r (B) − cos αe r (A)
sen α
El rumbo χ(A) se encontrará de
cos χ(A) =
e φ (A)·e ∗t (A)
e φ (A) · e r (B) − cos αe φ (A) · e r (A)
=
sen α
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Geodesia
Cartografı́a
Cálculo del rumbo en la ortodrómica III
Luego finalmente:
e φ (A) · e r (B)
cos χ(A) =
sen α
Sustituyendo el valor de los vectores, se llega a:
cos χ(A) =
cos φA sen φB − cos φB sen φA cos(λB − λA )
sen α
¿Es el rumbo constante en todos los puntos de la
ortodrómica?
¿Cómo se resolverı́a el problema inverso? (Dado un punto
inicial, un rumbo inicial y una distancia a volar, determinar el
punto al que se llega siguiendo una ortodrómica).
¿Cuál es el rumbo en el caso antipodal?
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Geodesia
Cartografı́a
Rutas loxodrómicas
En la práctica, un piloto no puede volar una ruta ortodrómica
porque el rumbo de la ruta se modifica continuamente.
La ruta más fácil de volar es una que mantenga el rumbo
constante.
Una ruta loxodrómica entre dos puntos de la Tierra es el
camino más corto entre dichos puntos tal que el rumbo de
dicho camino es constante.
Por tanto, son fáciles de volar para un piloto humano.
Una ruta ortodrómica será más corta, pero no volable; por
tanto se puede aproximar por varios segmentos loxodrómicos.
¿Son los meridianos loxodrómicas?
¿Son los paralelos loxodrómicas?
¿Son las loxodrómicas curvas cerradas?
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Geodesia
Cartografı́a
Cálculo de la loxodrómica I
En primer lugar resolvamos el problema inverso: dado un
rumbo χ y un punto inicial, ¿qué curva se obtiene si se vuela
con dicho rumbo constante? La solución está clara en el caso
de meridianos y paralelos.
Supongamos, en el caso general, que describimos la curva
sobre la esfera con una ecuación del tipo φ = φ(λ). Por tanto
se tendrı́a:
r (λ) = Re [cos φ(λ) cos λ cos φ(λ) sen λ sen φ(λ)]T
d
De geometrı́a diferencial sabemos
que
e
=
t
dλ r (λ). Por
tanto: e t = Re e φ φ0 + e λ cos φ . Se calcula fácilmente que
p
ke t k = Re φ02 + cos2 φ.
0
et
φ
Puesto que cos χ = e φ · ke k , obtenemos: cos χ = √ 02
,
2
t
φ +cos φ
y despejando φ0 llegamos a la ecuación diferencial
φ0
1
=
cos φ
tan χ
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Geodesia
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Cálculo de la loxodrómica II
dφ
Puesto que se tiene cos
φ = − ln tan (π/4 − φ/2), integrando
llegamos a la siguiente solución:
λ − λA
tan (π/4 − φA /2)
=
ln
tan (π/4 − φ/2)
tan χ
R
¿Cuál serı́a la distancia entre dos puntos de una loxodrómica?
Recordar:
Z λ
Z λp
d=
ke t kdλ = Re
φ02 + cos2 φdλ
λA
λA
Usando la ecuación diferencial:
Z λ p
d = Re
φ0 1 + tan2 χdλ = Re
λA
1
cos χ
Z
λ
1
0
φ dλ = Re
cos χ
λA
Z
φ
dφ
φA
A
Se llega a: d = Re φ−φ
cos χ .
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Geodesia
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Cálculo de la loxodrómica III
Ya podemos resolver el problema directo: dados dos puntos A
y B, hallar la loxodrómica que los une y la distancia
loxodrómica que los separa.
En primer lugar hallar el rumbo de la ecuación:
tan (π/4 − φA /2)
λB − λA
ln
=
tan (π/4 − φB /2)
tan χ
φB − φA
En segundo lugar calcular la distancia de: d = Re
.
cos χ
Tener cuidado con los casos especiales!!
En una proyección de Mercator las loxodrómicas son rectas.
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Geodesia
Cartografı́a
Rutas ejemplo
Estudiemos las rutas entre Sevilla (λ = 5o 590 W,
φ = 37o 240 N) y las ciudades:
Madrid (λ = 4o 10 W, φ = 40o 460 N).
Nueva York (λ = 73o 580 W, φ = 40o 470 N).
Melbourne (λ = 144o 580 E, φ = 37o 490 S).
Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
Ciudad
Madrid
NY
Melbourne
Distancia (ort., km)
411.01
5728.8
17466
Rumbo inicial (grados, ort)
23.78
