facultad - Matematica e Informatica

Transcripción

FACULTAD DE PEDAGOGÍA
UNIVERSIDAD DE BARCELONA
Programa de doctorado
Didáctica de las Ciencias Experimentales y la Matemática
Bienio 1998-2000
LA ENSEÑANZA DE LAS
MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN
DE PERSONAS ADULTAS
UN MODELO DIALÓGICO
Presentada por
Francisco Javier Díez Palomar
Dirigida por
Dra. Paloma García Wehrle
Dr. Joaquín Giménez Rodríguez
Gracias a todas las personas que de una u otra manera han participado en esta
tesis. A las mujeres del Grupo de matemáticas dialógicas de la escuela de La
Verneda – Sant Martí. Ellas me han enseñado que todo el mundo es capaz de
hacer matemáticas. A mis compañeros y compañeras de CREA, por sus ánimos,
por el trabajo compartido y por la ilusión que me han transmitido siempre. A las
personas de mi piso, que han estado ahí siempre, en los momentos de más
esfuerzo. A mis directores de tesis, por su consejos, ayudas y ánimos personales.
A mi familia, que ha sabido comprender la dedicación que un proyecto como éste
ha significado. Gracias también a esa persona que me quiere, por su respeto y por
su apoyo. Sin todo ese entorno, sin toda esa ayuda, esta tesis no hubiera sido un
sueño hecho realidad. Por todo ello, gracias.
3
La enseñanza de las matemáticas en la educación de personas adultas. Un modelo dialógico
CONTENIDOS
Presentación
9
Parte I. El marco teórico y el contexto de la investigación
17
1. La sociedad dialógica
21
1.1. ¿Qué es la “sociedad de la información”?
1.2. Nuevas formas de exclusión social
1.3. La Modernidad Reflexiva
1.4. El Giro Dialógico
2. Las matemáticas en la vida cotidiana de las personas
2.1. Matemáticas y vida cotidiana
2.2. El descuido de las matemáticas de la vida real
23
26
28
30
32
32
37
3. La investigación sobre formación matemática básica para todos
43
3.1. Consideraciones previas
3.2. Exposición del estado de la cuestión
3.3. La vinculación con el marco de la investigación
internacional
43
45
49
4. La alfabetización matemática
53
4.1. Contextualización del concepto de alfabetización
matemática
4.2. De la alfabetización numérica (numeracy) a la
alfabetización matemática (math literacy)
5. La enseñanza de las matemáticas en la educación de personas
adultas
5.1. Los nuevos retos de la educación matemática
5.2. Hacia unas matemáticas para todos
53
55
69
69
74
Parte II. Definición del problema, hipótesis y metodología de la
investigación
81
6. Definición del problema e hipótesis
85
6.1. El marco general del problema
6.2. Los objetivos específicos de la tesis doctoral
6.3. Las hipótesis de trabajo
85
88
89
7. Sobre la idea del concepto matemático de proporción
91
7.1. Justificación de la elección del concepto de “proporción”
5
93
7.2. Algunas investigaciones sobre la proporcionalidad
7.3. Definición de la proporcionalidad
7.4. Aproximación a la idea de proporción
8. Metodología de investigación
94
95
98
101
8.1. El debate sobre metodología cuantitativa o cualitativa
8.2. El paradigma metodológico comunicativo
8.3. Justificación de la elección de la metodología
9. La selección de la muestra: un estudio de caso
9.1. La escuela de personas adultas de La Verneda – Sant Martí
9.2. El aprendizaje dialógico
10. Técnicas de recogida de la información
10.1. Breve descripción del diario de campo
10.2. Breve descripción de la tertulia comunicativa
10.3. Guión de la tertulia comunicativa
10.4. Justificación del uso de esta técnica de recogida de la
información
10.5. Breve descripción de las entrevistas en profundidad
10.6. Guión de las entrevistas
información
10.8. Otras técnicas de recogida de información: la resolución
de problemas
10.9. Justificación de las actividades propuestas
11. Las técnicas de análisis de la información
11.1. Los elementos del discurso
11.2. El carácter (tono) del discurso
11.3. Justificación de la elección de las categorías de análisis
101
103
106
111
111
120
125
126
127
128
129
129
130
134
136
140
145
147
156
157
Parte III. Relato de la experiencia
159
12. La formación del Grupo de matemáticas dialógicas de la escuela
de personas adultas de La Verneda – Sant Martí.
163
13. Explicación de las etapas de la investigación
167
13.1. La construcción del sitio web
167
13.1.1. El estudio piloto
13.1.2. Primer paso: el sitio web inicial
13.1.3. Segundo paso: un nuevo sitio web
13.1.4. Tercer paso: modificaciones del sitio web
13.1.5. Cuarto paso: un sitio web de las personas
6
167
169
171
174
178
participantes y para las personas participantes
13.1.6. Etapa final: el diseño y la edición de las
actividades sobre proporciones
181
Parte IV. Análisis de los datos
185
14. De las matemáticas vividas a las matemáticas de la escuela de La
Verneda – Sant Martí
189
14.1. La interacción de las personas con el contenido
matemático
14.2. La interacción de las personas con el grupo
14.3. La interacción de las personas con el medio tecnológico
14.4. Aportaciones del capítulo
15. Análisis de los datos en base al modelo de variables propuesto
189
193
195
198
201
15.1. El análisis de la relación entre la persona y los
contenidos matemáticos
202
15.1.1. Los componentes cognitivos
15.1.2. Los componentes afectivos
15.1.3. Los componentes instrumentales
15.1.4. Los compontentes normativos
203
218
221
225
15.2. El análisis de la relación entre la persona y el grupo
15.3. El análisis de la relación entre la persona y el medio
tecnológico
229
231
235
238
240
241
248
249
251
16. Análisis de las trayectorias cognitivas de aprendizaje
16.1. El análisis de las intervenciones
16.2. Sobre las trayectorias cognitivas de aprendizaje
255
256
268
322
Parte V. Conclusiones
327
Bibliografía
Anexos
343
373
7
8
PRESENTACIÓN
Todas las personas son capaces de aprender y, por lo general, saben más de lo que
creen (o reconocen) saber. Esta afirmación me la han enseñado las propias
personas adultas a las que he dado clase de matemáticas en la escuela de personas
adultas de La Verneda – Sant Martín, de Barcelona, desde hace ya cuatro años. Su
apoyo y su confianza en mí me han enseñado que yo mismo era capaz de explicar
conceptos matemáticos de los que nunca antes me había creído capaz. A la vez, el
trabajo conjunto que hemos llevado a cabo me ha hecho descubrir unas
matemáticas nuevas, más atractivas y sugerentes que las que me habían enseñado
en la escuela. Exponer un tema de matemáticas y compartir entre todos y todas
diversas explicaciones, desde nuestra propia experiencia, en un ambiente de
igualdad y de búsqueda conjunta de las soluciones, ha sido y es una experiencia
increíble.
Es usual oír a nuestro alrededor a personas que afirman que las matemáticas son
muy difíciles, que quien sabe matemáticas es un experto. No negamos que se
hagan estos comentarios, pero lo que no compartimos es el rechazo radical contra
las matemáticas, porque lo único que hace es contribuir a crear el mito de las
matemáticas como dominio exclusivo de una élite de expertos, que es
inalcanzable para el resto de las personas. Eso no sólo no es cierto, sino que
además, normalmente, quienes defienden que las matemáticas no son importantes
en la vida, que sólo las utilizan un grupo de “expertos” que conocen la
nomenclatura y están familiarizados con el lenguaje matemático académico, lo
que hacen es contribuir a aumentar la distancia entre las matemáticas académicas
9
y las matemáticas de la vida real. Ni una sola de las personas del Grupo de
matemáticas dialógicas de la escuela de La Verneda pensó ni un momento
cuestionar la importancia de las matemáticas, pero, sin embargo, dijeron que era
una asignatura difícil. Algunas afirmaron que no iban a poder seguir el curso.
Todas lo lograron y todas se entusiasmaron a lo largo de las sesiones. ¿Por qué?
Porque sólo puede decirse que las matemáticas sobran si realmente se ocupa una
posición acomodada que te exime de enfrentarte a las situaciones de la vida
cotidiana que implican tener conocimientos matemáticos. A los campesinos
brasileños, que tienen que pagar como contribución una proporción del producto
de su cosecha, el saber calcular esa proporción lo más exactamente posible es muy
importante, para poder alimentar a su familia, como explicó Gelsa Knijnik,
cuando hace dos años conoció a las mujeres del Grupo de matemáticas
dialógicas. Esta autora es una de las personas que más está trabajando para
enseñar matemáticas al campesinado brasileño. Saber matemáticas es importante
para no quedar excluido.
Dice Bishop (2000) en uno de los principios del código ético que propone a los
investigadores en didáctica de las matemáticas, que cualquier investigación
debería producir beneficios al mayor número posible de estudiantes.1 Por eso, esta
tesis es un intento de hacer que se oigan todas las voces silenciadas por el sistema
educativo tradicional, donde tan sólo se han valorado los conocimientos de la
matemática académica con una calificación final y, por lo general, pocas veces y a
pocas personas les ha ocurrido que se les valorase su experiencia matemática y sus
estrategias personales de resolución de problemas. Ante todo, y sobre todo, esta
tesis es resultado de ese esfuerzo compartido.
¿Por qué es importante hacer una tesis en didáctica de las matemáticas? Creemos
que para mejorar la enseñanza de esta disciplina, que tantas pasiones levanta, y
mostrar que es posible enseñar matemáticas de otra manera. Las matemáticas son
un dominio colectivo y la forma de enseñanza no debería ser una barrera que
impidiera la formación matemática del conjunto de la población.
1
“Los investigadores en educación matemática, como parte de la comunidad educativa, son
responsables ante la sociedad en su globalidad, por lo que cualquier investigación debería poder
justificarse en términos de sus beneficios potenciales para el mayor número posible de alumnos.”
(Gorgorió y Bishop, 2000: 204).
10
Deseo mostrar a lo largo de estas páginas que cuando alguien nos dice “no sé
matemáticas” o “se me dan mal”, en realidad está diciendo que son las
“matemáticas académicas” lo que no sabe hacer. Pero las matemáticas son algo
más que resolver una serie de algoritmos en una libreta o en un ordenador.
Apreciar este sentido amplio es lo que me han enseñado esas mujeres de la
escuela de La Verneda, con las que he aprendido conjuntamente a entender que
todas las personas somos capaces de hacer matemáticas y utilizarlas para resolver
situaciones en nuestras vidas.
Parto, pues, de una idea básica: todas las personas podemos hacer
matemáticas, aunque no todo el mundo hayamos tenido la suerte de aprender un
acervo de conocimientos matemáticos académicos.
Existen diversos trabajos de investigación que demuestran ampliamente que todas
las personas tienen las mismas capacidades básicas para aprender. De todas
maneras, suele ocurrir que 1) no todo el mundo dispone de las mismas
oportunidades para aprender, y 2) que cada persona tiene una manera diferente de
desarrollar esas capacidades básicas de aprendizaje. Sin embargo, no nos podemos
quedar aquí, porque si no estaríamos contribuyendo a excluir a algunas personas
del derecho a aprender a desarrollar esas capacidades básicas, sea en el ámbito de
las matemáticas o sea en el ámbito que fuere. Por eso es importante investigar y
hacer propuestas desde la didáctica, para encontrar formas nuevas e innovadoras
que realmente nos sirvan a todos y a todas para solucionar las dificultades de
aprendizaje que dicen tener algunas personas.
A inicios del siglo XXI la sociedad dialógica está abriendo nuevos retos a las
personas. Los cambios que se están produciendo, día tras día, son tan
trascendentales que obligan a pensar nuevas formas de aprender, de trabajar o de
relacionarnos en nuestras vidas personales. Los modelos tradicionales de familia,
de escuela, de trayectoria laboral, y de tantas otras cosas, ya no responden de
ninguna manera a la realidad. La educación, el amor, el trabajo, el ocio, todo lo
que forma parte de nuestro “universo de relaciones cotidianas” se ha diversificado
(y enriquecido) tanto que escapa a las definiciones tradicionales que tenemos de
11
esos conceptos. Desde la Sociología se están acuñando conceptos que tratan de
proporcionarnos herramientas heurísticas y conceptuales para tratar de entender
algo este proceso de cambio y conseguir dirigir nuestros pasos de la mejor manera
posible.
Y en todo este universo de cambios, la didáctica de las matemáticas se está
transformando. Durante el año 2000 muchos organismos oficiales, como el
“Parlament de Catalunya”, el Congreso de los Diputados en España, y muchos
otros de todo el mundo destacaron la importancia de las matemáticas para las
personas en aspectos tales como el desarrollo de una ciudadanía crítica
responsable, por ejemplo. La UNESCO ha destacado el aprendizaje de las
matemáticas como una de las piezas claves para el desarrollo y la Asamblea
General de la International Mathematics Union (IMU) ha proclamado que el
aprendizaje de las matemáticas es uno de los grandes desafíos para el siglo XXI.
Además, la incorporación de las tecnologías de la información y de la
comunicación en el aula permiten también un cambio en las estrategias y el
enfoque didáctico que podemos dar a nuestra labor como docentes. Esos recursos
nuevos nos abren más posibilidades de enseñar y nos permiten también centrarnos
en otros conceptos diferentes a los que se priorizaban antes en una clase de
matemáticas tradicional. Quizás lo importante ahora ya no es tanto tener una gran
agilidad mental con las operaciones numéricas complejas, sino saber decidir qué
algoritmo matemático tenemos que utilizar para resolver cualquier situación
problemática que se nos presente en nuestras vidas. Seguramente cada vez más las
tecnologías se convertirán en herramientas de trabajo útiles que nos permitirán
ahorrar muchos esfuerzos en la realización de las operaciones. Asimismo nos
abren a la idea de compartir el conocimiento (incluso el matemático) superando la
idea del saber enciclopédico.
De hecho, las matemáticas juegan un papel importante en la vida cotidiana de las
personas adultas (Niss, 1995; MEG, 1998).2 Diversos autores y centros de
2
Desde 1970 hasta el 2000, en ERICFILE, la base de datos más importante en educación, hay 497
entradas con el término "numeracy" (alfabetización matemática), y si acotamos más la búsqueda,
encontramos 56 entradas para "basic skills on mathematics". Se trata, pues, de un tema de estudio
que ha generado y sigue generando mucho interés en el ámbito de la comunidad científica
internacional.
12
investigación destacan este papel en sus investigaciones.3 Esta importancia no
sólo se destaca desde los centros académicos y/o científicos. Las personas adultas
también resaltan la importancia de las matemáticas, a pesar de la invisibilidad de
muchos procesos matemáticos que hay en nuestras vidas. Las mujeres que asisten
a la escuela de personas adultas de La Verneda – San Martín explican a través de
su experiencia propia no sólo la utilidad de saber contar, sino lo importante que es
para ellas saber sumar y restar y la seguridad que les da ese conocimiento. Para
ellas saber matemáticas implica no tener que amilanarse y recurrir a otra persona
para poder resolver las situaciones problemáticas cotidianas que nos vamos
encontrando todos y todas a lo largo de nuestras vidas. Sin embargo, a veces
existe una resistencia clara a lo que entendemos como “matemáticas académicas”.
Este sentimiento negativo se convierte en una falta de autoestima que las personas
adultas ponen de manifiesto cuando afirman que “las matemáticas son difíciles”, o
“yo no valgo para eso”. Estos comentarios dejan entrever la existencia de una
brecha clara entre las matemáticas que les enseñaron en la escuela hace años y el
conocimiento de las habilidades matemáticas que cada cual tiene, de los que no
son conscientes hasta que no se habla claramente de ello.
Niss (1994, 1995) dice que las matemáticas son invisibles en nuestra sociedad.
Nosotros creemos que es más que eso: no sólo son invisibles, sino que la no
coincidencia entre las “matemáticas académicas” y las “matemáticas de la vida
real” es uno de los factores que explica el sentimiento de resistencia que tienen
muchas personas hacia las matemáticas. Y esto resulta un problema muy
importante que dificulta de manera increíble el aprendizaje. Lo que hay que hacer
es cambiar radicalmente nuestro concepto de lo que son las matemáticas, recontextualizarlas y devolverles su significado. Ernest (2000), por ejemplo, hace un
llamamiento a las matemáticas como algo falible, no absoluto, como nos habían
enseñado hasta ahora. Alsina (2002), a su vez, hace una apuesta clara por
“popularizar” las matemáticas y hacer una enseñanza radicalmente diferente a la
que hemos vivido muchas personas en el sistema educativo. Se trata de una
enseñanza provocativa, una enseñanza no lineal, que lleve a las personas a
problematizar su entorno y no sólo resolver los problemas que se encuentran
3
CREA, 1993; Niss, 1995; Van Reeuwijk, 1997; MEG, 1998; entre otros.
13
aplicando recetas o fórmulas, como dice Giménez (2002). Se trata de enseñar a
que las personas desarrollen la reflexividad, la capacidad de modelización, de uso
de las matemáticas como herramienta para mirar de una manera crítica el mundo.
Ante esta realidad, a lo largo de estas páginas, se puede encontrar un estudio sobre
una experiencia de hacer matemáticas en una escuela de personas adultas que
funciona en base al modelo del aprendizaje dialógico. La primera parte de esta
tesis consiste en la descripción del estado de la cuestión, así como del contexto en
el que se inscribe esta investigación. Se caracteriza la sociedad informacional en
la que vivimos y se revisan diversos análisis sobre cómo debería ser la enseñanza
de las matemáticas (y en especial para las personas adultas) para afrontar un
mundo de cambios. En la segunda parte de la tesis se expone la metodología de la
investigación. Se presentan los objetivos de la investigación y las hipótesis de las
que se parte. Se explican cuáles han sido las técnicas de recogida de la
información y se presentan las herramientas para hacer el análisis. A continuación,
en la tercera parte, se relata el desarrollo de la experiencia. A través de esas
páginas se explica cómo se formó el Grupo de matemáticas dialógicas de la
escuela de La Verneda – Sant Martí y el desarrollo de una experiencia de hacer
matemáticas. Después, en la cuarta parte, se hace el análisis exhaustivo de la
información recogida. Durante tres capítulos se hace un recorrido por el
aprendizaje de las matemáticas en general, y de las proporciones en particular, en
el caso concreto del Grupo de matemáticas dialógicas. Se utiliza la técnica de las
trayectorias cognitivas de aprendizaje para analizar la importancia del diálogo
igualitario en la construcción de aprendizaje de las matemáticas y como forma de
creación de sentido. La última parte recoge las conclusiones a las que llegamos
durante todo el estudio.
Para finalizar esta presentación, me remito a otro de los principios que defiende
Bishop (2000) en su código ético de la investigación: el compromiso moral,
cultural y ético del investigador con el resto de personas.4 Las investigaciones no
deberían
justificarse por el mero hecho del placer de la investigación. La
4
“Cualquier investigador debería aceptar compromisos morales, culturales y éticos con el resto
de los ciudadanos. Si aceptamos que las prácticas educativas pueden tener efectos positivos y
negativos sobre las personas, entonces debemos aceptar que la investigación puede tener efectos
parecidos.” (Gorgorió y Bishop, 2000: 204).
14
generación de conocimiento tiene que servir para fines éticos y morales. En otras
palabras, tiene que suponer una mejora en la educación para todas aquellas
personas adultas que decidan apuntarse a una clase de matemáticas. La
investigación es un espacio de diálogo común para buscar formas colectivas de
transformar la educación y superar las barreras (elitistas) que tradicionalmente se
interponen a la educación matemática. Desde este compromiso, la investigación
que exponemos no pretende, bajo ningún concepto, consolidar esa visión elitista
de algunos profesionales de la educación que piensan en crear niveles para, por lo
menos según ellos, que algunos estudiantes logren alcanzar un nivel de
conocimiento alto sobre las matemáticas. El esfuerzo de todas las personas que de
una manera u otra han participado en la elaboración de esta tesis es lograr
precisamente lo contrario, es decir: buscar las formas para que todas las
personas tengan las mismas oportunidades de acceder a los mismos
conocimientos matemáticas, aunque lo hagan desde puntos de vista
diferentes.
Queremos acabar esta presentación con una cita de Freire que creemos que
resume perfectamente el sentido de esta tesis:
“Creo que en el momento en que la naturalidad de las matemáticas se convierte en
una condición para existir en el mundo, se está trabajando en contra de cierto
elistismo que poseen los estudios de matemáticas, incluso a pesar de que los
matemáticos deseen lo contrario. Esto significa democratizar la posibilidad de la
naturalidad de las matemáticas, y esto es ciudadanía. Y cuando se hace posible una
mayor convivencia con las matemáticas, no hay duda de que se contribuye a
solucionar un gran número de cuestiones planteadas a nuestro alrededor, algunas
veces existentes precisamente debido a una falta de competencia, incluso mínima,
en la materia. ¿Y por qué no se da esta democratización? Porque se ha aceptado
que comprender las matemáticas es algo profundamente refinado cuando, de
hecho, no lo es ni debería serlo.” (Freire, D’Ambrosio, Mendonca, 1997: 8).
15
16
PARTE I
EL MARCO TEÓRICO Y EL
CONTEXTO DE LA
INVESTIGACIÓN
17
ESQUEMA CONCEPTUAL DE LA PARTE I
SOCIEDAD DIALÓGICA
¿Qué habilidades matemáticas
se necesitan?
Matemáticas para
todos
(democratización
del acceso)
Metodología
Aplicación de las
tecnologías en la
didáctica
ALFABETIZACIÓN
MATEMÁTICA
Matemáticas
académicas frente a
matemáticas de la
vida real
EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
¿Qué se está investigando?
¿Cómo fomentar la
construcción de matemáticas en
personas adultas?
DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS
18
En esta primera parte de la tesis vamos a situar el contexto en el que se ha
realizado la investigación y cuál es el estado de la cuestión. Como dice Bishop
(2000), uno de los principios que tiene que orientar toda investigación científica es
situar el trabajo en el contexto específico en el que se desarrolla.
“La investigación debería reconocer y documentar los contextos culturales, sociales
e institucionales en lo que se desarrolla, dado que la educación siempre está situada
en un contexto único, por lo que se debería actuar cautelosamente ante las
generalizaciones, especialmente en lo que se refiere a la implementación de modelos
educativos derivados de investigaciones desarrolladas en contextos distintos.”
(Gorgorió y Bishop, 2000: 204).
Esta investigación es un estudio de caso que se sitúa en la escuela de personas
adultas de La Verneda – Sant Martí. A lo largo de estas primeras páginas vamos a
presentar el contexto en el que se ubica esta escuela. Recorreremos desde los
elementos más generales, que son los cambios sociales, económicos, culturales y
políticos que afectan a otras esferas de la vida, como es el sistema educativo, hasta
aspectos concretos, como la relación entre las matemáticas y la educación de
personas adultas. Hablaremos del efecto de esos cambios sociales sobre el
currículum matemático de la educación de personas adultas. En el primer capítulo
se hace una presentación breve del contexto global en el que vivimos. Se habla de
la sociedad informacional, de sus características y de cómo afectan a nuestras
vidas. Aparecen conceptos como la sociedad de la información, la modernidad
reflexiva, se habla del giro dialógico que están tomando las relaciones sociales y
de las nuevas formas de desigualdad. Después, en el capítulo que sigue a
continuación, entramos ya en el tema de las matemáticas y hablamos del papel
que ocupan en la vida cotidiana de las personas adultas. Presentamos diversos
mitos que giran en torno a esta disciplina y tratamos de mostrar la importancia que
tienen en la vida cotidiana. Posteriormente analizamos las principales líneas de
investigación que existen en torno a las matemáticas (desde un punto de vista
social). Finalmente, en el último capítulo de esta primera parte, resaltamos los
aspectos sobresalientes del concepto de alfabetización matemática.
19
20
1. LA SOCIEDAD DIALÓGICA
En las páginas siguientes hacemos un repaso de las principales aportaciones que se están haciendo
actualmente en las ciencias sociales a la descripción del contexto social actual (de esa sociedad
dialógica de la que estamos hablando) para entender cuáles son los cambios y las transformaciones
profundas de los sistemas económico, social, cultural y de la personalidad (Parsons, 1971) que
están presentes en la vida de las personas adultas que van a la escuela de La Verneda a aprender
matemáticas. Se repasan brevemente los principales rasgos de identidad de la sociedad
informacional en la que vivimos, caracterizada por el giro que toman las relaciones sociales hacia
el diálogo. La información, las tecnologías, la comunicación, la capacidad de argumentación, la
participación, la reflexión crítica, son elementos que cada vez más ocupan un lugar central en
nuestras vidas y que sustituyen (o matizan) las relaciones de poder del modelo fordista de
sociedad.
Diversos estudios e investigaciones indican que el cambio producido en el último
cuarto del siglo XX ha sido una transformación que ha cambiado nuestra forma de
vida.5 Se trata de un cambio total, que afecta a la forma del capitalismo que
conocíamos hasta el momento: el capitalismo fordista, un cambio caracterizado
por un incremento del diálogo en todas las relaciones sociales y en todos los
ámbitos, tanto a nivel micro de las relaciones sociales interpersonales, como a
nivel macro de los procesos estructurales que se experimentan en el mundo.
5
CREA, 1999b; CREA, 2000; Castells, 1998; Beck, 1999; Flecha, Gómez, Puigvert, 2001.
21
Aumenta la libertad de actuación, pero también la incertidumbre y el riesgo.6 En
la escuela se dan encuentro personas de diferentes edades y procedencias. Se
confrontan formas y maneras de ver y de vivir la vida completamente diferentes.
Mujeres de la generación de nuestros padres conviven con jóvenes y componen un
cuadro de claroscuros completamente diversificado. Existe más diálogo y, por
tanto, también existe mayor denuncia de los procesos que no lo implican. Hay
madres que ven cómo sus hijas adoptan imágenes rebeldes que esconden en el
fondo profundas sumisiones que ellas (las madres) jamás admitieron a lo largo de
sus vidas.7 Mujeres y hombres acostumbrados a la lucha, que observan con la
mirada severa a los jóvenes “progres” que cuestionan el orden establecido, sin
acompañar de ninguna propuesta ni iniciativa de transformación. Jóvenes que con
sus ánimos ilusionan a todas las personas que les rodean. Un cuadro que hace tan
sólo una generación estaba totalmente atravesado por las divisiones de roles (de
edad y de género) incuestionadas y que ahora se manifiesta en toda su diversidad.
Cada vez menos el destino de las personas se ve marcado por los “roles sociales”
y cada persona crea su propia imagen. La estandarización propia de la sociedad
industrial (una sociedad donde toda persona se casaba antes de los treinta, tenía
hijos, los criaba y, finalmente, esperaba impaciente a la jubilación para ver
desfilar la vida sin más) ha sido sustituida por una sociedad de contrastes, donde
cada cual toma una opción personalizada, propia, cambiante según las decisiones
que cada cual va tomando a lo largo de la vida. Se trata de una sociedad más
reflexiva, más crítica, en la que la colonización de los sistemas abstractos por
parte de la tecnología8 no es más que un sencillo indicador social del dinamismo
de nuestras sociedades. Lo importante es que esta reflexividad implica que cada
vez es más necesario el diálogo, confrontar opiniones y puntos de vista diferentes,
para llegar a consensos en todos y cada uno de los espacios de la vida cotidiana,
desde el trabajo, hasta la cocina, pasando por la escuela. Por eso, a este nuevo
modelo social se le puede llamar sociedad dialógica.9 Un modelo que implica
también participación para entrar en los espacios de diálogo y poder llegar a
6
Beck, Giddens, Lash, 1997.
Gómez, 2004.
8
Ver Giddens, 1995.
9
Ver Flecha, Gómez, Puigvert 2001.
7
22
consensos que respeten las demandas y las necesidades de cada colectivo. La
historia de la escuela de La Verneda de los últimos años es buen ejemplo de ello.10
1.1. ¿Qué es la “sociedad de la información”?
Uno de los conceptos que aparece con más frecuencia en los ensayos escritos
durante los últimos años es el concepto de sociedad de la información. Sociólogos
(Castells, 1998) y didactas (Alsina, 2002) utilizan este conjunto de palabras para
referirse a la sociedad del siglo XXI.
Las tecnologías de la información y de la comunicación se han incorporado
rápidamente a nuestras vidas. Internet, sobre todo, supone un gran cambio, puesto
que nos encontramos con un medio de comunicación, ya no de masas (modelo
caracterizado porque un emisor se dirige a una gran multitud de receptores), sino
múltiple, que nos permite construir a nosotros mismos el mensaje. Además,
Internet ofrece grandes posibilidades que antes eran impensables, tales como
acceder a fondos documentales en diversas partes del mundo, coordinar redes de
trabajo formadas por personas dispersas por el territorio y transmitir y difundir
informaciones de manera instantánea y por todo el mundo, entre otras muchas
posibilidades más. Todo ello con un coste económico mínimo.
“Como es sabido, Internet se originó en un audaz plan ideado en la década de los
setenta por los guerreros tecnológicos del Servicio de Proyectos de Investigación
Avanzada del Departamento de Defensa estadounidense (Advanced Research
Projects Agency, el mítico DARPA), para evitar la toma o destrucción soviética de
las comunicaciones estadounidenses en caso de guerra nuclear. (...) El resultado fue
una arquitectura de red que, como querían sus inventores, no podía ser controlada
desde ningún centro, compuesta por miles de redes informáticas autónomas que
tienen modos innumerables de conectarse, sorteando las barreras electrónicas.
Arpanet, la red establecida por el Departamento de Defensa estadounidense, acabó
convirtiéndose en la base de una red de comunicación global y horizontal de miles
de redes (desde luego, limitada a una élite informática instruida de cerca de 20
millones de usuarios a mediados de la década de 1990, pero cuyo crecimiento es
10
Ver el capítulo de metodología para una descripción más detallada de la historia de la escuela de
La Verneda – Sant Martí.
23
exponencial), de la que se han apropiado individuos y grupos de todo el mundo para
toda clase de propósitos, bastante alejados de las preocupaciones de una guerra fría
extinta. En efecto, fue vía Internet como el Subcomandante Marcos, jefe de los
zapatistas chiapanencos, se comunicó con el mundo y con los medios desde las
profundidades de la selva Lacandona durante su retirada en febrero de 1995.”
(Castells, 1997: 32)5
Se trata de un modelo de red (Castells, 1997) que lleva implícita una nueva
manera de organizar el pensamiento y la cultura (Bartolomé, 1995): la cultura
mosaico. En la sociedad actual se necesitan personas críticas, capaces de procesar
rápidamente la cantidad de informaciones y de estímulos que nos llegan de todas
partes. El saber enciclopédico es algo que forma parte del pasado, porque las
fuentes de información son cada vez más accesibles a todas las personas.11 Esto
significa que es necesario un nuevo enfoque de la educación, acorde con las
necesidades formativas de la sociedad actual.
De todas maneras, en la sociedad de la información lo más importante no son
precisamente las tecnologías, ni tampoco la información. Lo verdaderamente
importante es el cambio social que se ha producido. Algunos autores afirman que
el elemento que diferencia esta época de épocas precedentes es la capacidad de
selección de la información.12 Actualmente se ha producido una transformación en
las habilidades valoradas en la sociedad. Ya no se requieren personas capaces de
desarrollar actividades mecánicas con soltura y rapidez: esas tareas cada vez más
las están asumiendo las máquinas controladas por los ordenadores. Ahora se
requieren otro tipo de habilidades, tales como la capacidad de seleccionar
información, el trabajo en red, la flexibilidad, la versatilidad, la adaptabilidad, la
gestión del cambio, entre otras muchas habilidades más.
Eso significa que también desde la educación hay que hacer un replanteamiento
de qué estamos enseñando y cómo lo estamos haciendo. Desde el punto de vista
11
Ejemplos como los Puntos OMNIA, el proyecto NODAT, la red CONECTA, la experiencia de
East Palo Alto, MaliNet, el Comité para la Democratización de la Informática, de Brasil, entre
otras muchas, dan fe del esfuerzo por acercar las tecnologías de la información y de la
comunicación a todas las personas. La sociedad de la información ha dado un giro claro hacia la
lucha contra la brecha digital que separa a interactuantes e interactuados, en aras de conseguir que
todas las personas tengan las mismas oportunidades para procesar y gestionar la información.
12
Flecha, Gómez, Puigvert, 2001.
24
de las matemáticas, ya no es suficiente con saber las “cuatro operaciones básicas”,
porque son cálculos que pueden realizar perfectamente los ordenadores. El reto
está ahora en otro sitio: por un lado, desarrollar capacidades tales como la
comprensión, el razonamiento lógico-deductivo, la resolución de problemas, la
capacidad de modelizar situaciones, entre otras, y, por otro, encontrar formas de
superar el miedo y los reparos que producen las matemáticas a muchas personas,
porque ese miedo dificulta el aprendizaje y les excluye del sistema educativo.
En una sociedad basada en el diálogo y la argumentación, es preciso destinar más
tiempo de nuestras vidas al desarrollo de capacidades tales como el razonamiento,
la comprensión, etc. Eso quiere decir que es necesario cambiar el mismo concepto
de “saber matemáticas”.13
El "aprendizaje de las matemáticas es la capacidad de un individuo de identificar y
de entender el papel que las matemáticas desempeñan en el mundo, para hacer
juicios matemáticos fundamentados y para manejarse con las matemáticas, con la
finalidad de hacer de estos individuos, en el futuro, unos ciudadanos constructivos,
preocupados y reflexivos.” (OECD, 2002b).
14
Como dice Keitel (1995):
“La aplicación de tecnologías de la información avanzadas en matemáticas y en las
matemáticas escolares, como por ejemplo, los sistemas de álgebra simbólica y las
lógicas estadísticas, cambia fundamentalmente la definición de las cualificaciones
matemáticas de base.” (Keitel, 1995: 25). 15
13
Ernest, P., 2000; OECD, 2002b.
"Mathematics literacy is an individual’s capacity to identify and understand the role that
mathematics plays in the world, to make well-founded mathematical judgements and to engage in
mathematics, in ways that meet the needs of that individual’s current and future life as a
constructive, concerned and reflective citizen." (OECD, 2002b). –Cita original–
15
“L’application de technologies de l’information avancées en mathématique et dans les
mathématiques scolaires, comme par exemple, les systèmes d’algèbre symbolique et les logiciels
statistiques, change fondamentalement la définition des qualifications mathématiques de base.”
(Keitel, 1995: 25).
14
25
1.2. Nuevas formas de exclusión social
La revolución tecnológica se da en un contexto capitalista en el que el reparto de
la riqueza y de las oportunidades es desigual.16 Esto significa que no todas las
personas tienen las mismas oportunidades de acceder al uso de las tecnologías de
la información y de la comunicación. Sin duda, estas personas son el colectivo
más susceptible de sufrir la exclusión social en esta nueva sociedad.17
En la sociedad industrial la exclusión social venía definida por las desigualdades
que se producían en el proceso de acumulación del capital y en la posesión de los
medios de producción. Autores como Karl Marx (1968) definieron el concepto de
desigualdad tomando como punto de referencia las relaciones sociales en el lugar
de trabajo.
En El Capital se puede leer el estudio que realizó Marx sobre el modo de
producción capitalista. La explicación que aportó el autor alemán, en base a la
documentación que acumuló a lo largo de sus años de estudio, deja patente que en
el modo de producción capitalista la desigualdad es una fuerza inherente al propio
modo de producción. La existencia de la propiedad privada de los medios de
producción y el uso de la “ley de la plusvalía” en las relaciones sociales de
producción, como forma que tienen los propietarios de los medios de comprar la
fuerza de trabajo de sus trabajadores, es lo que explica el concepto de desigualdad
(en la sociedad industrial). La persona que no poseía el capital no tenía más
remedio que trabajar para los propietarios de los medios de producción, de manera
que del total del trabajo generado por él, se apropiaba tan sólo de una parte en
forma de salario. El resto pasaba a ser propiedad del capitalista, que, descontada la
amortización y mantenimiento de los medios de producción, se embolsaba el
resto, llamado “plusvalía”. El trabajador lo que hacía era vender su fuerza de
16
Ver CREA, 1999b; Castells, 1998.
Esta nueva forma de exclusión es lo que algunos autores llaman “brecha digital”. Eco, 1993, por
ejemplo, habla de “interactuantes” e “interactuados”. Los primeros son aquellas personas que
tienen la posibilidad y los conocimientos necesarios para utilizar las tecnologías de la información
y de la comunicación en sus vidas cotidianas. Los segundos son aquellas personas que no tienen
ninguna oportunidad de aprovecharse de los beneficios de esas tecnologías.
17
26
trabajo y quedaba así excluido de la posibilidad de disfrutar de todo el producto de
su esfuerzo.
Más tarde, en el momento en que aparece el paro, se introduce una nueva variable
en la definición del concepto de exclusión social: la posibilidad o no de poder
vender la propia fuerza de trabajo, que es el único recurso “valioso” de que
disponemos los trabajadores. De esta forma, este fenómeno laboral se convierte en
una forma más acrecentada de exclusión, que exige nuevas medidas sociales de
lucha contra él. A su vez, dado que los empleadores recurren a formas (más o
menos objetivas) de selección de personal, también aparece socialmente la
necesidad de invertir en formación (durante los años setenta, por ejemplo, surgen
en el ámbito de la educación modelos tales como la teoría del capital humano,18 o
la teoría credencialista)19.
Sin embargo, actualmente aparecen variables nuevas que conducen a
investigadores e investigadoras de todo el mundo a redefinir el concepto de
“exclusión social”. Con los cambios que han ocurrido en esta nueva sociedad
aparece otra forma de exclusión: aquélla que viene determinada por el acceso, el
uso y la posibilidad de desenvolverse con las tecnologías de la información y de la
comunicación. Existen innumerables estudios que corroboran esta tendencia, tales
como las investigaciones de CREA, los trabajos que publicó Castells (1997, 1998)
a finales de los años noventa, los modelos explicativos de Giddens (1995), los
estudios y reflexiones de Beck (1998), las aportaciones al análisis de la estructura
social de Mingione (1994) y trabajos más antiguos como los de Piore (1983) sobre
la sociedad de los dos tercios o los de Dahrendorf (1990), entre otros.
Actualmente las personas que tienen la capacidad y saben desenvolverse con los
medios tecnológicos tienen muchas más oportunidades, ya que son estas
capacidades las que se demandan en el mercado laboral y son importantes también
en el desarrollo de las vidas de cada persona. La inclusión social y la posibilidad
de promoción social vienen condicionadas por el aprendizaje de esas habilidades y
el dominio de esos medios.
18
19
Becker, 1983. Schültz,1983.
Collins, 1979.
27
El reparto desigual en el uso de las nuevas tecnologías es muy significativo. Si
nos fijamos por ejemplo en el uso de Internet a escala mundial, existen grandes
diferencias: en Canadá y EUA se registran un total de 181,23 millones de usuarios
y en África tan sólo se registran 4,15 millones (febrero de 2002).20 Estas cifras
rebelan que existe una clara fractura social por lo que se refiere al acceso a las
tecnologías de la información y de la comunicación. Fractura que en varias
investigaciones se llama “brecha digital” y que ha sido la piedra de toque en torno
a la que han girado los estudios sobre la exclusión social de los últimos años.
De todas maneras, tras un primer momento de polarización de las desigualdades
sociales en torno a la brecha digital, actualmente asistimos a una tendencia hacia
la igualdad de oportunidades.21 Las administraciones públicas están asumiendo la
responsabilidad de la alfabetización digital de la población, como un derecho
colectivo inalienable (igual que en su momento lo fue la lecto-escritura, o la
alfabetización matemática).
1.3. La Modernidad reflexiva
Otro de los elementos que caracterizan la sociedad dialógica es la llamada
“modernidad reflexiva”. Por modernidad reflexiva Beck (1998) entiende el paso
de la sociedad industrial a lo que él denomina la sociedad del riesgo. La sociedad
del riesgo es una sociedad marcada por la pluralidad de opciones, por la reflexión
y por el riesgo. Es el modelo social que reemplaza al modelo fordista (o industrial)
de sociedad.
Durante los años cincuenta, sesenta y principios de los setenta el modelo de
producción internacional fue el fordismo, caracterizado por ofrecer productos
iguales a mercados amplios de consumidores. Tras la denominada “crisis del
petróleo” y, también en parte, a la saturación de los mercados después de treinta
años inundándolos con productos estandarizados, la oferta comienza a
20
Últimos datos publicados por NUA Internet Surveys. Ver www.nua.ie/surveys, consultada el 24
de abril de 2004.
21
28
diversificarse, para responder a una demanda que el aumento de la capacidad
adquisitiva hacía cada vez más exigente. Además, y debido al avance del modelo
neoliberal, se desregulariza el mercado laboral y se construye un modelo “ideal”
de vida regida por la flexibilidad, la adaptabilidad al cambio, la constante
movilidad, etc. El resultado es una ruptura rotunda con la imagen de una vida
estable, de personas que actúan como autómatas o siguiendo patrones idénticos. El
aumento de la diversidad implica también un incremento de las oportunidades,
pero también de la incertidumbre. Por eso Beck (1998), uno de los autores más
referenciados que ha trabajado el tema de la modernidad reflexiva, junto con
Giddens (1995), afirman que vivimos en una sociedad del riesgo, debido a que
carecemos de la seguridad en nuestras decisiones que caracterizaba la vida de las
personas durante la sociedad industrial. De alguna manera nos vemos impelidos a
gestionar la incertidumbre y esto ofrece mayores oportunidades de cambio y de
transformación, a pesar del riesgo y de la incertidumbre.
Los roles que antes estaban claramente definidos, ahora con la multiplicidad de
opciones que aparecen en nuestras vidas, entran en un constante debate y
replanteamiento. Se rompe con el determinismo vital existente en la sociedad
industrial, porque la diversificación de la oferta es tal que permite un mayor
margen de elección.
El tener tal pluralidad de opciones provoca que nos encontremos sumidos en una
reflexión constante. Esta es una de las consecuencias más claras de encontrarnos
en una sociedad que genera tal diversidad de opciones: la capacidad reflexiva que
todos tenemos pasa a primer plano. Debemos pararnos a reflexionar ante la oferta
y elegir cuál es la más conveniente para nosotros/as. Pero la reflexión no se
simplifica únicamente con la toma de una decisión entre las posibles opciones que
hay, sino que también establecemos cuáles serán las consecuencias de tomar uno u
otro camino.
Este es un elemento importante, porque los principales autores que están
trabajando actualmente en didáctica de las matemáticas, resaltan abiertamente la
importancia de las matemáticas no como “capacidad de encontrar la solución
correcta a una serie de actividades matemáticas”, sino como “capacidad de
29
pensamiento, de razonamiento lógico-matemático, de modelización de la
realidad”. De Lange (1987), por ejemplo, afirma que resolver las actividades
matemáticas requiere de elementos tales como el descubrimiento de regularidades,
la esquematización, la formulación y visualización del problema, entre otros
elementos, que nos sugieren claramente una actividad reflexiva del individuo.22
1.4. El Giro Dialógico
Finalmente, el último de los aspectos que caracterizan a la sociedad dialógica es el
denominado “giro dialógico”.23
En los últimos tiempos, por lo que respecta a las relaciones sociales, se ha
producido un giro hacia el diálogo. Ámbitos de la vida como el trabajo, el ocio, la
vida doméstica, entre otros muchos espacios, son cada vez más colonizados por el
diálogo. En el ámbito laboral, por ejemplo, aparecen los denominados “equipos de
trabajo”: grupos de personas que trabajan con un objetivo común, donde las
decisiones muchas veces son resultado de acuerdos alcanzados por todos los
miembros del grupo. Y en el ámbito del ocio nos encontramos con situaciones de
diálogo, como por ejemplo, los grupos de amigos/as que deciden dónde ir a pasar
el tiempo libre. En casa el reparto de las tareas es algo de lo que cada vez se habla
más. Sin embargo, esto no significa que en todas partes ocurra esto, ni que el
diálogo sea generalizado. Como advierten Flecha, Gómez y Puigvert (2001), el
diálogo es una tendencia hacia la que cada vez nos aproximamos más, pero
todavía no es una situación generalizada.
Ese “giro dialógico” afecta también a las escuelas y a la enseñanza. Los currícula
son resultado de la discusión que se produce en el claustro de cada centro y no
sólo lo que se decide desde la administración educativa correspondiente. La
última reforma legislativa del sistema educativo incide y legitima este aspecto,
porque da las competencias para concretar el currículum a los centros.24 Aunque
el uso del diálogo igualitario no sea una realidad totalmente generalizada, lo cierto
22
De Lange, 1987 en OECD, 2002.
Flecha, Gómez, Puigvert, 2001
24
Ver la definición del “Programa Curricular de Centro”, en la LOGSE, 1990.
23
30
es que existen escuelas donde está presente en todos los ámbitos de decisión. Y,
en algunos casos, este aspecto es extensible a los estudiantes, que participan de
manera activa en la gestión del centro y en la concreción de los contenidos
curriculares.25 Esta dinámica no sólo contribuye a la democratización de la
enseñanza, sino que también permite que en clase se trabajen problemas que
realmente son de interés para los estudiantes y responden directamente a sus
demandas.
La constatación de la inclusión del diálogo en ámbitos cada vez más numerosos de
la vida cotidiana implica que cualquier investigación con pretensiones de
comprender lo que ocurre y hacer propuestas tenga que considerar este elemento.
Un buen análisis didáctico de las dificultades que tienen las personas adultas para
aprender matemáticas no puede prescindir de realidades descriptivas, como el
miedo que tienen a las matemáticas escolares. Igualmente tampoco puede olvidar
realidades normativas, como los esfuerzos que están haciendo ahora mismo
muchas personas adultas por aprender a valorar el trasfondo matemático de
muchas de sus actividades cotidianas y entender que eso también son
matemáticas. De esa manera, igual que la sociología contribuye a mejorar las
condiciones de vida de las personas, la Didáctica de las Matemáticas tiene que
contribuir a mejorar la enseñanza de las matemáticas en nuestras escuelas.26
25
Es el caso de la escuela de personas adultas de La Verneda – Sant Martí, de Barcelona, o de las
Comunidades de Aprendizaje.
26
Desde la teoría dialógica la perspectiva normativa se entiende como resultado del consenso al
que llegan las personas, que después se “institucionaliza” en forma de normas acordadas
intersubjetivamente, tal como explica Habermas (1987, 1998).