296.27
100
Distancia (lox., km)
411.02
5877.2
17641
Rumbo (lox., grados)
24.38
273.67
118.3
Si numéricamente se calculan los mismos casos sobre el
elipsoide WGS84, se obtienen los siguientes resultados:
Ciudad
Madrid
NY
Melbourne
Distancia (ort., km)
410.64
5742.7
17469
Rumbo inicial (grados, ort)
23.86
296.26
99.86
Distancia (lox., km)
410.65
5891.5
17644
Rumbo (lox., grados)
24.47
273.65
118.16
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Geodesia
Cartografı́a
Rutas ejemplo: Sevilla-Madrid
longitud (grad.)
−4
−4.5
−5
Ortodromica
Loxodromica
−5.5
−6
0
50
100
150
200
250
distancia (km.)
300
350
400
450
latitud (grad.)
41
40
39
Ortodromica
Loxodromica
38
37
0
50
100
150
200
250
distancia (km.)
300
350
400
450
Rumbo (grad.)
25.5
25
24.5
Ortodromica
Loxodromica
24
23.5
0
50
100
150
200
250
distancia (km.)
300
350
400
450
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Geodesia
Cartografı́a
Rutas ejemplo: Sevilla-Nueva York
longitud (grad.)
0
−20
−40
Loxodromica
Ortodromica
−60
−80
0
1000
2000
3000
distancia (km.)
4000
5000
6000
latitud (grad.)
45
40
Loxodromica
Ortodromica
35
0
1000
2000
3000
distancia (km.)
4000
5000
6000
Rumbo (grad.)
300
280
260
240
Loxodromica
Ortodromica
0
1000
2000
3000
distancia (km.)
4000
5000
6000
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Geodesia
Cartografı́a
Rutas ejemplo: Sevilla-Melbourne
longitud (grad.)
150
100
50
Loxodromica
Ortodromica
0
−50
0
2000
4000
6000
8000
10000
distancia (km.)
12000
14000
16000
18000
latitud (grad.)
40
20
0
Loxodromica
Ortodromica
−20
−40
0
2000
4000
6000
8000
10000
distancia (km.)
12000
14000
16000
18000
Rumbo (grad.)
130
120
110
Loxodromica
Ortodromica
100
90
0
2000
4000
6000
8000
10000
distancia (km.)
12000
14000
16000
18000
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Geodesia
Cartografı́a
Aproximación de ortodrómicas por loxodrómicas
En el ejemplo (Sevilla-NY) se crean dos waypoints extra de
forma que la ortodrómica se aproxima por tres loxodrómicas.
La proyección de la figura es tipo Mercator.
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Geodesia
Cartografı́a
El “Jet Stream”
Se conoce como “Jet Stream” (corriente de chorro) unas
corrientes de aire que se pueden encontrar en la atmósfera
terrestre a la altura de la tropopausa.
Fluyen fundamentalmente hacia el Este por caminos
“sinuosos”, en forma de tubos estrechos.
Pueden alcanzar velocidades desde 100 km/h hasta incluso
400 km/h (más velocidad en invierno que en verano).
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Geodesia
Cartografı́a
Uso del “Jet Stream”
En los vuelos largos hacia el Este se busca el “Jet Stream”
para economizar combustible y disminuir considerablemente el
tiempo de vuelo (incluso hasta un 30 %!). Ejemplo: Tokyo Los Ángeles.
También se utiliza en vuelos continentales en Norteamérica.
Volando hacia el Oeste, simplemente se evita el “Jet Stream”.
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Geodesia
Cartografı́a
Sistemas de referencia
Tiempos
Sistemas de referencia usuales en Navegación Aérea
Veremos los siguientes sistemas de referencia:
Sistema inercial geocéntrico (ECI: Earth Centered Inertial).
Sistema de Ejes Tierra (ECEF: Earth Centered, Earth Fixed)
Sistema de referencia topocéntrico.
Sistema de ejes horizonte local (LLS: Local Level System,
NED: North East Down).
Sistema de referencia de azimut de deriva (Wander azimuth
frame).
Sistema de ejes cuerpo (BFS: Body Fixed System).
Además estudiaremos las relaciones entre los diferentes
sistemas de referencia y como pasar de uno a otro.
En este proceso se definirán cantidades útiles, como la
velocidad respecto a Tierra y los ángulos de Euler que definen
la actitud de una aeronave.
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Geodesia