31
2. LAS MATEMÁTICAS EN LA VIDA COTIDIANA DE
LAS PERSONAS
En este capítulo se entra ya en el estudio del impacto de las matemáticas en la sociedad dialógica.
Se distinguen las “matemáticas de la vida real” del modelo académico de “matemáticas”. Y, para
ello, se comienza con una reflexión sobre las matemáticas que hay a nuestro alrededor. Con este
fin nos remitimos a la clasificación que ofrece Niss (1995, 1999) sobre los diferentes conceptos de
matemáticas. Después exploramos cuáles son los componentes de ambos modelos. Utilizamos
como referente para ello el trabajo de Treffers (1987) y analizamos el impacto del concepto de
“matemáticas de la vida real” en el ámbito de las personas adultas.
2.1. Matemáticas y vida cotidiana
Las matemáticas juegan un papel importante en la vida cotidiana de las personas
adultas.27 Hay matemáticas en el trabajo, en casa, en las compras, en la decoración
de una habitación, en la preparación de un pastel, en la gestión de la libreta de
ahorros, en la elección de un producto de oferta, etc.28 Saber matemáticas es un
derecho universal, no sólo porque todo el mundo tiene que tener acceso al saber,
sino porque las matemáticas permiten a las personas ejercer una ciudadanía activa,
crítica y responsable (Niss, 1995).
27
Schliemann y Carraher, 2002; Carraher, Carraher, y Schliemann, 1985; Niss, 1995; MEG, 1998.
Hay una bibliografía enorme sobre matemáticas y vida cotidiana. Por solo citar dos referencias,
tenemos a Corbalán,1995 o a Kogelman y Séller, 1995.
28
32
Sin embargo, ¿qué quiere decir que las matemáticas forman parte de nuestras
vidas? Para responder a esta pregunta primero creemos que es importante definir
qué son las matemáticas, o mejor dicho, qué tipo de matemáticas son esas
“matemáticas de la vida real”, o en qué sentido podemos entenderlas.
En didáctica de las matemáticas existen varias corrientes críticas que relacionan el
aprendizaje de matemáticas con la vida cotidiana de las personas. Se encuentran
aportaciones tales como la Etnomatemática, propuesta por el matemático
brasileño D'Ambrosio,29 o las “matemáticas de la calle”,30 por ejemplo. En la
misma línea también son importantes las aportaciones que se realizaron en la
Conferencia sobre Etnomatemática que se celebró en Baltimore en enero de
1998.31
En EUA, en Massachussets concretamente, también existe un trabajo importante
en torno a la enseñanza de las matemáticas, desde un punto de vista más
pragmático, resaltando las habilidades y competencias necesarias para
desenvolverse en la vida cotidiana. Es el caso del Massachussetts ABE Math
Team, que ha elaborado un proyecto sobre "estándares matemáticos" aplicados a
la vida cotidiana, donde se trabajan áreas como la resolución de problemas, la
comunicación, las conexiones matemáticas, números, operaciones y computación,
relaciones, asociaciones, álgebra, geometría, medidas o evaluación y seguimiento
(The Massachussetts Adult basic Education -ABE- Math Team, 1994), que fue
presentado en ALM (Adult Learning Mathematics). Por otro lado, investigadoras
como Civil (2000), por ejemplo, desarrollan una línea de investigación que
incluye las voces de las personas participantes, desde un punto de vista de las
matemáticas que utilizan como herramienta en sus vidas cotidianas.32
29
D'Ambrosio, 1999; Knijnik, 1996.
Nunes, Schliemann y Carraher, 1993.
31
Esmaeli, 1998: 10. City Math Exchange Group (MEG) fue fundado en 1992 para proporcionar
un lugar a los profesores y las profesoras de educación de personas adultas donde estudiar juntos
los cambios y las nuevas propuestas en enseñanza de las matemáticas.
32
Civil (2000) trabaja con mujeres mexicanas, que viven en Estados Unidos. Basándose en los
planteamientos teorizados por CREA (Flecha, 1997, 2000) y las aportaciones de Frankenstein &
Powell (1994), Harris (1991), Knijnik (1996), entre otros, Civil desarrolla experiencias en las que
los conceptos matemáticos se convierten en objeto de trabajo y reflexión conjunta en el aula. Las
mujeres que acuden a las clases, muchas de ellas madres, destacan la transformación que aprender
matemáticas supone para ellas, con ejemplos tales como el poder ayudar a sus hijos en los
estudios.
30
33
En Europa esta corriente crítica nos viene de la mano de autores como Niss (teoría
de la modelización),33 Keitel, Kotzmann y Skovsmose (1993), el Instituto
Freudenthal, en Holanda (contextos de aprendizaje)34 o, más cerca, en nuestro
país, las aportaciones de Alsina (2002, 1999, 1995) o Giménez (2002). Son
autores que resaltan la importancia de las matemáticas en la vida cotidiana de las
personas.
Niss (1995) define las matemáticas desde cuatro puntos de vista diferentes: como
una ciencia pura, como una ciencia aplicada, como un conjunto de herramientas y
procedimientos y como un campo de la estética. Estos principios no están reñidos
entre sí: muchas veces aparecen estrechamente relacionados en la vida cotidiana.
Desde el punto de vista de la estética, las matemáticas ofrecen un amplio abanico
de posibilidades en campos tan diferentes como la pintura (recuérdese la conocida
proporción áurea renacentista), la escultura, la arquitectura o la música.
Desde el punto de vista de la ciencia pura, las matemáticas tienen el objetivo de
descubrir las relaciones internas que se establecen entre los diversos conjuntos de
axiomas, principios, reglas y teoremas que forman su corpus teórico. Éste es el
concepto que muchas veces descubrimos debajo de una pedagogía tradicional de
las matemáticas.35 Desde esta perspectiva las matemáticas se presentan como un
conjunto de conocimientos separado de las personas que lo estudian (o utilizan),
con una serie de conceptos que se rigen por unas reglas lógicas propias de
funcionamiento.36
Las matemáticas como ciencia aplicada, en cambio, aparecen como herramientas
para comprender y/o desarrollar aspectos de diversas áreas más allá de las
33
Niss, 1995.
Van Reeuwijk, 1997.
35
Kline, 1973. La excesiva formalización de las matemáticas fue uno de los errores de la
“matemática moderna”, que la llevaron a su fracaso.
36
Que se pueden memorizar, al estilo conductista, o resolver mediante ejercicios de progresiva
dificultad, desde lo concreto a lo abstracto o al revés, como defendió Gagné (1971), o aprender
resolviendo muchos problemas, etc. Un resumen de las principales líneas psicológicas del
aprendizaje de las matemáticas se puede encontrar en Resnik y Ford (1990). Ver también Newman
(1969) o Kline (1973), para un punto de vista desde la matemática.
34
34
matemáticas. En otras palabras, estaríamos ante todas las aplicaciones
matemáticas que se pueden encontrar en campos tan dispares como la física o la
economía.
Muy relacionado con esta última visión, Niss (1995) también habla de las
matemáticas como “un sistema de instrumentos, productos y procesos” que
utilizamos en nuestras vidas para tomar decisiones y orientar nuestras acciones.
Ésta es la perspectiva que queremos resaltar.37 Las matemáticas no son sólo
fórmulas o procedimientos para resolver sistemas de ecuaciones, raíces cuadradas,
o encontrar la superficie de una figura geométrica cualquiera. Las matemáticas
forman parte de nuestras vidas, en tanto que herramientas que utilizamos (de
manera más o menos sistemática) para tomar decisiones en nuestras vidas. Por eso
se trata de un conjunto de conocimientos tan importante, que va más allá de la
visión académico-teórica.
Esta concepción se encuentra muy generalizada entre las personas. A lo largo de
todo el trabajo de campo realizado (que se explicitará en los capítulos 14, 15 y
16), todas las personas entrevistadas coincidieron en señalar la importancia que
dan a las matemáticas. Los argumentos utilizados fueron varios, desde la
necesidad de tener conocimientos matemáticos para poder desarrollar una
actividad profesional, hasta la propia satisfacción personal de saberse capaz de
resolver situaciones matemáticas. En sus argumentos se ponían de manifiesto
tanto elementos estructurales, relacionados con la propia dinámica de nuestra
sociedad, como aspectos más personales unidos a variables como la emotividad, la
autoestima, las competencias personales (y a su reconocimiento no sólo personal,
sino también social e institucional). Y las matemáticas, desde un punto de vista
normativo, también nos proporcionan criterio para saber tomar decisiones
correctas ante problemas de la vida cotidiana.
Estas concepciones son comunes a trabajos realizados por investigadores e
investigadoras de todo el mundo. Es el caso de los trabajos de investigación en
matemáticas y mercado de trabajo realizados por CREA (1993), FitzSimons
37
Sin caer en la postura exclusivamente utilitarista de las matemáticas, que denuncia Bishop
(2000).
35
(2002a, 2002b, 2001a, 2000a, 2000b, 1997), entre otros muchos trabajos. Y
también es el caso de proyectos y experiencias tales como las comunidades del
Movimento Sem Terra (MTS), de Brasil, ampliamente difundidas por Knijnik
(1996), por poner tan solo algunos ejemplos.
Por tanto, parece que existe un acuerdo generalizado de la comunidad científica
internacional, los gobiernos y las propias personas sobre la existencia de esas
“matemáticas de la vida real”. Sin embargo, muchas veces ocurre que no les
damos importancia, o simplemente, nos resultan invisibles (Niss, 1995). Detrás de
multitud de pequeñas operaciones que realizamos cada día, tales como sacar
dinero de un cajero automático con la ayuda de nuestra tarjeta de crédito y el
código secreto, existe una cantidad importante de “matemáticas de alto nivel”
(combinatoria, encriptación, codificación, etc.) de las que no somos conscientes o
no pensamos en ello. Niss (1995) denomina esta situación como la paradoja de la
relevancia.38 Pero, más allá de lo que dice el matemático danés, resulta que
incluso, a veces, llegamos al extremo de utilizar procedimientos matemáticos
informales para resolver situaciones problemáticas y no ser conscientes de que
estamos utilizando matemáticas. Knijnik (2003) resalta este fenómeno en un
estudio sobre el paso de la peseta al euro realizado con señoras que viven en una
barriada popular de Madrid.39 Lo mismo ocurre con las personas participantes del
Grupo de matemáticas dialógicas. Estas mujeres saben perfectamente la
equivalencia entre el euro y la peseta, pero a pesar de saber hacer los cálculos
correctos, continúan empeñadas en afirmar que no saben matemáticas. Esto indica
que no sólo existe el efecto de la paradoja de la relevancia, sino que en algunas
personas adultas también hay una actitud de baja autoestima, que tiene como
resultado el rechazo frontal a todo lo que suene a “matemáticas”.40
38
La paradoja de la relevancia es “esta discrepancia entre la trascendencia social objetiva de las
matemáticas y su invisibilidad subjetiva” (Niss, 1995: 49).
39
Knijnik, 2003.
40
Nuestra hipótesis es que esta baja autoestima se debe a que existe un concepto muy academicista
de las matemáticas, y que todo aquello que no suene a “matemáticas escolares”, no es identificado
como “matemáticas.
36
2.2. El descuido de las matemáticas de la vida real
La matematización es una de las expresiones de la síntesis de dos conjuntos de
elementos diferentes a los que la OCDE agrupa bajo las etiquetas de
matematización horizontal y matematización vertical,41 basándose en las
aportaciones que hizo Treffers en su tesis en 1978.42
Matemáticas académicas
Matemáticas de la vida real
Identificación de matemáticas
específicas en contextos generales
Representación y relación entre medias
Esquematización
y fórmulas
Formulación y visualización de
Producción de regularidades
problemas
Definición y ajuste de modelos
Descubrimiento de relaciones y
Combinación e integración de modelos
regularidades
Generalización
Reconocimiento de similitudes entre
diferentes problemas
Cuadro 2.1. Diferencia entre las matemáticas académicas y las matemáticas de la vida real.
Elaboración propia a partir de OCDE, 2002a.
Para contemplar estos dos aspectos no sólo se tienen que tener en cuenta los
aspectos de la matemática “vertical”, que incluye actividades tales como
representación y relación entre medias y fórmulas, producción de regularidades,
definición y ajuste de modelos, combinación e integración de modelos y
generalización (OCDE, 2002a), sino que también es necesario incluir la
matematización horizontal (Treffers, 1987). Dentro de este proceso se pueden
identificar actividades tales como la identificación de matemáticas específicas en
contextos generales, la esquematización, la formulación y visualización de
problemas, el descubrimiento de relaciones y de regularidades y el reconocimiento
de similitudes entre diferentes problemas (De Lange, 1987).
La diferencia que se puede apreciar entre ambos conceptos es que el eje horizontal
se refiere más al “traslado” de acontecimientos del mundo real al ámbito de las
41
En concreto, en PISA 2000 podemos leer que el aprendizaje de las matemáticas es:
"Mathematics literacy is an individual’s capacity to identify and understand the role that
mathematics plays in the world, to make well-founded mathematical judgements and to engage in
mathematics, in ways that meet the needs of that individual’s current and future life as a
constructive, concerned and reflective citizen." (OCDE, 2002a: 10)
42
Treffers, 1987.
37
matemáticas, mientras que en el eje vertical no existen referencias explícitas al
mundo real, sino que se refiere al uso de técnicas matemáticas para resolver
problemas procedentes del propio mundo matemático. En otras palabras, mientras
que las matemáticas “verticales” son el conjunto de técnicas matemáticas y su
ejercitación, las matemáticas “horizontales” son el conjunto de técnicas
matemáticas que utilizamos las personas para resolver situaciones problemáticas
en contextos cotidianos.
El concepto “vertical” se puede catalogar también como “matemáticas
académicas” (entendidas en el sentido de unas matemáticas descontextualizadas
explicadas mediante modelos lógico-matemáticos abstractos, basados en las
técnicas de resolución de problemas y no en capacidades tales como la
modelización o la argumentación, a partir de situaciones reales de la vida
cotidiana), mientras que el concepto “horizontal” se refiere a las “matemáticas de
la vida real”.
Esta distinción es muy importante, porque las personas adultas sí que utilizan
técnicas y estrategias de razonamiento lógico-matemático en sus vidas, pero eso
no tiene por qué significar que sean capaces de resolver actividades de
matemáticas académicas en la escuela. Esto ocurre porque a menudo las
estrategias y los procedimientos que utilizamos las personas para resolver
situaciones problemáticas (de carácter numérico) no siguen unas “pautas” o
“criterios” estrictamente matemático-formales, sino que esas estrategias y esos
procedimientos son fórmulas informales que tienen como base empírica el sentido
común.43
Como dice un gran matemático como P. Davis:
“...el desafío es también mantener el mundo a salvo para y desde la
matematización.” (Davis, 1995: 37).44
43
Estas estrategias informales basadas en el sentido común pensamos que también se basan en
unas estructuras de pensamiento que pueden ser catalogadas como matemáticas (informales) y que
todas las personas tenemos. De todas maneras, este tema es campo para futuros trabajos de
investigación que nos lleven a corroborar esta hipótesis.
44
“... the challenge is also to make the world safe for and from mathematizations.” (Davis, 1995:
37).
38
Dichas estrategias y procedimientos no suelen estar reconocidos por la comunidad
científica internacional (o existe una amplia polémica). Y en la escuela ocurre otro
tanto: los profesores y las profesoras de matemáticas utilizan (por lo general) una
base diferente (más “experta” y formal) para juzgar lo que es y lo que no es
“matemáticas”. De este modo, las estrategias de resolución de problemas basadas
en el sentido común (aun a pesar de su base empírica) no se valoran como
razonamientos lógico-matemáticos y, por tanto, aparece una brecha que dificulta
enormemente el aprendizaje de las matemáticas y que en el caso de las personas
adultas (que ya tienen un acervo importante de experiencia acumulada) suele ser
muy difícil de superar.45
En este contexto aparecen diversos aspectos. Uno es el que se refiere al registro
que se utiliza en la clase de matemáticas. Zevenbergen (2000) analiza el código
matemático de los discursos que se producen dentro del aula de matemáticas
desde una perspectiva cultural basada en las aportaciones de Bourdieu (1979).46
En sus investigaciones concluye que algunas prácticas de matemáticas pueden
convertirse en exclusoras para algunos estudiantes, porque el lenguaje que utilizan
estos estudiantes no coincide con el lenguaje matemático formal que utiliza el
profesor en la clase.47 Zevenbergen (2000) defiende que tenemos que pensar en
unas matemáticas que partan de la realidad subjetiva de las personas.
45
A estas consideraciones, además, se les tiene que añadir todo el aspecto ligado con el tema de
los prejuicios (edismo, por ejemplo) y la baja autoestima que tienen algunas personas adultas.
Estos aspectos son barreras muy importantes que dificultan cualquier tipo de aprendizaje y que hay
que transformar si se quiere llegar a conseguir aprendizajes efectivos.
46
Bourdieu es un sociólogo de la educación que tiene un discurso de corte estructuralista. Sus
aportaciones más conocidas son los conceptos de habitus y el de distinción. Bourdieu ha sido
acusado en varias ocasiones de tener una teoría demasiado estructuralista, que no deja espacio a la
capacidad de decisión que tenemos todas las personas. En ese sentido, la crítica que se le hace es
que su modelo no sirve para explicar el cambio. Por eso el sociólogo francés propone el concepto
de habitus, que define como “estructura estructurada” y “estructura estructurante”. En otras
palabras, Bourdieu afirma que en la sociedad existen estructuras que son capaces de generar
dinámicas de cambio. Un ejemplo de eso es el concepto de distinción. La distinción es una actitud
que Bourdieu atribuye a las personas que pertenecen a una clase social determinada. Ese colectivo
tiende a adoptar costumbres que lo diferencian de las personas que pertenecen a otras clases
sociales. Y ese afán de distinción es lo que hace que se generan cambios, pero que, a fin de
cuentas, son cambios para mantener el status quo de la estructura social.
47
En sociología de la educación existe una línea teórica desarrollada por Bernstein sobre las
diferencias entre los diversos registros del lenguaje que utilizan los y las estudiantes en el aula.
39
Esta concepción se asemeja a la que utilizan Gellert y Jablonka (1995) cuando
hablan sobre el sentido común y las matemáticas.
Pero ése no es el único tema que subyace a la brecha que existe entre las
matemáticas académicas y las matemáticas de la vida real. El aspecto principal es
el tipo de relación que se establece entre los diferentes agentes educativos.
La alfabetización matemática es un proceso que se produce entre personas que
están en contacto en espacios de comunicación (sea el aula de matemáticas, sea el
lugar de trabajo, etc.). Son las personas quienes dicen que saben o no saben
matemáticas y, a menudo, esta afirmación depende de los resultados académicos.
Si una persona supera un proceso de evaluación, entonces su competencia
matemática queda refrendada. En un contexto no igualitario, es el profesor o la
profesora quien decide si el estudiante sabe o no sabe matemáticas. Por tanto, la
alfabetización matemática se convierte en lo que dice el profesor qué es o qué no
es saber matemáticas. Así se generan situaciones en las que el profesor explica de
una o varias formas la resolución de cada tipo de actividad matemática. El
profesor o la profesora puede utilizar diversas estrategias didácticas, más
tradicionales o más innovadoras, pero desde este punto de vista no aparece el
conocimiento matemático que todas las personas tienen.
A menudo las personas participantes de las escuelas de personas adultas saben
resolver las actividades de matemáticas, pero lo hacen de manera diferente a como
se explica en el aula. Estos conocimientos que adquirimos todos y todas a lo largo
de nuestras vidas y que pasan a formar parte de nuestra experiencia acumulada, si
no coinciden con alguna de las opciones que utiliza el profesor en la clase, resulta
que no es considerado como saber matemáticas. Éste es el caso de una mujer que
estudiaba certificado en la escuela de personas adultas de La Verneda – Sant Martí
que nunca había realizado en su vida una resta sobre el papel, utilizando el método
clásico de poner un número debajo del otro y realizar la sustracción cifra a cifra,
comenzando de derecha a izquierda. Esta mujer tenía su propia estrategia para
hacer restas: en vez de restar, sumaba. Cuando le devolvían el cambio en la tienda,
miraba el importe de las monedas que le devolvían, contaba hasta llegar a la
cantidad que había entregado y comprobaba que coincidía con el importe total.
40
Esta señora hasta que no logró comprender que ella ya sabía restar, y que
simplemente tenía que aprender otro procedimiento para resolver las restas sobre
el papel, no logró superar el tema de la resta. En realidad, esta mujer ya sabía
perfectamente lo que era restar y su significado, pero no era consciente de ello,
porque lo que le explicaban en la escuela ella no lo entendía. Por ese motivo, ella
se angustiaba mucho y eso creó una barrera al aprendizaje que sólo se pudo
romper mediante una enseñanza dialógica, basada en una relación igualitaria.
Las matemáticas que se analizan en esta investigación son lo que denominamos
como “matemáticas de la vida real”. No se trata de un concepto de matemáticas
académico. Las matemáticas no las tomamos aquí exclusivamente como un
conjunto de axiomas, principios, reglas, etc. que se utilizan para describir el
mundo que nos rodea (sea desde el punto de vista analítico, geométrico,
diferencial, algebraico o de cualquier otra índole).48 El concepto de matemáticas
de la vida real es mucho más amplio que el concepto de matemáticas académicas.
Las matemáticas de la vida real son una construcción social del saber matemático
aplicado a todas las esferas de la vida cotidiana. Por ello, incluyen tanto el
conjunto de símbolos y reglas que rigen su uso, como las diferentes maneras que
existen para utilizar esos símbolos y esas reglas que implican formas de
representación, razonamiento o comunicación diferentes. Matemáticas de la vida
real es saber hacer una suma, pero también saber entender una representación
gráfica o utilizar un esquema para explicar una relación de causalidad.
Matemáticas de la vida real es utilizar la regla de tres, pero también ser capaz de
predecir el dinero que vamos a necesitar en un viaje de vacaciones, haciendo un
modelo de gastos previstos. Saber matemáticas de la vida real es saber cuánta
agua cabe en un cubo, pero también saber calcular la integral del volumen de un
cubo.
48
El Diccionario de la Real Academia Española define la matemática como: “ciencia que trata de
la cantidad”, y distingue entre “matemáticas aplicadas o mixtas, y matemáticas puras”. (RAE,
1970: 854).
41
42
3.
LA
INVESTIGACIÓN
SOBRE
FORMACIÓN
MATEMÁTICA BÁSICA PARA TODOS
En este capítulo se hace un repaso de algunas de las líneas de investigación en didáctica de las
matemáticas que se están realizando actualmente. Este repaso se hace a la luz del estudio que
presentamos aquí, a fin de situar el tema que hemos elegido en el marco internacional de la
investigación. Se trata, por tanto, de una exposición del estado de la cuestión, resaltando las
relaciones que se pueden establecer entre esta tesis y el mundo de la investigación en didáctica de
las matemáticas. En ese sentido se presentan diversas líneas de investigación, como la perspectiva
de la street mathematics, el modelo de la contextualización, los cross cultural studies o la
etnomatemática.
3.1. Consideraciones previas
English (2002) en el primer capítulo del Handbook of International research in
Mathematics Education comienza diciendo que la investigación en el ámbito de la
didáctica de las matemáticas atravesó un momento de estancamiento durante la
década de los años noventa. Bauersfeld (1997) afirma que la investigación en
matemáticas había experimentado un simple cambio de presentación (de formato),
pero que los temas que se trabajaban continuaban siendo los mismos.
Sin embargo, esta postura negativa no es comúnmente aceptada por todo el
mundo. FitzSimons, O’Donoghue y Coben (2001), por ejemplo, nos muestran un
43
panorama de investigación plenamente activo, con unos vínculos estrechos con los
actuales cambios sociales, económicos, políticos y culturales que se están
produciendo a nivel global.49 Y la misma impresión nos queda después de leer
trabajos de Guida de Abreu (2002), Amit y Fried (2002) o Skovsmose y Valero
(2002), que también hacen un repaso de algunas de las principales aportaciones de
la investigación a la didáctica de las matemáticas y abren las puertas a futuras
investigaciones.
Tras un repaso de la principal bibliografía que hemos encontrado sobre la
investigación en la didáctica de las matemáticas50 y después de la asistencia a
algunos de los principales forums de debate internacionales (ALM, CIEAEM e
ICME), se puede decir que es impresionante la cantidad de investigaciones que se
están realizando en el ámbito de la didáctica de las matemáticas.51 Encontramos
investigaciones sobre temas como el impacto de las tecnologías en la educación,
la concreción de conceptos tales como la alfabetización numérica (o matemática),
la mejora de los materiales didácticos existentes, las variables extra-académicas
que inciden en el aprendizaje de las matemáticas, relato de experiencias concretas
de todo el mundo, etc.52
49
Y que plantean nuevos retos a la investigación y a la docencia en didáctica de las matemáticas,
como afirma Alsina (2000).
50
English, 2002; FitzSimons, Coben, O’Donoghue, 2001.
51
Es importante decir que hacer un repaso completo de toda la investigación que se ha hecho en
didáctica de las matemáticas es un propósito quimérico, debido a la cantidad enorme de
investigaciones que existen y que se publican sobre este tema. Por eso restringimos aquí nuestra
exposición a aquellos documentos y obras a los que hemos tenido acceso, que son
fundamentalmente los proceedings de las últimas tres ediciones del CIEAEM, las dos últimas del
ALM y también proceedings del PME de hace 2 años. También hemos repasado libros sobre
investigación matemática, como English (2002) y, en el campo específico de personas adultas,
FitzSimons, Coben, O’Donoghue (2001). Además, también se ha hecho un breve repaso de
revistas que publican resúmenes de las principales investigaciones que se están escribiendo en la
actualidad.
52
En el ICME-9 (2001) el tema principal de reflexión fue la reflexión sobre la educación continua
(lifelong learning) en el ámbito de las matemáticas. Se hicieron aportaciones desde el estudio del
currículum de matemáticas respecto de las demandas que se producen en el mercado de trabajo
(FitzSimons, 2001a, 2001b), sobre diferentes conceptos clave de la didáctica de las matemáticas,
tales como el debate entre numeracy y mathematics (Tout, 2001), sobre valores en educación
continua (Clarkson, Bishop, FitzSimons, Seah, 2001), sobre relaciones más equitativas y más
extendidas en la educación matemática (Clements, 2001); sobre proyectos concretos, como el
ALSS (Manly and Tout, 2001); la situación de la educación matemática en diversos países
(Safford-Ramus, 2001; Alatorre, 2001; Coben, 2001); el impacto de la familia en la educación
matemática (Civil, 2001); entre otros muchos temas relacionados con la educación continua de
matemáticas a lo largo de toda la vida.
44
3.2. Exposición del estado de la cuestión
Las transformaciones que se están dando actualmente en la investigación de la
didáctica de las matemáticas están muy relacionadas con los cambios sociales,
económicos, políticos y culturales que se están produciendo en las sociedades
dialógicas.53
Estos cambios están abriendo nuevas líneas de investigación en el campo del
currículum de matemáticas y justifican la necesidad de proseguir las
investigaciones por estas líneas. Aparecen abundantes trabajos que tratan de
concretar qué habilidades matemáticas son necesarias en el lugar de trabajo,54 la
enseñanza de las matemáticas a lo largo de la vida,55 matemáticas y nuevas
tecnologías,56 la democratización de la enseñanza de las matemáticas y
matemáticas para todos,57 entre otros.
English (2002) establece las prioridades de las investigaciones actuales en
didáctica de las matemáticas y señala como campos abiertos para la investigación
tres temas concretos: 1) el acceso democrático a las ideas-fuerza matemáticas a lo
largo de toda la vida (lifelong democratic access to powerful mathematical ideas);
2) los avances en las metodologías de la investigación (advances in research
methodologies); y 3) las influencias de las tecnologías avanzadas (influences of
advanced technologies).
Así, por un lado, el desarrollo de sistemas técnicos cada vez más complejos
justifica que se estén desarrollando muchas investigaciones sobre qué tipo de
habilidades matemáticas es necesario aprender58 e, incluso, se dediquen
conferencias completas a debatir el tema.59 Pero, por otro lado, la tendencia hacia
53
FitzSimons, 2002a, 2002b, 2001a, 2001b; FitzSimons, O’Donohgue, Coben, 2001; van der
Kooij, 2001; CREA, 1993.
55
FitzSimons, Coben, O’Donoghue, 2001.
56
Kaput, Noss and Hoyles, 2002; Hershkowitz, et al., 2002; Mariotti, 2002; Yerushalmy and
Chazan, 2002; Bottino and Chiappini, 2002.
57
Skovsmose y Valero, 2002; Moreno-Armella and Block, 2002; Abreu, 2002, Amit and Fried,
2002.
58
OCDE, 1999, 2000, 2002; Bishop, 2000; Abrantes, 2002; Gellert y Jablonka, 2002.
59
Es el caso de la edición 53ª del CIEAEM, celebrado en Verbania, Italia, en el verano del 2001.
English (2002) dice que una de los temas relacionados con los estudiantes que serán objeto de
54
45
la democratización de la educación abre la puerta a otras líneas de investigaciones
orientadas a que todas las personas tengan las mismas oportunidades de estudiar.60
En esta línea se sitúan los trabajos de Skovsmose y Valero (2002). En
“Democratic access to powerful mathematics ideas” estos dos autores plantean
una serie de preguntas finales que abren un abanico enorme de posibilidades para
investigar en el ámbito de la didáctica de las matemáticas y que tienen gran interés
para el trabajo que presentamos aquí. Por ejemplo, preguntan cómo hacer formas
particulares de educación matemática, incluyendo interacciones y motivaciones en
el aula, que generen reconocimiento de los valores democráticos o cuáles son las
formas de interacción en el aula que abren las posibilidades para la politización y
la crítica de los contenidos matemáticos y de la interacción consigo mismos.61
Skovsmose y Valero (2002) también se preguntan si es mejor tratar con modelos
de contextualización que primero consideren los aspectos metafísicos de los
paradigmas de las actividades o tratar con referencias de la vida real, pregunta que
nos recuerda las aportaciones de parte de la escuela holandesa en el ámbito de la
contextualización y/o de la modelización de las actividades.62
“La contextualización de las matemáticas escolares ¿tiene que tocar el saber de fondo
y el saber inmediato de los estudiantes desde vías significativas?” (Skovsmose y
Valero, 2002: 403).63
Por otro lado, desde el punto de vista de la tecnología, también es de gran
importancia para nuestro trabajo la pregunta que plantean Skovsmose y Valero
(2002) sobre la relevancia que puede tener el considerar cómo pueden abrir
investigación en los próximos años es: “What key mathematical understandings, skills, and
reasoning proceses will students need to develop for success in the 21st century? What
developments need to take place each level of learning, from preschool through the adult level?”
(English, 2002: 9).
60
Skovsmose y Valero, 2002; Abrantes, 2002.
61
“How do particular forms of mathematics education, including interaction and communication
in the classroom that they generate, acknowledge democratic values? Which are the forms of
interaction in the classroom that open possibilities for politization and critique of both the
mathematical content and the interaction itself?” (Skovsmose and Valero, 2002: 403).
62
Van Reewnijk, 1997. Ver también los principios de la “educación matemática realista” en
Goffree, 2000.
63
“Does the contextualization of school mathematics touch on both the students’ background and
foreground in significant ways?” (Skovsmose and Valero, 2002: 403).
46
nuevas vías de formación las tecnologías de la información y de la comunicación
aplicadas a la enseñanza de las matemáticas (basándose ellos a su vez en otros
trabajos, como los de Balacheff y Kaput, 1996).64
En la misma línea Gorgorió y Bishop (2000) señalan el campo de las tecnologías
como uno de los retos de las futuras investigaciones que se realicen en el ámbito
de la didáctica de las matemáticas, al igual que hace English (2002) cuando nos
presenta el cuadro de las líneas de investigación principales que hay abiertas en la
educación matemática.65
En su reflexión Gorgorió y Bishop (2000) proponen que docentes y
administradores trabajen conjuntamente para lograr democratizar el acceso a las
matemáticas. Estos dos autores señalan algunos retos de la investigación, que
coinciden con las preguntas abiertas por otros autores. Estos retos son, por
ejemplo, la necesidad de concretar qué habilidades matemáticas son necesarias
para trabajar en la sociedad de la información o el tema del impacto educativo que
pueden llegar a tener las tecnologías de la información y de la comunicación.
Por otro lado, desde el punto de vista cognitivo, aparecen todos los trabajos que se
han realizado desde la Psicología y las teorías del aprendizaje. Hay que citar las
primeras intentonas (demasiado reduccionistas) de los conductistas,66 o los
modelos más elaborados dentro de esta misma corriente,67 al margen de modelos
mecanicistas basados en el modelo estímulo-respuesta y en todo un sistema (más
o menos elaborado) de recompensas y refuerzos (positivos y negativos) destinados
a estimular o inhibir comportamientos en los sujetos de estudio. Las
investigaciones cognitivistas intentaron aportar algo más a la comprensión del
aprendizaje.68
64
“It is relevant to considerer how information and communication technologies (ICTs) open and
reorganize new possibilities (Balacheff & Kaput, 1996; Borba, 1997, 1999)” (Skovsmose and
Valero, 2002: 404).
65
“El desarrollo de la cultura tecnológica y la omnipresencia del ordenador nos enfrentan a un
nuevo reto, cuestionándonos la formación matemática de nuestros jóvenes, a la vez que nos
proporcionan grandes posibilidades educativas. En el futuro, cada día habrá más ciudadanos que
deban enfrentarse al ordenador en sus puestos de trabajo.” (Gorgorió y Bishop, 2000: 195).
66
Pavlov, 1979, 1982a, 1982b; Watson, 1914; Guthrie, 1952; Thorndike, 1913.
67
Skinner, 1957, 1974; Gagné, 1971.
68
Tolman, 1977; Lewin, 1942.
47
Pero los principales modelos de referencia (para posteriores investigaciones) son
los que elaboraron Piaget (1968) y Vigotsky (1979b).69 En el campo de la
Psicología del aprendizaje de las matemáticas es muy conocido el trabajo de
Resnik (1990), que nos presenta un cuadro de los fundamentos psicológicos de la
enseñanza de las matemáticas, donde aprovecha también para introducir algunas
investigaciones que se han realizado en este ámbito. También, desde el punto de
vista de las aportaciones al análisis cognitivo, encontramos el trabajo de Kaemer
(2003) sobre diversos procedimientos de razonamiento para la realización de
sustracciones en situaciones de vida cotidianas.
Finalmente, en el terreno afectivo encontramos el trabajo de Gómez Chacón
(2000). También son interesantes las reflexiones que hace Elster (2002) sobre este
tema, porque pone las bases para construir un modelo de análisis científico sobre
las emociones. Sus sugerencias sobre los diferentes mecanismos afectivos que
ponemos en marcha para justificar nuestros deseos y nuestras creencias resultan
muy útiles para analizar las intuiciones, los sentimientos y las creencias de las
personas que están estudiando matemáticas, porque el aprendizaje de las
matemáticas es un ámbito que no se queda frío a las emociones.70
El terreno afectivo siempre ha ocupado un papel relevante en la investigación
didáctica en el ámbito de la educación de personas adultas, porque tiene una
incidencia importante en las creencias y las actitudes que muestran las personas
adultas hacia la educación. 71 Evans (2002) nos cuenta como esta dimensión es un
tema muy importante en la educación matemática de adultos.
“Substanciosas cantidades de trabajos recientes presentadas en las conferencias de
investigación en aprendizaje de matemáticas en personas adultas, o en las de
educación matemática más en general, enfatizan la importancia del afecto,
69
Este último se empieza a redescubrir no hace mucho, a pesar que sus investigaciones son de
principios del siglo XX.
70
De sobra es conocida la fama de “materia difícil” que tienen las matemáticas (Corbalán, 1995).
71
FitzSimons, Coben, O’Donoghue, 2001; FitzSimons y Godden, 2000; English y Goldin, 2001 ;
DeBellis & Goldin, 1997; Buendía, 1999; McLeod, 1992.
48
emociones o “feelings” en las personas adultas que estudian matemáticas o los
usuarios de ideas cuantitativas.” (Evans, 2002: 79).72
3.3. La vinculación con el marco de la investigación internacional
El tema que trabajamos nosotros en esta investigación son los efectos que sobre el
aprendizaje de las matemáticas está causando la brecha que existe entre las
matemáticas académicas y las matemáticas de la vida real.73 En esta línea,
encontramos importantes trabajos que se desarrollaron especialmente durante los
años ochenta.74 En estos años personas como D’Ambrosio (1994, 1999), Bishop
(1999, 2000), Carraher y Schliemann (1982, 1985, 1992, 2002a, 2002b) hacen
importantes contribuciones desde la investigación cultural a la enseñanza de las
matemáticas, sobre todo en niños/as y desde fuera de la escuela.75 Estas
contribuciones van a desembocar en la aparición de varias líneas de investigación
en didáctica de las matemáticas (cross cultural studies y etnomatemática y street
mathematics, básicamente) 76 y son de completa actualidad (Hughes, 2001).77
D’Ambrosio (1985) se dedica a estudiar qué matemáticas utilizan los campesinos
de las zonas rurales de Brasil, atendiendo a elementos socioculturales y elabora la
perspectiva de la etnomatemática (D’Ambrosio, 1999). Carraher y Schliemann
72
“Substantial amounts of recent work reported to research conferences on addult mathematics
learning, or on mathematics education generally, emphasise the importance of affect, emotion and
feelings among adult learners of mathematics and users of quantitative ideas (see eg Kaye, Evans,
Healy and Seabright forthcoming, Cockburn and Nardi, 2002).” (Evans, 2002: 79).
73
La existencia de esa “brecha” (o gap) actualmente ya no se discute en la investigación de la
didáctica de las matemáticas. Como dice Hughes (2001) “Whatever theoretical perspective is
adopted, I will argue that the difference between home and school learning is closely related to the
widespread problem of application –namely, that knowledge acquiered in one context is frequently
not available or not used in another context. While this problem is widespread across many
subjects, it seems to be particularly acute in mathematics. Here is considerable evidence that
mathematical knowledge acquiered in scholl does not readily transfer to out-of-scholl contexts
(e.g. Hughes, 1986). At the same time, there is also evidence that mathematics knowledge acquired
out-of-school does not readily transfer to school type problems (e.g. Nunes, Schliemann and
Carraher, 1993).” (Hughees, 2001: 2).
74
Abreu, 2002.
75
Sin embargo, investigaciones sobre personas adultas en estas líneas de investigación no hemos
detectado hasta los trabajos de Knijnik durante la década de los noventa (1995, 1996, y 2003).
76
Nunes, Schliemann, Carraher, 1993; D’Ambrosio, 1999; Knijnik, 1995, 1996, 2003; Bishop,
1999.
77
En las sesiones plenarias que inauguraron la edición 25ª del PME, en el 2001, una de ellas trató
sobre la brecha que existe entre las matemáticas de la escuela y las matemáticas de fuera de la
escuela (out-of-school problems), en el campo de la educación infantil.
49
(1982), en cambio, se dedican a investigar las matemáticas de los niños de la calle
de las ciudades brasileñas.
Estos autores constatan la existencia de una brecha entre las matemáticas que se
enseñan en la escuela y las matemáticas que utilizan los campesinos/as o los
niños/as de la calle. Estas personas tienen otra forma de hacer matemáticas, con
sus reglas y sus normas, que les dan resultados válidos para poder resolver las
situaciones problemáticas que se les van presentando a lo largo de la vida. Sin
embargo, en la escuela, estas personas no son capaces de sacarse los estudios de
matemáticas y obtienen malos resultados.78
Aparece entonces un concepto, que es uno de los precursores de nuestro concepto
de “matemáticas de la vida real”:79 matemáticas de la calle. Este tipo de
matemáticas se define como los “estudios con grupos que han aprendido y usado
matemáticas en sus actividades cotidianas externas a la escuela”.80
Durante los años siguientes se desarrollan más investigaciones desde el ámbito de
la Psicología evolutiva. Abreu resume las principales líneas de investigación en
este ámbito con la tabla siguiente:
Nivel de análisis
Objeto de análisis (focus of
análisis)
Educación etnomatemática
(D’ambrosio, 1985)
Nivel sociogenético: análisis
histórico y antropológico de las
matemáticas en diferentes grupos
socioculturales.
Psicología evolutiva (Developmental
Psychology) (Nunes et al. 1993)
Nivel ontogenético: análisis de los
procesos psicológicos individuales
relacionados con el aprendizaje y
utilizando matemáticas en contextos
socioculturales específicos.
Relaciones entre cultura y cognición:
¿cómo intervienen en la cognición
matemática los instrumentos
culturales?
Relaciones entre órdenes sociopolíticos y aprendizaje individual:
¿cómo se atribuyen los grupos de
valores sociales a ciertas formas
de matemáticas por medio de su
“transmisión” y “apropiación”.
Tabla 3.1. Dos perspectivas sobre las matemáticas de fuera de la escuela. Fuente: Abreu, 2002, en
English, 2002.
78
Ejemplo emblemático es el título del artículo de Carraher, Carraher y Schliemann. 1982.
Ver el capítulo “La alfabetización matemática”, en esta misma tesis.
80
Abreu, 2002.
79
50
Las matemáticas de la calle (street mathematics) a menudo se relacionan con una
imagen de las matemáticas poco exactas. Se trata de unas matemáticas de la
aproximación, de la intuición, poco sistemáticas, pero son unas matemáticas que
implican el uso de conceptos y procesos matemáticos.81
Los trabajos de D’Ambrosio (1985, 1999) también sirven para poner la base de
algunos de los conceptos sobre matemáticas que se utilizan en esta investigación.
El autor brasileño nos presenta una visión de las matemáticas que enfatiza las
conexiones entre lo que cuenta como conocimiento legítimo y su relación con las
políticas y de poder de las sociedades. En sus investigaciones nos explica cómo el
saber matemático se puede ejercer como un instrumento de poder (o de
emancipación) por los políticos o por los campesinos, en cuanto que saber
matemáticas permite controlar aspectos como la contribución por unas tierras de
labranza (según la superficie cultivable que tengan), por ejemplo.
D’Ambrosio nos habla de literacia, materacia y tecnoracia, que son tres
conceptos que integran lo que él entiende por “saber matemáticas”.82 En una línea
algo diferente se sitúan las aportaciones de Alan Bishop (1999, 2000), desde la
enculturación matemática.
Además, contamos también con las aportaciones que se han hecho recientemente
sobre este tema en los últimos encuentros de la comunidad científica
internacional. Por ejemplo, en la edición 53ª del CIEAEM el tema de debate
fundamental fue discutir sobre la conveniencia de utilizar el concepto de
alfabetización numérica (numeracy) o el de alfabetización matemática (math
literacy).83 Un debate que en el ICME de Tokio (2000) ya se había decidido
decantar hacia la alfabetización matemática.
81
“Street mathematics has often benn treated in the literature as “lesser mathematics” involving
idiosyncratic, intuitive, childlike procedures –techniques that did not allow for generalisation and
should tus be eliminated in the classroom though carefully designed instruction. We were able to
document the fact that street mathematics is not learning of particular procedures repeated in
automatic, unthinking way, but involves the development of mathematical concepts and
processes.” (Abreu, 2002: 324).
82
Un concepto más ligado a la alfabetización matemática (math literacy) que a la alfabetización
numérica (numeracy).
83
Finalmente se llegó al acuerdo que era mejor el concepto de math literacy. Ver Bazzini &
Whybrow Inchley, 2002.
51
Todo esto nos da pie en el capítulo que viene a continuación para definir lo que
entendemos desde esta tesis como alfabetización matemática.
52
4. LA ALFABETIZACIÓN MATEMÁTICA
En las líneas siguientes hacemos un esbozo del debate actual sobre la alfabetización matemática.
Se presentan las principales líneas argumentales y los diferentes conceptos de “alfabetización
numérica” que se han utilizado en los últimos años. Situamos los elementos que se plantean en un
cuadro donde distinguimos entre los componentes cognitivos de las diferentes perspectivas de lo
que significa alfabetización numérica, los elementos puramente instrumentales y normativos y,
finalmente, los aspectos emotivos. De esta manera hacemos una aproximación comprehensiva y
multidimensional a este concepto, destacando los principales componentes del mismo, según los
trabajos más importantes que hay actualmente.
4.1. Contextualización del concepto de alfabetización matemática
En la Conferencia Internacional de Mejora para el Aprendizaje de las
Matemáticas (CIEAEM) del año 2001 el tema principal de discusión fue la
alfabetización matemática en la era digital (Bazzini & Whybrow Inchley, 2002).
Éste es uno de los debates fundamentales que existen actualmente en la
comunidad científica internacional.84
84
Existen diversos estudios sobre el tema de la alfabetización matemática. Algunos de los más
citados son los que se realizan desde la OCDE, debido a su alcance internacional (OCDE, 1995,
2000, 2002a). También son conocidos los trabajos del NCTM en la misma línea (NCTM, 1989).
Otros autores que han trabajado sobre el tema son Abrantes, 2002; Kilpatrick, 2002; Noss, 2002;
Gellert, Jablonka, 2002; Jablonka, Gellert, 1995; Gal, 2000; Zenbergen, 2000; entre otros muchos
investigadores.
53
La alfabetización siempre fue un tema relevante en los debates sobre el
aprendizaje y la educación. Ya en plena época industrial surgió la alfabetización
como una necesidad ineludible en la propia estructura económica de los estados.85
La mano de obra cualificada se convirtió en un recurso social y económicamente
valorado. En el ámbito de la comunidad científica internacional aparecieron
también trabajos e investigaciones que confirmaban esta relación directa entre
formación y trabajo, como es el caso de la teoría del capital humano (Becker,
1983) o la teoría credencialista (Collins, 1979). Las matemáticas se convirtieron
en un saber general que fue ocupando un lugar obligado en los currícula
académicos. Se relacionaron las matemáticas con el desarrollo de habilidades tales
como el razonamiento, la estructuración y organización de informaciones, la
adquisición de habilidades necesarias para el trabajo, etc.
Desde entonces en las sociedades de todo el mundo se han producido cambios
trascendentales tales como la revolución de las tecnologías, la globalización de las
relaciones económicas basadas en un modelo tecnológico descentralizado y en
una división internacional del trabajo localizada territorialmente, la reorganización
de las estructuras organizativas en entornos más flexibles, etc. (Castells, 1998).
Todos estos cambios han incidido también en la formación y en conceptos tales
como la alfabetización. Cada vez más la alfabetización se relaciona no sólo con
saber leer, escribir o realizar operaciones matemáticas básicas, sino también con
todos esos aspectos más generales que caracterizan a las sociedades dialógicas.