Cartografı́a
Tiempos
Sistema Inercial Geocéntrico (ECI)
Útil para el estudio del movimiento de
cuerpos orbitando la Tierra, por
ejemplo los satélites GPS, y como
sistema de referencia inercial absoluto.
El eje Oz coincide con el eje de
rotación de la Tierra.
El plano Oxy contiene al Ecuador y
Ox apunta a , el primer punto de
Aries (una dirección fija en las
estrellas).
No es realmente inercial (se
está despreciando el movimiento de la
Tierra en torno al Sol, y el movimiento
propio del Sol respecto a las estrellas).
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Geodesia
Cartografı́a
Tiempos
Sistema de Ejes Tierra (ECEF)
Ligado ı́ntimamente a la Tierra, rota con ella.
Util para referenciar posiciones terrestres.
El plano Oxy contiene al Ecuador y el plano Oxz al Meridiano
de Greenwich.
La forma de la Tierra se asimila a un elipsoide de revolución
(Elipsoide Internacional WGS84) alrededor del eje Oz (de
rotación de la Tierra).
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Geodesia
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Tiempos
Sistema Topocéntrico
Ligado ı́ntimamente a la Tierra,
con origen en el donde se
encuentre el observador (E ).
Se usa para tomar medidas
desde Tierra.
El plano Exy es tangente al Elipsoide Internacional WGS84 en
la superficie, la dirección Ex apunta al Este, la dirección Ey al
Norte, y la Ez sigue la vertical local “hacia arriba” (cénit). La
dirección local “hacia abajo” se denomina nadir.
Las observaciones se componen de tres medidas: r o ρ
(distancia al objeto); A, azimut; y h, la altura o elevación
sobre el plano horizontal.
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Geodesia
Cartografı́a
Tiempos
Sistema de ejes horizonte local (LLS,NED)
42
APPLIED MATHEMATICS IN INTEGRATED NAVIGATION SYSTEMS
Llamada en inglés LLS=Local Level
System o NED=North East Down.
También “ejes geodéticos o
geodésicos locales”.
Es un sistema local centrado en un
punto que puede o no estar en la
superficie de la Tierra.
Por tanto cambia al moverse el
punto.
Fig. 3.1 ECEF coordinate frame with z axis along Earth's rotation axis.
Está definida respecto al elipsoide: la dirección Norte es e φ , la
dirección Este es e y la dirección abajo es −e h .
Earth-Centered, Earth-Fixed Frame
The Earth-centered, Earth-fixed (ECEF) frame is fixed within the Earth and its
λ in current use vary.
rotation, and it is centered at the Earth's center. Axis definitions
Shown in Figs. 3.1, 3.2, and 3.3 are illustrations of three possible ECEF frames.
In the first frame, shown in Fig. 3.1, the z axis is parallel to and aligned with the
direction of the Earth's rotation. In the equatorial plane, the x axis locates the
Greenwich meridian and the y axis completes the right-hand system. In Fig. 3.2,
the y axis is parallel to the direction of the Earth's rotation. In the equatorial plane,
the z axis locates the Greenwich meridian and the x axis completes the righthand system. In the third frame, Fig. 3.3, the x axis is parallel to the direction
of the Earth's rotation. The z axis locates the Greenwich meridian and the y axis
completes the right-hand system.
Es el sistema de referencia fundamental usado en navegación,
aunque a veces es sustituido por el de azimut errante (ver
siguiente transparencia).
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Geodesia
Cartografı́a
Tiempos
Sistema de referencia de azimut de deriva
Llamada en inglés “Wander
azimuth frame”.
Se usa frecuentemente en
navegación en vez del sistema
de referencia horizonte local
debido a que, en las
proximidades de los polos, dicho
sistema está mal definido y
ocasiona problemas numéricos.
Se rota un ángulo α respecto a la dirección N/E. Dicho
ángulo y su variación se puede definir por el diseñador del
sistema de navegación.