En este contexto existe una preocupación común para que las matemáticas sean un
recurso para todas las personas. Hace más de una década, cuando se estaba
empezando a escribir sobre la sociedad de la información, se decía ya que en
nuestras sociedades aparecen nuevos retos, como son la alfabetización de todas las
personas, la formación a lo largo de toda la vida (lifelong learning), la dotación de
las mismas oportunidades para todo el mundo (opportunity for all), entre otros
muchos desafíos (NCTM, 1989).
85
Bazzini & Whybrow Inchley, 2002.
54
En el ámbito de las matemáticas el debate se ha desplazado de la alfabetización
numérica a la alfabetización matemática. Los cambios acaecidos, que en otras
disciplinas se han convertido en recomendaciones para una formación de carácter
universal, en la didáctica de las matemáticas quedan reflejados en ese cambio
terminológico. Se ha pasado de un concepto de alfabetización como acumulación
de conocimientos especializados de las matemáticas, a una idea mucho más
general, que contempla no sólo los procedimientos y las herramientas matemáticas
para resolver problemas, sino aspectos más amplios como la capacidad de
razonamiento lógico-matemático, la interpretación de los datos, la lectura de
gráficos, etc.86 Así se pasa de la adquisición de competencias elementales a la
adquisición de una comprensión, de un uso y de una práctica crítica de las
matemáticas en los diversos ámbitos de nuestras vidas. En la sociedad de la
información lo que resulta necesario son habilidades tales como saber interpretar
gráficos y otros símbolos visuales, ser capaz de explorar por uno mismo nuevos
entornos, utilizar las tecnologías de la información y de la comunicación,
manejarse en entornos simulados y ser capaz de reducir la realidad a modelos
matemáticos que nos ayuden a explicar los fenómenos del mundo real, entre otras
muchas habilidades (OCDE, 1995). Se trata de unas matemáticas que no tienen
que quedar restringidas a una élite de personas, sino que tienen que estar al
alcance de todo el mundo.
4.2. De la alfabetización numérica (numeracy) a la alfabetización
matemática (math literacy)
¿Qué significa saber matemáticas? ¿Qué es lo que hay que saber del concepto de
alfabetización matemática (math literacy) para orientar el aprendizaje de las
matemáticas? ¿La competencia matemática significa tener unas destrezas y unas
habilidades lógico-matemáticas que permiten a uno resolver situaciones
problemáticas de la vida cotidiana? ¿O acaso significa saber unos contenidos
86
Bazzini & Whybrow Inchley, 2002.
55
concretos sobre conceptos matemáticos tales como la teoría de los números,
geometría, topología o álgebra, por ejemplo?
En los últimos años se ha producido un importante debate en la comunidad
científica internacional en torno a dos conceptos clave en la didáctica de las
matemáticas: alfabetización numérica (numeracy), por un lado, y alfabetización
matemática (math literacy), por el otro. En el Congreso Internacional de
Matemáticas que se celebró en Japón en el 2000, el ICMI, se optó finalmente por
utilizar el segundo, frente a alfabetización numérica. El argumento que se utilizó
para justificar dicha decisión fue que el concepto de alfabetización numérica
queda muy restringido a lo que son los contenidos matemáticos, mientras que la
alfabetización matemática abarca aspectos más generales, no sólo ligados a los
contenidos, sino que también se refiere a elementos procedimentales e incluso
actitudinales.
La palabra alfabetización numérica es un neologismo utilizado por comunidades
científicas de Gran Bretaña, Australia, Canadá y Estados Unidos.87 Fue utilizado
por primera vez por el Comité Crowther en 1959.88 Se suele definir como la parte
“numérica” o la parte “cuantitativa” de la alfabetización, aunque existen múltiples
matices a este concepto, según los autores. Así, por ejemplo, el Comité de Beazley
(Australia) destaca el aspecto instrumental del las matemáticas. Desde su punto de
vista se trata del conjunto de procedimientos, etc., que utilizamos para funcionar
de manera efectiva en el grupo y en la comunidad.89 Otros autores, como Gal,
también destacan los aspectos instrumentales de la alfabetización numérica.90 E,
incluso, encontramos en otras definiciones elementos más generales como la
87
Dingwall, 2000.
O’Donoghue and O’Rourke, 1998.
89
“Numeracy is the mathematics for effective functioning in one’s group and community, and the
capacity to use these skills to further one’s own development and that of one’s community.”
(Australia, Beazley Committee, citado en la International Life Skills Survey (ILSS) Numeracy
Framework. page 13. en Dingwall, 2000: 4-5).
90
“Numeracy refers to the aggregate of skills, knowledge, and dispositions that enable and support
independent and effective management of diverse types of quantitative situations.” (Gal, 1993; en
ILSS Numeracy Framework. page 9 en Dingwall, 2000: 4-5)
88
56
conexión entre las matemáticas y la realidad, que sería el caso de toda la corriente
de la modelización.91
INSTRUMENTAL Y
NORMATIVA
INSTRUMENTAL Conjunto
de
Y NORMATIVA
habilidades
para
gestionar
diversas
situaciones
cuantitativas – Ido Gal
y Comité Beazley.
El conjunto de los
conocimientos
matemáticos: nociones,
principios,
axiomas,
etc.
COGNITIVO
El conocimiento y las
habilidades requeridas
para
resolver
efectivamente
las
demandas de diversas
situaciones. – ILSS 92,
Betty
Johnston
y
Numeracy
Working
Group 93
AFECTIVA
COGNITIVO
AFECTIVA
habilidades requeridas
para
resolver
efectivamente
las
situaciones. – ILSS,
Betty
Johnston
y
Numeracy
Working
Group
Estrategias
para
comprender
los
conceptos matemáticos.
Tabla 4.1. Elementos de las definiciones de alfabetización numérica (I). Elaboración propia.
Pero, la verdad, es que existen innumerables definiciones de lo que significa
numeracy.94 O’Rourke y O’Donoghue (1998) hacen una síntesis de todas esas
91
“Numeracy is a critical awareness which builds bridges between mathematics and the real
world, with all its diversity.” (Johnston, citada en ILSS Numeracy Framework. page 13, en
Dingwall, 2000: 4-5)
92
“The knowledge and skills required to effectively mange the mathematical demands of diverse
situations.” (ILSS Numeracy Framework en Dingwall, 2000: 5).
93
“Numerate behaviour is observed when people manage a situation or solve a problem in real
context; it involves responding to information about mathematical ideas that may be represented
in a range of ways; it requires the activation of a range of enabling knowledge, behaviours, and
processes.” (ILSS Numeracy Framework en Dingwall, 2000: 5).
94
Ver por ejemplo el trabajo que presentó Kaye (2003) en la décima edición del ALM celebrada
en Strobl el verano del 2003. En su trabajo refleja más de una treintena de definiciones, de autores
como Evans y Thorstad (1995), Ernest (1995), Benn (1995), Tout (1997), Colwell (1997),
O’Rourke y O’Donoghue (1998), Elliott (1999), Wedege (2001), Olesen (2002), y muchos otros
autores. Coben (2002) en un artículo sobre la alfabetización numérica comienza diciendo:
“Numeracy is a notorioously slippery concept (Withnall, 1995; Evans 1989). There is no shortage
of definitions but there is, crucially, a shortage of consensus, with the term meaning different
things in different educational and political contexts (...) and in different surveys of need (…).”
(Coben, 2002). Y después repasa definiciones que recogen desde los aspectos de interpretación,
aplicación y comunicación de la información matemática, hasta la habilidad de leer, escribir y
hablar y usar las matemáticas con el nivel necesario en función del trabajo y de la sociedad en
57
definiciones e identifican tres tipos: 1) aquéllas relacionadas con los
requerimientos sociales; 2) otras que establecen una fuerte relación entre
alfabetización numérica (numeracy) y matemáticas; y 3) un grupo de autores que
relacionan la alfabetización numérica (numeracy) con la alfabetización (literacy).
El NCTM, uno de cuyos objetivos principales es crear una visión coherente de lo
que quiere decir alfabetización numérica,95 centra su atención en elementos tales
como la importancia de aprender el valor que tienen las matemáticas o la toma de
conciencia de las propias capacidades de uno mismo para resolver problemas
utilizando herramientas matemáticas (NCTM, 1989).
Otra de las instituciones de referencia a nivel internacional, la OCDE, destacaba
aspectos parecidos de la alfabetización numérica: la habilidad de resolver
problemas utilizando las operaciones apropiadas para ello; el conocimiento de la
variedad de técnicas y procedimientos de trabajo para resolver problemas; la
comprensión del significado de los problemas; la habilidad para aplicar ideas
matemáticas a problemas complejos; o la creencia en el valor y la utilidad de las
matemáticas, entre otros elementos (OCDE, 1989). En el documento de PISA
2000, la OCDE concreta estos aspectos en un apartado específico donde se habla
de la alfabetización numérica. Así se destacan temas tales como los números, el
concepto de medida, la estimación, el álgebra, las funciones, la geometría, la
probabilidad, la estadística o las matemáticas discretas (OCDE, 2002a). Todos
estos elementos aparecen sintetizados en la definición que utiliza la OCDE de
alfabetización numérica que aparece en otro estudio publicado en el año 2000: el
IALS. En esta investigación se puede leer que la alfabetización es un concepto
utilizado para referirse a una capacidad particular que implica el uso de
informaciones en las actividades cotidianas que todas las personas realizamos en
el trabajo, en casa, en la escuela, con las amistades, etc. Se distingue entre la
general. Como se puede ver, parece que la alfabetización numérica es un concepto confuso porque
incluye dimensiones diferentes. Por eso la idea de distinguir entre alfabetización numérica y
alfabetización matemática me parece acertada, por lo menos para separar entre la dimensión
instrumental y cognitiva de las matemáticas y la dimensión social de las mismas.
95
“Create a coherent vision of what it means to be mathematically literate both in a world that
realies on calculators and computers to carry out mathematical procedures and in a world where
mathematics is rapidlly grouning and is extensively being applied in diverse fields.” (NCTM,
1989: 1).
58
alfabetización de lecto-escritura, la alfabetización documental y la alfabetización
matemática (OCDE, 2000).
Desde la perspectiva multicultural, Bishop (2000) también hace una propuesta de
los elementos universales que incluye la alfabetización matemática, que son los
siguientes: contar, localizar, medir, diseñar, jugar y explicar.96 Ahora bien, a pesar
de todo, continúa siendo un concepto eminentemente instrumental y normativo.97
Así pues, en general, por alfabetización numérica se suele entender
fundamentalmente el aspecto instrumental, el cognitivo (que es previo al
instrumental) o la combinación entre las categorías instrumentales y cognitivas.
Sin embargo, esas definiciones de alfabetización abandonan todo lo que se refiere
al carácter afectivo de las matemáticas.
A partir de estas definiciones, Dingwall (2000) reflexiona sobre diversos
elementos que aparecen en la definición del concepto de alfabetización numérica,
entre los que destacan los siguientes: 1) propósito y contexto; 2) la respuesta a
situaciones y problemas; 3) los conceptos o ideas matemáticas; 4) la
representación matemática de conceptos e informaciones; y 5) las capacidades de
conocimiento, costumbres y procesos.
Respecto del primer elemento (el propósito y el contexto), Dingwall (2000) resalta
que cuando las personas utilizamos las matemáticas para resolver problemas de la
vida cotidiana, normalmente, lo hacemos en las siguientes situaciones: a) para
resolver situaciones cotidianas, tales como tareas domésticas, hacer presupuestos
del dinero del que disponemos, gestionar nuestro tiempo, o actividades lúdicas y
deportivas; b) como forma de participación ciudadana, para comprender los
96
Por contar Bishop entiende utilizar los números y hacer representaciones numéricas. Localizar
implica todo lo que se refiere a situarse en el espacio y trabajar con cuerpos geométricos o utilizar
la geometría para ubicarse en el espacio. Medir, como su propio nombre indica, se refiere a la
actividad de utilizar magnitudes para comparar diferentes cosas. Diseñar implica hacer, construir,
elaborar objetos. Jugar es desarrollar actividades que implican el uso de normas, de tácticas, etc. Y
explicar significa entender por qué ocurren las cosas y poder transmitir esas ideas a otras personas
(Bishop, 2000).
97
“The knowledge and skills requiered to apply arithmetic operations, either alone or
sequentially, to numbers embedded in printed materials, such as balancing a cheque-book,
figuring out a tip, completing on order form, or determining the amount of interest on a loan form
an advertisement.” (OCDE, 2000:14).
59
discursos sociales y políticos; c) en el trabajo, midiendo, gestionando y
organizando tareas y compromisos; d) como herramienta de organización
personal; y e) para estudiar y adquirir nuevos conocimientos.
Por otra parte, las personas también utilizamos las matemáticas para resolver
situaciones problemáticas: a) para identificar o localizar
informaciones
matemáticas relevantes en las tareas o situaciones; b) para responder en cada
situación concreta (aplicando procedimientos de medida, de estimación, de
conteo, etc.); c) para comprender e interpretar la información y saber qué
significado o qué implicaciones tiene; y d) para comunicarnos, es decir, para
transmitirnos entre nosotros mensajes que contienen contenidos numéricos (en
todas sus formas), ya sea verbalmente, o a través de la escritura y otros soportes
gráficos.
Asimismo el concepto de alfabetización numérica implica o contiene aspectos o
ideas tales como: cantidad y número; dimensión y forma; esquema y relaciones;
datos y probabilidad; y cambio.
Todos estos elementos, dice Dingwall (2000), los podemos encontrar formando
representaciones, como es el caso de objetos concretos, números, símbolos,
fórmulas, diagramas, redes y mapas, gráficos y tablas, etc. Todas ellas son formas
de representación matemática, que exigen de la persona un criterio matemático
crítico para analizarlas y comprenderlas. En otras palabras, es necesaria la
alfabetización matemática.
Por otro lado, no sólo es importante reconocer y comprender las formas de
representación de las informaciones matemáticas, sino que Dingwall (2000)
advierte también sobre la importancia de desarrollar un conjunto de
conocimientos (knowledge), habilidades (skills), estrategias y actitudes necesarias
para resolver las situaciones matemáticas que se nos plantean en la vida cotidiana.
En este sentido, señala tanto la necesidad de disponer de conocimientos
matemáticos (mathematical knowledge), como habilidades para resolver
problemas (problem-solving skills), habilidades de alfabetización (literacy skills) o
60
creencias, actitudes y experiencia adquirida (beliefs, attitudes and background
experience).
Con estos elementos Dingwall (2000) amplía las definiciones que se solían
utilizar de alfabetización numérica. No sólo se refiere a los aspectos instrumental,
normativo
y cognitivo de las matemáticas, sino que también recoge en sus
reflexiones todo lo que tiene que ver con la expresión de las ideas matemáticas.
Sin embargo falta por contemplar la perspectiva afectiva.
En esa misma línea, pero ya en el ámbito específico de la educación de personas
adultas, el grupo ABE Math Team, de Boston (EUA), también aboga por una
definición amplia de la alfabetización matemática. En el congreso del ALM (Adult
Learning Mathematics), celebrado en julio del año 2000 en Boston, propuso los
siguientes principios: 98
-
Las matemáticas son más que contar. Son una serie de conceptos,
principios y relaciones que nos dan un sistema de símbolos que nos
permite describir y analizar nuestro entorno.
-
La enseñanza de las matemáticas facilita el desarrollo de habilidades de
razonamiento y conteo, promueve el desarrollo de la persona (self), en la
medida que permite el desarrollo de la capacidad crítica y de las
habilidades expresivas.
-
Todo el mundo puede aprender matemáticas.
-
La facilitación del aprendizaje a través del descubrimiento es el
imperativo del ABE Math Team.
98
El ABE Math Team aparece en 1992, cuando Bill Arcand, coordinador de SABES y de Holyoke
Community College; y Jane Schimitt, del Departamento de Educación, deciden introducir cambios
en la enseñanza de las matemáticas para mejorarla. En la actualidad este grupo está formado por
32 profesionales de la educación y de la investigación.
61
-
La educación de personas adultas implica valores, expectativas y
objetivos que tienen las propias personas adultas. En el ABE Math Team
son las propias personas las responsables de su éxito.
En todas estas afirmaciones encontramos algunos elementos que son comunes a
todas ellas, que nos llevan a distinguir entre diversas dimensiones del saber
matemático. Por un lado, todo aquello que tiene que ver con los procesos y la
capacidad de razonamiento lógico-matemático (como por ejemplo, las diferentes
estrategias de resolución de problemas). Esta dimensión se sitúa en la categoría de
componentes cognitivos. Por otro lado, también suele destacarse la dimensión del
funcionamiento de las herramientas matemáticas: el conteo, la formulación de
hipótesis, la operacionalización de los problemas, etc. Estos aspectos se inscriben
dentro de la categoría instrumental de la tabla 4.1. Finalmente, otro de los
elementos que aparece, aunque no el más destacado, es la capacidad para saber
comunicar los conocimientos matemáticos.
En la tabla 4.2, se puede ver cómo cada vez más los trabajos y las definiciones
que se aportan de la alfabetización numérica llenan absolutamente todas las
categorías, dado que se consideran tanto los aspectos instrumentales, como los
normativos, los cognitivos y los afectivos. Cada vez está más aceptado que saber
matemáticas no tiene que ver tan sólo con los números, sino que existen otra serie
de aspectos, no exclusivamente matemáticos, como son las relaciones, o la
capacidad de prever o hacer estimaciones, que también forman parte de ese “saber
matemáticas”. Por eso en la comunidad científica internacional se ha pasado de
utilizar el término de alfabetización numérica a utilizar ese otro de alfabetización
matemática.
Gal (2000) diferencia claramente entre alfabetización numérica y alfabetización
matemática. La primera de ellas es el conjunto de habilidades, conocimientos,
disposiciones, capacidades de comunicación y de resolución de problemas que
tenemos todas las personas para resolver situaciones numéricas.99 La
99
“The term numeracy as used here describes an aggregate of skills, knowledge, beliefs,
dispositions, habits of mind, communication capabilities, and problem-solving skills that
individuals need in order to autonomously engage and effectively manage numeracy situations
62
alfabetización numérica aparece como un subconjunto de la alfabetización
matemática, que es mucho más amplia.
INSTRUMENTAL
Y NORMATIVA
INSTRUMENTAL Conjunto de
habilidades para
Y NORMATIVA
gestionar diversas
situaciones
cuantitativas – Ido
Gal y Comité
Beazley.
El conjunto de los
conocimientos
matemáticos:
nociones, principios,
axiomas, etc.
COGNITIVO
habilidades
requeridas para
resolver
efectivamente las
situaciones. – ILSS
100
, Betty Johnston y
Numeracy Working
Group 101
AFECTIVA
Explicación de
cómo se ha resuelto
el problema o
cómo se ha
encontrado la
solución.
COGNITIVO
AFECTIVA
El conocimiento y
las habilidades
requeridas para
resolver
efectivamente las
demandas de
diversas
situaciones.
– ILSS, Betty
Johnston y
Numeracy Working
Group
Estrategias para
comprender los
conceptos
matemáticos.
Explicación de cómo
se ha resuelto el
problema o cómo se
ha encontrado la
solución.
Transmisión de
mensajes que
contienen
contenidos
numéricos
– Dingwall.
Mensajes, asertos,
frases, etc.
matemáticos.
Transmisión de
mensajes que
contienen
contenidos
numéricos
– Dingwall.
Tabla 4.2. Elementos de las definiciones de alfabetización numérica (II). Elaboración propia.
Van Groenestijn (2002) introduce otro elemento en la definición de la
alfabetización numérica (numeracy): relaciona este concepto con los objetivos y el
impacto de la educación matemática escolar.102 Afirma que muchos educadores
that involve numbers, quantitative or quantifiable information, or visual or textual information
that is based on mathematical ideas or has embedded mathematical elements.” (Gal, 2000: 12).
100
situations.” (ILSS Numeracy Framework en Dingwall 2000: 5).
101
processes.” (ILSS Numeracy Framework en Dingwall 2000: 5).
102
“The concept of numeracy is specifically related to the dialogue about the goals and especially
outcomes and impact of school mathematics education. More educators now encourage links
between knowledge gained in the mathematics classroom and students’ ability to handle real-life
63
relacionan las matemáticas que se aprenden en la escuela con las habilidades
necesarias en la vida cotidiana. En ese sentido, van Groenestijn (2002) habla del
comportamiento numérico (numerate behaviour) y dice que incluye: gestionar
situaciones o resolver problemas en contextos reales,103 o para informar acerca de
ideas matemáticas. Dicho comportamiento numérico aparece representado en
diversos formatos: objetos, números y símbolos, fórmulas, diagramas y mapas,
gráficos, tablas y textos. Igualmente, requiere la activación de diversos tipos de
conocimientos, comportamientos y procesos, tales como la comprensión
matemática, la resolución de problemas, las habilidades de alfabetización (literacy
skills) o las actitudes y las creencias.
Alfabetización
Alfabetización
numérica
Alfabetización
matemática
Habilidades de resolución de problemas
Habilidades de gestión de las situaciones
Figura 4.1. La alfabetización numérica relacionada con otras dimensiones de las
habilidades. Gal, 2000.
En las aportaciones de Gal (2000), así como en los estudios del ABE Math Team
y las reflexiones de otros autores como Coben (2000), van Groenestijn (2002) o
Alcalá (2002), descubrimos otro elemento importante a tener en cuenta en la
alfabetización matemática, que es el contexto. Saber matemáticas quiere decir no
sólo tener muchos conocimientos de matemáticas, sino también saber aplicarlos
en cada situación concreta.104 Como dice Gal (2000), el comportamiento numérico
situations that requiere mathematical or statistical knowledge and skills.” (van Groenestijn,
2002).
103
Esta autora concreta los contextos en: la vida cotidiana (everyday life), el trabajo (work), la
sociedad (societal) y el aprendizaje avanzado (further learning). Ver van Goenestijn, 2000.
104
“In my view, to be numerate means to be competent, confident and comfortable with one’s
judgements on whether to use mathematics in a particular situation and if so, what mathematics o
64
está relacionado con las necesidades y las metas personales, que se convierten en
una ventana a los procesos sociales que emergen en la interacción entre los
procesos cognitivos y las circunstancias de cada situación concreta. En otras
palabras, la alfabetización matemática también quiere decir (saber) usar las
matemáticas para resolver problemas o situaciones de la vida cotidiana. Y lo
mismo (o algo parecido) leemos en van Groenestijn (2002), que habla
explícitamente del contexto cuando dice que la alfabetización numérica es el
puente que relaciona las matemáticas con el mundo real.105
Por tanto, las categorías que se han señalado antes en la tabla 4.2 (instrumental,
normativa, cognitiva y afectiva) tienen que entenderse también dentro del
contexto del cual forman parte. De esa manera, saber matemáticas significa
aplicar (de manera formal o no) una serie de conocimientos para resolver las
situaciones que van surgiendo en el contexto de la vida cotidiana. Y, como dice
Skovsmose (2001), no sólo hay que fijarse en lo que la persona es capaz de hacer,
sino que también es muy importante la dimensión cognitiva, es decir, la
comprensión de lo que hace. Las matemáticas, como muchas veces se ha
comentado (Alcalá,
2002), son un lenguaje diferenciado que tiene sus
significados y su simbología y que sirve para comunicarnos entre nosotros, pero
también es un método de resolución de problemas (a través de estrictas reglas
lógico-deductivas). Una persona es alfabeta matemáticamente hablando cuando es
capaz de utilizar ese lenguaje, con todas las dimensiones que contiene.
use, how to do it, what degree of accuracy is appropiate, and what the answer means in relation to
the context.” (Coben en Gal, 2000: 35).
105
Dice: “Numerate behaviour involves: managing a situation or solving a problem in a real
context.” (van Groenestijn, 2002).
65
CONTEXTO
INSTRUMENTAL
y NORMATIVA
INSTRUMENTAL Conjunto de
y NORMATIVA
habilidades para
gestionar diversas
situaciones
cuantitativas – Ido
Gal y Comité
Beazley.
El conjunto de los
conocimientos
matemáticos:
nociones,
principios,
axiomas, etc.
COGNITIVA
El conocimiento y
las habilidades
requeridas para
resolver
efectivamente las
demandas de
diversas
situaciones. – ILSS
106
, Betty Johnston
y Numeracy
Working Group 107
AFECTIVA
Explicación de
el problema o cómo
se ha encontrado la
solución.
COGNITIVA
AFECTIVA
El conocimiento y
las habilidades
requeridas para
resolver
efectivamente las
demandas de
diversas
situaciones. – ILSS,
Betty Johnston y
Numeracy Working
Group
Explicación de
el problema o cómo
se ha encontrado la
solución.
Estrategias para
comprender los
conceptos
matemáticos.
Transmisión de
mensajes que
contienen
contenidos
numéricos
– Dingwall.
Transmisión de
mensajes que
contienen
contenidos
numéricos
– Dingwall.
Mensajes, asertos,
frases, etc.
matemáticos.
CONTEXTO
Tabla 4.3. Elementos de nuestra propuesta de alfabetización matemática (III).
Elaboración propia.
Así pues, teniendo en cuenta todo lo dicho, el aprendizaje de las matemáticas
implica aprender a (re)conocer las matemáticas de la vida real: las habilidades,
conocimientos, disposiciones, capacidades de comunicación y su aplicación en la
vida cotidiana. Un aprendizaje en el que desde nuestro punto de vista intervienen
cuatro dimensiones diferentes: la instrumental (que se refiere al conjunto de
símbolos que constituyen el lenguaje matemático); la normativa (que son las
106
situations.” (ILSS Numeracy Framework en Dingwall, 2000: 5).
107
processes.” (ILSS Numeracy Framework en Dingwall, 2000: 5).
66
reglas y las normas que regulan los diferentes procedimientos matemáticos); la
afectiva (es decir, el conjunto de emociones y sentimientos que acompañan a las
personas durante el aprendizaje); y la cognitiva (referida concretamente a la
manera de aprender, es decir, a qué estrategias utiliza la persona para lograr
entender un concepto matemático e incorporarlo a su conocimiento).
Dimensión
cognitiva
Dimensión
afectiva
APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS
Dimensión
normativa
Dimensión
instrumental
Figura 4.2. La dimensiones del aprendizaje de las matemáticas. Fuente:
67
68
5. LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN LA
EDUCACIÓN DE PERSONAS ADULTAS
En este capítulo se hace una reflexión sobre cómo debería ser la educación de las matemáticas en
un mundo de cambio como es el actual. ¿Qué se le pide a las matemáticas hoy en día? ¿Qué retos
tiene que abordar la educación matemática? A lo largo de estas líneas se ve como la tendencia
actual que están siguiendo buena parte de las investigaciones más citadas en este ámbito es la línea
de la democratización en el acceso a los conocimientos matemáticos. A final se acaba concretando
qué tipo de contenidos son los que actualmente aparecen en el currículum de matemáticas, en la
educación de personas adultas, en Cataluña.
5.1. Los nuevos retos de la educación matemática
De vez en cuando aparecen artículos en la prensa que llaman la atención sobre la
importancia que tienen las matemáticas en la sociedad actual. Así, aparecen temas
que se repiten: la dificultad de las matemáticas como disciplina académica, la
preocupación por los resultados medios que alcanzan los estudiantes, la posición
relativa de cada país por lo que respecta al rendimiento matemático, polémicas
sobre la enseñanza de las matemáticas y cómo mejorarla, etc. Además,
periódicamente, se hacen diversos estudios y trabajos de investigación sobre la
69
enseñanza de las matemáticas en todos los países del mundo.108 Todo esto muestra
que las matemáticas ocupan un lugar de privilegio y son motivo de preocupación
general.109
Ya hemos visto que las matemáticas (y las personas que enseñan matemáticas) se
enfrentan a un contexto social lleno de cambios, que no es pasivo, sino que
plantea nuevos retos a la educación y exige de los profesores y de las profesoras
que trabajen con calidad, que sepan enseñar y que enseñen lo que se necesita en la
sociedad actual.110
Alsina (2000) dice que el currículum matemático se enfrenta a una serie de retos
(el cambio social acelerado, la globalización, el impacto tecnológico, la calidad
educativa y el compromiso social) que van a marcar su desarrollo en los próximos
años.
Las matemáticas (y su enseñanza) tienen que servir para afrontar este contexto de
cambios y transformaciones constantes. Como escribe Alsina (2000):
108
El primer estudio internacional que se hizo sobre la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas fue el FIMS, realizado en 1964. Desde entonces se han realizado unos cuantos
estudios (a nivel internacional) y en 1990 la Asamblea General de la IEA (la Asociación
Internacional para la Evaluación del Rendimiento Educativo) decidió evaluar regularmente cada
cuatro años las matemáticas y las ciencias. Nacieron así los conocidos estudios TIMSS (el último
de los cuales es de 2003). Además, abundan las investigaciones que se realizan desde centros de
investigación concretos o que hacen personas individuales (por ejemplo, para ver un breve repaso
de las investigaciones que existen en el campo de la alfabetización numérica de personas adultas,
se puede consultar el capítulo de FitzSimons en FitzSimons, Coben y O’Donoghue, 2001; o el
trabajo de English (ed.), 2002).
109
La “educación matemática de las personas adultas” (adult learned mathematics) es una
disciplina que cuenta con reconocimiento internacional. De hecho, la importancia de este tema es
tal, que existe un grupo de trabajo internacional, el ALM, que se reúne anualmente para debatir y
trabajar sobre temas de interés en la formación matemática de las personas adultas. Esta disciplina
toca temas relacionados con la sociología, la educación de personas adultas y la educación
matemática. Como dice Wedege, la educación matemática de personas adultas está situada: “in the
border area between sociology, adult education and mathematics education” (Wedege, 1999: 57).
Roseanne Benn también elabora un modelo de anillos concéntricos. En el medio situa la educación
matemática de personas adultas (adult learning maths). El primer anillo está formado por las
matemáticas propiamente dichas, por la educación de personas adultas y por la educación
matemática. En el segundo anillo (el más exterior) encontramos la educación, la alfabetización
(literacy), la historia, la Psicología, la sociología, y la ética filosófica. (Benn, 1997). Algo parecido
hizo Steiner (1985) en relación a la educación matemática y la teoría de la educación matemática.
Estos dos elementos los situaba también en el centro de un universo de círculos concretos,
rodeados de los círculos correspondientes a la psicología, la sociología, la lingüística, las
matemáticas, la epistemología y la filosofía de las matemáticas. Entre el núcleo formado por la
educación matemática y la teoría de la educación matemática y el resto de elementos periféricos,
Steiner sitúa el sistema de enseñanza de la matemática (Steiner, 1985).
110
Gorgorió, Deulofeu, Bishop, 2000.
70
“Sólo el hecho de aprender a aprender parece ir consolidando posiciones. ¿Hay
algún currículum matemático que pueda asegurar una preparación para adaptarse
progresivamente a diversas actividades? Ciertamente sólo aquel currículum que
haya formado efectivamente en lo más básico y lo más inductivo, pero a través de
muchos ejemplos particulares y no desde el limbo de la abstracción.” (Alsina, 2000:
15).
El reto que aparece para el futuro inmediato es ¿cómo enseñar las matemáticas a
todas esas personas adultas que muestran reticencias claras hacia las “matemáticas
académicas”? ¿cómo se logra? La respuesta a esta pregunta pasa por tomar la
decisión de qué matemáticas enseñar.
Varios autores afirman que la tendencia en los modelos de enseñanza de las
matemáticas tiene que ir hacia una enseñanza global, creativa, innovadora, ligada
al contexto cotidiano (Alsina, 2002; Van Reeuwikj, 1997). La educación
matemática del siglo XXI tiene que dejar de basarse en modelos como la
resolución de problemas de manera mecánica o la memorización de procesos. Las
personas nos enfrentamos a un mundo donde la calculadora es un objeto
cotidiano, al alcance prácticamente de toda la gente, un mundo donde los
ordenadores cada vez están más presentes en nuestras vidas, donde los microchips
aparecen en los lugares más insospechados (en la tarjeta de crédito o en el ABS de
un coche, por ejemplo). En este contexto ya no resulta importante saberse la tabla
de multiplicar, sino saber qué operación hay que realizar para tomar la decisión
correcta.
Las tendencias actuales en didáctica de las matemáticas van en la línea de buscar
la vinculación práctica entre las enseñanzas del aula y lo que ocurre fuera de ella.
La palabra clave es “contextualización”. El instituto Freudenthal, por ejemplo,
defiende esta orientación en la mayoría de las publicaciones o comunicaciones
que hacen sus miembros (Goris, 2002; Van Reeuwijk, 1997). Desde su punto de
vista, aplicar el modelo de los contextos y la vida cotidiana al aprendizaje de las
matemáticas implica una postura basada en una actitud inductiva que rompe
claramente con el modelo de enseñanza “arriba-abajo” tradicional. Este modelo se
71
basa en la enseñanza de conceptos matemáticos abstractos (de las matemáticas
como ciencia pura), que pueden resultar ininteligibles para las personas que los
están aprendiendo. Van Reeuwijk (1997), en cambio, defiende otro modelo de
enseñanza:
“En nuestra opinión, los contextos y la vida cotidiana deberían desempeñar un
papel preponderante en todas las fases del aprendizaje y la enseñanza de las
matemáticas, es decir, no sólo en la fase de aplicación, sino también en la fase de
exploración y en la de desarrollo, donde los alumnos descubren o aún mejor
reinventan las matemáticas. los cuatro problemas propuestos van destinados a las
fases de exploración y desarrollo del proceso de aprendizaje; permiten a los
alumnos desarrollar las matemáticas de forma intuitiva.” (Van Reeuwijk, 1997: 13).
El matemático holandés justifica este modelo porque: 1) puede motivar, 2) puede
ayudar a comprender que las matemáticas son útiles y necesarias, 3) puede
contribuir a que las personas entendamos cómo se emplean las matemáticas en la
sociedad y en la vida cotidiana, lo que potencia el desarrollo de una actitud crítica
y flexible, 4) aumenta el conocimiento histórico de las matemáticas (y de las
ciencias en general) y 5) despierta la creatividad de las personas, así como su
sentido común.
“En las teorías innovadoras y modernas de la educación matemática parece existir
cierto consenso acerca del criterio de que el contexto debe ser realista y proceder de
la vida cotidiana. Sin embargo, ello no es necesariamente verdadero en nuestra
opinión. Resulta más conveniente decir que un contexto debe tener sentido para el
alumno, que debe posibilitar y respaldar el desarrollo de la reinvención de las
matemáticas. Un contexto artificial relacionado con algo que no procede de la vida
real puede ser bueno si tiene sentido para el alumno.” (Van Reeuwijk, 1997: 15)
Así pues, parece ser que la idea del saber matemáticas como conjunto de rutinas,
mecanicismos, aplicación de procedimientos automáticamente, deja paso a otra
concepción muy diferente: el desarrollo de las capacidades matemáticas tiene que
servir para desarrollar la capacidad de argumentación, de reflexión, de
comunicación.111
111
Alsina, 2000; Goñi, 2000.
72
“Deberíamos prestar especial atención al desarrollo de grandes competencias como
son el pensar matemáticamente, saber argumentar, saber representar y comunicar,
saber resolver, saber usar técnicas matemáticas e instrumentos y saber modelizar.
Pero no debemos olvidar que el objetivo de enseñar todas estas habilidades debe ser
el poder trabajar las grandes ideas como son cambio, crecimiento, espacio, forma,
azar, dependencia, relaciones, razonamiento cuantitativo... son este tipo de grandes
ideas las que deberán delimitar el tipo de instrumentos matemáticos a poner en
juego.” (Jean de Lange en Alsina, 2000: 18).
La sociedad dialógica a la que nos hemos referido en el primer capítulo deja
entrever la necesidad de un cambio en el planteamiento de la enseñanza de las
matemáticas: unas matemáticas que sirvan para formar a ciudadanos críticos,
capaces de llevar una vida plena en las sociedades actuales, como defienden
Skovsmose y Valero (2002).
Hacer menos...
Hacer más...
o Trabajo magistral
o Guía, motivación
o Trabajo individual
o Trabajo en grupo
o Trabajo sin contexto
o Aplicaciones cotidianas, globalización
o Trabajo abstracto
o Modelización y conexión
o Temas tradicionales de ayer
o Temas interesantes de hoy
o Memorización instantánea
o Comprensión duradera
o Información acabada
o Descubrimiento y búsqueda
o Actividades cerradas
o Actividades abiertas
o Ejercicios rutinarios
o Problemas comprensivos
o Simbolismo matemático
o Uso de lenguajes diversos
o Tratamiento formal
o Visualización
o Ritmo uniforme
o Ritmo personalizado
o Evaluación de algoritmos
o Evaluación de razonamiento
o Evaluación cuantitativa
o Evaluación cualitativa
o Evaluación de ignorancias
o Evaluación formativa
Tabla 5.1. Líneas de la enseñanza de las matemáticas en el siglo XXI. Alsina. 2000. “Mañana será
otro día: un reto matemático llamado futuro” en Goñi (coord.). El currículum de matemáticas en
los inicios del siglo XXI. Barcelona: Graó. Biblioteca de Uno.
Como se puede apreciar en la tabla adjunta, la enseñanza de las matemáticas tiene
que priorizar aspectos como la motivación, el trabajo en equipo, la capacidad de
establecer relaciones, la comprensión duradera, la curiosidad, la capacidad de
reflexión, etc.112 Se trata de una visión mucho más autónoma de las matemáticas
que en el pasado.
112
Actualmente se suele resaltar que es más importante ser capaz de realizar estimaciones bien
aproximadas, que cálculos totalmente exactos (porque este tipo de operaciones ya lo hacen las
máquinas con mucha más precisión que las personas). Un ejemplo de ello es Goñi, 2000.
73
El objetivo es que las matemáticas se conviertan en una herramienta de uso
cotidiano, aplicable a todas las esferas de la vida. Y eso implica romper con
algunos tópicos de las matemáticas, como que son el ser reducto de una minoría
selecta de personas capaces de entenderlas y utilizarlas plenamente, o no ser
visibles para la mayoría de la población.113
5.2. Hacia unas matemáticas para todos
Actualmente, y cada vez más, existe una opinión muy crítica con la idea elitista de
las matemáticas. Las matemáticas, a menudo, se han presentado como el saber de
unos pocos, como la señal de identidad de una elite de personas que, dado que
saben matemáticas, se sitúan por encima del resto de personas. De hecho es muy
popular el sentimiento de que las carreras universitarias de ciencias tienen mayor
prestigio social que las carreras de letras. Como dicen Gorgorió y Bishop (2000):
“Junto a estos factores, la incapacidad que muchos adultos sienten frente a las
matemáticas, además de la invisibilidad de su utilidad en el mundo laboral y en la
participación en la sociedad, hacen que la cultura matemática se considere
patrimonio de unos pocos e innecesaria para la mayoría.” (Gorgorió y Bishop,
2000: 190).
Incluso parte del profesorado de matemáticas secunda esta idea elitista de las
matemáticas y defiende alternativas que contribuyen a consolidar las
diferencias.114 En un artículo publicado por El País en junio de 2003, por ejemplo,
se cita el testimonio de profesores de matemáticas que defienden ideas como la
separación por niveles de los estudiantes, para poder subir el rendimiento de una
parte del alumnado.115
Frente a estas ideas, la tendencia internacional es precisamente la contraria
(Gorgorió y Bishop, 2000):
113
Gorgorió y Bishop, 2000.
La idea del “genio matemático”, que es un personaje único, que nace y no se hace, está muy
extendida socialmente. Por ejemplo, existen montones de libros de literatura que se hacen eco de
estas creencias sociales, como por ejemplo: Doxiadis, 2000.
115
Gómez, 2003.
114
74
“Democratizar el conocimiento matemático y hacer que la educación matemática
sea accesible al mayor número posible de jóvenes ha sido uno de los objetivos de la
UNESCO” (Gorgorió y Bishop, 2000: 189).
Hace ya décadas que se está trabajando a favor de esta democratización. Se cuenta
con las aportaciones de personas como Skovsmose, Valero,
D’Ambrosio,
Frankenstein y Powell, Civil, FitzSimons, y un largo etcétera.116 Por otro lado, en
1984 se instauró un grupo de trabajo sobre “matemáticas para todos” en el ICME
V. Cuatro años más tarde se hizo lo propio en la jornada sobre “matemáticas,
educación y sociedad”, en el ICME VI. En el año mundial de las matemáticas
(2000) se hicieron importantes contribuciones desde las instituciones a favor de la
democratización de la enseñanza de las matemáticas.
En consecuencia, todo esto lleva a la necesidad de plantearse una enseñanza de las
matemáticas diferente, a investigar para encontrar nuevas formas de enfocar las
clases y conseguir romper estereotipos y falsas creencias sobre el supuesto
elitismo de las matemáticas, de manera que todas las personas se involucren en la
dinámica de la clase.
“En primer lugar debemos actuar en el ámbito del currículum y de su
implementación, incidiendo en las formas de enseñar y en el replanteamiento del
significado de la educación matemática. En segundo lugar, creemos que nos
corresponde el derecho y el deber de incidir en la política educativa, que determina
las posibilidades y limitaciones del contexto en que nos movemos. Finalmente, desde
el ámbito de la investigación en educación matemática, conseguir que los estudios
teóricos tengan significatividad y aplicabilidad en la práctica es también una
responsabilidad ineludible.” (Gorgorió y Bishop, 2000: 190).
Esto no quiere decir que la enseñanza de las matemáticas a las personas adultas
tenga que ser “más fácil” o “menos exigente” que en otras etapas educativas. Esta
precisión es importante, porque a veces se confunde la ruptura de estereotipos en
la enseñanza de las matemáticas con hacer unas matemáticas “descafeinadas”.
Con argumentos como que las personas adultas aprenden de otra manera, que
tienen otro ritmo, que utilizan formas no académicas de obtener los resultados, a
116
Skovsmose y Valero (2002), D’Ambrosio (1999, 1985); Frankenstein y Powell, (1994); Civil
(2001), FitzSimons (2002, 2001, 1998).
75
veces se justifica una enseñanza paternalista. Este tipo de enseñanza, en realidad,
adolece de muchos tópicos que acaban por limitar las oportunidades que tienen las
personas adultas de aprender (y uno de los mayores estereotipos es precisamente
el edismo, es decir, la creencia de que las personas mayores ya no pueden
aprender según qué conceptos). La enseñanza de las matemáticas en la educación
de personas adultas no puede pasar ni por despreciar las capacidades de las
personas participantes, ni por intentar aplicar un modelo de enseñanza
estrictamente académico. No podemos rebajar las expectativas, ni partir de que
hay contenidos que las personas adultas no serán capaces de aprender. No hay
lugar para el “currículum de la felicidad”.117 Al contrario, es imprescindible
asegurar la dimensión instrumental del aprendizaje y, entonces sí, buscar,
conjuntamente con la persona participante, las mejores formas de aprender ese
contenido instrumental.
A nivel instrumental, las líneas actuales del currículum de matemáticas en la
educación de personas adultas en Cataluña resaltan los siguientes elementos:
1. Valorar y utilizar las matemáticas como un instrumento para interpretar
de manera crítica la información que recibe del mundo que le rodea, así
como para intervenir en el entorno, aplicando los conceptos y técnicas
que conoce para resolver problemas en situaciones diversas,
especialmente aquellas relacionadas con la vida cotidiana.
2. Buscar y seleccionar información, ponerla en común, contrastarla y
elaborar estrategias adecuadas para la experimentación y para la
resolución de problemas, individual o colectivamente y, en cualquier
caso, de forma autónoma.
117
El “currículum de la felicidad” se aplica muchas veces con personas que se cree que ya no
pueden llegar a aprender más. Por ejemplo, es usual que en las escuelas de barrios periféricos
donde hay muchos niños/as gitanos o inmigrantes se rebajen los niveles y se busquen actividades
para que los niños/as se entretengan en la clase y no monten alborotos. A esos niños y a esas niñas
se les niegan las mismas oportunidades que al resto y se les condena de entrada a no tener éxito en
el sistema educativo. Con las personas adultas a veces también ocurre lo mismo. A veces, con
argumentos del tipo “son ya mayores, para qué quieren aprender más”, se cierra la puerta a que
esas personas puedan realmente acceder a las mismas oportunidades que el resto de estudiantes.
76
3. Valorar las matemáticas como medio de cooperación, interés y respeto
hacia las realizaciones propias y las de los compañeros/as, destacando la
propia autoestima y el grado de autonomía necesaria.
4. Apreciar el carácter lúdico de las matemáticas y el estímulo que supone
la resolución de un problema.
5. Realizar el proceso completo que comporta la resolución de un
problema, desde la interpretación del enunciado hasta la verificación de
las soluciones encontradas, pasando por la estimación o caracterización
de los resultados, el establecimiento de un plan de resolución y su
ejecución.
6. Identificar, interpretar y utilizar los diferentes lenguajes y códigos, tanto
los propiamente matemáticos como aquellos que se encuentran con
frecuencia en el entorno.
7. Utilizar habitualmente el cálculo mental (exacto y aproximado), así
como los medios técnicos (calculadora, ordenador) y también el cálculo
escrito, seleccionando la forma más adecuada de realizar el cálculo de
acuerdo con el contexto de la situación, los números implicados y las
operaciones.
8. Medir de manera directa, interpretar y expresar el resultado y apreciar el
significado de los números como una expresión de la cuantificación,
utilizando la escala adecuada a partir de una estimación del orden de
magnitud.
9. Identificar, representar y clasificar formas geométricas, utilizando los
conocimientos adquiridos sobre los elementos, las propiedades y las
relaciones de estas formas con la finalidad de mejorar su comprensión
del espacio.
77
10. Interpretar gráficos y tablas de datos utilizando, cuando convenga,
técnicas elementales de recogida de datos para obtener información
sobre situaciones y fenómenos del entorno, organizando, representando
y relacionando estos datos para llegar a su interpretación.”
(Departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunya, 2002).118
Así pues, dentro del currículum de la educación de personas adultas encontramos
procedimientos
como
los
procesos
de
las
matemáticas
(observación,
experimentación, clasificación, comparación, estimación, tanteo, verificación), los
lenguajes matemáticos, la técnicas para el cálculo y la medida y la resolución de
problemas. También encontramos conceptos y sistemas conceptuales como los
números naturales, racionales, porcentajes, magnitudes y medidas, figuras
geométricas o introducción a la estadística.
Ésta es la dimensión instrumental (oficial) irrenunciable de las matemáticas. Pero
la enseñanza de estos contenidos se puede hacer de diversas formas. En la
educación de personas adultas se suele hablar de dos modelos de enseñanza: el
modelo escolar y el modelo social (Medina, 1994, 1996). Mientras que el primero
(el modelo escolar) plantea la enseñanza desde las teorías del déficit,119 el modelo
social parte de las capacidades de las personas adultas para aprender. Desde este
punto de vista, se tiene en cuenta la experiencia previa de la persona, aspecto que
entronca perfectamente en la perspectiva contextualizadora de la enseñanza de las
matemáticas que han desarrollado varios investigadores.120 Una muestra de ello es
el trabajo de Buendía (1999), que presenta una visión de la enseñanza de las
matemáticas dialogada, en la que personas participantes y docentes construyen
conjuntamente el contenido instrumental de las matemáticas, a partir de los
ejemplos y de las explicaciones de las personas participantes. Desde el
118
Departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunya, 2002. Document provisional del
Decret pel qual s’estableix l’ordenació curricular de la formació básica per a les persones
adultes.
119
Las teorías del déficit se caracterizan porque parten de todas aquellas cosas que las personas no
sabemos. Entienden el aprendizaje como un proceso de etapas a lo largo de la vida, que empieza
con la infancia y la juventud y con la edad adulta se empieza a deteriorar hasta llegar a la vejez.
Existen varias investigaciones que sostienen esta teoría, desde una interpretación sesgada de los
trabajos de Piaget (Flecha, 1997).
120
Sobre todo y especialmente la línea holandesa del Instituto Freudenthal, así como la línea de la
resolución de problemas, con trabajos como el de Pólya (1979) o Schoenfeld (1992).
78
aprendizaje dialógico, además, esta construcción colectiva se hace en pie de
igualdad, buscando ejemplos y situaciones que den sentido a las matemáticas,
tanto para las personas que las están aprendiendo, como para las personas que las
están enseñando.
Actualmente se pueden encontrar ambos modelos de enseñanza de las
matemáticas, que cohabitan en el sistema educativo español. Existen escuelas de
personas adultas donde se aplica el modelo escolar, mientras que en otras se
utiliza la perspectiva social.
De todas maneras las líneas actuales del planteamiento del currículum llevan a
resaltar más el modelo social, porque en la sociedad dialógica las habilidades que
son importantes coinciden en gran medida con las habilidades que se desarrollan
desde la perspectiva social.121 Según
los documentos oficiales, las personas
adultas tenemos que desarrollar habilidades como la observación, la
experimentación, la clasificación y la comparación, la estimación y la
aproximación, la elaboración de estrategias para resolver problemas y la
aplicación de los diferentes conceptos matemáticos a situaciones reales.122 Estas
habilidades coinciden en gran medida con las que resalta Alsina (2002) y que se
van a demandar cada vez más en los próximos años. Y estas mismas ideas
aparecen detrás del debate internacional sobre la alfabetización numérica
(numeracy) y la alfabetización matemática (math literacy).123
La enseñanza actual de las matemáticas en la educación de personas adultas (y
parece ser que la de los próximos años) va a discurrir por estas líneas. Por tanto,
es preciso tener en cuenta esta situación, porque es el contexto en el que se va a
desarrollar esta investigación.
121
Alsina, 2002.
Departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunya, 2002.
123
Ver Bazzini & Whybrow Inchley, 2002.
122
79
80
PARTE II
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA,
HIPÓTESIS Y METODOLOGÍA DE
LA INVESTIGACIÓN
“Si no se trata de que la imaginación desvaríe,
sino de que componga bajo la vigilancia de la
razón, tiene que haber algo completamente
seguro...: la posibilidad del objeto mismo.
Entonces es lícito, por lo que hace a la realidad
del objeto, atenerse a la mera opinión, la cual,
para no ser arbitraria, ha de vincularse, como
fundamento explicativo, con lo realmente dado y,
por lo tanto, cierto; entonces se llama hipótesis.”
(Emmanuel Kant)
“La cuestión de si puede llegarle verdad real al
pensamiento humano no es una cuestión de
teoría, sino una cuestión práctica. En la práctica
es donde el hombre tiene que probar la verdad,
esto es, la realidad y la fuerza, la terranalidad de
su pensamiento... Sólo se hacen hipótesis en vista
de algún fin determinado.” (Karl Marx).
81
ESQUEMA CONCEPTUAL DE LA PARTE II
APRENDIZAJE DE
LA IDEA DE
PROPORCIÓN
Definición del
PROBLEMA
DE ESTUDIO
Objetivos
Averiguar las TCA que
construyen las personas
adultas en el aprendizaje
del concepto matemático
de proporción
Ver cómo se manifiesta la
brecha que existe entre las
matemáticas académicas y
las matemáticas de la vida
real y cómo afecta al
aprendizaje en la EA
METODOLOGÍA
COMUNICATIVA
Técnicas de
recogida de datos
Técnicas de
análisis
Hipótesis
H1.- Las personas utilizan
estilos de aprendizaje
basados en el diálogo
igualitario para aprender el
concepto matemático de
proporciones.
H2.- Existe una brecha
entre las matemáticas de la
vida real y las matemáticas
académicas. Esta brecha se
manifiesta de diferentes
formas.
H3.- La distancia entre las
“matemáticas de la vida
real” y las “matemáticas
académicas” genera
actitudes negativas o
errores conceptuales que
dificultan el aprendizaje de
las matemáticas.
ESTUDIO DE CASO
82
Aquí comienza la segunda parte de esta tesis. Se explica cuál es el planteamiento
metodológico que se ha utilizado durante la investigación que se ha realizado en
una escuela de personas adultas de Barcelona. Se empieza por concretar el tema
de la investigación en el capítulo sobre la definición del problema de estudio. En
este capítulo se exponen los objetivos que han llevado a la realización de esta tesis
y se concretan las hipótesis de la investigación. En el capítulo siguiente (sobre las
proporciones) se sitúa la base teórica de los contenidos matemáticos que se han
utilizado a lo largo de toda la investigación. Se hace un breve repaso de algunos
trabajos conocidos en el tema de las proporciones para situar la investigación que
realizamos aquí y justificar la importancia del tema. A su vez, también se explica
el concepto de proporción y se concreta a qué nivel de profundización llegamos en
este trabajo. En el capítulo propiamente sobre la metodología, se explica primero
el debate que existe entre la metodología cuantitativa y la cualitativa y se
especifica la opción que hemos tomado en nuestro trabajo. Se explica el enfoque
comunicativo y la importancia de adoptar un enfoque metodológico como éste. Se
concretan después aspectos más técnicos, como son la selección de la muestra y
las técnicas de recogida de la información. Dada la importancia del enfoque
didáctico con el que trabajamos, se destina un apartado completo a explicar el
contexto de la investigación (la escuela de personas adultas de La Verneda – Sant
Martí) y el tipo de aprendizaje que se utiliza en este escuela (el aprendizaje
dialógico). El punto central de esta tesis es la investigación del efecto del diálogo
sobre el aprendizaje durante varias sesiones de trabajo (haciendo entrevistas,
tertulias comunicativas o resolviendo ejercicios en el aula). Finalmente, en el
último capítulo de esta parte se explica el modelo que hemos elaborado para
analizar la información recogida, que tiene como innovación más relevante el uso
de una técnica de análisis del discurso (las trayectorias cognitivas de aprendizaje)
como herramienta metodológica.
83
84
6. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA E HIPÓTESIS
En este capítulo se expone cuál es el objetivo de la tesis doctoral. Se plantea primero el marco
general del problema y se concreta el ámbito de estudio desde el punto de vista del contenido
matemático (las proporciones). A partir de ese punto definimos cuál es el objetivo de la
investigación, para acabar estableciendo el modelo de hipótesis a contrastar con el análisis de la
información recabada durante el trabajo de campo.
6.1. El marco general del problema
Todo trabajo de investigación comienza por la definición del problema para el que
se desea encontrar una solución o una respuesta. Definir un problema significa
comunicar al lector o a la lectora en qué se está trabajando y cuál es el objetivo (o
los objetivos) de ese trabajo.124
Partimos de que todas las personas tenemos conocimientos matemáticos y los
aplicamos diariamente para resolver los problemas con los que nos encontramos
cada día.125 Lo que ocurre es que esa capacidad es poco reconocida, porque, por lo
124
Ruiz Olabuénaga, 1996.
Para hacer esta afirmación nos basamos en el concepto de “inteligencia cultural” del
aprendizaje dialógico (Flecha, 2000). Diversas investigaciones muestran cómo todas las personas
tenemos la capacidad de aprender cosas. Hasta los años sesenta los estudios que se habían
125
85
general, existe un mito en torno a las matemáticas: son consideradas como
“materia difícil”, “asignatura sólo reservada para las personas que sacan buenas
notas” y otros calificativos parecidos.126 Creemos que este mito se convierte
muchas veces en una auténtica barrera para el aprendizaje, porque genera miedos
o rechazos que bloquean a la persona que está aprendiendo matemáticas. Por otro
lado, además de esta predisposición emocional hacia las matemáticas, las personas
que nos dedicamos a su enseñanza también nos encontramos a veces ante otra
dificultad: la interpretación errónea de un concepto matemático concreto.
Estos problemas pueden ser abordados desde un punto de vista instrumental
(exclusivamente de los contenidos), normativo (relativo a las normas que rigen el
funcionamiento de ese concepto matemático) o cognitivo (que entra en el terreno
de la representación que nos formamos en la mente de dicho concepto y la manera
en cómo exteriorizamos todo ese proceso). O alguna combinación de esos tres
puntos de vista.
Lo que pretendemos aquí es ver, desde el punto de vista de la didáctica de las
matemáticas, algunos de los procesos afectivos y cognitivos que influyen en el
desarrollo de las habilidades comunicativas matemáticas en el proceso de
aprendizaje. Por eso se plantean situaciones de aprendizaje siguiendo la idea de
“la producción de aprendizaje” (Giménez, 1997), muy próximo al enfoque de la
resolución de problemas. Con la ayuda de las tecnologías de la información y de
la comunicación, se proponen situaciones matemáticas para estimular a las
realizado sobre la inteligencia y las habilidades básicas adolecían de un gran reduccionismo dado
que se centraban en las primeras etapas de la vida. El concepto de inteligencia que se manejaba en
aquel momento era un concepto académico. Más tarde otras investigaciones establecieron una
diferencia entre inteligencia fluida e inteligencia cristalizada (Cattel, 1971) y luego entre
inteligencia académica e inteligencia práctica (Scribner, Cole, 1977; Sternberg, Wagner, 1986).
Este hallazgo es de importancia crucial porque da base científica para afirmar que existen
diferentes maneras de aprender matemáticas, como afirman los autores de la etnomatemática
(D’Ambrosio, 1999; Knijnik, 1996). Para un análisis de los diferentes modelos de “inteligencia”
desde la didáctica de las matemáticas y la psicología del aprendizaje en matemáticas, ver Godino,
2002 y Skemp, 1980.
126
Este “mito” aparece con frecuencia en multitud de trabajos sobre el aprendizaje de las
matemáticas. Por ejemplo, en la introducción de Skemp a Psicología del aprendizaje de las
matemáticas podemos leer: “me fui interesando progresivamente en el problema de aquellos
alumnos que, no obstante ser inteligentes y muy trabajadores, “no podían hacer matemáticas”. Esto
parecía no tener sentido.” (Skemp, 1980: 19). Este “mito” es una de las ideas más enraizadas en la
enseñanza de las matemáticas, hasta el punto que todas las personas lo asumimos cuando estamos
estudiando matemáticas y no hay ni una sola (salvo casos excepcionales) que afirme que las
matemáticas son una disciplina fácil. Ver también Kline, 1973.
86
personas adultas a buscar formas matemáticas de resolver dichas situaciones, en
un contexto de aprendizaje dialógico.
No nos interesa plantear una investigación en el sentido restringido del
aprendizaje como memorización o adquisición de unas pautas de resolución de
problemas. Nos interesa más utilizar un concepto amplio del aprendizaje de las
matemáticas, acorde con el discurso general que existe en la didáctica de las
matemáticas desde hace algunos años. En la actualidad ya no tiene sentido invertir
esfuerzos y tiempo sólo en repetir ejercicios una y otra vez, lo importante es
explicar y entender el por qué del uso de un determinado algoritmo matemático
para resolver una situación concreta.
Por ese motivo utilizamos la propuesta de currículum que propone D’Ambrosio
(1999). Este autor brasileño, cuando habla de las habilidades matemáticas,
distingue entre tres elementos principales: literacia, materacia y tecnoracia.127
Estos tres elementos forman parte de una definición amplia de las matemáticas, no
circunscrita a los procedimientos más o menos mecánicos de la resolución de
problemas, sino a la capacidad que todas las personas tenemos para enfrentarnos
de manera reflexiva y crítica (es decir, como protagonistas) a los problemas
matemáticos.
Senai (1998) concreta la definición de D’Ambrosio. Esta autora habla de cuatro
grandes bloques temáticos, a saber: 1) los números (naturales y racionales
absolutos, en formas decimal y fraccionaria), 2) las medidas grandes y las
127
Por literacia D’Ambrosio entiende la “capacidad de procesar información escrita y hablada,
que incluye lectura, escritura, cálculo, diálogo, ecálogo, multimedia e Internet, en la vida
cotidiana (instrumentos comunicativos).” (D’Amboriso, U. 1999: 49). En el caso de la materacia,
el didacta brasileño entiende que es la “capacidad de interpretar y analizar signos y códigos, de
ofrecer y utilizar modelos y simulaciones en la vida cotidiana y de elaborar abstracciones sobre
representaciones de lo real. (instrumentos intelectuales). (D’Ambrosio, U., 1999: 49). La
tecnoracia dice que es la “capacidad de usar y combinar instrumentos, simples o complejos,
incluido el propio cuerpo, evaluando las posibilidades, las limitaciones y la adecuación a las
necesidades y situaciones diversas. (instrumentos materiales). (D’Ambrosio, U. 1999: 50). Al
hablar de estos tres conceptos (literacia, materacia y tecnoracia), D’Ambrosio explica en una nota
que “en portugués se utiliza la palabra literacia. En inglés literacy es de uso frecuente, pero
matheracy parece haber sido usado con anterioridad por el ilustre educador matemático japonés
Tadasu Kawaguchi, en un sentido más restringido que el que propongo. Nunca he visto
technoracy, aunque se utilice technological literacy. (D’Ambrosio, U. 1999: 49 –nota a pie-).
87
pequeñas medidas, 3) el espacio y la forma, y 4) el tratamiento de la información.
Dentro de estos bloques se pueden encontrar procesos cognitivos que van desde la
lectura, notación y ordenación de las cantidades, hasta la interpretación de
gráficos o el uso de los ejes de coordenadas para situar en el espacio o en el
tiempo los acontecimientos que nos rodean.128
Nosotros nos centramos en un contenido específico: las proporciones. El motivo
que nos lleva a hacer esta acotación es que las personas que formaban parte del
Grupo de matemáticas dialógicas de la escuela de La Verneda – Sant Martí
escogieron este tema por su aplicación práctica en la vida real.
6.2. Los objetivos específicos de la tesis doctoral
Se puede formular lo dicho hasta aquí diciendo que tenemos dos objetivos en esta
tesis.
El primer objetivo es averiguar las trayectorias cognitivas129 que construyen
las personas adultas en el aprendizaje del concepto matemático de
proporción, al utilizar el aprendizaje dialógico, para ver cómo podemos mejorar
la enseñanza de las matemáticas y lograr encontrar vías para transformar el mito
que existe en torno a esta disciplina científica.130
Pero detrás de este primer objetivo (explícito) subyace otro objetivo, más de
fondo, que consiste en ver cómo se manifiesta la brecha que existe entre las
matemáticas académicas y las matemáticas de la vida real y de qué manera
afecta al propio proceso de aprendizaje de las personas adultas.
128
Ver Senai, 1998.
Al referirnos a las “trayectorias cognitivas” nos estamos situando en la tradición cognitivista de
las teorías del aprendizaje. Como es sabido, tradicionalmente ha existido un debate entre la
corriente atomista (Skinner, pavlov, Watson, Gagné, etc.) y la corriente cognitivista (Piaget,
Vigotsky, Skemp, etc.).
130
Me refiero aquí a la creencia de que las matemáticas son una disciplina difícil de aprender.
129
88
En pocas palabras, lo que nos interesa aquí es analizar las diversas trayectorias
cognitivas que desarrollan las personas adultas cuando resuelven actividades sobre
proporciones, teniendo en cuenta el contexto instrumental, normativo y afectivo
en el que se produce este aprendizaje y que creemos que está relacionado
estrechamente con la existencia de la brecha a la que hacemos referencia.
6.3. Las hipótesis de trabajo
La primera hipótesis de trabajo que se propone en esta tesis es la siguiente:
Hipótesis 1: Existe una brecha entre las matemáticas de la vida real y las
matemáticas académicas. Esta brecha se manifiesta de diferentes formas.
Matemáticas de la vida
real
U
Matemáticas académicas
En segundo lugar se plantea esta otra hipótesis de trabajo:
Hipótesis 2: La distancia entre las “matemáticas de la vida real” y las
“matemáticas académicas” genera actitudes negativas que dificultan el
aprendizaje de las matemáticas.
Cotidianas
Matemáticas
U
Dificultades de aprendizaje
Académicas
La tercera hipótesis de trabajo es la siguiente:
89
Hipótesis 3: Las personas utilizan estilos de aprendizaje basados en el diálogo
igualitario para aprender el concepto matemático de proporciones.
Aprendizaje
dialógico
Proporciones
matemáticas
Así pues, pensamos que las personas adultas utilizan diversas estrategias basadas
en el diálogo igualitario para aprender a resolver problemas matemáticos.
Asumimos, en principio, que todas las personas tienen capacidades matemáticas y
que las ponemos en práctica en nuestras vidas cotidianas. Estas “matemáticas de
la vida real” no son iguales que las que se estudian en la escuela. Por ello nuestra
primera hipótesis es que existe una brecha entre las matemáticas de la vida real y
las matemáticas académicas que se manifiesta de diferentes formas.
Por lo general las personas adultas identificamos como “matemáticas” aquellas
operaciones que aprendemos en la escuela, pero no ocurre lo mismo con aquellas
actividades cotidianas que, a pesar de tener un trasfondo claramente matemático,
no son identificadas como tales. Este aspecto nos lleva a proponer una segunda
hipótesis: esta distancia entre las “matemáticas de la vida real” y las “matemáticas
académicas” es lo que genera actitudes negativas que dificultan el aprendizaje de
los conceptos de proporción y de cálculo.
90
7. SOBRE LA IDEA DEL CONCEPTO MATEMÁTICO
DE PROPORCIÓN
En este capítulo se explica el concepto matemático de “proporción”. Primero se justifica la
elección de este concepto como objeto de estudio a lo largo de la tesis. Después pasamos a
presentar la proporcionalidad desde el punto de vista de su definición matemática. Se comentan las
diferentes condiciones que un enunciado tiene que cumplir para ser considerado como
“proporción”. Finalmente, se propone una aproximación al concepto desde diferentes niveles de
abstracción, que nos servirá después para interpretar la forma que tienen las personas adultas para
trabajar con las proporciones.
La “proporción” es un concepto que aparece muy a menudo en nuestras vidas.131
Preparar una receta de cocina y tomar proporcionalmente las cantidades de los
ingredientes según el número de comensales, repartir los gastos del alquiler de un
piso entre un grupo de amigos según el sueldo de cada uno de ellos o administrar
correctamente un medicamento en la proporción adecuada para cada franja de
edad, son sólo algunos ejemplos. Las proporciones sirven para acciones muy
diversas: para ahorrar gastos en la elaboración de productos estandarizados (como
las pantallas de TV, para PC, de móvil, etc.), para hacer estimaciones (como
131
Van Groenestijn (2002), por ejemplo, en la investigación que ha hecho sobre las habilidades
numéricas en la educación básica de personas adultas, escribe sobre las proporciones:
“Proportions are a basic concept that occur in many everyday life, work and societal activities.”
(van Groenestijn, 2002: 122).
91
calcular el doble de lo que te has gastado o la mitad, por ejemplo), para calcular
una muestra estadística en una investigación social, para dibujar la figura de una
persona en un cuadro, para decidir el grosor de las viguetas de una casa en
construcción, etc.
El lenguaje cotidiano está lleno de referencias y de expresiones que nos remiten a
la idea de “proporción”. Sin embargo, esta palabra se utiliza en sentidos y en
contextos muy diferentes, como se puede ver en los diferentes ejemplos que
ofrecemos. En el cuadro adjunto recogemos algunos significados semánticos de la
palabra “proporción”.132 Puede utilizarse como un sinónimo de “parte” o “trozo”,
cuando decimos frases tales como “Juan se ha comido la misma proporción de
pastel que yo”. En otras ocasiones utilizamos “proporción” para referirnos a
cualidades tales como el tamaño, la cantidad o medida de una cosa o,
sencillamente, la constitución estética de un objeto cualquiera. Por otro lado, las
“proporciones” también pueden permitirnos establecer relaciones entre varios
objetos o acontecimientos. Este tercer sentido es el que más nos acerca al
concepto matemático de proporción.
a) La palabra proporción puede sustituir palabras de uso cotidiano como:
a.1) Parte, trozo
a.2) De forma, de manera
a.3) Según
b) otras veces indica cualidad o aspecto:
b.1) En sentido general
b.2) Estéticamente bien construido o formado
b.3) Tamaño
b.4) Cantidad o medida
c) Como expresión de una comparación o relación
c.1) Acción de “relativizar”
c.2) Entre dos números
c.3) Comparando fracciones
c.4) Comparando dos magnitudes, sean éstas explicitadas o no
c.5) Como tasa, índice o tanto por ciento
Cuadro 7.1. Sentidos semánticos de la palabra proporción. Fuente: Fiol y Fortuny, 1990: 20.
132
Fiol y Fortuny, 1990.
92
7.1. Justificación de la elección del concepto de “proporción”
El tema de las proporciones ha sido elegido por las mujeres del Grupo de
matemáticas dialógicas. Ha sido escogido por lo importantes que son las
proporciones en nuestra vida cotidiana. Una importancia que se resalta en los
principales estudios internacionales que existen sobre habilidades matemáticas.
TIMSS (2003), por ejemplo, recoge las proporciones como uno de los contenidos
matemáticos básicos del tema correspondiente a los “números”.133 Como dicen
Singer, Kohn y Resnik (1997), las proporciones son uno de los conceptos
matemáticos más intuitivos que utilizamos.134 Esas intuiciones se desarrollan cada
día en múltiples facetas de la vida cotidiana.
Por otro lado, resulta que el concepto de proporcionalidad también es uno de los
conceptos básicos de las matemáticas que más confusiones y errores provoca.
Goffree (2000) escribe:
“Mucha gente tiene problemas con los porcentajes, tanto en la escuela como en la
vida cotidiana. Las dificultades más comunes que aparecen en el trabajo con
porcentajes puede ilustrarse con el ejemplo siguiente:
El 27 de octubre el índice de Dow Jones cayó un 7,2%. Al día siguiente todo estaba
en orden, puesto que el índice había subido un 7,2%. Antes de la caída del 27 de
octubre el índice estaba en 7698.0555. ¿Tenía el mismo valor después de la
subida?” (Goffree, 2000: 152).
Por ese motivo ha sido escogido este concepto, de mutuo acuerdo con las personas
participantes en el Grupo de matemáticas dialógicas de la escuela de La Verneda
– Sant Martí. Como dice Pólya (1979), las actividades matemáticas planteadas en
la clase tienen que ser de interés para los y las estudiantes. Esta es una condición
133
Los dominios de contenido matemáticos que aparecen en el TIMSS son 5: números, álgebra,
medición, geometría y datos. Dentro de los números encontramos: los números naturales, las
fracciones y decimales, los números enteros y la razón, proporción y porcentaje. TIMSS, 2003:26.
134
Singer, Kohn y Resnik (1997) trabajan en el ámbito de la educación infantil, pero hacen un
repaso teórico y conceptual de las proporciones desde el punto de vista de la psicología del
aprendizaje que ofrece elementos interesantes, como la teoría de Resnik y Greeno sobre las dos
líneas para desarrollar conceptos numéricos, como son los esquemas “protocuantitativos” y el
saber contable (counting knowledge).
93
previa sin la cual es muy difícil que el aprendizaje motive a las personas que están
en la clase. Y la motivación aparece como una variable muy relevante en el éxito
o fracaso de un aprendizaje.
7.2. Algunas investigaciones sobre la proporcionalidad
La proporcionalidad ha sido un tema en torno al cual se ha realizado un gran
abanico de investigaciones, desde el trabajo que realizaron Inherlder y Piaget
(1968).135 Como dicen Hoyles, Noss y Pozzi (2001) la mayor parte de los estudios
realizados a lo largo de estos años muestran que las respuestas de los estudiantes a
las actividades sobre problemas de proporciones están muy influidas por los
factores del contexto, como son el tipo de ratios que se requieren, los números
concretos que aparecen en la tarea o el propio contexto del problema.
“Desde entonces, la investigación ha mostrado que las respuestas de los estudiantes
son altamente sensibles a las tareas y los factores del contexto, como el tipo de ratio
requerido (Karplus, Pulos, & Stage, 1983), los números concretos de la tarea
(Clark & Kamii, 1996; Hart, 1984), y el contexto del problema (Clarkson, 1989;
Lawton, 1993; Noelting, 1980a, 1980b; Vergnaud, 1983).” (Hoyles, Noss y Pozzi,
2001: 6).
Desde el punto de vista de la educación de personas adultas, la proporcionalidad
ha sido un tema muy estudiado en relación a las profesiones y a las actividades de
la vida cotidiana. Así existen trabajos como el que realizan los propios Hoyles,
Noss y Pozzi (2001) sobre el uso de las proporciones en el ámbito sanitario, las
investigaciones de Carraher & Schliemann y Nunes, 136 sobre las matemáticas y la
vida cotidiana y el trabajo que presentan Singer, Kohn y Resnik (1997) sobre el
estudio del conocimiento de las proporciones en diferentes contextos (desde la
perspectiva de la psicología del aprendizaje),
135
Hoyles, Noss y Pozzi, 2001.
Carraher, Carraher, & Schliemann, 1985; Nunes, Schliemann, Carraher, 1993; Schliemann &
Carraher, 1992.
136
94
7.3. Definición de la proporcionalidad.
La proporcionalidad es una noción relacional que se utiliza para comparar
magnitudes de igual o distinto orden. Hablar de proporciones implica hablar de
“magnitudes” y de “medidas”.
b=3
b’ = 6
a=2
a’= 4
Demostración aritmética:
a/b = a’/b’
2/3 = 4/6
0,66 = 0,66
Demostración geométrica:
b
b’
a
a’
Figura 7.1. Cálculo de la relación proporcional.
95
Siguiendo a Fiol y Fortuny (1990), la magnitud se entiende como “un conjunto no
vacío M con una relación de orden (<) y una operación interna (+) tal que: (a,b,c
∈ M)” (Fiol y Fortuny, 1990: 29). Los valores de este conjunto M aparecen
ordenados, ya sea de manera creciente, ya sea de manera decreciente. De
cualquiera de las dos formas, los valores de este conjunto M cumplen las
propiedades transitiva,137 asociativa,138 conmutativa,139 la simplificación,140 la
diferencia141 y la divisibilidad.142 La proporción se establece como una relación
entre dos valores de una misma magnitud o de magnitudes diferentes. Esta
relación aparece en forma de cociente, de tal manera que si tenemos dos unidades
(ab y a’b’), decimos que son proporcionales si a/b = a’/b’, siendo una relación
simétrica. Por ejemplo, dos rectángulos diferentes como los de la figura adjunta,
son proporcionales entre sí, si cumplen esta condición.
La proporcionalidad nos remite a dos ideas de relación. Por un lado, nos da una
idea “estática” de la relación entre dos magnitudes (Behr y otros, 1992; Giménez,
1989). Así, por ejemplo, cuando tenemos un mapa dibujado a escala, la
proporción es lo que permite pasar del mapa a la realidad y al revés. Los
rectángulos de la figura adjunta también son un ejemplo estático de
proporcionalidad, porque simplemente nos indica un cambio en el tamaño (en este
caso, el doble o la mitad, según se mire).
Por otro lado, la proporcionalidad también se puede referir a una relación de
carácter funcional (Rouchier, 1980; Rico, 1985). Éste es el caso de las situaciones
en las que aparecen dos (o más magnitudes) y las relaciones que se establecen
entre ellas, como en el caso de tablas de cantidades y precios o en el caso de la
perspectiva entre dos objetos cuya distancia va variando respecto del mismo punto
de observación. Así pues, desde un punto de vista funcional, podemos hablar tanto
de proporciones aritméticas, como de proporciones geométricas.
137
a<b y b<c implica que a<c.
(a+b)+c = a+(b+c).
139
a+b = b+a.
140
a+c = b+c implica que a=b.
141
a<b si y sólo si existe un c tal que a+c = b.
142
Para cada a en M y n número natural existe un b, b ∈ M, tal que a = n·b donde nb = b+...+b con
n-sumandos.
138
96
Relación estática
o dinámica
(Giménez, 1989;
Behr y otros,
1992)
PROPORCIÓN
numérica
Relación funcional
funcional
(Rouchier, 1980;
Rico, 1985)
ejemplos
escala
a/b = 2a/2b
ejemplos
tabla
a
n
b c
n·b n·c
Cuadro 7.2. Conceptos de proporción.
Tal y como explican Fiol y Fortuny (1990), la proporción cumple las siguientes
propiedades: la simetría, la semejanza, la aditividad y la continuidad. Estas
propiedades nos permiten identificar cuándo una situación es proporcional a otra
en sentido matemático y verificar dicha proporcionalidad en la medida que
cumple todas las propiedades señaladas por estos dos autores.
Las propiedades que destacan ambos autores en su libro nos sirven para definir
también (desde el punto de vista del contenido matemático) las diferentes
actividades que se han utilizado durante la investigación.143 Por otro lado, también
constituyen un punto de referencia para analizar los diálogos que se han producido
en el aula, mientras las personas participantes del Grupo de matemáticas
dialógicas de la escuela han tratado de resolver las actividades propuestas. En el
capítulo del análisis del trabajo de campo dedicaremos un amplio espacio a
analizar el vínculo que existe entre el dominio de los contenidos matemáticos y el
dominio cognitivo de las matemáticas (TIMSS, 2003).
143
Ver capítulo 10 de esta tesis.
97
I. Propiedad de simetría
P(a,b) = P(b,a) para todo a, b ∈ M.
II. Propiedad de semejanza
P(ra,rb) = P(a,b), para todo r > 0 y a, b ∈ M
III. Aditividad
P(a,b) + P(a,c) = P(a,b + c)
Si a ≤ b y b ≤ c siendo a, b, c ∈ M.
IV. Continuidad
lim P(an, bn) = P(a,b) si a = lim an b = lim bn.
n
∞
n
∞
n
∞
Cuadro 7.2. Propiedades de la proporción. Fuente: Fiol y Fortuny, 1990: 39.
7.4. Aproximación a la idea de proporción
Como se puede apreciar, el concepto de proporcionalidad es un concepto
complejo, desde el punto de vista matemático, que tiene multitud de matices que
nos llevan a hablar de ejemplos completamente diferentes de situaciones
proporcionales. Pero, además, desde el aprendizaje existen diferentes maneras de
aproximarse a este concepto.
En primer lugar podemos hablar de una “aproximación cualitativa” al concepto de
proporción. Ello ocurre cuando vemos que una serie de dos (o más) objetos (o
cantidades) aumentan o disminuyen con una cierta regularidad. La primera
percepción (la diferencia que “vemos” entre el objeto (o la cantidad) más grande y
la más pequeña) es una apreciación cualitativa de una relación que existe entre
ambos objetos (o cantidades). Hablar de la naturaleza, de las condiciones o de la
forma que adopta esa relación, nos lleva ya a un análisis mucho más profundo, en
el que aparecen rasgos concretos de la idea matemática de “proporción”. En el
momento en que describimos numéricamente esa relación (para intentar descubrir
98
una cierta regularidad que nos lleve a hablar de “relación proporcional”, siempre y
cuando dicha relación numérica cumpla las condiciones que ya se han explicado
en el apartado anterior) entramos ante una aproximación cuantitativa. Sin
embargo, antes de llegar a la idea cuantitativa, aparece la noción de “doble” (o
“mitad”), que se encuentra a medio camino entre lo intuitivo de la percepción y la
sistematización del razonamiento matemático.144
La aproximación cuantitativa se refiere al cálculo numérico de la relación que
existe entre dos magnitudes, pero se queda simplemente en el terreno de lo
descriptivo. La aproximación más elaborada a la idea de proporción (y,
posiblemente, también con mayor contenido de abstracción) es la propia
teorización del concepto.145 En este caso ya no se trata únicamente de describir
numéricamente la relación que se establece entre las dos cantidades consideradas,
además se busca una explicación, una norma (matemática) suficientemente
generalizable como para ser capaz de explicar otras situaciones concretas.
Sin embargo, esta última aproximación se escapa a los límites de las matemáticas
como conjunto de habilidades básicas, que es lo que nos interesa en este trabajo.
Por ese motivo lo que hemos hecho a lo largo del trabajo de campo es priorizar los
tres primeros pasos en la aproximación a la idea de proporción y no nos ha
preocupado tanto el punto de vista teórico (que creemos que es tarea de las
personas que dedican su tiempo a cultivar las matemáticas).
144
Por ese motivo es mucho más fácil aprender y manejarse con la idea de “doble” o “mitad”, que
con la idea de “tercio” y la dificultad está en decir qué significa el 23% de una cantidad dada. A
nivel cognitivo, es mucho más fácil operar partiendo la unidad en dos trozos iguales, que tener que
partirla en más de dos y operar con una parte de la partición.
145
Este nivel es el que solemos encontrar en los manuales y tratados de matemáticas, por ejemplo,
el trabajo que hemos utilizado de Fiol y Fortuny, 1990. Históricamente encontramos ejemplos
claros en la matemática helena que hemos heredado de la Grecia clásica. En esta época ya
encontramos la idea de proporción que aparece en el concepto de “semejanza” que utiliza Thales
en su teorema, que ha llegado hasta nosotros gracias a los escritos de otros pensadores, como
Proclo –que cita a Eudemo–, Diógenes Laercio –que a su vez cita a Apolodoro– , Calímaco y
Jerónimo (Montesinos Sirera, 2000). Más tarde volvemos a encontrar claramente el tema de las
proporciones en el teorema de Pitágoras o en Los elementos de Euclides, momento en que los
pensadores griegos ya han introducido en la ciencia matemática la idea de infinito a través de las
medidas inconmensurables, que no son otra cosa que intentos fallidos de encontrar una relación
numérica entre el lado de un rectángulo y su diagonal (en el dominio de los números racionales).
La idea moderna de proporción añade la relación de funcionalidad (que aparece en los análisis de
la matemática infinitesimal y, especialmente, en los trabajos de Gauss sobre la derivación y las
integrales).
99
En el análisis del trabajo de campo utilizaremos dos categorías (el
“reconocimiento generalizado” y la “interpretación comprensiva”), que nos sirven
para entrar en las formas de razonamiento (desde el punto de vista cognitivo) que
utilizan las personas adultas.
100
8. LA METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN
En este capítulo se presenta la metodología que hemos utilizado a lo largo de la investigación.
Primero justificamos la elección de las herramientas metodológicas. Para ello examinamos las
ventajas y desventajas de las metodologías cuantitativa y cualitativa. Después exponemos el
paradigma metodológico que hemos utilizado: la metodología comunicativa, y justificamos, tanto
desde el punto de vista ontológico como epistemológico, su elección.
8.1. El debate sobre metodología cuantitativa o cualitativa
Una vez que el problema de investigación está definido, la siguiente decisión que
se tiene que tomar es concretar la metodología más adecuada para responder a las
preguntas que nos hemos planteado en las hipótesis (Ruiz Olabuenaga, 1996).
Podemos escoger entre una metodología de carácter cuantitativo y otra que sea
cualitativa. No es que una metodología sea mejor que la otra. La decisión de cuál
vamos a utilizar depende en gran medida de los objetivos que nos hayamos
marcado en la definición del problema que estamos estudiando.
La metodología cuantitativa es indicada para realizar descripciones detalladas de
la realidad. En cambio tiene unas limitaciones grandes cuando entramos en el
terreno de la explicación. A pesar de que es posible elaborar modelos de
101
explicación causal (como el path analysis o los análisis de redes basados en
coeficientes de contingencia), el análisis cuantitativo siempre queda supeditado al
intervalo de confianza establecido por las probabilidades (y eso siempre y cuando
no incurramos en alguno de los dos tipos de errores estadísticos más usuales, es
decir, o bien aceptar la hipótesis nula cuando es errónea, o bien rechazarla cuando
es cierta). En cambio, la metodología cuantitativa es una herramienta muy potente
para realizar descripciones de la población (es posible conocer la distribución de
frecuencias, la media, la dispersión y otras medidas que indican relaciones entre
variables, como el chi-cuadrado, por ejemplo).
La metodología cualitativa, en cambio, nos sirve para introducirnos en el terreno
de las emociones, de lo cognitivo y permite encontrar explicaciones a los
fenómenos de estudio en la biografía o en los sistemas de creencias de las
personas. El problema es que por lo general son mucho más particularistas que las
técnicas cuantitativas y es más difícil realizar extrapolaciones de los resultados de
la muestra a la población. En este caso no es aceptable establecer intervalos de
confianza, ni probabilidades de que lo que le ha ocurrido a una persona responda a
una curva normal (o cualquier otro modelo estadístico de comportamiento). Para
lograr hacer estas afirmaciones el volumen de información necesario sería tan
elevado que hace imposible cualquier esfuerzo de intentarlo.
Teniendo en cuenta las hipótesis que nos hemos marcado en esta investigación, la
metodología que más se ajusta a nuestras necesidades es la cualitativa. Este tipo
de metodología nos permite, mejor que cualquier otra, el acceso al terreno
cognitivo, para encontrar alguna explicación sobre cómo influyen estas variables
en el aprendizaje de ciertas habilidades matemáticas básicas. La metodología
cualitativa nos permite acercarnos de una manera más efectiva a los procesos
afectivos y cognitivos que experimentan las personas durante su aprendizaje. En
nuestra investigación no nos interesa mostrar una imagen externa del resultado del
aprendizaje, sino que tratamos de ver cómo funciona el aprendizaje de las
proporciones (en concreto, pero también de cualquier otro contenido matemático
que aparezca en cada situación concreta) en un entorno de aprendizaje dialógico.
102
Y lo hacemos con las personas participantes, teniendo en cuenta sus
valoraciones, sus explicaciones, porque consideramos que quienes mejor conocen
los procesos emocionales y cognitivos que experimentan durante el aprendizaje
son las propias personas que están aprendiendo. Éste es un criterio fundamental,
que define la base teórica de las herramientas metodológicas que hemos utilizado.
Esa base es la metodología comunicativa.
Por ese motivo escogemos una metodología cualitativa, ya que siempre resulta
más próxima que un sondeo que puede encargarse a una empresa externa ajena
por completo a la realidad que estamos estudiando.
Finalmente, contrastaremos las explicaciones de las personas participantes con los
resultados que van logrando a lo largo de su aprendizaje. La “triangulación” entre
el punto de vista del sujeto investigado y el punto de vista del investigador /
docente también ofrece una visión más amplia y contrastada de lo que es el
aprendizaje dialógico de las matemáticas.
8.2. El paradigma metodológico comunicativo
En esta investigación se utiliza el paradigma metodológico comunicativo
desarrollado por CREA. Esta perspectiva metodológica ha sido ampliamente
contrastada por numerosas investigaciones y actualmente está reconocida a nivel
internacional por los principales institutos y centros científicos de investigación de
todo el mundo. Ejemplo de ello es que la metodología comunicativa forma parte
del currículum académico de algunas asignaturas de investigación que se imparten
en estudios de doctorado que ofrecen universidades de la categoría de Harvard
University (en Estados Unidos), por ejemplo.
La metodología comunicativa retoma elementos tanto de la tradición objetivista,
como de la perspectiva constructivista, que han sido dos de las grandes corrientes
ontológicas que han hegemonizado el ámbito de la metodología hasta el momento.
103
Para la tradición objetivista (también conocida como escuela positivista), la
realidad social puede ser estudiada como si estuviera formada por sucesos
comparables a los fenómenos físicos.146 Dichos sucesos son mensurables y
comparables entre sí. Por ello los investigadores que están dentro de esta corriente
utilizan la estadística como herramienta para realizar sus investigaciones.
En cambio, desde la tradición constructivista los fenómenos sociales (la
educación, el trabajo, el reparto de roles, las instituciones, etc.) son construcciones
sociales que dependen de los significados que les atribuyen las personas.147 Por
ese motivo los investigadores de esta corriente prefieren la metodología
cualitativa para poder acceder a dichos significados.
La
perspectiva
comunicativa
adopta
elementos
de
ambas
tradiciones
metodológicas y los reelabora en una perspectiva propia centrada en la capacidad
de las personas para tomar decisiones en un mundo que se nos aparece como
externo a nosotros y, por tanto, susceptible de ser conocido por métodos no
introspectivos (es decir, que podemos utilizar las técnicas cuantitativas para
entender según qué puntos de vista de los sucesos que ocurren a nuestro
alrededor).
Estos puntos de vista tienen profundas consecuencias epistemológicas. Como es
sabido, la epistemología es uno de los grandes retos que tiene que afrontar
cualquier investigación mínimamente seria. ¿Cómo encontramos el conocimiento
verdadero? Desde el punto de vista de la tradición objetivista, es posible conocer
los fenómenos (físicos o sociales) que existen per se al margen de las personas
que los investigan. En cambio, para las personas que se sitúan bajo el
constructivismo tales fenómenos son construcciones sociales y dependen de la
146
Durkheim hablaba de hechos sociales como fenómenos externos a los individuos y susceptibles
de ser analizados de manera objetiva. En esta línea se desarrolló el estructuralismo francés.
147
Un trabajo que se cita normalmente en sociología, en esta línea, es la obra de Berger y
Luckmann: La construcción social de la realidad. En este libro ambos autores defienden cómo las
sociedades en realidad son resultado de un montón de acuerdos sobre rutinas que después se
institucionalizan y se “separan” de las personas que las han hecho posibles. Por ejemplo, la
división sexual del trabajo se debe a que en un principio hubo hombres y mujeres que decidieron
repartirse las tareas de una manera concreta y eso fue pasando de padres a hijos, hasta que llegó un
momento en que se pierde el referente de la agencia en la decisión y aparece como una institución
ajena a las personas que la forman.
104
interpretación de la persona que está investigando (aquí aparece con especial
virulencia el problema de la objetividad del conocimiento).148
Las características principales del paradigma comunicativo se concretan de la
siguiente manera:
1) Supera el dilema sujeto/objeto de las ciencias sociales, partiendo de la base de
que no existe un desnivel metodológico relevante entre científicos expertos y
legos, considerando como fuentes de información las diferentes aportaciones
de todos los participantes, sin predominio de una sobre otra.
2) Se diseñan las acciones que contribuyen a superar las desigualdades en base a
las consideraciones de practicidad y transformación. Todo el proceso de
investigación se encuentra estrechamente vinculado con las prácticas que ya
están realizando estas transformaciones y se estudia la manera de
generalizarlas. En este sentido una tesis en didáctica de las matemáticas no
puede renunciar a la aplicabilidad de sus resultados.
3) Los datos vinculados con las prácticas más concretas se complementan con un
exhaustivo contraste con los diferentes avances en ciencias sociales y
educativas, la combinación rigurosa de técnicas cuantitativas y cualitativas. De
todas maneras, en el caso de esta tesis doctoral utilizaremos técnicas
cualitativas debido a que nos van a resultar más útiles para responder al
objetivo que nos hemos marcado.
4) En el análisis de los datos respecto a la realidad social (es decir, todo aquello
que entra dentro del ámbito de los hechos sociales, sea política, cultura,
educación, etc.), se estudia el resultado de acuerdos intersubjetivos realizados
entre personas. Por eso la mejor manera de aproximarse de forma científica y
148
Este problema, en las ciencias sociales, a veces ha sido muy mal resuelto, especialmente desde
las teorías postmodernas, que directamente niegan que sea posible el conocimiento porque la
verdad (el conocimiento verdadero) depende de la persona que lo describe (y de su situación de
poder). Por ejemplo, en la antropología, la corriente anglosajona (con Clifford Gertz a la cabeza)
afirma que la verosimilitud de una interpretación cultural, como la descripción del cuadro de
costumbres de los indígenas de una isla del Pacífico, depende de lo bien escrita que esté la obra, no
de si se corresponde con los hechos empíricos o no. Lo que se dice es verdad, porque lo legitima la
posición (de poder) del investigador que enuncia la interpretación.
105
rigurosa a este tipo de fenómenos es dejar participar de manera igualitaria a las
personas que intervienen en la investigación, para que aporten sus puntos de
vista y ayuden a enriquecer el cuadro de lo que realmente está sucediendo en
ese marco de estudio.
8.3. Justificación de la elección de la metodología
Desde el punto de vista ontológico, nos interesa utilizar la metodología
comunicativa porque partimos del supuesto de que la realidad que queremos
estudiar es algo más que un conjunto de procesos, acciones y actitudes que sólo
podemos explicar de manera “probabilística”, como se afirma desde posturas
positivistas o neopositivistas. Nosotros partimos de un realismo histórico, es decir,
de que los procesos afectivos y cognitivos (y las acciones consecuentes) de las
personas adultas ante las diferentes situaciones matemáticas se explican por su
propia historia personal, por su condición económica, étnica y de género. No es el
resultado de una elección probable entre un cúmulo de posibilidades de acción.
En cuanto a la epistemología, justificamos la elección de la metodología
comunicativa porque se basa en una concepción subjetivista y basada en valores,
frente a la perspectiva dualista / objetivista propia del método positivista. La
metodología comunicativa responde mejor a nuestro objeto de estudio, porque a
nosotros no nos interesa estudiar las reacciones de las personas a una serie de
problemas matemáticos que hayamos establecido de antemano. El aspecto que a
nosotros nos interesa es provocar situaciones de aprendizaje, para que las mismas
personas planteen enunciados de problemas matemáticos y apliquen sus propias
estrategias para resolverlos y nos expliquen, con sus propias palabras, cómo se
enfrentan a esas situaciones nuevas y van logrando aprender. Por tanto, tenemos
que adoptar necesariamente un punto de vista subjetivista (basado en el diálogo
igualitario con la persona).