Con α = α̇ = 0 recuperamos el sistema de ejes horizonte local.
Tı́picamente se define α̇ = λ̇ sin φ.
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Geodesia
Cartografı́a
Tiempos
Sistema de referencia ejes cuerpo (BFS)
Llamada en inglés BFS=Body Fixed System.
Se utiliza para definir la actitud (orientación) de la aeronave,
respecto el sistema de ejes de navegación (NED o wander
azimuth).
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Geodesia
Cartografı́a
Tiempos
Sistema de referencia ejes cuerpo (BFS)
Los ejes están definidos como en la
figura.
El centro del sistema de referencia,
en el centro de masas del avión.
El eje xb contenido en el plano de
simetrı́a del avión, hacia el morro.
El ángulo rotado en torno a xb es ϕ
(alabeo o roll).
El eje zb contenido en el plano de simetrı́a del avión, hacia
abajo. El ángulo rotado en torno a zb es ψ (guiñada o yaw).
El eje yb completa el triedro (dirección aproximada del ala
derecha). El ángulo rotado en torno a yb es θ (cabeceo o
pitch).
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Geodesia
Cartografı́a
Tiempos
Relación entre sistemas de referencia
Dado un sistema de referencia A y un sistema de referencia B,
para pasar de uno a otro habrá que tener en cuenta dos
hechos:
Cuando no coinciden los orı́genes de A y B, habrá que realizar
una translación: r A = r B + r BA .
Cuando A y B están rotados entre sı́, habrá que realizar una
rotación: r A = CBA r B , donde CBA será la matriz del cambio de
base entre A y B (ortogonal).
Además, a la hora de estudiar derivadas, hay que tener en
cuenta que la derivada tomada en dos sistema de referencia
distintos cambia si dichos sistemas rotan uno en relación al
otro con velocidad angular ωB/A . Lo estudiaremos más
adelante.
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Geodesia
Cartografı́a
Tiempos
Algunas definiciones de interés
Velocidad inercial: es la derivada de la posición, tomada en el
sistema de referencia inercial, es decir, v i = ṙ i .
Velocidad respecto a Tierra: es la derivada de la posición,
tomada en el sistema de referencia ejes Tierra, es decir,
v e = ṙ e .
Obsérvese que ambas definiciones no coinciden puesto que la
Tierra rota; además v e 6= Cie v i porque las derivadas no están
tomadas en el mismo sistema de referencia. Más adelante
veremos como están relacionadas ambas cantidades.
Posición en los ejes de navegación: es la posición respecto a
Tierra r e tomada en el sistema de referencia de navegación, es
decir, r n = Cen r e .
Velocidad en los ejes de navegación: es la velocidad respecto a
Tierra v e tomada en el sistema de referencia de navegación,
es decir, v n = Cen v e . Obsérvese que v n 6= ṙ n !
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Geodesia
Cartografı́a
Tiempos
Algunas definiciones de interés
Ésta velocidad v n es la velocidad “percibida” en el avión.
Cuando n es el sistema de referencia horizonte local, esta
velocidad se suele descomponer en:
Módulo: velocidad respecto a Tierra, a veces llamada Vg . Serı́a
la velocidad real del avión respecto al suelo.
Ángulo formado entre v n y el plano horizonte local: ángulo de
trayectoria γ (flight path angle).
Ángulo formado entre la proyección de v n en el plano horizonte
local y la dirección Norte: ángulo de rumbo χ (heading angle).
Hay que tener en cuenta que el ángulo de rumbo χ y el de
guiñada ψ pueden no coincidir, especialmente en presencia de
viento.
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Geodesia
Cartografı́a
Tiempos
Relación entre ECEF y ECI.
Para encontrar Cie , hay que tener en cuenta que la Tierra gira
con velocidad angular ωi/e = [0 0 ωE ]T , es decir, ambos
sistemas de referencia estarán rotados una cantidad
θE = θE 0 + ωE t. Luego:
θ
E
ECI −→
ECEF
zi
Por tanto:

cθE
Cie =  −sθE
0
sθE
cθE
0

0
0 
1
Donde c = cos y s = sen.
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Geodesia
Cartografı́a
Tiempos
Relación entre LLS y ECEF.
Para encontrar Ceg (donde g hace referencia al carácter
geodésico de LLS), hay que tener en cuenta la posición (λ, φ)
y realizar las siguientes operaciones:
Rotar λ grados en torno a z e .
Rotar −φ grados en torno al nuevo eje y .
El sistema resultante tiene x en la dirección −z y z en la
dirección x. Por tanto girar -90 grados adicionales.
λ
−φ
−90
z
yS
yS
0
−→
LLS
ECEF −→
S
−→
S
e
0
Por tanto:

Ce
S
=
g
=
Ce




sλ
0
cφ
0
sφ
0
0
cλ
0  CSS = 
0
1
0  C g0 =  0
S
0
1
−sφ
0
cφ
−1


−sφcλ
−sφsλ
cφ
g
S0 S


−sλ
cλ
0
C 0 CS Ce =
S
−cφcλ
−cφsλ
−sφ
cλ
 −sλ
0
0
1
0

1
0 
0
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Geodesia
Cartografı́a
Tiempos
Relación entre LLS y azimut errante (n).
Para encontrar Cgn , hay que tener en cuenta que la rotación de
ángulo α en torno al eje z. Por tanto:
α
LLS −→ WA
z
Por tanto:


cα sα 0
Cgn =  −sα cα 0 
0
0 1
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Fig. 2.3 Single rotation in three-axis coordinate frame.
Geodesia
Cartografı́a
vector's components described in one frame can be described in another frame Tiempos
Sistemas
de referencia.
Tiempos marbitrary orientation with respect to the original
frame
by a transformation
composed of three sequential rotations (Euler angles) starting from the original
me's axes. These rotations are illustrated in Fig. 2.4. In this figure, the primes
used to represent the corresponding transformed axis. The final y frame coronds to the triple primed x axes. Written in vector form, the transformation is
Relación entre n y BFS
Para encontrar Cnb hay que tener en cuenta los ángulos de
re the transformation DCM, c:, transforms the components of the r vector
Euler (ψ, θ, ϕ).
m the x frame to the y frame.
Las operaciones son:
Rotar ψ grados en torno a z n .
Rotar θ grados en torno al nuevo eje y .
Rotar ϕ grados en torno al nuevo eje x.
ψ
θ
ϕ
z
yS
xS
0
n −→
S
−→
−→
BFS
S
n
0
Se llega a:
Fig. 2.4 Three rotations in three-axis coordinate frame.

b
Cn
=
cθcψ
b
S0 S
CS 0 CS Cn =  −cϕsψ + sϕsθcψ
sϕsψ + cϕsθcψ
cθsψ
cϕcψ + sϕsθsψ
−sϕcψ + cϕsθsψ

−sθ
sϕcθ 
cϕcθ
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Geodesia
Cartografı́a
Tiempos
Tiempos de interés en Navegación Aérea
Tiempo Universal Coordinado (UTC):
Medido por relojes atómicos a lo largo del mundo.
Cada cierto tiempo (a lo largo de años) se añaden o restan
segundos para compensar la pequeña irregularidad de la
rotación de la Tierra.
El huso horario se define como UTC±n. Además hay que tener
en cuenta el cambio de horario de verano. Por ejemplo, Sevilla
es UTC+1, y en verano UTC+2.
A efectos prácticos UTC coincide con el viejo GMT.
Tiempo GPS (GPST):
Sirve de referencia para las aplicaciones relacionadas con GPS.
Medido en los relojes atómicos a bordo de los Navstar.
No se añaden ni restan segundos: no coincide con UTC (difiere
en segundos).
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Geodesia
Cartografı́a
Tiempos
Husos horarios
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Navegación Aérea - Tema 1: Geodesia. Cartografía. Sistemas de

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