Esta elección epistemológica nos plantea una serie de problemas, tales como los
metodológicos, como advierte Ruiz Olabuénega (1996). Para resolverlos es
106
importante introducir en la investigación una serie de controles de calidad, que
son diferentes según el paradigma epistemológico que se utilice. Así, desde una
perspectiva positivista o neopositivista se aplicarían criterios de validez, tales
como la fiabilidad de la investigación, la consistencia interna del discurso o la
precisión. En cambio, desde el punto de vista comunicativo se tiene en cuenta la
validez del contenido y de la metodología.
Respecto de los contenidos, asumimos que el mundo social es un mundo
interpretado por los sujetos. De la misma forma, todo lo que ocurre dentro de la
clase de matemáticas en la escuela es interpretado por las personas que están en el
aula. Esta consideración es especialmente relevante en el caso de las personas
adultas, puesto que todas y cada una de ellas tienen una historia personal que las
condiciona a la hora de interpretar cada una de las situaciones de aprendizaje que
ocurren dentro del aula. Desde un punto de vista positivista rechazaríamos
cualquier tipo de interpretación y justificaríamos la validez de nuestro trabajo tan
sólo en la medida de que cumpla o no las reglas de fiabilidad del discurso. No
obstante, esta manera de proceder dejaría fuera del análisis todo lo que es la
interpretación de las personas adultas, lo cual restaría validez claramente al
trabajo. Sin embargo, nosotros asumimos que los significados y definiciones
aportados a las situaciones se producen a través de un proceso de comunicación
intersubjetivo y ponemos como requisito ineludible que dicha comunicación tiene
que producirse en un espacio igualitario. De esta manera se rompe con lo que
Habermas (1987) denomina “desnivel metodológico”, que es la distancia que
separa al investigador de las personas que son objeto de la investigación. La
interpretación del investigador podría, de lo contrario, llegar a imponerse por
encima de la “verdad” de los procesos que están sucediendo y dar lugar a unas
conclusiones totalmente sesgadas e incorrectas.
Por otro lado, si asumimos este enfoque es porque los investigadores y las
investigadoras son cada vez más conscientes de que las categorías de análisis
utilizadas para realizar descripciones y proponer explicaciones plausibles son
símbolos que pertenecen al contexto y, por tanto, también forman parte del
fenómeno estudiado. No podemos pretender que estemos realizando un trabajo
neutral (como se diría desde el enfoque positivista), sino que hay que reconocer la
107
influencia que tenemos, como integrantes de la realidad que estamos estudiando y
en la que participamos como investigadores y como docentes.149
Por otro lado, la perspectiva comunicativa igual que tiene ventajas frente al
positivismo (y algunos inconvenientes, como la falta de objetividad o la dificultad
para establecer comparaciones con situaciones similares), también presenta alguna
ventaja respecto a otros paradigmas, como es el caso del realismo, que en su
versión ingenua pretende que los fenómenos pueden ser estudiados de manera
independiente. En este sentido coincidimos más con el realismo analítico, que
tiene en cuenta que todos los fenómenos se basan en unos supuestos culturales y
sociales. Pero a diferencia de éste, desde el paradigma comunicativo, esos
supuestos se hacen explícitos mediante el diálogo igualitario, a fin de controlar su
influencia en el proceso investigado. Así muchas veces nos vamos a encontrar que
una dificultad de aprendizaje puede ser explicada por la propia historia personal
(por el contexto de vida, por los estereotipos culturales e históricos, etc.).
Respecto al discurso, otro de los aspectos que vamos a tener en cuenta en el
enfoque que hemos decidido escoger es la coherencia. Nuestra intención es
provocar situaciones de aprendizaje en las personas participantes. El diálogo se
utiliza en este caso como herramienta para “sacar a la luz” los argumentos, para
ver de qué manera reflexiona la persona. Bajo este proceder existe una
metodología que ya utilizaran autores como Piaget (1968) o Vigotsky (1979).
Ambos autores, pese a las diferencias que los separan, pusieron a las personas que
participaban en sus experimentos ante situaciones que rompían con su concepción
del mundo, de manera que tenían que reestructurar sus esquemas de conocimiento
previos para buscar la solución correcta.
Todas estas consideraciones justifican la elección de la metodología
comunicativa, ya que es un paradigma metodológico que parte de la no
149
Existen varias metodologías que parten del supuesto de la no neutralidad del investigador. Una
muy conocida es la investigación-acción. Este enfoque lo utilizó por primera vez Kurt Lewin en
1944. Se refiere a un tipo de metodología que combina los avances sociales y los cambios sociales.
En la “investigación-acción” se plantea un estudio en el que se incluye la reflexión por parte de
todas las personas que participan en la investigación y el cambio de la situación de partida, a través
de la ejecución del plan de acción definido en el marco de la investigación. Ver Cortés Gómez, W.,
Leiva Milanés, P. 2004.
108
neutralidad de la persona que investiga y de la intersubjetividad de la producción
de los aprendizajes. Teniendo esto en cuenta, se asume que hay que crear
situaciones de igualdad, en el sentido de que las personas investigadas son sujetos
activos dentro de la investigación, con sus ideas previas y su manera de entender
el mundo, con sus sentimientos y sus emociones, con sus manías y sus
preferencias, etc. Sería un error metodológico grave el obviar esta realidad y
actuar con la prepotencia del investigador experto que tiene la explicación de
cuanto acontece en la realidad.
109
110
9. LA SELECCIÓN DE LA MUESTRA: UN ESTUDIO
DE CASO
En este capítulo se explica cómo se ha seleccionado la muestra para este trabajo. Hemos realizado
un estudio de caso, que ha sido el Grupo de matemáticas dialógicas de la escuela de La Verneda –
Sant Martí, de Barcelona. En estas líneas se justifica por qué hemos elegido dicha escuela. Para
ello se hace un repaso de la historia de la misma, así como del método didáctico que se aplica en
ella, a fin de contextualizar y situar el marco de la investigación.
La decisión de utilizar una metodología cualitativa nos ha marcado a la hora de
seleccionar la muestra. A diferencia del caso cuantitativo, donde lo importante es
el grado en que las características de las variables de la muestra coinciden con las
del universo poblacional, en el caso cualitativo no disponemos de ninguna
herramienta estadística para asegurar dicha representatividad. Por ello lo que nos
interesa es que la muestra seleccionada sea significativa, es decir, que las personas
que integren dicha muestra sean personas que por su posición, por su historia de
vida o por cualquier otro criterio, puedan aportar conocimientos relevantes sobre
el tema estudiado.
111
Por todo esto nuestra opción ha sido optar por un estudio de caso: el Grupo de
matemáticas dialógicas de la escuela de La Verneda – Sant Martí. Los criterios
que se han utilizado para seleccionar este grupo de matemáticas han sido seis: a)
es una experiencia única, reconocida a nivel internacional;150 b) las estrategias
didácticas que se utilizan en esta escuela son coherentes con la metodología de
trabajo que se propone en esta tesis; c) la gran afluencia de personas adultas que
asisten a esta escuela, que cuenta con más de 1.700 personas matriculadas; d) la
facilidad de desplazamiento, dado que el recinto de la escuela está situado dentro
de Barcelona; e) el acceso a este centro; y f) mis colaboraciones como voluntario
en el proyecto Òmnia dando clases de informática para personas adultas y en la
clase de matemáticas (en los diversos niveles que se imparten en la escuela) desde
el año 2000 hasta el 2004.
Se trata de una selección intencional justificada por los seis criterios mencionados.
Si bien existe un componente de azar en las personas concretas que han acabado
formando parte del Grupo de matemáticas dialógicas, lo cierto es que la elección
de dicho grupo en la escuela de personas adultas de la Verneda – Sant Martí ha
sido intencional. Por ese motivo no existe modo alguno de estimar la probabilidad
de que cada persona haya sido incluida en la muestra, ni se pueden hacer
inferencias respecto del universo poblacional. A continuación hacemos un inciso
para explicar cómo es la escuela de La Verneda y el aprendizaje dialógico que en
ella se aplica.
9.1. La escuela de personas adultas de La Verneda – Sant Martí
La escuela de personas adultas de La Verneda – Sant Martí se encuentra situada
en el barrio de Barcelona que lleva el mismo nombre. Esta escuela nace en 1978,
en forma de reivindicación popular de la gente del barrio de La Verneda, en el
contexto de cambio político de la transición democrática. La Verneda era en esa
época un barrio formado principalmente por las familias inmigrantes, que viajaron
150
La experiencia de la escuela de La Verneda - St. Martí es la primera experiencia española que
aparece en la Harvard Educational Review, que es la revista científica de educación más difundida
en todo el mundo. Ver Sánchez, M. "A School where people dare to dream" en Harvard
Educational Review, vol.69, núm. 3, fall 1999.
112
durante los años sesenta desde el sur de España a zonas como Cataluña, Madrid o
el País Vasco.
Las décadas de los setenta y ochenta son unas etapas de fuertes transformaciones,
en las que los movimientos sociales tuvieron un papel muy activo como agentes
de cambio.
En 1978 un grupo de vecinos y vecinas del barrio de la Verneda ocuparon un
edificio, la antigua sede de la Sección Femenina. Las personas que vivían en el
barrio querían una escuela de personas adultas. Con este motivo salieron a la calle
y durante el curso académico 1978-1979 se hicieron “clases en la calle”, a las que
asistieron un grupo de 20 personas adultas. Mediante la presión popular, con
manifestaciones y otras muestras de sus reivindicaciones, las personas que en
aquel momento vivían en el barrio lograron que el edificio de la Sección
Femenina se cediese a la comunidad. En asamblea popular se decidió que el
edificio se destinase a cubrir algunas necesidades colectivas básicas, como eran el
tener una biblioteca o una guardería, por ejemplo. Entre las reivindicaciones
también estaba la escuela de personas adultas, que se situó en la quinta planta del
actual edificio del Centro Cívico de La Verneda – Sant Martí.
Una participante de los inicios, en un artículo publicado en la Harvard
Educational Review, relata así su recuerdo del comienzo de la escuela:
“El edificio en el que estáis ahora es un Centro Cívico. Anteriormente perteneció al
régimen de Franco, por lo que a finales de los 70 y, con el proceso democrático,
quedó vacío y sin función... El año 1978, se decidió ocupar el edificio y crear un
centro cultural con aquellos servicios que el barrio reivindicaba: guardería, centro
de educación de personas adultas, grupo de jóvenes... Nosotros, los vecinos de
barrio, decidimos cómo queríamos que fuera y qué hacía falta para conseguirlo.
Después, una vez ya teníamos el centro, parte de nuestra lucha se enfocó a que las
diferentes administraciones asumiesen sus responsabilidades y nos diesen los
recursos necesarios. De todo eso, lo que continúa pasando es la forma en la que se
participa y se toma partido. Lo que se consiguió fue un proyecto cultural muy amplio
para el barrio y que queda recogido en nuestro centro. Este centro aglutina gran
parte de la vida cultural y servicios de barrio y, por eso aquí, en la quinta planta del
113
Centro, es donde está situada la Escuela de Adultos de la Verneda – Sant Martí.”
151
(Sánchez, 1999: 52).
Así nace la escuela de personas adultas de La Verneda – Sant Martí. Las personas
que impulsaron el movimiento conocían perfectamente la tradición libertaria y
popular de experiencias como “la Barraca”, las tertulias que durante el siglo XVIII
se hacían en Azcoitia, las Misiones Pedagógicas, la Escuela Moderna y la Escuela
Nueva, y tantas otras iniciativas populares de personas que se habían unido para
luchar por una educación para todo el mundo y revertieron esa experiencia en la
creación de un nuevo modelo de escuela: la escuela de La Verneda.152 Durante el
primer año, las personas implicadas en el proyecto transmitieron su ilusión por
todas partes: en casa, en el lugar de trabajo, en los espacios públicos del barrio.
Así, poco a poco, más personas comenzaron a tener ganas de apuntarse a la
escuela y al año siguiente ya se contaba con más de cien inscripciones, tendencia
que ha ido aumentando desde entonces, hasta los casi dos mil participantes
actuales, en el curso 2003-2004.
Todo este movimiento de transformación se produce en un contexto de cambio
político hacia la democracia, que abarcó todos los espacios de la vida cotidiana.
En el terreno de la enseñanza también se comienzan a producir cambios para
transformar la situación tan complicada en la que había quedado la educación
durante el régimen dictatorial de Franco. Durante estos años se producen avances
y retrocesos. En 1978-79, por ejemplo, los maestros de EGB dejan de percibir el
suplemento económico por dar clases nocturnas a personas adultas. Su reacción
inmediata fue el abandono de la educación de personas adultas: se dejó de dar
clase. Esa decisión provocó importantes protestas y manifestaciones, sobre todo
durante las fechas de inicio del año académico. En 1982, cuando los socialistas
entraron en la Moncloa, se creó la Subdirección General de Educación
Compensatoria, órgano del que dependía el Servicio de Educación Permanente de
Personas Adultas. Dentro de este servicio se desarrollaron diversos planes de
actuación: alfabetización, red española de experiencias locales de desarrollo
comunitario, entre otras.
151
152
Esta cita corresponde a Carmen, una persona participante. Citado en Sánchez, 1999.
Flecha, López, y Saco, 1988.
114
Por otro lado, desde 1973 ya encontramos un renacimiento de la tradición
libertaria en el surgimiento de iniciativas populares de alfabetización. Los barrios
bilbaínos de Betolaza y Otxarcoaga son ejemplo de ello (1969-1970), igual que
los cursos de desarrollo comunitario de Horcajada (escuelas campesinas), de
1970. Durante estos años llega a España la experiencia de Paulo Freire y de sus
Círculos de Cultura populares.
En 1973 se comenzó a reunir en Barcelona un colectivo de educadores que
trabajaban en el Camp de la Bota, en la Barceloneta, en el barrio de Santa Rosa y
en Can Serra, alrededor de un punto común: la metodología de Freire. Este grupo
de personas enseguida formaron una Coordinadora de Escuelas de Adultos.
Muerto Franco, se produjo una gran movilización que culminó con la huelga
general de Vitoria, en 1976. En Barcelona, por lo que respecta a la enseñanza, se
celebró la “XI Escola d’Estiu”, donde se puso de manifiesto la voluntad de
cambio y renovación del movimiento educativo en España. En esa escuela de
verano se optó por la escuela pública, se decidió renunciar a las subvenciones
propias de las entidades colaboradoras y se pidió a la delegada del MEC maestros
para adultos, especializados y financiados por el Estado.
A partir de aquel momento se inició un movimiento nuevo por lo que respecta a la
Educación de personas Adultas (EA) heredada del franquismo. Durante el curso
1977-78 se crearon unos cursos de especialización, en el Instituto de Ciencias de
la Educación de la Universidad de Barcelona, destinados a profesionales de la EA.
Según una resolución de 6 de octubre de 1973, a Barcelona le correspondían 71
plazas de educadores adultos, de las cuales tan sólo se habían cubierto 36. Ante
esta situación la Coordinadora decidió presionar a la Delegación del Ministerio de
Educación, a fin de que las plazas restantes fueran ocupadas por personas que de
manera voluntaria ya estaban trabajando en escuelas populares de personas
adultas. Finalmente se consiguió la demanda y el curso siguiente se lograron 80
plazas más, ocupadas por personas que ya tenían experiencia en la formación de
personas adultas y que además se habían acreditado con los cursos del Instituto de
115
Ciencias de la Educación de la Universidad de Barcelona. Todo esto estaba
creando una EA muy diferente de la heredada del franquismo.
Durante la segunda mitad de 1977 la Coordinadora decidió fundar el SEPT
(Servicios de Educación Permanente de los Trabajadores) para afrontar el nuevo
contexto de cambio. La finalidad del SEPT fue asumir las actividades que no era
posible organizar de manera asamblearia y en concreto la elaboración de
materiales, la investigación y las relaciones con otras instituciones.
En 1979 este movimiento entró en crisis a raíz de un traspaso de competencias
mal hecho entre el Gobierno Central y la Generalitat de Catalunya, que no quería
hacerse cargo de la EA. La Generalitat finalmente tuvo que asumir dicha
responsabilidad. Este suceso obligó a congelar las negociaciones con la
Delegación del Ministerio de Educación para conseguir 151 nuevas plazas.
Además SEPT y Coordinadora pierden contacto y cada una de las dos entidades
toma un camino diferente.
En el curso de 1982-83 la Generalitat creó el Servicio de Formación Permanente
de Adultos, y por otro lado algunas escuelas de adultos consiguieron una
participación altísima en sus aulas. La Verneda era una de ellas.153 Ante esta
situación se propuso la creación de una asociación y de una editorial para la
creación de materiales específicos para adultos. De esta manera nacen la AEPA
(Asociación de Educación Permanente de Adultos) y El Roure (Cooperativa de
Producción de Educación y Cultura), con el soporte de ESICO y Serveis de
Cultura Popular. Durante estos años aparecen otras entidades, como FACEPA
(Federación de Asociaciones Culturales de Educación de Personas Adultas), con
la finalidad de coordinar las actuaciones en EA de las diversas asociaciones a
nivel estatal que hay en este ámbito, o CREA (Centro Especial de Investigación
en Teorías y Prácticas Superadoras de Desigualdades), fundado en 1991, con el
objetivo de producir investigación científica y de calidad que ayude a superar las
desigualdades sociales.
153
Ese año tres profesores a jornada completa y 30 colaboradores más se encargaban de tirar
adelante una escuela con más de 1000 personas en las aulas.
116
Las personas adultas de la escuela de La Verneda – Sant Martí participan durante
estos años activamente en la reivindicación de una educación de personas adultas
pública y de calidad. En 1999, junto con otras asociaciones de personas
participantes, Ágora y Heura (las dos asociaciones de participantes que gestionan
la escuela de La Verneda) firman la Declaración de derechos de las personas
participantes, donde por primera vez se deja por escrito que la educación es un
derecho inalienable de las personas adultas y tiene que servir como instrumento de
emancipación para superar las desigualdades sociales y las relaciones de poder.154
Por otro lado, ese mismo año comienzan a celebrarse anualmente los congresos de
Alfabetización, a los que acuden personas adultas de todo el Estado. En el año
2000 se celebra el I Congreso de participantes en tertulias literarias dialógicas,
donde más de 300 personas (entre participantes, educadores, profesorado
universitario, personal de administraciones culturales y educativas) pusieron en
marcha un espacio de debate y participación desde donde construir una educación
para todos y todas, a través del debate literario. Ese mismo año otras 400 personas
se reunieron en el II Congreso de participantes en alfabetización: consenso en las
prioridades para el siglo XXI. En ese congreso se pusieron las bases para orientar
el futuro de la educación de adultos. Se llegó a dos acuerdos: por un lado,
garantizar que las voces y votos de las personas participantes sean las que definan
los proyectos y entidades en EA; y, por otro, lograr que las entidades de personas
participantes sean espacios generadores de ilusión y participación.
En julio del 2000 se celebraron las I Trijornadas de Educación Democrática de
Personas Adultas. Esta fecha marca un hito en la EA, porque supuso la
recuperación de la coordinación entre el ámbito de la investigación y de la
actividad profesional de los maestros y maestras de EA, con las asociaciones de
personas participantes, perdida en 1979. Y además en este proceso las personas
adultas participaron de manera activa, con plena capacidad de decisión y de voto,
algo que hasta ese momento nunca antes se había dado tan plenamente. Fueron
tres días de jornadas que acabaron en la Escuela de La Verneda, donde las
154
“La educación, derecho inalienable de las personas adultas, ha de servir como un instrumento
de emancipación que posibilite la superación de las desigualdades sociales y de las relaciones de
poder. La educación pasa por el reconocimiento y el diálogo entre las diversas formas culturales y
estilos de vida que conviven en la misma comunidad.” (Preámbulo). AA.VV. Declaración de los
derechos de los participantes. Zaragoza, 3 de julio de 1999.
117
principales entidades de la EA española se agruparon para formar la CONFAPEA
(Confederación de Federaciones y Asociaciones de personas Participantes en
Educación de Adultos) y el movimiento de la REDA (red de entidades que luchan
por una Educación Democrática de personas Adultas).
La escuela de personas adultas de La Verneda – Sant Martí es una escuela única,
porque después de 25 años de existencia continúa manteniendo la energía y la
ilusión de una escuela basada en las reivindicaciones de un movimiento de base y
participando plenamente en todo el movimiento de educación de personas adultas.
A lo largo de estos años las personas participantes y el equipo del profesorado han
desarrollado una forma conjunta de gestionar la escuela, basada en el principio de
la igualdad: todo el mundo participa en las decisiones que se toman en la escuela.
Las personas participantes crearon dos asociaciones, Ágora y Heura, que son las
entidades que gestionan la escuela a todos los niveles (desde la concreción de las
líneas curriculares marcadas por la administración educativa, hasta la decisión de
qué recursos comprar para la escuela).
La gestión de esta escuela se hace en espacios abiertos (la asamblea, el consejo de
centro y la reunión de coordinación mensual), donde todas las personas tienen la
oportunidad de debatir democráticamente a fin de tomar las diferentes decisiones
que marcan el funcionamiento de la escuela.
“La asamblea, que se reúne una vez al año, está abierta a todo el profesorado y a
las personas participantes, voluntarias, así como a representación vecinal y del
Centro Cívico. Puede ser convocada, si hay alguna cuestión que lo requiere, en el
período entre reuniones anuales. En estas asambleas se practica la democracia
directa. Este proceso de toma de decisiones, que también ha estado promovido en
otros movimientos comunitarios, permite que cualquier persona pueda presentar
problemas para que sean resueltos en común. El Consejo de Centro se reúne una vez
cada mes y medio, y es el forum donde se debaten el funcionamiento y las directrices
de la escuela. El Consejo está formado por una persona representante de cada
grupo, de los educadores y educadoras, de las comisiones de trabajo, de las dos
asociaciones de participantes y algún representante del Centro Cívico y de la
118
Coordinadora de entidades del Barrio VERN.
155
Las personas que participan en él
pueden formular toda clase de preguntas y temas de interés, proponer y debatir
nuevas actividades, y crear comisiones. Además, se pone a debate público la gestión
de los recursos (humanos, materiales o económicos). Las decisiones sobre el uso de
los recursos públicos se toman de maneras diferentes, pero siempre siguiendo los
principios generales de la Escuela. Cuando se observa alguna necesidad, se
presenta en las reuniones de Coordinación Mensual. Entonces, se constituye una
comisión, la cual trabaja según las prioridades y los criterios establecidos en el
Consejo. La decisión final siempre le corresponde al Consejo.” (Sánchez, 1999: 6566).
Como se puede apreciar, la participación igualitaria y de base es uno de los rasgos
de identidad de la escuela.
Por eso la manera de funcionar y de organizar las clases hacen que los principios
de solidaridad y de igualdad sean mucho más que dos simples conceptos. Al
mantenerse el espíritu de los debates populares y del asociacionismo vecinal, la
escuela se convierte en un espacio de diálogo compartido, donde todas las
personas pueden comentar sus ilusiones y compartirlas con otras personas, para
hacer un sueño común mediante el diálogo igualitario y el consenso. De esta
forma y velando siempre para que estos principios no se olviden, ni se dejen a
merced de las pretensiones de poder y de protagonismo de personas (o colectivos)
individuales, que alguna vez han tratado de imponer su punto de vista al margen
del diálogo igualitario, es como se ha conseguido mantener viva la experiencia
hasta hoy.
En la escuela de personas adultas de La Verneda – Sant Martí la perspectiva
didáctica que se utiliza es el aprendizaje dialógico. Este método (a través de sus
siete principios de actuación) abre las puertas a la participación de todas las
personas y a la creación de oportunidades de aprendizaje para todo el mundo.
Como decía Freire lo importante es transformar las dificultades en posibilidades
y eso es precisamente lo que hacen cientos de personas día a día, en la escuela de
155
VERN, Coordinadora d’Entitats de la Verneda – Sant Martí, es una entidad paraguas donde
participan asociaciones de vecinos y vecinas, clubs deportivos, centros infantiles y juveniles de
tiempo libre, asociaciones culturales, de montañismo, etc. Se creó con la finalidad de coordinar las
actuaciones de mejora del barrio.
119
La Verneda. A través del esfuerzo, de la solidaridad, del compartir sueños e
ilusiones, de valorar la experiencia y las vivencias de cada cual, las personas
adultas que han pasado por la escuela (varios miles ya) han logrado superar vacíos
y barreras en su aprendizaje y algunas de esas personas están hoy cursando
estudios universitarios.
9.2. El aprendizaje dialógico
La teoría del aprendizaje dialógico156 es un enfoque teórico y metodológico
multidisciplinar, que parte de la observación directa de la realidad. La novedad de
esta teoría reside en que parte de la práctica cotidiana explicada por las propias
personas participantes y a partir de ahí se buscan autores cuyas aportaciones
teóricas también sirven para explicar la realidad descrita por la gente.
El aprendizaje dialógico se basa en los siguientes principios: diálogo igualitario,
inteligencia cultural, transformación, dimensión instrumental, creación de sentido,
solidaridad e igualdad de diferencias (Flecha, 1997, 2000).
El diálogo igualitario. Es el diálogo que se produce entre dos o más personas,
cuando el valor de sus aportaciones se considera en función de la validez de
sus respectivos argumentos y no de su posición de poder o autoridad dentro
del grupo. Por ejemplo, diálogo igualitario es aquel tipo de diálogo que se da
en un grupo de amigos que están estudiando juntos un tema cualquiera, donde
ninguno de ellos intenta imponer sus opiniones por encima del resto, sino que
comentan el tema en base a argumentaciones fundadas en el conocimiento
científicamente demostrable que cada cual tiene de ese tema. Asimismo
diálogo igualitario es el que utiliza el profesor o profesora que expone sus
conocimientos en la clase, en base a argumentos bien fundamentados y no en
base a su posición de autoridad sobre los y las estudiantes.
156
Flecha, 1997, 2000; Flecha, Gómez, Puigvert, 2001.
120
La inteligencia cultural. Todas las personas tenemos inteligencia cultural. El
concepto de inteligencia cultural abarca desde la inteligencia que utilizamos
en los contextos académicos (que ha sido bautizada con diversos nombres,
según el investigador o investigadora que ha trabajado sobre ella), hasta la
inteligencia que usamos para resolver problemas de tipo práctico (que también
se conoce bajo diversos nombres). La inteligencia cultural es un conjunto de
conocimientos y procedimientos individuales de origen social. Se desarrolla a
través de la convivencia con otras personas, mediante el diálogo diario, del
intercambio de conocimientos con otras personas en nuestros entornos de
relación. Por eso es cultural, porque se produce en todas partes, pero depende
de cada contexto concreto. No obstante, a pesar de las diferencias que puedan
existir por lo que respecta a los contenidos concretos, todas las personas
tenemos inteligencia cultural y el criterio para que un procedimiento o un
conocimiento sea más válido que otro es su capacidad para resolver problemas
o explicar los acontecimientos del mundo. La desigualdad entre las personas
se da cuando preferimos unas maneras de hacer y unas explicaciones por
encima de otras, no en función de su capacidad de explicación, sino de otros
criterios acientíficos. El principio de inteligencia cultural establece que todas
las formas de inteligencia (académicas o prácticas, inductivas o deductivas,
elaboradas o simples) son válidas, si realmente sirven para explicar lo que
ocurre en el mundo y/o resolver las situaciones problemáticas que se nos
presentan y no hay unas explicaciones más válidas que otras.
Transformación. La educación tiene que servir para abrir las puertas al
conocimiento a todas las personas, no para reproducir situaciones de
desigualdad social. Existe numerosa bibliografía de estudios que tratan de
demostrar que la educación es una forma de reproducción de las desigualdades
sociales (desde quienes afirmaron que la escuela es un aparato ideológico del
estado que utilizan las clases dirigentes para perpetuar la estructura desigual
de clases, como Althusser (1974), hasta quienes afirman, aun hoy, que la
escuela es una institución cultural que transmite el habitus de las clases
dirigentes y discrimina a quienes pertenecen a las clases inferiores, como es el
caso de Bourdieu (1979), por poner tan sólo dos ejemplos). Estos estudios
sirven para generar una actitud de desconfianza en la educación y que no sirve
121
de nada para todas aquellas personas que realmente quieren aprender y tener
acceso a las mismas oportunidades a las que pueden optar las personas que
tienen títulos universitarios. El principio de la transformación resalta la
capacidad de la educación para transformar nuestras vidas, dotar de nuevos
significados a aquello que estamos haciendo y dar mayores oportunidades a
las personas para poder elegir (el tipo de trabajo, por ejemplo).157 En el caso
de la educación de personas adultas, este principio se refiere al cambio que
experimentan las personas participantes en sus vidas cuando pasan, en muchos
casos, de ser personas analfabetas, a poder leer y escribir, o del fracaso escolar
a su acceso a la universidad. Con este cambio las personas participantes
transforman realmente sus vidas y su ámbito de actuación.
La dimensión instrumental. Todo aprendizaje tiene una dimensión
instrumental, es decir, sirve para algo y transmite una serie de conocimientos
concretos. El principio de la dimensión instrumental en el aprendizaje
dialógico implica que no se tiene que rebajar nunca el nivel de exigencia en el
aprendizaje, sino que se tienen que buscar fórmulas para asegurar que todas
las personas participantes aprenden cualquier tipo de conocimiento. La
dificultad de lo que se enseña no es nunca una excusa para no enseñarlo y
pasar a otra cosa. Además esta dificultad a menudo reside en la poca confianza
que se transmite a las personas participantes sobre su propia capacidad de
aprender. La dimensión instrumental es la que asegura la calidad de la
formación ofrecida.
La creación de sentido. El aprendizaje en el caso de la educación de personas
adultas basado en el aprendizaje dialógico se caracteriza por la creación de
sentido. Las personas adultas que van a la escuela descubren nuevos conceptos
y conocimientos, que transforman sus imágenes previas del mundo objetivo y
dotan de un nuevo sentido a sus vidas. Un ejemplo claro de ello es el caso de
cualquier señora, cuya actividad doméstica nunca ha sido valorada y que se
apunta a una escuela de personas adultas. En la escuela esta persona aprende
157
Esto significa que son los profesores y profesoras los principales responsables de reconocer
diversos tipos de aprendizaje y saber encontrar la fórmula para que la escuela realmente cumpla
con su objetivo de ser un servicio a la sociedad, para que la gente aprenda los conocimientos
socialmente demandados.
122
una serie de conocimientos que la hacen sentirse útil y eso conlleva crear un
nuevo sentido a su vida, como persona que ahora tiene una formación de la
que antes carecía. Su día a día se transforma y cobra un nuevo sentido, porque
la visión que tienen de ella, comenzando por sus personas más cercanas,
cambia al empezar a participar en conversaciones de las que antes se veía
excluída, por ejemplo.
Solidaridad. La solidaridad es un aspecto muy importante. Las personas
intercambiamos entre nosotras lo que sabemos y nos preguntamos
mutuamente nuestras dudas cuando tenemos algún problema, para encontrar
entre todas la solución. Es muy usual ver en las aulas a las personas
participantes que comentan entre ellas los conceptos nuevos, se ayudan e
intentan encontrar la mejor forma de aprender las cosas. Esta es la solidaridad
que se reivindica en este principio del aprendizaje dialógico. Los aprendizajes,
si se desarrollan de una forma solidaria, se aceleran mucho más. Cuando se
etiqueta a las personas y se las califica como “lentas” o cuando se las
considera poco capaces de adquirir ciertos aprendizajes a partir de
determinadas edades, se les está imponiendo una importante barrera para que
puedan seguir avanzando. El principio de solidaridad significa todo lo
contrario, significa que las personas participantes se ayudan mutuamente y se
preocupan de que todo el mundo tenga las mismas opciones de seguir
avanzando en los aprendizajes, independientemente de su edad o de sus
estudios previos. La solidaridad genera cambio, compromiso, y es el motor
que hace avanzar nuestras sociedades.
Igualdad de diferencias. La igualdad de diferencias significa respetar las
diferencias de todas las personas y ofrecerles las mismas oportunidades a
todas ellas. Esto quiere decir que el respeto no significa ofrecer unos
conocimientos a unas personas y otros a otras personas, justificando estos
procedimientos con el argumento de respetar las diferencias de cada cual.
Significa que se tienen que ofrecer las mismas oportunidades a todo el mundo
y, respetar la manera en que cada cual aprende esos conocimientos. Por poner
un ejemplo, no significa rebajar el nivel de las clases de matemáticas en una
escuela de un barrio marginado, sino ofrecer los mismos contenidos y buscar
123
la manera que resulte más fácil y más próxima a esas personas para aprender.
Por tanto, este principio implica tener muy en cuenta las demandas y las
necesidades de las personas participantes y respetar sus rasgos propios. Hay
que ofrecer una igualdad en el trato y en los aprendizajes.
124
10.
TÉCNICAS
DE
RECOGIDA
DE
LA
INFORMACIÓN
En este capítulo se comenta qué técnicas de recogida de datos se han utilizado a lo largo de la
investigación. Para ello se hace una breve descripción de la herramienta y después se justifica por
qué se ha utilizado dicha técnica y no otra. Se incluyen los guiones utilizados para aplicar cada una
de las herramientas, así como los criterios que se han tenido en cuenta a la hora de definirlas.
El trabajo de campo se ha llevado a cabo en tres etapas: estudio exploratorio,
realización de entrevistas y de nuevo una segunda vuelta de entrevistas, con una
actividad final que fue grabada en vídeo digital.
Para recoger la información hemos utilizado las siguientes técnicas:
a) Realización de un diario de campo
b) Tertulia comunicativa
c) Entrevistas en profundidad
d) Realización de varias actividades sobre proporciones (tanto en formato de
libro como en formato informático)
125
FASE DEL TRABAJO DE CAMPO
RECOGIDA DE LA INFORMACIÓN
Diario de campo
Tertulia comunicativa
1ª ronda de entrevistas en profundidad
2ª ronda de entrevistas en profundidad
Actividades sobre proporciones
Esquema 10.1. Esquema de la secuenciación del trabajo de campo.
10.1. Breve descripción del diario de campo
El diario de campo es una técnica etnográfica cualitativa que procede de la
Antropología. Permite constatar la percepción de la persona que investiga de
todos aquellos acontecimientos que suceden durante el período del trabajo de
campo. Tiene la ventaja de que es un documento donde se deja constancia de todo
lo que ha sucedido en la clase. De todas maneras, la desventaja de esta técnica es
que está sujeta al punto de vista de quien observa y anota en el diario lo que
sucede, de manera que hay que establecer mecanismos para minimizar este efecto
“perverso”. A fin de evitar las interpretaciones de la persona que escribe el diario,
es importante anotar los acontecimientos de la manera más objetiva y rigurosa
posible, utilizando siempre las palabras de las personas protagonistas del
acontecimiento. No obstante, se trata de una técnica claramente subjetivista. Esta
técnica la hemos utilizado como una fuente documental de las actividades del
Grupo de matemáticas dialógicas. Además, también la hemos usado para
126
identificar claramente el punto de vista del investigador y de esta manera, poder
establecer mecanismos de control para evitar interpretaciones sesgadas de la
realidad.
10.2. Breve descripción de la tertulia comunicativa
Las tertulias comunicativas son también una técnica cualitativa. La tertulia es una
técnica de recogida de información que se caracteriza por la discusión en grupo de
un tema concreto, acordado por todas las personas participantes.
Las tertulias se basan en tres premisas fundamentales: 1) el estudio del mundo de
la vida cotidiana se basa en la reflexión de los propios actores; 2) los actores
orientan sus acciones dependiendo de sus propias interpretaciones, que resultan de
la interpretación de los otros; y 3) los actores están permanentemente
interpretando y definiendo sus vidas a partir de su situación actual respecto de los
otros y respecto del contexto en el que viven.
La tertulia o grupo de discusión no siempre se desarrolla en una situación de
diálogo entre iguales. Muchas veces el planteamiento de los grupos de discusión
se basa en una acción estratégica deliberada de la persona que investiga, para
conseguir "sacar a la luz" aspectos "ocultos" mediante la organización consciente
de la tertulia, de acuerdo con unos criterios sólo conocidos por la persona que
investiga. En otras ocasiones la persona que investiga se sitúa por encima del
grupo de la tertulia y juzga los argumentos que se plantean desde su posición de
privilegio.
Desde el punto de vista comunicativo se plantea la tertulia o grupo de discusión
como diálogo igualitario. Tanto la persona que investiga como la persona
investigada están situadas en un mismo plano de igualdad. Sus intervenciones
tienen la misma autoridad: su validez depende de la veracidad de los argumentos
que esgrimen.
127
Un argumento es verdadero o válido siempre que se ajuste a la realidad que
describe o explica, según las normas establecidas a través del consenso en el que
han participado todos y todas las personas. El objetivo es reflexionar
conjuntamente (y provocar reflexiones) sobre la concepción de las matemáticas
que tiene cada persona participante, para identificar entre todos y todas las
prenociones y las explicaciones que les dan.
10.3. Guión de la tertulia comunicativa
En primer lugar lo que hizo el investigador fue explicar el motivo de la tertulia y
qué se pretendía hacer con la información que se pedía. Se presentaron los
objetivos de la tesis y se pidió la colaboración de todas las personas del Grupo de
matemáticas dialógicas de la escuela.
El tema fundamental en torno al que giró la tertulia fue la valoración de la
experiencia del uso de los ordenadores como herramientas didácticas para
aprender matemáticas.
GUIÓN PARA LA TERTULIA COMUNICATIVA
1. Presentar la situación.
2. Valoración de la experiencia del trimestre anterior: ¿qué les pareció el sitio web?
¿Qué aspectos destacarían del uso de los ordenadores para aprender matemáticas?
¿Les gusta o no les gusta? ¿Es positivo? ¿Cómo mejorar el tema?
3. Comentar las siguientes valoraciones:
- Que no estuviera hecha la página del todo desde el principio.
- El tema de la falta de costumbre a la página (a cómo funciona, etc.)
- Dificultades en la comprensión de la finalidad de las actividades (no se sabía qué
se tenía que hacer bien, en cada actividad de las planteadas).
- Problemas con el uso de los ordenadores.
- Falta de hábito en el trabajo con los ordenadores, que tiene como resultado no estar
familiarizados con entornos de trabajo informatizados, no con el método de trabajo
en paralelo con diversos programas simultáneos.
- Desconocimiento de cómo funciona la interficie del sitio web del grupo de
matemáticas.
- Dificultades porque la mayoría de la información de Internet viene en inglés y no
se entiende.
Cuadro 10.1: Pautas para la realización de la tertulia comunicativa. Estos temas han sido
propuestos a priori por la persona investigadora, a consulta y asesoramiento con sus directores de
tesis.
128
En concreto se pidió una valoración tanto de la herramienta (la web site), como
del uso de ésta (y las dificultades o posibilidades que eso podía entrañar) y la
opinión sobre los aspectos más destacados de la experiencia. En el cuadro 10.1 se
adjunta el guión orientativo que se utilizó para hacer la tertulia.
información
El uso de una tertulia comunicativa en esta investigación se justifica porque la
tertulia es una herramienta eficaz que permite aproximarnos a las creencias,
opiniones y sentimientos que la clase, como colectivo, experimenta.
Las personas cuando viven, estudian o realizan actividades en colectivo,
comparten una serie de esquemas de conocimiento y acuerdan unos criterios de
sentido comunes, con los que valoran las actuaciones de las personas que están a
su alrededor. Esto es especialmente cierto dentro del aula, como han mostrado
diversas investigaciones.158
Por otro lado, las tertulias comunicativas nos permiten acceder de manera
igualitaria al diálogo intersubjetivo que se genera dentro del aula, entre las
personas participantes. Es importante remarcar este punto, porque uno de los
criterios de las tertulias comunicativas es la participación de la persona que
investiga como un miembro más del grupo.
10.5. Breve descripción de las entrevistas en profundidad
Una entrevista en profundidad es una técnica de recogida de información de
carácter cualitativo.159 La entrevista en profundidad consiste en un diálogo
pautado, que se produce entre la persona que investiga y la persona investigada.
158
Son conocidos los trabajos de Paul Willis desde el punto de vista etnográfico, dentro de
escuelas de jóvenes.
159
Ver Blanchet, et al. 1989.
129
La entrevista puede ser estructurada totalmente (cerrada), semi-estructurada o
abierta. En el primer caso el guión está predefinido por la persona que investiga y,
la persona entrevistada responde exclusivamente a las preguntas que figuran en el
guión. En el segundo caso existen unos temas de interés que guían el desarrollo de
la entrevista, pero la persona entrevistada tiene libertad para hacer nuevas
aportaciones no contempladas a priori. En el tercer caso no existe un guión
preestablecido y el diálogo se produce libremente en torno a un tema previamente
acordado.
En nuestro caso se ha utilizado una entrevista semi-estructurada en torno a varios
temas de didáctica de las matemáticas.
10.6. Guión de las entrevistas
Las entrevistas siempre comenzaban con una breve introducción del entrevistador,
en la que se explicaba el motivo de la entrevista y el contexto en el que se hacía
(la realización de una tesis doctoral sobre didáctica de matemáticas en la
educación de personas adultas).
El guión de las entrevistas en profundidad se estructuró en torno a los siguientes
temas de didáctica de las matemáticas:
•
Aspectos de las matemáticas que motivan a la persona entrevistada y
aspectos que la desmotivan.
•
Diferencia entre diversos modelos de enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas.
•
Utilidad de las matemáticas.
•
Estrategias personales para aprender matemáticas que utiliza cada persona.
•
Diferencia entre el modelo académico y el modelo cotidiano de las
matemáticas.
•
Realización de algún ejercicio concreto.
•
Opinión sobre el uso de ordenadores como herramienta didáctica en la
clase de matemáticas.
130
En el cuadro 10.2 se muestran las pautas que se utilizaron para orientar la primera
entrevista en profundidad.
PRESENTACIÓN.
¿Cuáles son las cosas de matemáticas que te gustan? ¿Por qué?
¿Hay algo que no te guste?
¿Por qué crees que las matemáticas que aprendes ahora en la escuela son más difíciles que las
que viste cuando eras pequeña?
¿Por qué estás estudiando ahora matemáticas “otra vez”?
¿Para qué crees que sirven las matemáticas? ¿Tú para que las utilizas normalmente? ¿Puedes
poner algún ejemplo?
¿Qué es lo que haces tú para aprender matemáticas? ¿Cómo las aprendes en casa, por
ejemplo? ¿Si no te sale algo, que haces: 1) en clase; 2) en casa; 3) en el ordenador?
¿Cómo resolverías estas situaciones?
(presentar dos ejercicios, uno de operaciones de suma/resta/multiplicación/división y otro de
pensar)
MODELO A
1625 – 45 =
2305 + 32,03 =
1025 · 0,24 =
2367 / 14,05 =
MODELO B
¿Cuándo se restan números enteros en la vida real? Por
ejemplo, ¿Cuándo puedes restar 1000 – 850? ¿Y cuándo
850 – 1000? ¿Puedes restar en la vida real –1000 –850?
¿Y el caso de (–2)-(–3)?
PROPUESTAS
1 Quieres amueblar de nuevo tu cocina. Resulta que quieres poner armarios en la pared y
cubrirla toda con los armarios. Tienes una pared de 5 metros de largo. Si quieres poner tres
armarios, ¿cuánto tienen que medir cada uno de los tres para que ocupen toda la pared y
quepan?
2 ¿Cuánto es más o menos 1025 pesetas, en euros? ¿Sabes lo que es redondear?
3 Supón que cobras 120 000 pesetas al mes (721 €, vaya). ¿Cuánto crees que puedes gastarte
en ropa ahora, en las rebajas (más o menos), durante este mes (ten en cuenta que también
tienes que pagar el piso, comer, etc.)? ¿Sabes lo que es la aproximación?
4 ¿Cuánto crees que mide esta habitación de largo? ¿Y cómo lo has sabido? Y entonces,
¿cuántos metros cuadrados dirías tú que tiene? ¿Has tenido que medir superficies alguna vez?
¿Y cómo lo has hecho? ¿Lo habías estudiado en el colegio? ¿Lo aprendiste viéndolo hacer a
alguien? ¿Preguntando cómo se hace?...
5 Si estoy leyendo un libro y te digo que me he leído el 75%, ¿tú cuánto crees que me he
leído del libro? ¿Cómo lo sabes? ¿Sueles utilizar vasos para medir las cantidades en la cocina,
cuando cocinas? Si una receta dice, poner 1/2 litro de leche, ¿eso cuánto es? ¿Y 250 ml? ¿A
cuánto equivale? ¿Cómo lo sabes? Y si en una receta para 4 personas dice poner dos limones
y medio litro de leche y tú la quieres hacer para 8 personas, ¿cuánto pones entonces de leche
y de limones? ¿Cómo lo sabes? ¿Sabías que has estado aplicando conceptos de matemáticas
como la proporcionalidad, la estimación, el uso de números racionales...?
¿El ordenador sirve para algo? ¿Qué has aprendido en las clases de matemáticas por
ordenador?
¿Cómo te gustaría que fuesen las clases de matemáticas por ordenador?
¿Qué es lo que te resulta fácil del programa de Internet? ¿Y qué es lo que ves difícil de
utilizar? ¿Por qué?
Comentar sobre los ejercicios anteriores, por qué hay algunos que son exactamente iguales
que los del sitio web. Ver las diferencias con la persona participante de hacer/comentar las
actividades en la entrevista o hacerlo delante del ordenador. ¿Dónde está la diferencia?
Cuadro 10.2. Pautas para la realización de la primera entrevista en profundidad. Estos temas han
sido propuestos a priori por la persona investigadora, a consulta y asesoramiento con sus
directores de tesis.
131
Después de esta primera entrevista se realizó otra ronda de entrevistas en
profundidad, en las que se comentaron temas que habían aparecido durante la
primera ronda. Los guiones se confeccionaron en función de las respuestas que
cada una de las personas había dado durante la primera entrevista. Por ese motivo,
el guión de cada una de las entrevistas es específico para cada una de las personas.
En el cuadro siguiente se adjuntan las preguntas que se hicieron a las diferentes
personas del grupo que participaron en la segunda ronda de entrevistas.160
Entrevista 1
A lo largo de la primera entrevista siempre dices que las matemáticas es una cosa que te gusta.
¿Podrías explicarme mejor eso?
Y respecto del ordenador ¿qué es lo que te gusta? ¿Qué es lo que hace que te guste tanto?
Recuerdo que en la anterior entrevista me comentaste que veías el ordenador como algo muy
útil. ¿Tú crees que el ordenador es una herramienta? ¿Por qué crees que el ordenador es tan
útil?
¿Piensas que el ordenador potencia la interactividad entre persona y máquina? ¿Y con el resto
de compañeras?
¿Qué diferencias ves entre las matemáticas que aparecen en los libros y las que utilizamos en
la vida real?
Después de un año de estar juntos he ido viendo vuestros progresos en la clase y cómo os
habéis ido animando con las matemáticas. ¿Cómo ves que ha cambiado tu concepto de
matemáticas?
Entrevista 2
¿Por qué te gustan las matemáticas?
¿Por qué dices que vas más despacio con el ordenador?
¿Por qué dices que el ordenador es más útil?
¿Por qué dices que las matemáticas que hacéis vosotras no son como las que hacen los
matemáticos? ¿Cuál es la diferencia? Entonces, ¿qué significa aprender matemáticas? ¿Para
qué?
¿Por qué dices que los ejercicios modelo B son más difíciles que los del modelo A?
Dices que lo que te gusta de las matemáticas por ordenador es que te pican para saber cómo se
resuelve eso y que te hacen utilizar más la lógica. ¿Puedes explicar más eso?
160
En la segunda ronda de entrevistas hubo dos personas que no participaron, porque habían
dejado de ir por la escuela. Ésta es una de las dificultades más serias con la que nos hemos
encontrado durante el trabajo de campo.
132
¿Por qué dices que poner las cosas sobre el papel te ayuda a que se te queden más en la
memoria?
¿Qué es para ti un ordenador cuando estás aprendiendo matemáticas? ¿Por qué?
Entrevista 3
Dices que lo que más te gusta de matemáticas son las cuentas, ¿por qué? ¿Y los paréntesis? ¿Y
las ecuaciones? ¿Por qué?
Dices que los problemas los resuelves a tu manera. ¿Crees que eso es también hacer
matemáticas? ¿Por qué?
¿Por qué ves difícil aprender, por ejemplo, el tema del m.c.m. e igualar los denominadores
para eliminarlos?
Cuando dices que te fijas en los ejercicios que ya tienes resueltos, ¿qué quieres decir? ¿cómo
lo haces?
¿Por qué dices que no sabes explicar los resultados que obtienes? ¿Qué significa saber explicar
los resultados?
Entrevista 4
¿Por qué dices que el ordenador hacía más llevaderas las matemáticas a la gente que les
gustan?
Dices que el tener que averiguar por uno mismo/-a las cosas es mas difícil. ¿Por qué? ¿Dónde
está la dificultad?
¿Por qué te da miedo estropear el ordenador si lo tocas?
¿Por qué crees que entender las matemáticas es descubrir el por qué de las cosas?
¿Qué son las matemáticas para ti entonces?
Dices que primero hay que saber resolver la pregunta del tipo A y después vienen las del tipo
B (ej. dividir y armarios de la cocina.) ¿Por qué?
¿Por qué dices que el modelo A es muy monótono?
¿Por qué dices que entre las dos es más fácil aprender las matemáticas o resolver un ejercicio?
¿Por qué crees que es diferente hacer las cosas sobre el papel o sobre la pantalla que de
memoria?
¿Cómo se suma €375 y €1028 grosso modo?
¿Por qué crees que el ordenador anula a las personas?
¿Por qué dices que es importante poder comentar las cosas con las compañeras?
133
Entrevista 5
¿Por qué dices que las matemáticas te gustan?
¿Por qué dices que las ves difíciles? ¿Dónde está la dificultad para ti?
¿Por qué dices que lo fácil en matemáticas es hacer sumas, restas, multiplicaciones y
divisiones..., y lo difícil, por ejemplo, es hacer problemas como el reparto de la tarta, p.e.?
¿Por qué dices que comentar con la compañera ayuda a resolver los problemas?
¿Por qué crees que es mejor apuntar las cosas que haces en el ordenador en la libreta?
¿Por qué crees que el ordenador es difícil de utilizar?
¿Por qué sabes hacer las cosas de cabeza y cuando las ponemos en el libro o en el ordenador
dices que no las sabes hacer? ¿Cuál es la diferencia?
Sin embargo, tú sabes aplicar las matemáticas perfectamente: recuerdo que me pusiste un
ejemplo de ahorrar comprando maira en vez de comprar merluza fresca, mucho más cara.
¿Qué son para ti las matemáticas?
¿Por qué te gustan más los ejercicios modelo A que los del modelo B, si los sabes hacer bien
todos?
¿Qué son las ecuaciones?
Cuadro 10.3. Pautas para la realización de la segunda entrevista en profundidad. Estos temas han
sido propuestos a priori por la persona investigadora, a consulta y asesoramiento con sus
directores de tesis.
Con esta segunda ronda de entrevistas se contrastó la interpretación que había
hecho el investigador de las respuestas que dieron las personas participantes
durante la primera ronda de entrevistas.
10.7. Justificación del uso de esta técnica de recogida de
información
Se utilizó la entrevista en profundidad porque esta técnica permite obtener un tipo
de información que sirve para aproximarse a las creencias, tipificaciones,
estereotipos y argumentaciones de las personas participantes sobre la didáctica de
las matemáticas.
134
En esta investigación hemos utilizado las entrevistas con dos objetivos
principales: 1) explorar qué concepto tienen las personas adultas de las
matemáticas y su relación con ellas y 2) profundizar en las reflexiones sobre los
aspectos de las proporciones y del cálculo, provocando situaciones en las que las
propias personas participantes reflexionan sobre situaciones matemáticas y llegan
a conclusiones.
Las entrevistas en profundidad se han planteado desde la concepción
epistemológica de la metodología comunicativa. Desde esta concepción se asume
que las personas interpretan el mundo social en el que viven. Por tanto, para
entender un comportamiento, una opinión o una actitud concreta delante de una
situación de matemáticas, hay que tener en cuenta los elementos que entran en la
interpretación que hace esa persona. Desde el punto de vista comunicativo
importan los argumentos basados en pretensiones de validez, que pueden ser
debatidos y reflexionados con las personas participantes en términos de igualdad.
De esta manera se rompe con el desnivel metodológico que suele existir entre la
persona que investiga y la persona participante.
En ocasiones, pese a no ser el tipo de herramienta que en principio se quería
utilizar, las personas entrevistadas han hecho referencia a su biografía personal
para explicar ciertas actitudes o motivaciones sobre las matemáticas. Por eso, en
alguna ocasión, algunas entrevistas en profundidad han adoptado rasgos de relato
de vida, para volver después a los temas propuestos a priori en la entrevista. La
información recogida en esas ocasiones se considera útil, porque desvela motivos
personales que explican creencias, conductas o emociones que tienen las personas
participantes hacia las matemáticas y cómo las han ido construyendo a lo largo de
los años.
135
10.8. Otras técnicas de recogida de información: la resolución de
problemas
Aparte de las técnicas ya comentadas, también se utilizaron actividades sobre
proporciones, que se realizaron en el aula y fueron grabadas en vídeo digital. Las
actividades se presentaron en dos soportes diferentes: analógico (en soporte papel)
y digital (en soporte html).161 La grabación se realizó toda durante una misma
sesión. Durante la primera parte de la clase las personas adultas resolvieron las
actividades del libro de matemáticas. La dinámica de la clase se basó en los
principios del aprendizaje dialógico. Todas las personas estaban sentadas en torno
a una mesa central, en círculo, mientras dialogaban sobre las preguntas para
encontrar la respuesta correcta. Después se levantaron y se pusieron ante los
ordenadores (colocados uno junto a otro, en una de las paredes del aula),
formando grupos interactivos162 para resolver las actividades que se presentaron
en formato digital.
A continuación se adjunta un cuadro en el que se pueden leer los enunciados de
las actividades que se utilizaron del libro de matemáticas de la escuela.
161
Se utilizaron las actividades que aparecen en el libro AA.VV. 2002. Matemáticas. Educación
de personas adultas. Edición aumentada y corregida. Barcelona: El Roure. Y las actividades que
aparecen en la página web http://www.neskes.net/mates, construida por las propias personas
participantes, con el soporte técnico del investigador.
162
“Los grupos interactivos son una transformación de la organización de un aula, donde se
forman pequeños grupos heterogéneos bajo criterios de rendimiento, etnia, género, etc., en los
que con el apoyo de una persona adulta (familiar, voluntaria u otra profesional), que es la
dinamizadora del grupo, se trabajan actividades cortas sobre un tema común y se organiza el
tiempo de manera que todos los grupos de niñas y niños realicen todas las actividades propuestas.
La persona dinamizadora se encarga de que los niños y las niñas se ayuden entre sí, y de que
todos y todas hagan la actividad. Una vez se ha acabado el tiempo para la actividad, los niños y
las niñas cambian de grupo, con lo cual se encuentran con una actividad nueva y una persona
voluntaria diferente.” (García Yeste, C. 2003: 113).
136
ACTIVIDADES EN SOPORTE DE PAPEL
<contexto: un puesto de venta de verduras en un mercado>
ACTIVIDAD 1
En este puesto del mercado han elaborado una tabla para tener calculados los costes de varias
pesadas y así no tener que calcular el importe cada vez que hacen una venta.
Completa la siguiente tabla:
Masa (kg)
Importe en euros
1
3
2
6
3
4
5
6
7
8
ACTIVIDAD 2
Durante la hora que hemos estado en el puesto se han vendido 10 kilos de champiñones.
Si se mantiene constante el ritmo de venta, ¿qué valores va tomando la magnitud “kilos de
champiñones” en la siguiente tabla?
Tiempo en horas
Kilos de champiñones
1
10
2
13
24
35
45
50 100
¿Cuál es el valor numérico y el significado de la constante (k) en este caso?
ACTIVIDAD 3
Una vez cerrado el mercado, las personas del puesto tienen que limpiar y ordenar.
Suponiendo que el rendimiento por hora de trabajo de todas las personas es el mismo, el
tiempo que tarden en arreglarlo dependerá del número de personas que colaboren en ello.
Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que el doble de personas no tarda el doble sino
la mitad de tiempo:
Número de personas que colaboran 1
Minutos que tardan
60
2
3
4
5
6
En este caso la constante de proporcionalidad es el tiempo total de trabajo (k = 60 minutos).
Dividiendo k por los distintos valores de la primera magnitud (número) vamos obteniendo los
valores correspondientes de la segunda (minutos).
ACTIVIDAD 4
Teniendo en cuenta que el kilo de lenguado está a 30 euros, completa la siguiente tabla:
Masa en kilos
1
2
3
4
Importe en euros
30
137
ACTIVIDAD 5
Al llegar el momento de cerrar quedan aún unas cuantas personas sin despachar. Teniendo en
cuenta que hacerlo llevaría a un solo dependiente 24 minutos, completa la siguiente tabla:
Nº de
dependientes
1
2
3
4
Minutos que
tardarán
24
Cuadro 10.4. Enunciados de las preguntas realizadas durante la sesión práctica (I). Fuente:
Elaboración propia a partir de AA.VV. 2002. Matemáticas. Educación de personas adultas.
Barcelona: El Roure.
Estas actividades combinan aspectos de las “matemáticas como ciencia” con
elementos de la vida cotidiana de las personas adultas. Por un lado, se trabaja el
concepto de constante de proporcionalidad (k) y se ponen ejemplos, tanto de
proporcionalidad directa, como de proporcionalidad inversa, desde el punto de
vista de la multiplicación por números enteros o de la división entre números
enteros también. Por otro lado, las situaciones propuestas recuerdan a espacios de
la vida cotidiana de las personas adultas. Y se aprovechan esos contextos para
relacionar el contenido matemático con su aplicación cotidiana. Se utilizan
conceptos como “doble” o “mitad”, que suelen ser muy habituales en multitud de
espacios y momentos de nuestras vidas. Las actividades que aparecen planteadas
son del tipo de “completar” e implican encontrar la clave para poderlas solucionar
(que en este caso es la constante k de proporcionalidad).
En la página web las actividades provocan situaciones problemáticas que exigen
reflexionar para encontrar la solución que satisfaga las condiciones del enunciado.
Las soluciones muchas veces no son únicas y lo importante es todo el proceso de
argumentación que se produce durante el diálogo dentro de la clase, porque es ahí
donde aparecen las diferentes trayectorias cognitivas que utiliza cada persona para
llegar a entender, descubrir y encontrar la solución a la situación problemática.
En el cuadro siguiente se pueden leer las situaciones propuestas en la página web.
138
ACTIVIDADES EN SOPORTE DIGITAL
<contexto: una reflexión sobre el espacio que nos rodea>
ACTIVIDAD 6
Si nos acercamos o nos alejamos a las cosas que nos
rodean, se hacen más grandes o más pequeñas a
nuestra vista. Haz una prueba: júntate con alguien e
intentad medir la altura de la puerta de la clase entre
los dos.
¿Qué es más grande tu compañero/a o la puerta?
¿Crees que si comienzas a caminar hacia delante o
hacia atrás llegará un momento en el que tu
compañero o compañera será “igual” de alto/a que la
puerta? ¿A qué distancia de la puerta se ha puesto
para conseguirlo?
Pregúntale a tu compañero o compañera cuánto mide, ¿cuánto crees que mide la puerta?
ACTIVIDAD 7
Ahora coge dos folios. Uno dóblalo por la mitad. ¿Tiene la misma forma que el otro, que
está sin doblar? ¿Cómo lo sabes?
ACTIVIDAD 8 <contexto: una situación de la vida cotidiana>
El tema de las proporciones a menudo lo utilizamos en los lugares más insospechados.
Imagínate que estás en el mercado y que quieres comprar butifarra. ¿Qué le pasa al precio
cuando doblas la cantidad de butifarra que pides? ¿El precio es el doble? Acabas de
descubrir que la relación entre precio / cantidad de butifarra es proporcional (cuanta más
cantidad de butifarra compres, más dinero tendrás que pagar). ¿Cuánto vale un kilo de
butifarra en tu barrio? ¿Y 5 kilos?
¿Crees que es verdad que a más cantidad de producto que compremos, más barato nos
sale? ¿Cómo lo sabes? Si un día te encuentras con una oferta que si compras 2 kilos de
butifarra, te dan tres, ¿cuánto te has ahorrado en euros?
ACTIVIDAD 9
Ahora piensa en el cambio de moneda: si te dicen que la butifarra va a 2 euros con 5
céntimos el kilo, ¿cuántas pesetas crees que valdría ese kilo? Con las proporciones
también puedes solucionar un problema como éste, haciendo sólo una multiplicación.
¿Cómo lo harías?
ACTIVIDAD 10
He comprado 3 kilos de butifarra y más o menos cada persona come 0,25. ¿Para cuántas
personas me va a llegar? Si vienen siete amigos a comer a casa, ¿tendrás bastante
butifarra? ¿Tendrás que volver a salir a comprar más? ¿Por qué?
Imagínate que estás sola en casa y no te apetece volver a bajar al super. ¿Cuánta butifarra
le toca a cada invitado, tendiendo en cuenta que tú también vas a comer, claro?
Cuadro 10.5. Enunciados de las preguntas realizadas durante la sesión práctica. (II). Fuente:
Elaboración propia a partir de http://www.neskes.net/mates.
139
10.9. Justificación de las actividades propuestas
Antes de nada creemos conveniente acotar el concepto de “problema
matemático”, porque es un concepto que aparece varias veces en esta
investigación. Este concepto se sitúa en la corriente de la “resolución de
problemas”. Un autor destacable de esa corriente de planteamiento es Pólya.163
Según García Cruz (2002), Pólya no definió lo que entendía por “problema” hasta
1961, fecha en la que publica su libro Mathematical Discovery. A lo largo de ese
libro, Pólya (1961) se vio obligado a concretar el sentido que él daba a
“problema”:
“Tener un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada
para lograr un objetivo claramente concebido, pero no alcanzable de forma
inmediata.” (Pólya en García Cruz, 2002).
Ahora bien, en el ámbito de la didáctica de las matemáticas existe cierta polémica
sobre lo que se puede considerar un “problema” y lo que no. García Cruz (2002)
nos remite a la obra de Borasi (1986), que fue una de las primeras personas en
intentar clarificar la noción de “problema”. Para ello Borasi (1986) explora el
concepto desde cuatro puntos de vista diferentes:
-
el contexto del problema
-
la formulación del problema
-
el conjunto de soluciones que pueden considerarse como aceptables para el
problema
-
el método de aproximación para alcanzar la solución del problema
163
Pólya se interesó en encontrar alguna estrategia didáctica para que los niños y las niñas
aprendiesen matemáticas. Lo que se le ocurrió fue proponer el método de la “resolución de
problemas” (Pólya, 1979). Pólya creía que la resolución de largas series de problemas, de manera
rutinaria, lo que provocaba era el desinterés y la desmotivación entre los niños y las niñas. Por eso,
propone usar planteamientos sugerentes, que despierten el interés por encontrar (o descubrir
mejor) la solución. En How to solve it (1945) Pólya da una “receta”, por pasos, de cómo
enfrentarse a un problema matemático para encontrar la solución. La importancia de Pólya es que
el manual práctico para educadores que nos ofrece ha sido uno de los más utilizados y citados
posteriormente, aunque hoy ha quedado bastante superado por otros autores (Treffers, 1987;
Schoenfeld, 1985).
140
A partir de aquí García Cruz (2002) distingue entre ejercicios, problemas con
texto, puzzles, pruebas de una conjetura, problemas de la vida real, situaciones
problemáticas y situaciones, tal como queda reflejado en el cuadro siguiente.
Tipo
Contexto
Formulación
Soluciones
Método
Combinación de
algoritmos
conocidos
Combinación de
Problema con
Explícito en el
Única y explícita Única y exacta
algoritmos
texto
texto
conocidos
Elaboración de un
Explícito en el
Puzzle
nuevo algoritmo
texto
Acto de ingenio.
Exploración del
Por lo general
contexto,
Prueba de una En el texto y sólo
Única y explícita única, pero no
reformulación,
conjetura
de forma parcial
necesariamente
elaboración de
nuevos algoritmos.
Parcialmente
Exploración del
dada.
Muchas posibles, contexto,
Problemas de la Sólo de forma
de forma
Algunas
reformulación,
vida real
parcial en el texto
aproximada.
alternativas
creación de un
posibles.
modelo
Exploración del
Implícita, se
contexto,
Varias. Puede
Situación
Sólo parcial en el
sugieren varias,
reformulación,
darse una explícita
problemática
texto
plantear el
problemática
problema.
Sólo parcial en el Inexistente, ni
Creación del
Formulación del
Situación
texto
siquiera implícita problema
problema.
Cuadro 10.6. Tipos de “problemas”. Fuente: García Cruz, 2002.
Ejercicio
Inexistente
Esta definición de los diversos tipos de “problemas” matemáticos abre la
posibilidad de concretar las actividades sobre proporciones propuestas para
resolver en el aula.
En primer lugar empezamos concretando las actividades tomadas del libro de
matemáticas de la escuela.
141
ACTIVIDAD 1
Planteamiento
ENUNCIADO
TIPO DE
PROBLEMA
CONTENIDOS
MATEMÁTICOS
En este puesto del mercado han elaborado una tabla para tener calculados los
costes de varias pesadas y así no tener que calcular el importe cada vez que
hacen una venta.
--
--
Problema con
texto
Relación numérica de
proporcionalidad directa entre
magnitudes
Sistema de representación
aritmético - tabular
--
--
Problema con
texto
magnitudes
magnitudes
Concepto matemático de constante
k
Completa la siguiente tabla:
Pregunta
ACTIVIDAD 2
Planteamiento
Pregunta
Masa (kg)
Importe en €
2
6
¿qué valores va tomando la magnitud “kilos de champiñones” en la siguiente
tabla?
1
10
2
...
...
...
Pregunta
¿Cuál es el valor numérico y el significado de la constante (k) en este caso?
Problema con
texto
Planteamiento
Una vez cerrado el mercado, las personas del puesto tienen que limpiar y
ordenar. Suponiendo que el rendimiento por hora de trabajo de todas las
personas es el mismo, el tiempo que tarden en arreglarlo dependerá del
número de personas que colaboren en ello.
--
--
Problema con
texto
proporcionalidad inversa entre
magnitudes
Pregunta
Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que el doble de personas no
tarda el doble, sino la mitad de tiempo
Nº de personas...
Minutos...
ACTIVIDAD 4
...
...
Durante la hora que hemos estado en el puesto se han vendido 10 kilos de
champiñones. Si se mantiene constante el ritmo de venta,
Tiempo...
Kilos...
ACTIVIDAD 3
1
3
1
60
2
...
Información
En este caso la constante de proporcionalidad es el tiempo total de trabajo (k
= 60 minutos). Dividiendo k por los distintos valores de la primera magnitud
(número) vamos obteniendo los valores correspondientes de la segunda
(minutos).
--
--
Planteamiento
Teniendo en cuenta que el kilo de lenguado está a 30 euros...
--
--
Problema con
texto
magnitudes
--
--
Problema con
texto
magnitudes
... completa la siguiente tabla.
Pregunta
ACTIVIDAD 5
Planteamiento
Masa - Kg
1
2
Importe - €
30
...
Al llegar el momento de cerrar, quedan aún unas cuantas personas sin
despachar. Teniendo en cuenta que hacerlo llevaría a un sólo dependiente 24
minutos...
... completa la siguiente tabla.
Pregunta
Nº dependientes
1
2
...
Minutos tardan
24
...
...
Cuadro 10.7. Análisis de las actividades propuestas. Fuente: Elaboración propia.
142
Ahora pasamos a las actividades que aparecen en la página web.
ACTIVIDAD 6
ACTIVIDAD 7
ACTIVIDAD 8
ENUNCIADO
TIPO DE
PROBLEMA
CONTENIDOS
MATEMÁTICOS
Planteamiento
Si nos acercamos o nos alejamos a las cosas que nos rodean, se hacen más
grandes o más pequeñas a nuestra vista.
--
--
Pregunta
Haz una prueba: júntate con alguien e intentad medir la altura de la puerta de
la clase entre los dos.
Problema de
la vida real
Pregunta
¿Qué es más grande, tu compañero o la puerta?
Problema con
texto
Pregunta
¿Crees que si comienzas a caminar hacia delante o hacia atrás llegará un
momento en el que tu compañero o compañera será “igual” de alto/a que la
puerta?
Situación
problemática
Pregunta
¿A qué distancia de la puerta se ha puesto para conseguirlo?
Planteamiento
Pregúntales a tu compañero o compañera cuánto miden
Pregunta
¿cuánto crees que mide la puerta?
Situación
problemática
Pregunta
Ahora coge dos folios. Uno dóblalo justo por la mitad. Tiene la misma forma
que el otro, que está sin doblar?
Situación
problemática
Pregunta
¿Cómo lo sabes?
Situación
Planteamiento
El tema de las proporciones a menudo lo utilizamos en los lugares más
insospechados. Imagínate que estás en el mercado y que quieres comprar
butifarra.
--
Pregunta
¿Qué le pasa al precio cuando doblas la cantidad de butifarra que pides?
Situación
problemática
Pregunta
¿El precio es el doble?
Problema de
la vida real
Pregunta
Acabas de descubrir que la relación entre precio/cantidad de butifarra es
proporcional (cuanta más butifarra compres, más dinero tendrás que pagar).
¿Cuánto vale un kilo de butifarra en tu barrio?
Pregunta
¿Y 5 kilos?
Ejercicio
Pregunta
¿Crees que es verdad que a más cantidad de productos que compremos, más
barato nos sale?
Situación
problemática
Aclaración
Pregunta
Pregunta
ACTIVIDAD 9
ACTIVIDAD 10
Problema con
texto
--
Planteamiento
magnitudes
Relación numérica y geométrica de
magnitudes
Relación geométrica de
magnitudes (perspectiva)
Relación de proporcionalidad
inversa entre magnitudes
-Relación numérica de
magnitudes
Semejanza de figuras
Semejanza de figuras
-Relaciones numéricas de
magnitudes
Relaciones numéricas de
magnitudes
--
--
--
¿Cómo lo sabes?
Situación
Si un día te encuentras con una oferta que si compras 2 kilos de butifarra, te
dan tres, ¿cuánto te has ahorrado en euros?
Ahora piensa en el cambio de moneda: si te dicen que la butifarra va a 2 euros
con 5 céntimos el kilo
Problema de
la vida real
magnitudes / linealidad de la
proporcionalidad directa
magnitudes
Razón de una magnitud: tasa entre
magnitudes
--
--
Pregunta
¿cuántas pesetas crees que valdría ese kilo?
Problema con
texto
magnitudes / linealidad de la
proporcionalidad directa
Aclaración
Con las proporciones también puedes solucionar un problema como éste,
haciendo sólo una multiplicación
--
--
Pregunta
¿cómo lo harías?
Planteamiento
He comprado 3 kilos de butifarra y más o menos cada persona come 0,25 Kg.
Situación
problemática
--
Pregunta
¿Para cuántas personas me va a llegar?
Planteamiento
Si vienen siete amigos a comer a casa,
--
Pregunta
¿tendrás bastante butifarra?
Situación
problemática
Pregunta
¿Tendrás que volver a salir a comprar más?
Situación
problemática
Pregunta
¿Por qué?
Situación
Planteamiento
Imagínate que estás sola en casa y que no te apetece volver a bajar al super
¿Cuánta butifarra le toca a cada invitado, teniendo en cuenta que tú también
vas a comer, claro?
-Problema de
la vida real
Razón de una magnitud: tasa entre
magnitudes
magnitudes
magnitudes
--
Pregunta
Problema de
texto
Cuadro 10.8. Análisis de las actividades propuestas. Fuente: Elaboración propia.
143
Reparto directamente proporcional
A lo largo de estas diez actividades las personas adultas se encontraron ante
diversas situaciones problemáticas, que se presentan en estilos completamente
diferentes. De esa manera, tanto podemos encontrarnos actividades basadas en
una situación problemática, que pueden tener varias soluciones válidas, como
otras actividades en las que se propone un problema con texto, de solución única.
Esta diversidad en los tipos de problemas que se plantean en cada actividad es una
manera de investigar qué tipo de enunciados producen mayor diálogo en el aula.
Nosotros hemos utilizado la resolución de problemas como una forma de
provocación y producción (Giménez, 1997) de situaciones de aprendizaje
dialógicas en el aula. Las diferentes actividades han sido referentes concretos,
cuya intención explícita ha sido la de inducir a las personas adultas a buscar
formas y maneras para resolverlas, en un ambiente de diálogo igualitario,
conseguido gracias al trabajo en grupos interactivos y en gran grupo (las
actividades del libro se resolvieron entre todas las personas participantes, sentadas
alrededor de una mesa puesta en el centro del aula).
Por otro lado, el uso de una sesión de grabación de una clase, mientras las
personas adultas resolvían una serie de actividades, también supone una forma de
tener evidencias de las trayectorias cognitivas que utilizan los adultos cuando
construyen argumentos, para tratar de encontrar la solución a un problema
determinado. La delimitación de esas “trayectorias cognitivas” es un indicador
para ver cómo afecta en el aprendizaje la aplicación del modelo dialógico. De esta
manera, la información recogida mediante la grabación nos servirá para contrastar
la primera de nuestras hipótesis: las personas utilizamos estilos de aprendizaje
basados en el diálogo igualitario para poder desarrollar las habilidades
matemáticas básicas.
144
11.
LAS
TÉCNICAS
DE
ANÁLISIS
DE
LA
INFORMACIÓN
En este capítulo entramos en la presentación de las técnicas que hemos utilizado para analizar la
información que hemos ido recabando durante el trabajo de campo. Se comentan las dimensiones
del objeto de estudio que hemos tenido en cuenta como guías para orientar el análisis y ordenar la
información. Después se presenta el modelo de análisis del discurso que hemos elaborado en base
a otros marcos teóricos de análisis y a la metodología desarrollada por CREA, el Centro Especial
de Investigación en Teorías y Prácticas Superadoras de Desigualdades de la Universidad de
Barcelona. Finalmente, se definen las diferentes categorías de análisis del discurso y se presenta la
técnica de las trayectorias cognitivas de aprendizaje, herramienta útil para entender cómo se
produce el aprendizaje desde el punto de vista cognitivo.
El volumen de la información que hemos ido recabando a lo largo del trabajo de
campo nos obliga a tratar de encontrar algún tipo de criterio para ordenar los datos
recogidos.
En esta investigación lo que proponemos es un análisis en profundidad de los
diálogos que se han recogido mediante grabaciones. Una primera aproximación
(que nos permitirá profundizar más tarde en las cuatro variables que señalamos en
el modelo teórico que proponemos) nos lleva a distinguir tres dimensiones en la
interacción: el contenido matemático propiamente dicho, el grupo-clase y el
145
medio (llamémosle) tecnológico. El esquema adjunto trata de mostrar de manera
visual estas tres dimensiones a las que nos referimos.
PERSONAS
ADULTAS
Relación de la
persona con el
CONTENIDO
MATEMÁTICO
EXCLUSORES
Relación de la
persona con el
GRUPO
(INTERACCIÓN)
Componentes
COGNITIVOS
NORMATIVOS
AFECTIVOS
INSTRUMENTALES
Relación de la
persona con el
MEDIO
TECNOLÓGICO
(ordenadores,
pizarra, libro, papel,
etc.)
TRANSFORMADORES
Esquema 11.1. Dimensiones de la interacción. Fuente: Elaboración propia.
A lo largo de las entrevistas y de las prácticas dentro del aula fueron apareciendo
múltiples aspectos de la interacción, como el diálogo entre dos o más personas
sobre problemas matemáticos concretos, el trabajo con las herramientas
telemáticas, la combinación de ese trabajo en el aula de ordenadores con las
actividades que figuraban en los libros de texto, los propios problemas que iban
apareciendo a medida que las personas participantes utilizaban los materiales
didácticos propuestos, entre otros muchos elementos más.
Para analizar la información recogida con las entrevistas en profundidad, la
tertulia y la resolución de los problemas propuestos, se han tenido en cuenta tanto
los elementos del discurso, como el carácter (tono) del mismo. Así, se han
analizado las transcripciones tanto de la tertulia comunicativa, como de las
146
entrevistas en profundidad y de la grabación en vídeo de la resolución de los
problemas propuestos en una sesión de clase.
Dentro de cada una de las tres dimensiones de la interacción que hemos señalado
arriba, hemos analizado los cuatro tipos de componentes que aparecen a lo largo
de los diálogos (cognitivos, normativos, afectivos e instrumentales), teniendo en
cuenta si los argumentos que utilizan las personas adultas son exclusores o
transformadores y para ello hacemos un análisis del discurso.
11.1. Los elementos del discurso
El análisis de la información recogida con las entrevistas, la tertulia comunicativa
y la resolución de problemas se han realizado utilizando un cuadro de análisis en
el que se cruzan variables horizontales con variables verticales. En el cuadro que
se adjunta se muestran las diferentes variables que se han considerado: cognitivas,
afectivas, instrumentales y normativas.164
Puntos
de vista
Componentes
1. Cognitivos
2. Afectivos
Objetivo
(verdad)
Social
(rectitud)
Relación cognitiva
Actitudes ante el
(Auto)escenificación
problema matemático
Subjetivo
(validez)
Interiorización de los
contenidos
matemáticos
Relación de
sensibilidad
espontánea con uno
mismo
Conjunto de
Uso de los
procedimientos,
Relación instrumental contenidos
3. Instrumentales
herramientas,
matemáticos
algoritmos, etc.
Reglas heurísticas
Relación de
Relación de censura
para resolver los
4. Normativos
problemas
obligación, de norma
con uno mismo
matemáticos
Cuadro 11.1. Elementos para el análisis del discurso. Elaboración propia a partir de Habermas,
1987.
164
La propuesta que hacemos aquí no es la única que existe para tratar de construir un modelo
comprehensivo para la investigación del aprendizaje de las matemáticas. Bishop (1999) dice que
“lo que hace falta es un esquema que relacione la enseñanza de las matemáticas con su entorno
societal” (Bishop, 1999: 34), y cita el modelo de White (1959), que distingue entre cuatro
dimensiones: ideológica, sociológica, sentimental y tecnológica. Nosotros proponemos una
categorización algo diferente, partiendo de las matemáticas como disciplina de conocimiento.
147
Este cuadro tiene su origen en la lectura que hace Habermas (1987) del modelo de
análisis que propone Parsons (1971) en The System of Modern Societies. Parsons
es uno de los sociólogos que ha ofrecido uno de los modelos de análisis social
más potentes conocidos hasta la actualidad. Habermas, que es el autor de otro de
esos modelos (y el autor de ciencias sociales más citado después de Weber en las
bases de datos científicas), hace un recorrido de las aportaciones de la sociología
clásica y contemporánea al análisis de la acción social. Cuando se para en
Parsons, retoma el modelo del A.G.I.L. elaborado por éste,165 y hace especial
hincapié en la importancia que para el sociólogo norteamericano tuvieron las
funciones y las orientaciones de la acción.166 De hecho Parsons (1971) desarrolló
el modelo del A.G.I.L. como un modelo cibernético que integraba los cuatro
subsistemas de acción de la sociedad: economía, política, cultura y comunidad
societal. Cada uno de ellos se diferencia del otro por la función social que
desempeña. Y es cuando Parsons habla de las funciones que aparecen elementos
como los valores, las normas, los fines y los medios o recursos (que Habermas
denomina “componentes de las orientaciones de acción”).
Tomando como punto de partida este análisis que hace Habermas de la obra
parsoniana, así como el desarrollo teórico y metodológico llevado a cabo por
CREA en sus proyectos, pensamos encontrar algún criterio de análisis basado en
el estudio de componentes implícitos en el aprendizaje de las matemáticas, que
nos permitiese contrastar las hipótesis que hemos marcado en esta investigación.
Tras el estudio de decenas de investigaciones en este ámbito, hemos visto que la
mayor parte se centran en qué significa la alfabetización matemática, cuáles son
los contenidos básicos, cómo se secuencian a lo largo del aprendizaje de las
personas, cuál es el currículum mínimo que tenemos que aprender durante la
enseñanza obligatoria y qué valores y qué competencias tenemos que desarrollar
(o mejor dicho, las matemáticas tienen que desarrollar en nosotros). Así, temas
165
AGIL es un modelo de análisis del sistema social, que integra cuatro subsistemas: economía,
política, sistema mantenedor de estructuras (valores) y subsistema integrador (normas). Cada uno
de estos cuatro (sub)sistemas tiene una función en la sociedad, que corresponde con la adaptación
(A), la consecución de fines (G), la integración (I) y el mantenimiento de patrones y tratamiento de
las tensiones (L), respectivamente.
166
En la página 346 del segundo volumen de la edición de 1998 de La teoría de la acción
comunicativa aparece un cuadro en el que Habermas distingue los componentes de las
orientaciones de acción, los subsistemas y las funciones, que aparecen en la teoría de Parsons.
148
como matemáticas a lo largo de la vida, habilidades matemáticas, alfabetización
numérica y alfabetización matemática, análisis de los componentes cognitivos del
aprendizaje, supuestos psicológicos para la resolución de problemas, el papel del
profesorado, el desarrollo curricular, los diversos contenidos de las matemáticas,
influencias del contexto social, cultural, económico y político, incidencia de las
tecnologías de la información y de la comunicación en el aprendizaje y en el
desarrollo de nuevos recursos didácticos, impacto de la globalización en la
enseñanza de las matemáticas, democratización del aprendizaje y acceso a las
ideas-fuerza de las matemáticas (powerful mathematical ideas), desarrollo de
nuevas técnicas de investigación, papel de las emociones en el aprendizaje de las
matemáticas y tantos otros, son sólo una breve muestra de temas que aparecen en
las investigaciones que hemos revisado sobre didáctica de las matemáticas.
Tal variedad de temáticas nos llevó a pensar en cómo elaborar un marco teórico
comprehensivo que fuese común y sirviese para aprehender todas las situaciones
que se producen en torno al aprendizaje de las matemáticas (o la mayor parte de
ellas). El aspecto que queremos mostrar son las trayectorias cognitivas167, que
construyen las personas adultas en el aprendizaje de algunos conceptos
matemáticos básicos, ligados al tema de las proporciones, en un entorno de
aprendizaje basado en el diálogo igualitario. Además, queremos ver el papel que
tienen en el aprendizaje de esos conceptos los diferentes aspectos que giran en
torno a las matemáticas académicas y las matemáticas de la vida real. Por eso lo
que nos interesaba en primer lugar eran las variables cognitivas. Sin embargo,
reducir todo el análisis a una perspectiva cognitiva dejaba de lado elementos clave
como son el contexto, por ejemplo, o el estado de ánimo y las creencias previas de
las personas participantes. Por esto, a parte de las variables cognitivas, también
hemos considerado interesante introducir la dimensión de las emociones mediante
las variables afectivas.
167
Nosotros proponemos como herramienta de análisis el uso de las “trayectorias cognitivas de
aprendizaje”. Son esquemas conceptuales en los que se cruzan dos variables: por un lado, el
transcurso del tiempo, que se marca en el eje de ordenadas; por otro, la trayectoria entre el polo
concreto y el polo abstracto, que se marca en el eje de abcisas. Este tipo de gráficos nos da una
idea visual (en el tiempo) de cómo se desarrolla el discurso, desde lo concreto a lo abstracto, o al
revés. Por tanto, la forma y la dirección de la línea final que sigue el razonamiento tiene un
significado conceptual.
149
De todas maneras, con esto estábamos tratando dos aspectos fundamentales desde
el punto de vista de la agencia (es decir, de aquello relacionado con las personas),
pero no teníamos en cuenta ni la propia disciplina (las matemáticas), ni los
sistemas de normas que giran en torno a ella. Por ese motivo introdujimos dos
tipos de variables más en nuestro “cajón de herramientas conceptuales”: las
variables instrumentales y las normativas.
Estos cuatro tipos de variables integran un marco de análisis lo suficientemente
comprehensivo como para ser aplicado a la mayor parte de los temas antes
citados, en el repaso de las investigaciones sobre didáctica de las matemáticas.
Así pues, las variables cognitivas las hemos definido como el tipo de variables
que se refieren a cómo se produce el aprendizaje, a fin de poder contrastar la
tercera de las hipótesis de trabajo de esta tesis.168
Variable cognitiva: se refiere a los procesos mentales que utiliza la persona participante para
resolver las actividades matemáticas planteadas.169
Variable cognitiva objetiva: no existe. Por definición, las variables cognitivas son subjetivas.
Variable cognitiva social: son las estrategias cognitivas que se ponen en marcha debido a la
colaboración entre dos o más personas para resolver una actividad matemática. (Vigotsky lo ha
estudiado mucho)
Variable cognitiva subjetiva: son los procedimientos mentales que utiliza la persona para
resolver una actividad matemática.
168
Las personas utilizan estilos de aprendizaje basados en el diálogo igualitario para aprender el
concepto matemático de proporciones. Esta brecha se manifiesta de diferentes formas.
169
Las variables cognitivas han tenido una gran relevancia en la investigación. De hecho, desde el
punto de vista de la psicología, uno de los debates abiertos más sugerentes es el que ha mantenido
la tradición cognitivista frente a la tradición atomista. Frente a las ideas de Skinner, Thorndike,
Hull, etc., Tolman, Piaget y otros autores piensan que el aprendizaje está relacionado con la
comprensión, no con una sencilla asociación entre estímulos y respuestas. Las personas atribuimos
significado al mundo que nos rodea, por eso cuando actuamos de manera reflexiva, dentro de
nuestra mente se está produciendo algo más que una asociación. La descripción (y explicación) de
esos procesos es lo que ha traído de cabeza a las disciplinas cognitiva durante todo el siglo XX. Si
asumimos todo este trabajo precedente y partimos de que en el fondo de toda actuación humana
subyace este principio de atribución de un significado, tenemos que buscar alguna manera de
llegar a él. La manera que se ha utilizado (hasta el momento) es el análisis del discurso. La
información de que disponemos deja patente que el lenguaje es una de las vías para llegar al
universo de la comprensión. Esto aparece en la obra de autores tan diversos como Saussure (1974),
que distingue entre “significado” y “significante”, Piaget (1968) que propone la teoría de la
equilibración, Vigotsky (1979a) con la relación que establece entre lenguaje y pensamiento, etc. El
reto ante el que nos encontramos aquí es encontrar alguna forma para llegar a los procesos
mentales que utilizan las personas adultas para resolver las actividades matemáticas propuestas.
150
Por otro lado, otro de los tipos de variables que se han considerado son las
afectivas, que resultan cruciales para explicar un buen aprendizaje o un mal
aprendizaje de las matemáticas. Este tipo de variables nos ayudará a contrastar la
segunda de las hipótesis del trabajo de campo.170
Variable afectiva: se refiere al conjunto de emociones, sensaciones, creencias e imágenes de sí
misma, que tienen todas las personas.171
Variable afectiva objetiva: es el conjunto de actitudes que tiene la persona frente a la actividad
matemática.
Variable afectiva social: es la escenificación que hace la persona que resuelve el problema de sí
misma ante el resto de los compañeros/as.
Variable afectiva subjetiva: es la relación de sensibilidad espontánea con uno mismo.
Las variables instrumentales nos sirven para reflejar todo lo que se refiere a los
conceptos y conocimientos matemáticos utilizados. En otras palabras, este tipo de
variables recogen los contenidos matemáticos que se están aprendiendo en el aula
(en nuestro caso, las proporciones matemáticas y todas aquellas relaciones
numéricas, aritméticas y geométricas que giran en torno a este tema). 172
170
La distancia entre las “matemáticas de la vida real” y las “matemáticas académicas” genera
actitudes negativas que dificultan el aprendizaje de las matemáticas.
171
El tema de las emociones cuenta también con una importante trayectoria de investigación. Es
tan importante que incluso hubo un grupo de discusión especialmente dedicado a este tema en la
edición 25ª del PME, coordinado por English y Goldin. Ver van der Heuvel-Panhuizen, 2001,
editado por el Instituto Freudenthal. Existen varias investigaciones sobre las emociones en el
aprendizaje de las matemáticas (McLeod, 1992; Goldin, 2000; DeBellis & Goldin, 1997), en las
que se trabajan temas como la relación que existe entre el “feeling” y la imaginación matemática,
el papel de las emociones en la codificación de la información y su influencia en los aprendizajes,
el impacto de la dimensión afectiva en la resolución de problemas, entre otros temas. Es
interesante la aportación de Gómez Chacón (2000). Su libro es una contribución al estudio de las
emociones y su incidencia en el aprendizaje de las matemáticas.
172
Todas las investigaciones en didáctica de las matemáticas tienen contenido instrumental. La
didáctica de las matemáticas es una disciplina joven que aparece a principios del siglo XX
(algunos sitúan su nacimiento en un artículo escrito por Smith en 1905, en la revista
L’Enseignement mathématique, en la que escribe sobre la necesidad de la creación de una
comisión internacional sobre educación matemática). Sin embargo, es después de la segunda
guerra mundial que toma especial relevancia, cuando se critica al ejército americano de la baja
preparación matemática de la mayoría de los soldados. Esto, junto con el lanzamiento del Spuntnik
soviético, lleva a hacer un replanteamiento de la enseñanza de las matemáticas. Comienza a haber
estudios sobre el tema. Se recogen las aportaciones de los grandes matemáticos de comienzos de
siglo (sobre todo de la matemática analítica de Hilbert, Russell y Whitehead) y se crea el
movimiento de la matemática moderna. Un grupo de estudiantes de matemáticas (que acabarían
siendo profesores en diversas universidades del mundo) se inventan un personaje llamado
Bourbaki y le atribuyen la creación de un manual de ejercicios destinado a la enseñanza de las
matemáticas. Tal manual no era más que un recopilatorio de actividades que se iba engrosando con
las contribuciones de todos los miembros del equipo (entre los que figuran Diedonné, Choquet,
151
Variable instrumental: se refiere al conjunto de conceptos y conocimientos de las matemáticas.
Variable instrumental objetiva: es el conjunto de conceptos, procedimientos, herramientas, etc.,
que constituyen el conjunto de los conocimientos matemáticos.
Variable instrumental social: es la construcción social de uno o varios elementos pertenecientes
al conjunto de conocimientos matemáticos.
Variable instrumental subjetiva: es la percepción que tiene cada persona de uno o varios
elementos pertenecientes al conjunto de conocimientos matemáticos.
Finalmente, la variable normativa173 es la que nos permite establecer la diferencia
que existe entre el uso de procedimientos y normas académicas para resolver los
problemas matemáticos y el uso de normas y procedimientos más personales
(fruto del sentido común o de la experiencia previa). Esta variable nos permitirá
contrastar la primera de las hipótesis de trabajo de esta tesis doctoral.174
Variable normativa: se refiere al conjunto de normas o reglas establecidas para la resolución de
una actividad matemática.
Variable normativa objetiva: es el conjunto de normas o reglas estándares para resolver una
actividad matemática. En otras palabras, es el método académico de resolución de actividades
matemáticas.
Variable normativa social: es el conjunto de normas o reglas que establece el grupo.
Variable normativa subjetiva: son las normas o reglas que se impone uno mismo a sus
actuaciones para resolver las actividades matemáticas.
Gattegno, entre otros), pero que pronto tuvo decenas de tomos. Después de unos años aparece un
movimiento de renovación muy crítico que con diversos estudios muestra cómo las matemáticas
modernas, en realidad, presuponen una formación matemática previa de los niños/as que, al ser
mentira, acaba por producir fracaso y desencanto de las matemáticas. Son los años de la corriente
del retorno a lo básico, la recuperación de Euclides y la aparición de la corriente de la resolución
de problemas. Igualmente, Dienes (1970) pone las bases del estructuralismo matemático y
aparecen otras investigaciones sobre lo que nosotros hemos llamado “las matemáticas de la vida
real”.
173
Una de las corrientes de investigación más relevantes a nivel normativo es el estructuralismo
francés. Chevallard y Joshua (1982) proponen un modelo de análisis sistémico en el que distinguen
al profesor, al alumno y al saber enseñado y conceptualizan un sistema de normas que regula las
relaciones que se establecen entre todos los elementos. La nooesfera es uno de sus conceptos más
conocidos y es el espacio donde se concentran todas las transacciones y conflictos que se producen
durante la clase. La noosfera, dicen, es la capa exterior que contiene a todas las personas que
piensan sobre contenidos y métodos de enseñanza. Brousseau (1986) va un poco más allá, en la
misma línea, y propone el concepto de contrato didáctico, dentro de su teoría de las situaciones
didácticas, que nos lleva directamente al terreno normativo. En esta línea están también los
trabajos del grupo de Godino (2002), en España.
174
Existe una brecha entre las matemáticas de la vida real y las matemáticas académicas. Esta
brecha se manifiesta de diferentes formas.
152
En el análisis de la grabación del vídeo digital nos hemos centrado más en el
aspecto cognitivo. Como ya hemos comentado anteriormente, el interés de
analizar la grabación de una sesión de clase, mientras las personas adultas
resolvían las diferentes actividades planteadas, reside en que nos proporciona
información sobre cómo se producen los aprendizajes en un entorno dialógico.
Por este motivo la variable más importante en esta fase del análisis es la variable
cognitiva, porque nos remite al desarrollo que hacen las personas adultas de los
procesos mentales, mientras argumentan sobre la resolución de los problemas
propuestos.
Actualmente uno de los modelos de análisis cognitivo más innovadores en la
didáctica de las matemáticas es el que proponen Dreyfus, Hershkowitz y Schwarz
(1998, 2002). Estos autores centran su análisis en una de las características
fundamentales de las matemáticas: la abstracción.175
La abstracción (como proceso) también consiste en una actividad de
reconocimiento de los conocimientos matemáticos que se han convertido en
nuevas estructuras cognitivas.176 La idea principal que esgrimen estos tres autores
es que primero tenemos ideas concretas sobre los conceptos matemáticos y es sólo
mediante la acción como llegamos a construir una idea abstracta de dichos
conceptos. Por tanto, analizan fundamentalmente el aprendizaje como proceso
“vertical” en el que se pasa de lo concreto y particular a lo abstracto, mediante la
acción que ocurre siempre en un contexto social (idea que recogen directamente
de la teoría de la actividad de Leontief, 1981). Ahora bien, también es preciso
resaltar que su idea de “verticalidad” no es, en modo alguno, una concepción
175
Para ver por qué consideramos tan importante la abstracción, baste poner una cita de Skemp
(1980): “Gran parte de nuestro conocimiento cotidiano se aprende directamente a partir de
nuestro entorno y los conceptos que se emplean no son muy abstractos. El problema particular
(pero también el poder) de las matemáticas estriba en su gran abstracción y generalidad.”
(Skemp, 1980: 35). Es precisamente por causa de esa característica inherente a las matemáticas
que es la abstracción, por lo que privilegiamos dicho aspecto en el análisis del discurso que
planteamos, basado en Dreyfus, Hershkowitz y Schwarz (2001). Ver también Alcalá, 2002;
Dienes, 1970; Hemptel, 1969; Wilder, 1969; von Mises, 1969.
176
“(…) we define abstraction as an activity of vertically reorganising previously constructed
mathematical knowledge into a new structure.” (Dreyfus, Hershkowitz y Schuwarz, 2001).
153
lineal del aprendizaje. Para estos autores es posible pasar de lo concreto a lo
abstracto y volver otra vez a lo concreto de nuevo.177
El interés de las investigaciones de Dreyfus, Hershkowitz y Schwarz (1998, 2002)
reside en el análisis que proponen de los procesos cognitivos, por lo que respecta a
la construcción del conocimiento. Hablan de tres elementos: la construcción, el
reconocimiento y la “edificación con” (building with). Con estas tres categorías
tratan de interpretar el diálogo que se produce en el aula cuando los estudiantes y
las estudiantes están aprendiendo la lección.
Pero a nosotros lo que nos resulta interesante es la idea que proponen estos tres
autores sobre el paso de lo concreto a lo abstracto. En nuestro caso hemos
retomado categorías que proceden de los trabajos de la psicología soviética, en
especial de Vigotsky (1979a, 1979b), Luria (1979) y Leontief (1981). El primero
nos ha legado dos importantes trabajos en Los procesos psicológicos superiores y
Pensamiento y lenguaje, donde muestra la relación que existe entre el lenguaje y
el aprendizaje.178 Según Vigotsky (1979b) las personas utilizamos el lenguaje
como vehículo de aprendizaje y es mediante la interacción social como logramos
afrontar las dificultades y aprendemos a superarlas. En esa misma línea Luria
(1979) afirma que la adquisición del lenguaje otorga a la persona una nueva
dimensión de pensamiento: la comprensión. La “palabra” es lo que nos permite a
las personas construir y expresar ideas abstractas, en tanto que las palabras son
símbolos separados de los objetos a los que se refieren. Considerando que el
aprendizaje se produce cuando una persona es capaz de pasar del ámbito concreto
de la inteligencia práctica a la abstracción propia del pensamiento, resulta que el
lenguaje ocupa un lugar central en ese proceso, tal y como dice Luria (1979).179
Por tanto, para nosotros lenguaje tiene dos utilidades claramente diferenciadas:
177
De todas maneras, también es cierto que no he leído que estos tres autores consideren que es
posible aprender “en paralelo” diversos conceptos a la vez, de manera que en una misma persona
se están dando varias líneas “verticales” de aprendizaje, que van y vienen de lo concreto a lo
abstracto. Esta idea la encontramos bien desarrollada por la escuela de la Gestalt, por ejemplo.
178
“El momento más significativo en el curso del desarrollo intelectual, que da a luz las formas
más puramente humanas de la inteligencia práctica y abstracta, es cuando el lenguaje y la actividad
práctica, dos líneas de desarrollo antes completamente independientes, convergen.” (Vigotsky,
1979b: 47-48).
179
“Es decir, que al abstraer el rasgo característico y al generalizar el objeto, la palabra se
convierte en instrumento del pensamiento y medio de la comunicación.” (Luria, 1979: 41).
154
por un lado es vehículo de comunicación, pero por el otro, también es constructor
de realidad. Y lo que nos interesa, desde el punto de vista didáctico, es cómo se
construye el conocimiento.
A partir de aquí hemos tratado de encontrar unas categorías de análisis del
discurso que nos permitan poder analizar el diálogo que se produce dentro del
aula, desde el punto de vista de las variables cognitivas y que además nos den una
idea lo más exacta posible del paso de lo concreto a lo abstracto. En ese sentido
proponemos las siguientes categorías, de acuerdo con el análisis del discurso de
Luria (1979) y las categorías de análisis de Dreyfus, Hershkowitz y Schwarz
(1998, 2002):
-
RG: reconocimiento generalizado
-
CP: caso particular
-
DP: diversos casos particulares
-
IC: interpretación comprensiva
Estas cuatro categorías (designadas con letras mayúsculas) nos remiten al nivel
cognitivo del lenguaje. Pero, además, para entender cómo afectan las
interacciones entre las personas dentro de la clase mientras están estudiando un
concepto matemático, también es preciso señalar otra serie de categorías (en letras
minúsculas) que se refieren a la funcionalidad del aprendizaje. Teniendo en cuenta
esta perspectiva funcional del lenguaje,180 distinguimos las siguientes categorías:
-
p: provoca
-
a: asentimiento
-
ed: enunciado dubitativo
-
re: respuesta explicativa
-
r: respuesta
-
ea: enunciado asertivo
-
cc: corrección clarificadora
180
Ponemos al lenguaje el adjetivo de “funcional”, porque el lenguaje es una herramienta que sirve
para algo, ya sea comunicar (transmitir ideas), construir significados, enseñar o cualquiera otra
función.
155
Searle (1980) nos ofrece una teorización muy esclarecedora por lo que respecta a
la funcionalidad del lenguaje. Este autor se sitúa en el análisis de la
intencionalidad. Desde ahí Searle (1980) estudia para qué utilizamos el lenguaje
(¿para transmitir sencillamente ideas o para influir sobre el comportamiento de los
demás?). La obra de este autor nos permite tener en cuenta, que las situaciones
que ocurren en un diálogo entre varias personas están muy relacionadas con la
intencionalidad de los hablantes. Searle (1980), remitiéndose a la obra de Austin
(1962), distingue los enunciados que emiten las personas según las intenciones
que tengan. Así, cuando lo que queremos es transmitir una información, decimos
que se trata de un acto de habla ilocucionario. En cambio, cuando queremos
influir (y cambiar) la conducta o el pensamiento de otra persona, entonces
utilizamos un acto de habla perlocucionario.
Pensamos que cuando analizamos lo que ocurre en el aula, es interesante tener en
cuenta este punto de vista. Por ejemplo, la mayoría de las intervenciones del
profesor son habitualmente perlocucionarias, porque busca provocar a las
personas participantes para que reflexionen sobre determinados conceptos. Pero la
intervención perlocucionaria del profesor puede romper el diálogo igualitario que
se produce entre las personas participantes y truncar la construcción de un
concepto matemático o, al revés, puede provocar un diálogo que dé como
resultado la comprensión de una idea matemática y esto es muy relevante para
entender el proceso de aprendizaje en un entorno dialógico.
11.2. El carácter (tono) del discurso
Finalmente, también se ha prestado atención al tono del discurso, para constatar
cuándo los argumentos que se daban en el aula eran trasformadores (contribuyen a
la superación de las dificultades de aprendizaje o a potenciarlo), y cuándo
resultaban ser exclusores (los discursos que producen el efecto contrario:
desmotivan, rebajan las expectativas, desalientan, etc.).
156
11.3. Justificación de la elección de las categorías de análisis
¿Por qué hemos elegido estos cuatro tipos de variables? El origen de esta
categorización está en la lectura de las tipologías de la acción que ofrece
Habermas (1987) en La teoría de la acción comunicativa y la metodología
comunicativa desarrollada por CREA. La lectura de Habermas y el trabajo
realizado en CREA inspiraron una tipología que trata de ser útil para analizar y
entender los acontecimientos que ocurren dentro del aula, mientras las personas
adultas están haciendo las actividades de proporciones en los ordenadores o en el
diálogo entre ellas.
Estas reflexiones sobre lo que queríamos estudiar nos llevaron a concretar, a nivel
general, algunas categorías de análisis (intuiciones, declaraciones y argumentos).
Para entender las acciones llevadas a cabo por las personas, mientras estaban
aprendiendo matemáticas en los ordenadores, nos pareció necesario encontrar
alguna manera de ubicar esas tres categorías en un esquema de conocimiento, que
fuese todo lo explicativo posible del aprendizaje de las matemáticas con el
ordenador. Fue en este esfuerzo cuando pensamos que utilizar un modelo
inspirado en Habermas podía ser útil como referente para interpretar las
informaciones recabadas durante el trabajo de campo. Así pues, tomamos como
referencia el sistema de acción habermasiano e, inspirándonos en él, identificamos
cuatro categorías de componentes diferentes: cognitivos, normativos, expresivos /
afectivos e instrumentales.
Pensamos que para entender la acción que llevan a cabo las personas, para
resolver un problema matemático, hay que “entrar” de alguna manera, en el
propio individuo y ver “desde dentro” qué razones aporta para justificar el uso de
una u otra estrategia para solucionar cada problema. Por eso se recurre al diálogo
como forma de constatar los diferentes componentes que se han señalado en el
discurso de la persona.
157
158
PARTE III
RELATO DE LA EXPERIENCIA
159
ESQUEMA CONCEPTUAL DE LA PARTE III
RELATO DE LA EXPERIENCIA
GRUPO DE
MATEMÁTICAS
DIALÓGICAS
- Elección de las
actividades
Prueba piloto
Web 1
- Cambio de las
actividades y ampliación
- Reordenación de los
elementos de las
diferentes páginas
- Situar las preguntas en la
pantalla inicial
- Incluir espacios para dar
la opinión personal
- Más actividades y más
diversas
Web 2
Web 3
- Inclusión de actividades
sobre proporciones
SITIO WEB
FINAL
160
En esta tercera parte de la tesis entramos en la descripción de las diferentes etapas
por las que ha atravesado la investigación. A lo largo de estas páginas explicamos
cómo se formó el Grupo de matemáticas dialógicas de la escuela de La Verneda –
Sant Martí. Después continuamos con el relato de la experiencia y la construcción
del sitio web. Las mujeres del grupo fueron las que finalmente decidieron los
temas que se trabajaron en la web. En el capítulo sobre la “Explicación de las
etapas de la investigación” se relata cómo se fue construyendo el sitio web. Se
repasa todo el proceso, desde la prueba piloto inicial hasta su aspecto final, con las
actividades sobre proporciones incluidas. Se habla de los problemas que
surgieron, cómo se solucionaron y cómo la evaluación de las personas adultas del
sitio web contribuyó a su mejora, a través de varias modificaciones sucesivas.
161
162
12. LA FORMACIÓN DEL GRUPO DE MATEMÁTICAS
DIALÓGICAS DE LA ESCUELA DE PERSONAS
ADULTAS LA VERNEDA – SANT MARTÍ
En este capítulo relatamos el contexto en el que se formó el Grupo de matemáticas dialógicas de
la escuela de La Verneda – Sant Martí. Se explica qué es un grupo de trabajo, cómo funciona y de
qué manera se trabaja en él.
El Grupo de matemáticas dialógicas de la escuela de personas adultas de La
Verneda – Sant Martí es un grupo de trabajo formado por varias personas
participantes con ganas de dedicarse a estudiar y ampliar sus conocimientos en
matemáticas. Son personas que durante el año 2001/2002 cursaban el tercer
módulo de matemáticas correspondiente al Graduado de Secundaria.
En la escuela de La Verneda – Sant Martí se encuentra ubicado un Punt OMNIA.
Los puntos OMNIA son aulas de informática abiertas al barrio, que ofrecen la
posibilidad de aprender informática y utilizar los ordenadores de manera gratuita a
todas las personas que se acerquen a ellas.181 Este punto ofrece acceso al uso de
181
Los Puntos OMNIA son una red de aulas distribuidas por toda Cataluña, coordinados desde la
Dirección General de “Serveis Comunitaris”, el “Departament de Benestar i Família” y la
“Secretaria de Telecomunicacions i Societat de la Informació”, de la “Generalitat de Catalunya”.
163
las tecnologías de la información y de la comunicación a todas las personas que
acuden a sus puertas. Entre los servicios que ofrece están los llamados “grupos de
trabajo”.
Los grupos de trabajo se forman con personas participantes que desean trabajar
sobre un tema concreto. Las personas que participan en el grupo de trabajo buscan
información y realizan una serie de actividades en las que se necesita utilizar las
nuevas tecnologías como herramientas de trabajo. De esta manera se consigue
transmitir el uso de la informática como herramienta y no como un objeto de
aprendizaje específico, tal como puede ocurrir cuando una persona estudia un
programa informático concreto.182
Los grupos de trabajo de la escuela de personas adultas de La Verneda – Sant
Martí funcionan de acuerdo con unos principios metodológicos propuestos por
CREA (Universidad de Barcelona) en la línea del aprendizaje dialógico.183 Esta
metodología parte de cuatro criterios fundamentales: acceder, estar, utilizar y
gestionar. “Acceder” significa favorecer el acceso a las tecnologías informáticas a
todas las personas del barrio. “Estar” se refiere a todas las competencias y
conocimientos nuevos necesarios para estar incluido en la sociedad de la
información actual y tener las mismas oportunidades que las personas que pueden
tener acceso a cursos de informática. “Utilizar” significa priorizar la utilidad de
las nuevas tecnologías y no enseñarlas como algo exótico que no tiene más
repercusión en nuestras vidas que ser una novedad. Y “gestionar” se refiere a la
gestión democrática de los centros (en este caso el Punto OMNIA).
Nació en 1999 como una iniciativa del “Departament de Benestar i família” y el DURSI, como una
iniciativa para dar respuesta a la necesidad social de acceso a las nuevas tecnologías. Ver
http://www.xarxa-omnia.org/presentacio/index.htm.
182
El criterio fundamental es que la gente encuentre utilidad a la informática y la utilice para
facilitarle tareas que ya realiza habitualmente. De esa manera, se dota de sentido al aprendizaje.
Sin menospreciar, claro está, el aprendizaje de un entorno informático por el mero hecho de
aprender.
183
CREA ha sido el responsable del desarrollo teórico de la metodología CONECTA. También ha
participado en el proyecto NODAT de implantación de una red telemática de telecentros, a nivel
de toda Cataluña, siendo el responsable del “Plan de Formación”. Además, CREA también ha
investigado en el campo de las tecnologías y el aprendizaje de las matemáticas coordinando el
proyecto ALNET, de la Comisión Europea.
164
Esta metodología da todo el protagonismo a las personas participantes, puesto que
son ellas las que tienen demandas de formación concreta y es a dicha demanda a
la que se tiene que responder desde el Punto OMNIA (o CONECTA, tal y como
se denomina en el resto del Estado) o desde cualquier otra experiencia donde se
trabaje con ordenadores. Por eso, para asegurar una oferta de calidad, se diseñan
todos los materiales en función de las demandas de las personas participantes.
El Grupo de matemáticas dialógicas se formó conforme a estos principios. Es un
grupo de personas que quieren repasar y ampliar su formación en matemáticas y
que utilizan los ordenadores para ello. Con ese propósito se propuso la idea de
construir un sitio web donde poner actividades y materiales de matemáticas
propuestos por las propias personas participantes. Así, finalmente, dada la
demanda de las personas participantes, se construyó el sitio web con sus
propuestas y diseñado por el investigador. Para asegurar la gestión democrática
del sitio, así como el principio del diálogo igualitario y la facilidad de acceso a los
materiales, todas las actividades del sitio web han sido propuestas, probadas y
evaluadas por las personas participantes.
165
166
13.
EXPLICACIÓN
DE
LAS
ETAPAS
DE
LA
INVESTIGACIÓN
En las líneas que siguen a continuación se relatan las diferentes fases por las que ha ido
atravesando esta investigación, desde su planteamiento inicial hasta la concreción en el tema de las
proporciones. Se relatan aspectos tales como la temporalización, los problemas que fueron
apareciendo a lo largo de todo el proceso y cómo se solucionaron y la construcción del sitio web
final, con las actividades sobre proporciones.
13.1. La construcción del sitio web
13.1.1. El estudio piloto
Previo al trabajo de campo, se pensó que era conveniente realizar un estudio
piloto de tres meses (un trimestre académico). Este estudio piloto se ideó para ser
realizado en el Grupo de matemáticas dialógicas. El objetivo era, en primer lugar,
contrastar la validez de las herramientas utilizadas para recabar toda la
información y además facilitar que todas las personas participantes del grupo
pudieran evaluar las actividades presentadas y proponer todas las mejoras que
considerasen oportunas.
167
1. El calendario. El Grupo de matemáticas dialógicas se reunió todos los martes
de 16:00 h a 17:30 h durante el primer trimestre académico del año
2001/2002, entre los meses de octubre y diciembre. Durante el estudio piloto
se realizaron un total de ocho sesiones, incluyendo una sesión de presentación
previa. El calendario quedó tal como sigue, a saber:
Octubre
L
M
X
J
V
S
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
M
X
J
V
S
D
1
2
3
4
Noviembre
L
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
M
X
J
V
S
D
1
2
Diciembre
L
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
2. Las personas participantes. El estudio piloto se pensó para ser realizado en el
grupo de personas participantes que había creado el Grupo de matemáticas
dialógicas. Este grupo, al principio, estaba formado por doce personas (once
168
mujeres y un hombre, de edades comprendidas entre los cincuenta y cinco y
los setenta años, aproximadamente), que asistieron de manera irregular a las
sesiones. Sin embargo, la norma general fue que durante el conjunto de las
sesiones asistieron normalmente entre seis y ocho personas (todas mujeres).
Todas ellas cursaban el tercer nivel de graduado de secundaria. Eran personas
que carecían de conocimientos previos de informática.
3. El rol de la persona dinamizadora. En el funcionamiento del Grupo de
matemáticas dialógicas se acordó que la persona dinamizadora tenía que ser
capaz de responder a todas las preguntas de las personas participantes, tanto
respecto del uso de los ordenadores como herramienta didáctica, como
respecto de los contenidos que aparecen en cada una de las actividades
propuestas. La persona dinamizadora ha sido la encargada de motivar a todas
las personas participantes del grupo de matemáticas y animarlas a dar su
opinión y a exponer sus aportaciones al resto de la clase.184
13.1.2. Primer paso: el sitio web inicial
El acuerdo con el Grupo de matemáticas dialógicas fue que la persona
dinamizadora sería la responsable de diseñar y construir el sitio web del grupo,
con las actividades elegidas por las personas participantes, respetando siempre sus
demandas y valoraciones sobre el entorno informático presentado.
Las personas participantes prefirieron elegir primero los temas de las diferentes
situaciones problemáticas presentadas en el sitio web y después valorar y
consensuar entre todas los contenidos de dicha web. Las ideas del tipo de
actividades a incluir en la web fueron planteadas por las personas participantes,
mediante su elección sobre una lista abierta de 101 actividades matemáticas
diferentes.185 El diseño y puesta en formato html lo realizó la persona
dinamizadora del grupo. Después todas las actividades fueron evaluadas por las
personas participantes y los cambios acordados se introdujeron en el sitio web.
184
Hay que destacar que la persona dinamizadora era la misma que realizaba la investigación y
daba clase de matemáticas en tercero de secundaria a esas mismas personas del grupo.
185
Bolt y Hobbs, 1991.
169
Todos los elementos de recogida de datos e información pensados para el trabajo
de campo posterior tienen en cuenta este aspecto.
Figura. 13.1. Aspecto de una de las pantallas de actividades del borrador del sitio web. Fuente:
Para la elaboración del primer borrador del sitio web también se tuvieron en
cuenta, por un lado, el diseño de otros materiales didácticos existentes
previamente186 y, por otro, el listado de habilidades matemáticas básicas que
utilizamos para asegurar los contenidos matemáticos.187 De esta manera, se
construyó un sitio web formado por siete situaciones con dos páginas cada una: la
primera de ellas corresponde a los enunciados de cada una de las situaciones y la
segunda correspondiente a las preguntas planteadas.
186
Se ha consultado abundante bibliografía sobre materiales didácticos en matemáticas, tanto en
formato papel como programas informáticos ya existentes. A título orientativo, resaltar los
siguientes materiales consultados: Balbuena Castellano, L, et al.; Bolt y Hobbs, 1991. La página
web de los profesores Giménez y Fortuny, con aplicaciones de matemáticas. La página web de
Muria, en el servidor de la Generalitat de Catalunya: http://www.xtec.es. La página web de Bairral,
sobre un curso de formación de profesorado en matemáticas,
http://www.uftrj.br/institutos/ie/geometria.
187
En este listado aparecen las siguientes habilidades: a) lectura, notación y ordenación de
cantidades, relación entre cantidades, proporcionalidad, operaciones básicas; b) concepto de
medida y unidades de medida, medidas de superficie, volumen, masa y tiempo; c) lectura de
mapas y croquis; d) lectura de datos numéricos, lectura y uso de tablas, lectura de gráficos.
170
Así se hizo un borrador con estas siete situaciones problemáticas, sobre las cuales
se plantearon una serie de preguntas que aparecían en otra pantalla y que se
enlazaba a continuación de la página principal.
En estas situaciones problemáticas detectamos varios elementos comunes a cada
una de ellas: 1) la presentación de la situación. Se trataba de un texto breve, en
cursiva, que se situaba al comienzo de cada pantalla; 2) la sección de los datos. Se
trataba del espacio reservado para ofrecer todos los datos necesarios para resolver
las preguntas; 3) la franja del índice de actividades. Era una columna común a
todas las pantallas que facilitaba la navegación por el sitio web; 4) los menús
rápidos para acceder a las diversas herramientas y aplicaciones del sitio web. Aquí
se podía encontrar el acceso al diario personal, el buzón para ponerse en contacto
con el dinamizador, el forum para compartir las respuestas con el resto de
compañeros y compañeras del sitio, las novedades donde se podían encontrar
informaciones útiles o interesantes de matemáticas y el botón para salir del
programa; 5) el enlace con las preguntas. Y además algunos elementos de
incentivo, como frases de ánimo.
13.1.3. Segundo paso: un nuevo sitio web
Después de este primer borrador se elaboró una nueva propuesta de sitio web. La
idea era ofrecer un “cajón de herramientas” para que fueran las personas
participantes las que construyeran la web y las que propusieran tanto las
actividades, como los resultados de las mismas.
La innovación básica era la creación de zonas de diálogo abiertas a la
participación de todas las personas que utilizaban el programa.
Este nuevo sitio web estaba estructurado en ocho situaciones problemáticas,
además de una pantalla de presentación del programa al inicio del mismo y cinco
aplicaciones (diario, forum, recursos, herramientas y buzón). En concreto, este
171
sitio estaba formado por 1 pantalla principal de portada, 1 pantalla de
presentación, 5 pantallas correspondientes a las cinco aplicaciones (o recursos) y
varias pantallas en el tema 1 (en la primera de ellas se contextualizaba la situación
problemática 1 y se ofrecía toda la información necesaria para responder a las
preguntas y en las siguientes pantallas se proponían las actividades).
Figura 13.2. Mapa del segundo sitio web. Fuente: Elaboración propia.
La navegación por este segundo sitio web era totalmente libre, en forma de red
semiestructurada. Las diferentes páginas del sitio web están enlazadas de tal modo
que cada persona podía pasar de una actividad a otra desde cualquier página del
sitio. Sin embargo, una vez dentro de cada una de las actividades, las diferentes
subpantallas (para acceder a todas las preguntas del tema) estaban organizadas de
manera lineal.
De todas maneras, sí que aparecía una ligera estructura para organizar la
información y “orientar” a la persona que utilizaba la web: en todas las páginas
había un menú de opciones, en el borde superior de la página, mediante el cual se
podía acceder a todas las aplicaciones de la web. Además cada pantalla también
tenía un menú vertical a través del cual se podía pasar de una actividad a otra.
Por otro lado, se construyó una interficie pensada para personas que parten de
puntos diferentes en el uso de las nuevas tecnologías. Por eso desde el primer
172
momento se creyó importante primar los elementos gráficos y pensar en iconos de
simbología universal, para facilitar el uso y la navegación a través del programa.
El tema de los diferentes niveles de aprendizaje se resolvió dando total libertad a
las personas participantes para que fueran ellas mismas las que elaboraran las
páginas.
Figura 13.3. Aspecto de una de las páginas del segundo sitio web. Fuente: elaboración propia.
http://www.neskes.net/mates.
173
13.1.4. Tercer paso: modificaciones del sitio web
A lo largo del trimestre todas las personas participantes del grupo comentaron
diferentes aspectos del sitio web, tanto en lo que se refiere a los contenidos, como
la forma de presentarse y estructurar la información. Después de los primeros días
de clase, se detectaron los siguientes problemas en el funcionamiento del sitio
web:
a. Dificultades en la comprensión de las actividades
b. Problemas en el uso de los ordenadores
c. Falta de hábito en el trabajo con los ordenadores que tiene como
resultado no estar familiarizados/as con entornos de trabajo
informatizados, ni con el método de trabajo en paralelo con diversos
programas simultáneos
d. Desconocimiento de cómo funciona la interficie del sitio web del
Grupo de matemáticas dialógicas
e. Dificultades porque se dice que la mayoría de la información de
Internet viene en inglés y no se entiende
f. Naturaleza de las actividades
1. Dificultades en la comprensión de las actividades. Uno de los problemas
detectados fue la dificultad de las actividades planteadas. De las ocho
personas que iban a clase regularmente, todas menos una no supieron qué
tenían que hacer ante la primera actividad planteada. Las personas
participantes afirmaron que el planteamiento de las actividades no estaba
claro, porque no se entendían las situaciones. Uno de los motivos
comentados fue que la información que se daba en cada situación
problemática era muy dispersa: los comentarios de las personas
participantes consistían en preguntar dónde estaban las preguntas.
174
2. Problemas en el uso de los ordenadores. Muchas de las personas que se
apuntaron al grupo nunca habían utilizado un ordenador. Por ese motivo el
acceso al sitio web, tal y como estaba planteado, ocasionó muchas
dificultades de acceso a varias personas y a que primero tenían que
aprender a manejar los ordenadores. Este problema se intentó resolver con
una primera sesión explicativa de cómo funcionan los PC’s y los
programas principales que se iban a utilizar. Sin embargo, quedó patente
que ésta no era la mejor solución de todas, porque la falta de
familiarización fue la variable decisiva. Por otro lado, algunas personas del
grupo enseguida se identificaron como personas que no sabían utilizar los
ordenadores y comentaron que ellas, a su edad, ya no estaban hechas para
trabajar con los ordenadores. Lo importante a destacar es que a lo largo del
trimestre, mediante el diálogo constante entre todas las personas del grupo,
se transformaron estos comentarios y esas mismas personas, que al
principio no se creían capaces de usar las nuevas tecnologías, encendían el
ordenador y se movían por la web sin problemas.
3. Falta de hábito en el trabajo con los ordenadores, que tiene como
resultado
no
estar
familiarizados/as
con
entornos
de
trabajo
informatizados, ni con el método de trabajo en paralelo con diversos
programas simultáneos. El no haber tenido la oportunidad de utilizar
nunca antes un ordenador (o pocas veces) fue, de nuevo, una de las
variables explicativas de las dificultades en el manejo de los diferentes
entornos informáticos. Procedimientos tales como utilizar varios
programas simultáneamente, gracias a la utilidad del entorno Windows, no
eran inmediatos y resultaban una confusión para las personas (incluso si ya
habían utilizado antes el ordenador).
4. Desconocimiento de cómo funciona la interficie del sitio web del Grupo de
matemáticas dialógicas. Otra de las variables que interfirieron en el
aprendizaje fue el propio sitio web. No era fácil encontrar la pantalla
correspondiente a los enunciados de las diferentes actividades, ya que el
sitio web estaba planteado de una manera muy lineal (es decir, era
necesario pasar por diferentes pantallas sin podérselas saltar para llegar a
175
las ventanas de actividades). La interficie no resultó ser intuitiva, fácil de
utilizar, ni se ajustaba a las maneras de hacer de las personas participantes.
El uso de otro entorno informático, como es el caso del programa Clic de
matemáticas, permitió contrastar la interficie y los criterios de usabilidad
de ambos programas y tomar los aspectos más positivos manifestados por
las personas participantes. Las personas participantes en seguida
prefirieron las actividades del Clic a las que aparecían en el sitio web del
grupo. Destacaban la facilidad con la que accedían a las preguntas del
Clic, el estilo directo de las mismas, la claridad con la que estaban
planteadas y los elementos de autoevaluación.188
5. Dificultades ya que la mayoría de la información de Internet viene en
inglés y no se entiende. Una variable externa que no se había tenido en
cuenta, a priori, fue que la mayoría de la información que aparece en
Internet está en inglés, de manera que el idioma se convierte en una
barrera para un gran número de personas. Esta dificultad se resolvió
acotando, de mutuo acuerdo, el uso de los buscadores a páginas web en
español.
6. Naturaleza de las actividades. La principal demanda fue que se ofreciera
un programa de actividades concretas, fáciles de localizar y comprender,
para poderlas responder inmediatamente a lo largo de la clase. El tener que
navegar por diversas páginas para poder responder a una pregunta ha sido
un elemento de dispersión que ha complicado las cosas y ha generado
actitudes de desmotivación e, incluso, rechazo en dos personas en
concreto. Las personas participantes manifestaron que preferían que las
actividades fueran más divertidas y más ágiles.
A raíz de todos estos comentarios se realizaron una serie de modificaciones en el
sitio web entre todos y todas, tomando como punto de referencia las opiniones de
las personas participantes.
188
Lógicamente nuestro sitio web no quiere ser tan simple, sino acercarse a la realidad y
aprovechar las potencialidades del medio interactivo que permite desarrollar procesos más
cercanos a la complejidad.
176
Las modificaciones que se realizaron fueron las siguientes:
1. Reordenar los elementos de las diferentes páginas, de manera que toda la
información apareciese en la pantalla, sin necesidad de utilizar las barras de
scroll para leer o acceder a elementos esenciales en la resolución de la
situación problemática. En el sitio web inicial las páginas correspondientes a
las situaciones problemáticas tenían tanta información que no podía aparecer
toda en la pantalla del ordenador, de manera que los usuarios/as tenían que
utilizar las barras de scroll para poder visualizarla toda. Teniendo en cuenta la
variable del acceso a las nuevas tecnologías189 se diseñó una interficie más
compacta, donde los anteriores documentos se sustituyeron por enlaces
significativos (botones de ayuda, etc.) que se podían abrir simultáneamente
con la página de las actividades. Así, las diferentes informaciones iban
apareciendo en diversas ventanas que era posible mover, abrir o cerrar con
total libertad.
2. Poner las preguntas de cada tema en la pantalla inicial, ya que antes aparecía
primero una página de información que era necesario leer para acceder a las
actividades. En el sitio web final, cuando el usuario/a clicaba sobre los
botones correspondientes a cada uno de los temas, aparecían directamente las
actividades.
3. Incluir espacios para que las personas participantes en el grupo puedan dar
su opinión y valorar las actividades. El sitio web anterior preveía el diario y el
forum como espacios donde las personas participantes podían manifestar su
opinión y explicar qué dificultades encontraban en la resolución de las
actividades. La intención era intentar comprender la manera cómo se aprenden
las matemáticas a través de las propias palabras de las personas participantes.
Sin embargo, el diario y el forum no se llegaron a utilizar más que de manera
puntual, y sin continuidad, porque no se logró crear el hábito y los
comentarios ya se hacían de viva voz en clase. Por eso, además del forum y
189
CREA, 2001, 1998, 1999a.
177
del diario, se incluyó un espacio en todas las actividades, para que las personas
participantes las valorasen y escribiesen cómo han encontrado las respuestas
correctas a cada pregunta. Estos espacios estaban enlazados con una dirección
de e-mail, que funcionaba como base de datos del sitio web a fin de poder
gestionarlo mejor.
4. Elaborar actividades con una mayor diversidad en el tipo de preguntas. Otro
de los inconvenientes que se detectó en la primera versión del sitio web fue la
escasa diversidad en el tipo de actividades propuestas. Tras una reunión de
tesis, se acordó que se incluirían en la web preguntas de cuatro tipos: 1)
preguntas con una opción de respuesta; 2) preguntas con opciones de respuesta
múltiple; 3) preguntas con respuestas abiertas; y 4) informaciones con un
espacio para la reflexión.
13.1.5. Cuarto paso: un sitio web de las personas participantes y
para las personas participantes
El sitio web continuó siendo un conjunto de aplicaciones en html y javascrip,
creadas específicamente para el aprendizaje de las matemáticas y destinado a
personas adultas en los niveles iniciales y medios de alfabetización.
En el sitio web se crearon zonas destinadas al diálogo entre las personas usuarias
del programa, pero también se dejó la opción de responder a las preguntas de
manera individual y escribir el procedimiento utilizado para encontrar la
respuesta. El esfuerzo de explicar cómo se encuentran las respuestas sirve para
que las personas sean conscientes de todo lo que saben y cómo lo hacen. El
objetivo fue que las personas participantes encontrasen en estos espacios
elementos útiles para su propio aprendizaje.
El número de unidades didácticas no varió. De este modo, continuaron siendo 8
situaciones problemáticas, elegidas por las personas participantes en el
178
cuestionario inicial que se pasó durante el primer trimestre del curso 2001/2002.
Los temas de cada una de las unidades didácticas eran los siguientes: 1) reciclar el
papel; 2) demografía; 3) la dieta; 4) mujer y matemáticas; 5) los números enteros;
6) los números cotidianos; 7) las matemáticas de la sociedad; y 8) una visión
artística.
Cada tema contenía un número variable de subpantallas asociadas, en las cuales se
podían encontrar las actividades a responder. Además, en varias de esas
subpantallas existían opciones de ayuda que abrían simultáneamente otras
ventanas en la misma pantalla y que se podían mover, abrir o cerrar libremente,
sin perder de vista la pantalla principal.
Por otro lado, desde todas las pantallas y subpantallas era posible acceder a las
cinco aplicaciones (diario, forum, herramientas, recursos y buzón).
Por último, también se hizo una pantalla de portada y una pantalla inicial, donde
se explicaban las características fundamentales del sitio web.
En cada página del sitio existían tres zonas bien diferenciadas: 1) los menús
rápidos; 2) el espacio donde aparece la información y los sitios para responder; y
3) las ventanas de informaciones adicionales que se abren simultáneamente a la
página donde se está.
En ese sentido en el sitio había páginas que eran aplicaciones, otras que eran
actividades y, finalmente, otras que ofrecían información.
179
Figura 13.4. Mapa del sitio web actual. Fuente: Elaboración propia.
Respecto a los criterios de navegación no existía ningún orden jerárquico entre las
diversas páginas del sitio web. Desde cualquiera de sus páginas se podía acceder a
todas las aplicaciones y temas que había en el sitio web, porque en todas las
pantallas existían zonas de menús rápidos para facilitar la navegación.
Igualmente se modificaron algunos elementos relevantes para facilitar el uso del
sitio por personas que no habían tenido antes oportunidad de utilizar un entorno
web. Por un lado, todos los temas comenzaban directamente por las preguntas y
estaban organizados de tal forma que toda la información relevante aparecía en la
pantalla, sin necesidad de utilizar las barras de scroll. Y, por otro lado, todas las
páginas terminaban de la misma forma (con dos recomendaciones), de manera que
resultan fácilmente identificables, y las personas participantes podían saber
enseguida cuándo habían llegado al final de la página (en caso de ser una página
larga que haga necesario el uso del scroll).
Además, cualquier elemento de ayuda o de ampliar información establecía un
enlace directo a otra página que se abría en una ventana simultánea a la página
que se estaba consultando, de manera que no se perdía el punto de referencia y la
180
persona usuaria podía mover, abrir o cerrar a voluntad las ventanas de ayuda que
iba utilizando.
Por otro lado, los menús rápidos, a los que se hacía referencia antes, facilitaban
tanto la navegación, como el uso y aprovechamiento de los recursos que se
ofrecían en este sitio web.
Los elementos que aparecían en las páginas eran los siguientes: 1) el título del
sitio; 2) los menús rápidos de las aplicaciones y recursos (diario, forum, recursos,
herramientas y buzón); 3) icono de una casa que conduce directamente a la página
de portada; 4) menús rápidos que conducían a cada uno de los ocho temas; 5)
icono con una libreta que servía para ampliar la información (cuando estaba
activado);190 6) icono representativo de cada uno de los temas (a veces se incluyen
dos imágenes que se abren sucesivamente, según se pasase el cursor del ratón por
encima); 7) título del tema con el número identificativo para no perderse; 8)
preguntas concretas de las actividades; 9) espacio reservado a las respuestas; 10)
botón de envío que redirecciona las respuestas a la base de datos vía email; 11)
botones de ayuda que cuando están activados dan informaciones relevantes para
las actividades propuestas; 12) iconos representando dos flechas, que sirven para
avanzar o retroceder una página; 13) notas de recordatorio para utilizar el forum y
el diario.
13.1.6. Etapa final: el diseño y la edición de las actividades sobre
proporciones
Finalmente, después de casi un año trabajando sobre el sitio web, se concretó la
investigación en la resolución de actividades sobre proporciones matemáticas.
Al escoger este tema se tuvo que pensar en introducir nuevos cambios en el sitio
web, acordes con el planteamiento de la investigación. Para ello se tuvieron muy
en cuenta todos los avances que se habían hecho hasta el momento, por lo que a
diseño y uso del sitio se refiere. Igualmente se contemplaron los criterios de
navegación que se habían establecido durante los meses anteriores y la estructura
190
Este icono da acceso a páginas diferentes según el tema en el que se esté.
181
de la web, con el mismo tipo de aplicaciones y herramientas que en el resto del
sitio. De hecho, se construyó una nueva unidad didáctica, aprovechando la misma
interficie que se había construido para la última versión del sitio web.191
La decisión de trabajar el tema de proporciones fue tomada por las personas
participantes. Estas personas decidieron escoger este tema de trabajo por su
relación con la vida cotidiana, después de ver diferentes temas en el libro de
matemáticas que suelen utilizar en clase.192
Una vez decidido el tema, el investigador hizo el diseño a nivel formal de las
actividades, centrándose sobre todo en la idea funcional de la proporcionalidad,193
porque estaba más relacionada con las aplicaciones prácticas del concepto de
“proporción”. En este sentido se trabajó sobre todo con actividades basadas en las
propiedades de semejanza y de continuidad señaladas por Fiol y Fortuny (1990) y
se completaron con las actividades del libro de matemáticas ya citado. Estas dos
propiedades nos remitían a varias situaciones que suelen ocurrir en la vida real.
Así, las ocaciones en las que nos preguntamos si el precio del producto de un bote
más grande es el mismo que el del bote pequeño o es más barato, o para calcular
si llevamos suficiente dinero para comprar cinco kilos de tomates o tenemos que
conformarnos con tres, por poner sólo unos ejemplos.194 También se incluyó
alguna actividad en la que la propiedad a la que se hace referencia era la de
simetría.195
191
Ver apartado anterior para los detalles técnicos.
AA.VV. 2002. Matemáticas. Educación de personas adultas. Barcelona: El Roure.
193
Ver el capítulo “Definición de la proporcionalidad” en esta misma tesis.
194
En el primer ejemplo la propiedad implícita es la semejanza, mientras que en el segundo la
propiedad más relevante es la de la continuidad.
195
Éste es el caso de la actividad de la hoja de papel (ver la parte de metodología).
192
182
Figura 11.5. Aspecto de una de las páginas de las actividades de proporciones. Fuente:
Así pues, se diseñaron un total de 5 pantallas con diferentes actividades sobre el
tema de las proporciones. A lo largo de estas pantallas se utilizaban recursos de
todo tipo, desde películas flash para representar gráficamente la idea de
perspectiva y punto de fuga (mediante una secuencia animada),196 hasta iconos
que daban la información necesaria para resolver la actividad o la explicación en
forma de enunciados de texto.
La resolución de este último conjunto de actividades sobre proporciones (que
coincidió con el uso ese mismo día del libro de texto) se decidió grabar en vídeo,
para ver, a través de los diálogos que se produjeron, cómo se desarrolló la
dinámica en el aula.
A continuación se explica el análisis de la información recogida durante todo el
proceso.
196
Esta secuencia animada se tomó
http://www.edu365.com/intermates/index.htm.
de
183
Pérez,
R.;
Fortuny,
J.M.
(Coord.).
184
PARTE IV
ANÁLISIS DE LOS DATOS
185
ESQUEMA CONCEPTUAL DE LA PARTE IV
Interacción con el medio tecnológico
Componente
COGNITIVO
INSTRUMENTAL
APRENDIZAJE
DE LAS
MATEMÁTICAS
transformador
exclusor
Componente
Componente
Componente
NORMATIVO
AFECTIVO
Interacción con el contenido matemático
Interacción con el grupo
186
Presentamos aquí la cuarta parte de este trabajo. Se trata del relato argumentado
del análisis que hemos realizado, a partir del trabajo de campo recogido, durante
las entrevistas, la tertulia comunicativa y la sesión práctica que se grabó en vídeo,
con el apoyo de las notas que recogimos en el diario de investigación. En el
primer capítulo hacemos una breve incursión en la experiencia y las vivencias que
han tenido las mujeres del Grupo de matemáticas dialógicas, en relación con el
aprendizaje de las matemáticas. Para ello analizamos los resultados obtenidos
desde los tres puntos de vista que hemos comentado en la segunda parte
(correspondiente a la metodología). En este sentido, por un lado, se tiene en
cuenta todo aquello relacionado con el contenido matemático. Aparecen aquí
temas como la imagen que varias de las mujeres del grupo han vivido de las
matemáticas o el sentimiento que les merecen ahora. Y por otro lado, también se
habla de la relación de las personas con el grupo, desde el punto de vista de la
interacción en el aula. De este modo aparecen temas como la solidaridad que se
genera entre compañeras, la importancia del diálogo, etc. Finalmente, hablamos
del medio tecnológico y de su impacto como soporte del aprendizaje. En el
segundo capítulo analizamos en profundidad los elementos que han aparecido a lo
largo de las entrevistas, desde esos mismos tres puntos de vista. Distinguimos a lo
largo de todo el capítulo entre fenómenos exclusores y fenómenos
transformadores, porque lo que nos interesa es averiguar cuáles son las barreras
que dificultan el aprendizaje de las matemáticas, cuáles las maneras de superarlas
y cómo se relacionan con el tipo de matemáticas que hacen las mujeres del grupo
en el aula. Para ello, tenemos en cuenta los cuatro tipos de fenómenos que
intervienen en el aprendizaje de matemáticas, que definimos en la parte
metodológica (cognitivos, afectivos, instrumentales y normativos). En el tercer
capítulo nos centramos ya, únicamente, en los fenómenos cognitivos, por ser los
que más nos acercan a comprender el tipo de aprendizaje de las matemáticas y los
factores que actúan sobre dicho aprendizaje, aspectos que nos permitirán ver si
realmente existe una brecha entre las matemáticas “académicas” y las
“matemáticas de la vida real” y cuál es su impacto.
187
14. DE LAS MATEMÁTICAS VIVIDAS A LAS
MATEMÁTICAS DE LA ESCUELA DE LA
VERNEDA – SANT MARTÍ
En este capítulo comenzamos relatando la experiencia de vida de las mujeres del
Grupo de matemáticas dialógicas. Hacemos un repaso de su memoria y apelamos a
la evocación de sus recuerdos para situar el punto de partida en el que están respecto
al aprendizaje de las matemáticas. A partir de ese “recuerdo” vamos hilvanando la
idea que tienen las mujeres del grupo acerca de las matemáticas y las dinámicas que
se generan en el aula, a partir de las interacciones. Para ello utilizamos los tres
puntos de vista de los que hablábamos en la parte de metodología: la interacción de
las personas con el contenido matemático, la relación de la persona con el grupo y la
relación de la persona con el medio tecnológico.
14.1. La interacción de las personas con el contenido
matemático
Conversando con las personas participantes del Grupo de matemáticas
dialógicas de la escuela de la Verneda, fuimos construyendo poco a
poco la imagen que tienen esas personas de las matemáticas.
Antes era todo de
carrerilla. La tabla
la hacían aprender,
toda. Pero también
te preguntaban
salteado, sí, sí. A
mí me lo
preguntaban
salteado. Es que
era muy diferente a
ahora. El colegio
de antes no había
ni una parte. Ahora
es una gloria todo.
Eso es bueno.
Durante la tertulia, las mujeres que participaron rememoraban la
escuela que habían vivido. Una escuela caracterizada por las grandes
series de números, divisiones inacabables, de cinco o seis dígitos, el
recitar las tablas de multiplicar. Una mujer del grupo lo resume
diciendo que “antes todo era de carrerilla”.
Las matemáticas que han vivido estas personas son muy diferentes de
las que aprenden en la escuela de la Verneda y, por supuesto, no
tienen nada que ver con las actividades informáticas que hicieron en el
grupo.
Cuando explican las actividades que han realizado en el grupo, es muy
sintomático que resalten precisamente la variedad de las actividades,
además de otros elementos relacionados con el propio medio.
Aparecen elementos como la práctica: una mujer del grupo, por
ejemplo, afirma claramente que “las cosas se aprenden poniéndolas
en la práctica y cuanto más se práctica, mejor.” Esta afirmación entra
en contradicción con la imagen de las matemáticas que esas señoras
traían de sus anteriores experiencias escolares. La memoria les trae
recuerdos
de
unas
matemáticas
monótonas,
mecánicas
y
“memorionas”. En las entrevistas las mujeres del grupo relatan cómo
el contenido matemático estaba encorsetado por las “cuatro reglas” y
explican que no se aprendía nada más sobre matemáticas. Campos
tales como la teoría de números, el álgebra, las funciones, la geometría
y tantos otros ámbitos de la matemática, no aparecen en ningún
momento a lo largo de las entrevistas y de la tertulia, salvo cuando se
refieren a lo que están aprendiendo en la escuela de la Verneda, en el
momento actual. En cambio, las matemáticas que sí rememoran son
unas matemáticas estrictamente funcionales. Con esta expresión nos
referimos a que las mujeres del grupo de matemáticas explican que
aprendieron lo justo para saber defenderse en la vida.
Esta relación “vida cotidiana – matemáticas” es una relación muy
marcada que aparece en varias ocasiones, cuando las mujeres del
190
grupo hablan de las matemáticas. Ellas vinculan la parte instrumental
de la disciplina a la utilidad que les ofrece. A menudo las mujeres
comentan que les encantan las matemáticas, porque las encuentran
muy útiles. Éste es otro elemento que, de alguna manera, aparece
ligado al contenido matemático (aunque sea desde un punto de vista
...a mí lo que me
gusta es entender
las cosas, porque
así las hago,
fijándome entonces
no las entiendo y lo
que quiero yo es
entenderlas, pero
vaya...
estrictamente utilitarista).
Y todo esto nos lleva a otro aspecto que aparece en el diálogo con las
mujeres del grupo de matemáticas: para ellas “aprender matemáticas”
no significa repetir la lección (como hace el loro de Denis Guedj).197
Las mujeres no se cansan de decir que saber matemáticas consiste en
comprenderlas, entenderlas, y enfatizan mucho esta afirmación.
A ver, a mí me
gusta todo, pero lo
que más me gusta
es solucionar los
problemas,
digamos, y las
cuentas, cuando...
cuando hay que
dividir, restar o
multiplicar.
Y, por supuesto, aquí cada cual tiene sus preferencias. Hay quien
afirma preferir los quebrados, porque resulta que entiende bien cómo
funciona lo del mínimo común múltiplo y le coge gusto. En cambio,
otras personas ven un problema sobre cómo distribuir unos armarios
en la pared de una cocina y enseguida se entusiasman con ello. A lo
largo de las entrevistas queda claro que cada persona tiene un gusto
distinto y elige un contenido matemático u otro, según sus
preferencias.
Pero no puede por menos que dejar de sorprendernos una y otra vez el
“embrujo” de las matemáticas. Me refiero aquí a que las mujeres del
grupo de matemáticas, cuando te explican lo que les gusta de las
matemáticas, cuando piensan en los contenidos que saben utilizar se
les ilumina la cara y te explican lo que es una gran victoria para ellas.
Y este es otro de los elementos importantes que aparece en la relación
que tienen las personas con las matemáticas. De igual modo que hay
momentos en que la personas relatan sus frustraciones, en otros,
cuando te explican algo sobre una operación que han logrado
entender, lo hacen como el triunfo que realmente significa para ellas.
197
Guedj, D. 1998. El teorema del lloro. Barcelona: Editorial Empúries.
191
A.- Claro, claro.
Porque aquí tienes
menos tres,
negativo, y aquí
tienes dos. Pues de
aquí te sobra uno,
que es este que
pones aquí, claro.
E.- Pues mira,
ahora me lo estás
explicando de una
manera...
A.- Es que está
chupado!
Sin embargo, eso no significa que no surjan nunca dificultades, al
contrario, sí que aparecen y las mujeres explican que cada día se
encuentran con conceptos matemáticos que no logran entender y esto
muchas veces las desmoraliza. No obstante, igual que pierden los
ánimos cuando encuentran alguna dificultad, de la misma manera los
recuperan en cuanto hablan entre ellas y encuentran la forma de
transformar la situación.
Pero cuando eso de
las equis, pues eso
no las entiendo. Lo
de arriba no lo
entiendo, no.
Porque es que yo
no sé si tiene que
jugar el número de
abajo con el de
arriba, si tiene que
multiplicarlo con el
de arriba, o hay que
multiplicar con el
de abajo, no lo sé
En esas circunstancias cada cual tiene su estrategia propia para
afrontar la situación: hay quien explica que pregunta y pregunta y
vuelve a preguntar al profesor o a las compañeras. En cambio, otras
personas prefieren pararse, tranquilizarse y volver otra vez con
renovadas fuerzas a la actividad que se resiste. La actitud frente al
contenido matemático problemático puede variar, pero un punto
común que aparece en prácticamente todas las entrevistas que hemos
realizado es “el espíritu de lucha” que tienen esas mujeres, que no se
preocupan porque no les salga una operación en el momento, sino que
te dicen que tienen todo el tiempo del mundo para aprenderla bien. En
estas situaciones, por supuesto, aparecen multitud de fenómenos que
ya analizaremos en los capítulos siguientes.
Ahora bien, ¿qué hay del contenido matemático, estrictamente
hablando? Pues respecto a esto cabe decir que al hacer las entrevistas
constantemente aparecen números y operaciones, y cálculos, que se
entremezclan con los recuerdos, con los sentimientos y con las
emociones de esas personas. Lo cual es totalmente lógico, porque los
guiones de las entrevistas y de la tertulia (aunque esta última en menor
Sí, pero todo eso,
eso me lo sé muy
bien, porque ya me
dijo mi hijo que el
mínimo común lo
tenía que dividir
entre el de abajo y
luego multiplicar
por el de arriba.
medida) han sido pensados para introducir elementos explícitos de
contenido matemático en las conversaciones.
Todo esto nos sirve para explicar que las mujeres del Grupo de
matemáticas dialógicas de la escuela saben matemáticas y las utilizan
con perfecta desenvoltura en la conversación. Aparecen sumas, restas,
192
paréntesis, mínimos comunes múltiplos, ecuaciones y también las
proporciones, entre otros muchos elementos matemáticos. Y, aparecen
a nivel descriptivo. Con esto quiero decir que no se plantean las
matemáticas desde un punto de vista teórico, entrando en dilucidar las
regularidades y las relaciones abstractas que existen en los conceptos
matemáticos. Se utilizan conceptos como un valor de uso, como
herramientas, pero no se reflexiona en torno a esos conceptos y cómo
funcionan (sus propiedades, sus características, etc.). Como dice una
de las mujeres del grupo, las matemáticas que hacen en la clase son
diferentes de las que hacen los matemáticos.
14.2. La interacción de las personas con el grupo
Pasamos ahora a considerar la relación que tienen las personas
entrevistadas con el grupo. Para comenzar, el primer aspecto que
sobresale es el trabajo en grupo, la colaboración entre varias personas
que comentan, preguntan y reflexionan conjuntamente sobre las
diferentes actividades que aparecen en la pantalla. Las mujeres del
grupo de matemáticas colaboran activamente entre ellas durante la
clase. En el diario de campo se deja constancia de este hecho, que
también aparece en ocasiones durante la conversación en las
Yo la teoría la
tengo buena, lo que
pasa es que yo a lo
mejor estoy
equivocada porque
yo corro mucho... y
pregunto a la de al
lado, sí que yo le
pregunto, porque yo
pregunto mucho y a
mí no me importa
que me pregunten,
y si yo sé una cosa,
pues decírselo a la
compañera, pues sí.
entrevistas.
Las personas participantes hablan, plantean sus dudas en voz alta,
preguntan a la persona que tienen al lado, sin ningún tipo de tapujos y
comparten el conocimiento que tienen sobre cada tema. Y esta
dinámica se aprecia en múltiples formas. Por ejemplo, las personas
adultas siempre preguntan sus dudas. Hay una participación altísima
en el aula. Es más, no sólo participan, sino que exigen del profesorado
una actitud también plenamente activa. Durante varios momentos, en
las entrevistas sobre todo, queda constancia de este rasgo al que nos
estamos refiriendo. La persona no sólo responde a las preguntas que se
193
Pero a ver,
¿estos...? a ver, que
yo me entere bien
porque si no... éstos
se cuentan ocho
positivos. Y éstos
siete negativos?
¿pero se le quitan a
éstos?
le hacen, sino que también pone preguntas, comenta cosas que no
entiende, etc.
Todo esto nos lleva a otro elemento que aparece continuamente
durante el trabajo de campo con las personas participantes: la
transformación de las dificultades. Las mujeres se ayudan mutuamente
en la clase, colaboran entre ellas, buscan la respuesta a los problemas
matemáticos y se explican unas a otras los diferentes conceptos. Esto
da lugar a la aparición de una riqueza muy grande dentro de la clase,
puesto que el trabajo en grupo contribuye a la aparición de múltiples
explicaciones y caminos diferentes para llegar al mismo resultado. Por
otro lado, es importante resaltar otro elemento que es clave: en varias
ocasiones la explicación que da una mujer del grupo de matemáticas
acaba resultando más comprensible que la que ofrece el profesor o la
que se encuentra explicada en el libro y la comparten entre ellas.
Como dice una de las personas que intervinieron en la tertulia, “había
dos o tres señoras que no lo entendían, pues particularmente pasé del
profesor y se lo expliqué a aquella señora...”.
La dinámica de grupo en ocasiones da lugar a compartir las mismas
sensaciones hacia las matemáticas y se crean complicidades implícitas
entre varias mujeres que comparten los mismos miedos y las mismas
ilusiones. En la tertulia, por ejemplo, aparecen varios comentarios de
este tipo. Una mujer interviene y, enseguida, el resto de compañeras (o
algunas de ellas) dan muestras de asentimiento a lo que dice. No
obstante, la relación de cada persona con el grupo siempre adopta
formas diferentes. Hay quien encuentra en el grupo el apoyo necesario
para continuar estudiando y hay quien prefiere optar por vías más
individuales y no participa tanto. Hay quien revierte en el grupo sus
propias dudas y quien explica la manera que utiliza para resolver un
determinado ejercicio. El grupo entero se nutre con todas estas
interacciones y el resultado es un colectivo de personas vivo,
dinámico. A lo largo de las entrevistas, de la tertulia, del diario de
194
campo y del vídeo digital, queda patente cómo las mujeres se ayudan
unas a otras y que existe una gran colaboración entre todas ellas.
14.3. La interacción de las personas con el medio
tecnológico
Finalmente, vamos a referirnos a la relación que mantienen las
personas con el medio tecnológico (es decir, con el ordenador, con la
pizarra, con el libro de matemáticas, etc.). Este aspecto tiene una
relevancia especial para las personas que integran el grupo de
matemáticas dialógicas de la escuela de la Verneda, porque una de las
cosas más notables que han hecho es la construcción del sitio web. En
el diario de campo se relatan los debates que se produjeron dentro del
aula sobre cómo hacer la página web de matemáticas. De todas
maneras, lo que hay que resaltar es el uso del ordenador como una
herramienta técnica que permite la construcción de un entorno de
aprendizaje.
La relación que establecen las personas participantes con los
ordenadores depende del grado de conocimiento que tengan de la
herramienta. A lo largo de las entrevistas, así como de las tertulias, y
durante las horas que estuvimos juntos en el aula de informática, las
mujeres del grupo muchas veces preguntaban cómo se utilizaba tal o
cual aplicación informática, pedían que se les conectara el programa
de matemáticas o preguntaban a la persona de enfrente cómo había
encontrado el resultado de un ejercicio concreto. El diálogo siempre
aparece como un elemento presente, que permite manifestar y resolver
las dudas.
195
Normal, es que es
normal, porque
muchas veces vas y
miras cómo lo has
hecho para ver
cómo lo puedes
hacer, y miras la
libreta... y vas
viendo la lógica,
vull dir...
haciéndolo.
Más adelante comentaremos cómo se utilizan los diferentes soportes
No, no, a ver, todo
esto está muy bien,
lo que es, lo que es
el ordenador y todo
eso, si lo sabes
manejar, tanto si
son matemáticas
como si es lo que
sea, está muy bien,
y es más rápido, en
el sentido que ves
una cosa allí que
d’eso, y entonces
pues ya lo haces, y
no estás allí una
hora pues, así...
tecnológicos,198 pero en este apartado sobre la experiencia de vida lo
que queremos resaltar son las ganas con las que las mujeres del grupo
iban al aula de informática. A lo largo no sólo de las entrevistas y de
la tertulia, sino en el vídeo y durante las sesiones del Grupo de
matemáticas dialógicas, se constata que las mujeres del grupo de
matemáticas dialógicas de la escuela han disfrutado aprendiendo
matemáticas en un medio tecnológico, como es el aula de
ordenadores. Comentarios como “yo me lo paso muy bien, con el
ordenador” o “es más entretenido, haces más cosas”, son habituales y
dan idea de la relación que establecieron esas mujeres con el medio de
aprendizaje. Para varias de ellas el tema de los ordenadores es
Hombre, a mí el
ordenador me
divierte mucho y
me pongo muy,
mira yo muchas
veces no vengo
porque digo la
gente dirá: esta
señora está loca,
porque, porque me
emociono tanto, y
me gusta tanto, que
yo qué sé.
completamente novedoso: es la primera vez que tienen la oportunidad
de trabajar con uno de ellos. Y eso lo viven como algo motivador, tal
y como se desprende de los comentarios que hacen durante las
entrevistas y en la tertulia comunicativa.
Ahora bien, de igual modo que hemos descrito este cúmulo de
sensaciones positivas de la relación que establecen las personas
adultas del grupo de matemáticas con el medio en el que están
aprendiendo las matemáticas, también es cierto que otras veces las
A la gente que les
cuestan más las
matemáticas, la
idea del ordenador
les hacía más
llevaderas las
matemáticas. Había
señoras que
disfrutaban con el
ratoncillo, pa’rriba,
pa’bajo...
mismas mujeres hacen comentarios sobre el desconocimiento de las
herramientas (de los ordenadores, en este caso). En estas ocasiones los
comentarios no son tan positivos como explicábamos anteriormente.
Las personas participantes revelan sus miedos, sus reparos y las
angustias que les producen las tecnologías de la información y de la
comunicación. Frases como “es que no es tan sencillo” o “también hay
que pensar que no somos jóvenes”, denotan el sentimiento de respeto
que produce el manejo de ordenadores. Durante la clase, a menudo,
aparecían situaciones de cierto apuro para las personas participantes,
como era el manejo del ratón, por ejemplo. El uso de ese aparato
electrónico supone una coordinación entre los movimientos de la
198
Ver el apartado “El análisis de la relación entre la persona y el medio
tecnológico” del capítulo 14.
196
mano y el recorrido que hace el cursor por la pantalla, saltando de una
opción a otra del programa informático. Las personas que no tenían
práctica en el uso de este tipo de herramientas encontraron que el uso
del ratón era algo complicado al principio. Otro ejemplo, que muestra
la relación complicada con el medio, fue la disposición de las diversas
páginas que formaban parte del sitio web. Las personas participantes
pedían la ayuda al profesor para acceder a las diversas actividades y,
Lo que pasa es
que... como no sé
navegar, pues hasta
que no llegaba al
sitio, pues me
costaba mucho.
Ahora, una vez que
ya estaba
encarrilao, pues era
muy distraído, muy
divertido.
al principio, no entendían qué significaban las diferentes formas que
adoptaba el cursor en la pantalla (que pasaba de puntero con forma de
flecha a una mano señalando con un dedo, según si el cursor
atravesaba por una zona activa de la pantalla o por una zona no
activa). Éstos son dos ejemplos que describen la relación inicial que
mantuvieron la mayor parte de las mujeres del grupo con el medio de
aprendizaje. Por otro lado, otra de las barreras que se derivaron de la
relación entre las matemáticas y el medio tecnológico fue la claridad
en la presentación del enunciado de las actividades. A veces la
secuenciación a través de diferentes pantallas y el uso de “trucos” para
Ése es otro tema...
El tema del ratón
siempre es algo que
todo el mundo... Y
no sé, a nivel de
cosas del programa,
cosas que tú dijeras,
pues esto lo veo
muy difícil para
nosotras...
introducir informaciones aclaratorias o ayudas para resolver las
actividades no fue lo suficientemente clara, debido a la falta de hábito
en la navegación por páginas web de la mayoría de las mujeres del
grupo.199
Todos estos aspectos constituyeron los elementos exclusores del
aprendizaje, que se derivan del desconocimiento o falta de hábito en el
uso de las tecnologías. La mayor parte de las mujeres del grupo de
matemáticas explican que no utilizan los ordenadores habitualmente.
Algunas tienen ordenador en casa, pero lo utilizan los hijos y ellas ni
se acercan. Otras no tienen ordenador, porque tampoco se han
planteado nunca la idea de tener uno. Éstos son ejemplos de la
“brecha digital” de la que hablan los especialistas en teorías de la
comunicación. Eco (1993), por ejemplo, utiliza los conceptos de
“interactuantes” e “interactuados” para referirse las “personas que
199
Como ya se ha explicado en el capítulo 13, sobre las etapas de la investigación,
éste fue uno de los motivos para rediseñar el sitio web.
197
Pero ¿ves? Aquí
ves que es una
resta, una suma,
una multiplicación,
una división. Pero
es que hay
programas allí que
no sabes lo que es.
Entonces, tú te
imaginas algo y
empiezas a
contestar y no es
aquello, o... a lo
mejor es que se ha
de escribir de otra
manera distinta a la
que lo escribes tú.
tienen acceso a los medios y a la gestión de la información” y las que
“no tienen dicho acceso” (respectivamente). El no tener acceso es una
nueva forma de desigualdad social.200
Estas dificultades iniciales no lograron mermar el interés de las
mujeres del grupo por el trabajo en el aula de informática, sino al
contrario. Las personas participantes se mostraron siempre muy
contentas de poder aprender matemáticas en un medio informatizado.
Esta dicotomía entre la sensación de dificultad y la motivación son los
dos elementos que más se destacan en todas las transcripciones que
hemos analizado, por lo que respecta a la interacción entre las mujeres
del grupo de matemáticas dialógicas y el medio en el que desarrollan
el aprendizaje.
A lo largo de este capítulo se puede ver cómo las matemáticas son un
tema de interés para las mujeres del Grupo de matemáticas dialógicas.
Estas personas identifican claramente la existencia de una
“diferencia” entre la imagen de las matemáticas que tenían y las
matemáticas que se encuentran en la escuela de La Verneda. Según
ellas, esta diferencia viene dada por varios motivos, pero sobre todo
por la diversidad de las actividades que ven en el aula y también
porque se les pide que entiendan las operaciones que realizan, no que
las hagan “de carrerilla”. Ésta es una de las aportaciones más
interesantes de este capítulo: las mujeres del grupo exigen entender
las matemáticas. A lo largo del análisis de los comentarios que hacen
las mujeres del grupo, vemos que para ellas “entender” una operación
matemática significa ser capaces de utilizarla y resolverla. Se trata de
una idea pragmática de “comprensión” más ligada con la aplicación
práctica de las matemáticas en la vida cotidiana para resolver
200
Ver el capítulo 1.
198
situaciones problemáticas, que con la propia naturaleza de la
operación en cuestión. Como dice una de las mujeres entrevistadas:
“Sí, sí. Bueno, porque es que las matemáticas es como la vida misma,
hijo mío. Porque tú, pongo por ejemplo, dices, lo dices muchas veces,
ay lo que me ha costado esto, no sé qué no sé cuántos, y tú dices, pues
esto es también pues equivale a que tengo que hacer yo tanto, un
trabajo de lo que sea, claro, equivalencias matemáticas... El exponente,
y todo, y todo lo que se habla en matemáticas se habla en general.”
En su diálogo no aparece, en ningún momento, que la equivalencia es
una propiedad que cumplen todas las proporciones, por ejemplo.201
En cambio, sí que aparece su interés por saber aplicar ese
conocimiento a la vida real. Y para ello necesita entender por lo
menos la equivalencia a nivel cuantitativo.
Las tecnologías aparecen como herramientas que facilitan llegar a ese
entendimiento, aunque, a veces, resultan difíciles de manejar (por
diversos motivos, como el desconocimiento, por ejemplo). Aquí
aparece otra de las aportaciones relevantes del capítulo: el debate
sobre cuál es el mejor soporte para facilitar el aprendizaje de un
concepto, el papel, el ordenador o las “cuentas de cabeza”. Respecto a
este punto se puede decir que depende de la experiencia previa de
cada persona. Si la persona está acostumbrada a hacer todo “de
cabeza”, las máquinas se convierten en engorros, ya que hay que
aprender a utilizarlas para sacarles provecho. Y, al revés, quien
maneja normalmente máquinas (como la calculadora, el ordenador,
etc.), las prefiere para resolver las operaciones.
Finalmente, otra de las aportaciones que se destaca en este capítulo es
la forma de aprender matemáticas mediante el diálogo. La solidaridad
en el aula, entre compañeras, es un recurso reconocido como
201
Si P(a,b) = P(a’, b’), significa que tiene que haber dos números x e y que,
multiplicados por a y b, den como resultado a’ (a’=a·x) y b’ (b’=b·y), de manera
que a/b y a’/b’ son equivalentes.
199
fundamental para abordar las situaciones problemáticas. Las clases de
la escuela de la Verneda son clases altamente participativas, en las que
las personas colaboran entre ellas para entender y resolver las
diferentes actividades que aparecen durante las sesiones de clase.
200
15. ANÁLISIS DE LOS DATOS EN BASE AL
MODELO DE VARIABLES PROPUESTO
Después de la descripción de los aspectos que hemos ido observando durante el
trabajo de campo, en este capítulo entramos a analizar las diferentes situaciones y
comentarios que hacen las personas adultas en la clase de matemáticas. Para ello
utilizamos el modelo de cuatro componentes que hemos construido a partir de la
lectura de Habermas y del trabajo científico de CREA. Los componentes cognitivos,
afectivos, instrumentales y normativos tratan de constituir un modelo que atraviesa
todos los acontecimientos que se producen dentro de la clase, desde esos cuatro
puntos de vista. Además, consideramos que la acción siempre se desarrolla desde
una perspectiva social, objetiva o subjetiva, y que los matices que introducen ambos
puntos de vista son importantes en la comprensión de los diferentes fenómenos que
hemos ido observando a lo largo del capítulo anterior. De igual modo, organizamos
la información en torno a los tres ejes de análisis que venimos utilizando durante
toda la investigación: la interacción de las personas con el contenido matemático, la
relación de la persona con el grupo y la relación de la persona con el medio
tecnológico. De esta manera, se mantiene la coherencia de la investigación y, por
otro lado, esta estructura nos permite continuar profundizando en un análisis más
pormenorizado de la información recabada.
201
15.1. El análisis de la relación entre la persona y los
contenidos matemáticos
A lo largo del análisis nos hemos encontrado con diversas situaciones,
vivencias y formas de actuar de las personas participantes, que se
pueden recoger a través de los componentes cognitivos, de los
instrumentales, de los afectivos y de los normativos. Aparecen
aspectos conocidos de la Psicología del Aprendizaje, como son la
repetición de conceptos (idea que nos trae a la memoria las teorías de
corte conductista o neoconductista) o la consecución de éxitos.
Aparecen también elementos más relacionados con los procesos
psicológicos superiores (Vigotsky, 1979b), cuya interpretación nos
remite a las teorías cognitivistas (especialmente a la corriente soviética
o a la Gestalt).
Además, también aparecen detalles que nos sitúan en la dimensión
normativa del aprendizaje de las matemáticas, a propósito del impacto
de las reglas y de la simbología matemática en el aprendizaje que han
realizado las personas del Grupo de matemáticas dialógicas.
Asismismo encontramos componentes afectivos, que resultan ser uno
de los aspectos más cruciales a la hora de aprender matemáticas, como
veremos más adelante.
Antes de pasar al análisis pormenorizado de la relación entre la
persona y el contenido matemático, adjuntamos un breve esquema
donde se apuntan los elementos que se comentarán en cada una de las
dimensiones de análisis.
202
Cognitivos
-
Las alusiones al método de enseñanza
La inteligencia cultural
La consideración del saber previo propio
La creación de sentido
La repetición
La comprensión
Los errores conceptuales
Las metáforas
Afectivos
-
La vivencia del bloqueo
El éxito
Instrumentales
-
La percepción
La práctica de ejercicios
La existencia de conceptos desconocidos
Normativos
-
Los símbolos matemáticos
Los procedimientos matemáticos
El uso del lenguaje matemático
El estudio de las normas
Esquema 15.1. Fenómenos del análisis de la relación que establecen las personas
con los contenidos matemáticos. Elaboración propia.
En las secciones siguientes entraremos a analizar todos y cada uno de
estos fenómenos. Lo vamos a hacer destacando tanto fenómenos que
son transformadores, como fenómenos que son exclusores.
Las alusiones al método de enseñanza
Antes ya hemos visto que uno de los aspectos que resaltan las
personas participantes, cuando reflexionan sobre los contenidos del
currículum de matemáticas, es la diferencia que existe entre lo que
hacen actualmente en clase y lo que hacían cuando eran niñas.202
Los métodos de enseñanza tradicionales (tengan connotaciones
conductistas o bien procedentes de otras perspectivas asociacionistas,
202
Ver capítulo anterior.
203
como
el
procesamiento
de
la
información
o
las
teorías
computacionales de los años ochenta)203 originan un tipo de
aprendizaje caracterizado por la respuesta (más o menos) mecánica a
las preguntas o a las situaciones problemáticas con las que se
encuentra el estudiante.
En cambio, ellas prefieren entender las actividades matemáticas. De
esta forma, las propias mujeres resaltan la existencia de una conexión
entre el contenido y el saber, que, a nivel cognitivo, va más allá de la
simple repetición de las ideas. Con su visión crítica lo que están
haciendo es remitirnos al debate que se estableció entre las teorías
conductistas y la línea organicista y estructuralista, que sugieren que
existe una “conexión” significativa entre los conceptos.
Siguiendo lo que dice Pozo (1990) sobre las diferencias entre las
teorías asociacionistas y las teorías de la reestructuración,204 el
testimonio de las personas participantes avala la metodología didáctica
que se basa en la creación de sentido. Las teorías cognitivas de la
reestructuración utilizan un paradigma funcionalista (la mayor parte
203
Como, por ejemplo, la teoría ACT de Anderson (Pozo, 1990), que se basa en la
idea de que “todos los procesos cognitivos superiores, como memoria, lenguaje,
solución de problemas, imágenes, deducción e inducción son manifestaciones
diferentes de un mismo sistema subyacente.” (Pozo, 1990: 119). Desde este punto de
vista el sistema cognitivo de las personas está formado por tres tipos diferentes de
memoria: declarativa, de producciones y de trabajo. Entre estos tres tipos de
memoria se desarrollan múltiples procesos diferentes, tales como: almacenamiento y
recuperación, emparejamiento, ejecución y aplicación. Y, finalmente, entre este
sistema cognitivo y el mundo exterior aparecen procesos tales como la codificación
de las informaciones que vienen del exterior y la actuación sobre dicho mundo
exterior. O la teoría general de los esquemas, en la que destacan trabajos de Bartlett
o Piaget (Pozo, 1990). “La unidad básica del procesamiento serían los esquemas,
consistentes en «paquetes de información» sobre conceptos genéricos.” (Pozo,
1990: 137). Los autores que se sitúan en esta tradición de pensamiento afirman que
entre los diversos conceptos que forman un esquema existe una relación semántica,
de manera que se crean árboles de significado formados por conjuntos de esquemas
interrelacionados entre sí. Ésta es la base de técnicas como los mapas conceptuales.
204
Pozo (1990) establece varias diferencias entre ambas tradiciones de pensamiento
en la psicología cognitiva: mientras que las teorías asociacionistas asumen un
concepto estático del aprendizaje, atomista, basado en el principio de la
correspondencia, donde el sujeto es una “caja negra” entre los estímulos que
proceden del exterior y la respuesta que dicho sujeto da, las teorías organicistas o de
la reestructuración asumen que la relación del sujeto con el entorno es dinámica, que
se aprende por insight, según unos autores, o por un proceso de equilibración entre
la asimilación y la acomodación, según otros autores.
204
de las veces) para explicar cómo aprendemos las personas y
establecen un sistema organicista formado por los estudiantes y el
medio ambiente en el que están. El aprendizaje es el resultado del
intercambio dinámico entre estudiantes y medio.
La inteligencia cultural
Algunos métodos didácticos basados en teorías cognitivas, como el
conductismo (especialmente las teorías de Thorndike, 1913 y Hull,
1943, sobre el aprendizaje por refuerzo) o las teorías cognitivas
enfocadas desde un punto de vista individualista (Tolman, 1977;
Greeno, 1989, etc.), conducen a la construcción de enormes brechas
entre las personas que “saben” y las que “no saben”. Las expectativas
que cada cual crea sobre sí mismo, según esté etiquetado como
“persona que sabe” o como “persona que no sabe”, son muy
diferentes. Mientras que la persona que “sabe” desarrolla una imagen
positiva y motivadora de la escuela, a quien “no sabe”, a menudo, le
ocurre precisamente lo contrario.
Este fenómeno es una barrera muy importante que dificulta el
aprendizaje de todas las personas y agudiza situaciones de desigualdad
que se producen dentro del aula, porque crea bajas expectativas que al
final acaban por autocumplirse.205
205
La desigualdad que se produce entre las diferentes personas tiene causas tanto
individuales como sociales. Por un lado, cada persona es diferente, tiene una forma
de pensar y de interpretar la realidad propia, motivada por su propia biografía. Pero,
por otro lado, es importante resaltar que las desigualdades también tienen una
vertiente social. Numerosas investigaciones (Bourdieu, 1979; Bernstein, 1988, 1989,
1993; Baudelot y Establet, 1971, etc.) dejan constancia de esa desigualdad social
desde diferentes puntos de vista (con alguno de los cuales no coincidimos por ser
claramente reproduccionistas de esa desigualdad que denuncian). El grupo social de
pertenencia (Wright, 1984), el contexto de vida, la tradición cultural, la familia, el
barrio, etc., son algunos de los elementos sociológicos que explican las diferencias
entre las personas. Y todas estas diferencias se manifiestan dentro del aula, donde es
importante que exista una orientación clara hacia la igualdad de oportunidades, para
que todas las personas (independientemente de dónde provengan) puedan tener
acceso al mismo nivel de conocimientos y tengan las mismas ocasiones de
desarrollar sus inquietudes y sus sueños.
205
Sin embargo, en una clase donde se aplica un método de enseñanza
basado en el aprendizaje dialógico, esto no ocurre. Desde el
aprendizaje dialógico se desarrolla una metodología didáctica basada
en estrategias cognitivas y que potencian las capacidades de todas las
personas por igual.
La inteligencia cultural es una característica del aprendizaje
dialógico206 que deja constancia de la diversidad de formas de
entender los conceptos que se aprenden dentro del aula. Todas las
personas tenemos inteligencia. Lo que ocurre es que cada cual
desarrolla más unas formas de inteligencia que otras. En el aula de
ordenadores había una mujer que aprendió a encontrar sola la
calculadora del Windows y a partir de aquel momento ya no volvió a
utilizar el papel para hacer las operaciones necesarias para resolver las
diferentes actividades que aparecían en el ordenador. Era una señora
terriblemente inquieta, ávida de saber nuevas cosas, que quería
conocer las entrañas del ordenador y encontrarle todas las utilidades
posibles. Se trataba de una mujer que no había ido nunca a la escuela,
pero que aprendió matemáticas (entre otras cosas) gracias a que un
hombre de su pueblo le enseñó y le ponía deberes todos los días.
La consideración del saber previo propio
Otro elemento a resaltar dentro de las variables cognitivas sociales es
lo que denominamos “saber previo”. Todas las personas tenemos una
experiencia de vida que nos marca y que nos aporta diferentes
maneras de resolver problemas de la vida cotidiana y esto es
particularmente cierto en el caso de la educación de personas
adultas.207
206
Flecha, 2000.
Tal vez ésta sea una de las diferencias más marcadas entre la educación infantil y
la educación de personas adultas.
207
206
En la Unión Europea hace años que se están realizando importantes
esfuerzos en el reconocimiento académico de las habilidades y de las
capacidades que cada persona ha desarrollado a lo largo de su vida.
Varios
países
(como
el
Reino
Unido,
por
ejemplo)
han
institucionalizado este esfuerzo, las “políticas APEL” (políticas de
reconocimiento de la experiencia previa). Mediante métodos diversos,
como el portafolio o la entrevista, las escuelas reconocen y acreditan
aquellos conocimientos del currículum que tienen las personas.208 La
Unión Europea ha financiado diversos proyectos Sócrates para
difundir y dar a conocer las “políticas APEL”.209
Las mujeres del grupo de matemáticas proceden de diferentes
ambientes y han tenido una experiencia de vida muy diferente todas
ellas. Así, encontramos a personas que no han conocido la escuela y a
otras que salieron disgustadas de ella o que tuvieron malas
experiencias. En el mismo espacio comparten la clase con otras
mujeres que tienen buen recuerdo de la escuela, pero que debido a las
circunstancias sociales de la época tuvieron que abandonar los
estudios para ocuparse de las tareas de la casa. Todas estas realidades
configuran un mosaico diverso de experiencias, sensaciones, y
conocimientos, que compartido, da lugar a un entorno de aprendizaje
igualitario.
Durante las entrevistas las personas adultas destacaban la importancia
de este tipo de conocimientos adquiridos a lo largo de sus vidas. De
todas maneras, en un primer momento, prácticamente siempre estos
conocimientos aparecen desligados de la noción de “saber
matemático” y las personas adultas no los relacionan hasta que no se
produce el debate sobre la distancia que separa las “matemáticas
208
Ésta es una práctica que en España todavía no está institucionalizada y que se
deja a la discrecionalidad de cada centro educativo de EA, que es quien decide
reconocer la experiencia previa de las personas adultas y cómo hacerlo (mediante
examen, entrevista, portafolio, etc.).
209
Es significativo que un proyecto de la Comisión Europea sobre APEL (en el que
CREA ha participado) se renovó en dos ocasiones consecutivas, aspecto que indica
la importancia que se otorga a este tipo de proyectos.
207
académicas” de las “matemáticas de la vida real”. Esto es un ejemplo
de la paradoja de la “invisibilidad” de la que habla Niss (1995) en sus
artículos y constituye un claro elemento exclusor que dificulta el
aprendizaje de las matemáticas, porque las mujeres del grupo creen
que ellas “no saben matemáticas” cuando existen numerosos ejemplos
de lo contrario, como iremos viendo.
La creación de sentido
Otro dato revelador es la apropiación del lenguaje matemático por
parte de las personas participantes. Esta “apropiación” no se hace
como algo carente de sentido: las citas que se adjuntan muestran como
cada palabra, que se refiere a un símbolo o a un procedimiento
matemático, se utiliza como herramienta para explicar cómo se
resuelve esa situación concreta.
Esta “apropiación” muestra que las personas participantes adquieren la
B.- ah, sí, claro, si
hay un puntico
aquí. Que son 4
por 3, 12, no? Pero
menos. Pero ahora,
menos por menos
es más. Porque has
puesto aquí más.
Bueno, ahora ya lo
veo. Ahora ya está.
Y ahora hay que
sumarle los 36.
Vale, ya está.
claro, son menos
diez. Eso está
cogido ya. Vale,
ahora vamos a éste.
nomenclatura y los procedimientos y “se los hacen suyos”, es decir,
los dotan de sentido.
Quisiera distinguir claramente entre este tipo de sentido y el “sentido
matemático”, que es un concepto totalmente diferente. El “sentido
matemático” es una idea que nos remite al propio significado de las
matemáticas. Newman (1969), en la introducción a los seis artículos
que presenta en Matemática, verdad, realidad, escribía sobre lo que
significan las matemáticas:
“Las afirmaciones matemáticas son constrictivas, pero su fuerza es de
una naturaleza especial: son verdaderas, pero su verdad está definida
de un modo peculiar. El razonamiento matemático es riguroso y
deductivo y las proposiciones matemáticas son simplemente las
consecuencias de aplicar ese razonamiento a ciertos axiomas
primitivos.” (Newman, 1969: 6).
208
Aunque existen diversos puntos de vista sobre lo que hace que un
argumento pueda calificarse con el adjetivo de “matemático”, tal y
como reconoce Newman (1969), parece que está comúnmente
aceptado por la comunidad científica internacional, que el sentido
matemático de un argumento reside en el cumplimiento de unos
determinados
rasgos
relacionados
con
un
método
y
unos
procedimientos de carácter deductivo, más o menos rigurosos, y
sistematizados de acuerdo con algún tipo de criterio axiomático. Se
trata de un “sentido” ligado al objeto de aprendizaje desde el punto de
vista instrumental. Sin embargo, cuando nosotros utilizamos el
conjunto de palabras “creación de sentido”, no nos estamos refiriendo
en absoluto a este tipo de “sentido” que acabamos de explicar.
La “creación de sentido” es un rasgo del aprendizaje dialógico.210
Estas palabras indican un fenómeno: la apropiación que hace una
persona de un aprendizaje en la escuela. Así, se produce “creación de
sentido” cuando el objeto de estudio deja de ser un concepto frío,
abstracto y lejano, y pasa a formar parte de la vida de la persona (del
mundo de la vida cotidiana, en lenguaje fenomenológico). De este
modo, por ejemplo, la lectura no deja de ser un aprendizaje. No
obstante, en el momento que esa “lectura” abre las puertas al
conocimiento y a la autonomía de la persona, para desenvolverse con
total libertad en las más diversas situaciones, deja de ser un simple
aprendizaje. Entonces se convierte en un conocimiento lleno de
sentido y de significado para la persona, que de repente es capaz de
dejar de depender de otras personas para moverse por un mundo
alfabetizado.
Lo mismo ocurre con el aprendizaje de las matemáticas. En el
momento que alguien aprende a sumar y restar, deja de depender de
terceras personas y es más libre en el mundo que le rodea para tomar
decisiones. El sentido de ese aprendizaje es precisamente esa libertad,
210
Flecha, 2000.
209
ese conocimiento, que abre las puertas a nuevos horizontes, antes
vedados a la persona. Por tanto, crear sentido, para nosotros (y desde
la perspectiva del aprendizaje dialógico), es crear las oportunidades
para acceder libremente al conocimiento, no aprender mecánicamente
retahílas de significados en listas inmensas de conceptos.
Entonces iba yo al
banco y me decía
las cosas y, a pesar
de que yo las
entendía, pues
como que no las
entendía. Me
hacían firmar y
bueno, no podía ni
firmar, de lo... que
me temblaba la
mano.
Cuando analizamos lo que ha ido ocurriendo en el aula de informática,
así como las entrevistas y otra documentación que hemos acumulado a
lo largo de estos dos años, vemos detalles que muestran la creación de
ese “sentido” del que estamos hablando. Por ejemplo, una señora del
grupo de matemáticas dialógicas explicaba que tenía mucho miedo de
ir al banco, porque no entendía nada y eso le creaba muchas
inseguridades. Después de un año en la escuela, la misma persona dice
que esa inseguridad que tenía en espacios públicos, donde era
necesario tener una serie de conocimientos adquiridos, la ha superado.
El análisis de situaciones como ésta (y otras parecidas) muestra como
la “creación de sentido” propia del aprendizaje dialógico es un rasgo
Cuando vine a
hacer certificado,
la primera tarde, le
dije a la Rosa,
mira, yo me pongo
aquí en una mesa,
yo solita, porque
como me miren las
señoras, yo no voy
a escribir. Y nada,
y a los dos días me
puse y, ahora sí,
ahora ya lo he
superado.
fundamental en el aprendizaje. Es un ingrediente de la ilusión por el
aprendizaje que motiva profundamente a las personas, porque las hace
más libres y más autónomas. Las personas adultas del Grupo de
matemáticas dialógicas en ningún momento han aprendido para
“superar un examen”. Esas personas van a la escuela de adultos por el
gusto de aprender y tener más conocimientos, para poder depender
menos en la toma de decisiones que todos tenemos que afrontar en
nuestra vida cotidiana. Y la enseñanza tiene sentido por eso, no por
saber el nombre de una función matemática concreta o por ser capaz
de calcular proporciones con los ojos cerrados. Por este motivo, la
relación que tienen las personas con los contenidos matemáticos
queda supeditada al sentido que encuentran en el aprendizaje de esos
contenidos.
210
La repetición
Para las personas participantes “aprender” no significa saber recitar la
lección, significa mucho más. Las mujeres del Grupo de matemáticas
dialógicas de la escuela afirman que existe una diferencia clara entre
“repetir la lección” y “entenderla”.211
Esa “diferencia” tiñe el concepto de matemáticas y aparece, a menudo,
en el discurso de las personas adultas que afirman querer “aprender”
matemáticas. Aprender implica “saber” el significado de aquello que
se está haciendo. Y hay una diferencia muy grande entre aquellos
ejercicios que se resuelven de una manera mecánica y aquellos otros
que implican un esfuerzo de razonamiento lógico-matemático, como
comentábamos ya en el apartado sobre “las alusiones al método de
enseñanza”.
A lo largo de las entrevistas, las mujeres del grupo entretejen sus
reflexiones sobre las matemáticas con su experiencia respecto a la
escuela. En estos pasajes construidos de recuerdos pasados, varias de
esas personas critican la forma en que les enseñaron las matemáticas
cuando eran más jóvenes. Como ya hemos visto en el apartado sobre
el método de aprendizaje, en la escuela franquista los maestros
aplicaban métodos de enseñanza basados en procedimientos
totalmente conductistas: repetición, premio y castigo, asociación
rápida de ideas, etc. Las personas del grupo de matemáticas se
quejaron varias veces que eso no era aprender matemáticas, ni nada, y
muestran una preferencia clara por el contenido de las clases de
matemáticas que hemos visto juntos y juntas, durante las horas que
pasamos en el aula de informática.
211
Alsina sintetiza muy bien esta idea en la introducción de la lección magistral que
pronunció para abrir el curso 2002/2003 en el edificio del teatro del Campus Mundet
de la UB. Destaco aquí un fragmento: “Escarlata: ¡Oh Red! Lo han destruido todo.
No saben las tablas, no saben los afluentes del Ebro, no conocen lo que es el
esfuerzo... ¿a dónde iremos a parar? Red: Pitjor que nosaltres no crec que surtin,
Escarlata. Nosaltres no vàrem aprendre res de debó. Vàrem ser cotorres esforçades
de taules i llistes però res més.” (Alsina, 2002: 7).
211
Saber hacerlo de
una manera, de
otra, el
entenderlo...
Las personas participantes tienen una postura muy crítica y piden que
se les enseñe el significado de aquello que están haciendo. No quieren
copiar las operaciones que aparecen en la pizarra simplemente: exigen
entenderlo.
Las mujeres del grupo de matemáticas prefieren que se expliquen los
contenidos poco a poco, hasta entenderlos y piden que se vaya por
pasos, de lo más sencillo a lo más complejo.212
Sin embargo, a pesar de ese discurso, lo cierto es que durante las
sesiones en las que estuvimos juntos y juntas, la secuenciación de los
contenidos no fue una variable especialmente relevante de los
aprendizajes, porque la misma persona que tenía problemas con un
ejercicio supuestamente sencillo, después resultaba que era capaz de
resolver el caso más complicado, tranquilamente.
Las dificultades no se encontraban en la secuenciación, sino en los
conocimientos previos de la persona y la forma de preguntar las cosas.
Ejemplo de ello fue el paso de unas cantidades a otras inmediatamente
contiguas, pero que implicaban un cambio de unidad.
La comprensión
Como decíamos en el apartado anterior, las mujeres del grupo de
matemáticas dialógicas de la escuela de La Verneda afirman que
quieren entender lo que hacen en el aula de ordenadores. Ahora bien,
¿qué significa entender un concepto matemático? Dice Chamorro
(2003) que:
212
La idea de secuenciación también está presente en el propio diseño de las páginas
web, donde las primeras actividades siempre son más sencillas que las últimas, de
manera que el grado de dificultad (si es que se puede señalar algún tipo de medida)
es ascendente.
212
“El enunciado de un problema es un escrito matemático particular que
tiene características propias, podríamos incluso decir que es un género
literario bien caracterizado que necesita para su comprensión la
adquisición de ciertas claves y alguna dosis de entrenamiento.”
(Chamorro, 2003:101).213
Tal y como advierte Godino (2002), en la comprensión tenemos que
distinguir dos elementos: el objeto de conocimiento y el proceso de
conocimiento.214 Citando la distinción que hace Skemp (1980) entre
comprensión instrumental y comprensión relacional,215 Godino
elabora un modelo de competencias que recoge diferentes procesos
matemáticos que intervienen en el fenómeno de la comprensión.
Godino nos habla de la resolución de problemas, del razonamiento y
de la prueba, de la comunicación, de las conexiones y de las
representaciones, como procesos que intervienen, de una manera u
otra, en el fenómeno de la comprensión matemática. A la luz de sus
propuestas podemos identificar alguno de estos elementos en el propio
discurso que utilizan las mujeres del grupo de matemáticas dialógicas
de la escuela. El proceso de la comunicación, por ejemplo, es clave.216
Siempre, cuando las mujeres explican algún proceso matemático,
hacen el esfuerzo de ordenar sus ideas y buscar las conexiones lógicas,
para que su discurso sea coherente y verdadero.
213
Chamorro, 2003.
Godino, 2002.
215
Skemp (1980) define la comprensión de la siguiente manera: “Comprender algo
significa asimilarlo dentro de un esquema adecuado.” (Skemp, 1980: 50). Después
se refiere a la naturaleza subjetiva de la comprensión y distingue entre la asimilación
directa de las ideas matemáticas (en referencia clara a los conceptos utilizados por
Piaget de asimilación y acomodación) y la reflexión sobre los esquemas
interiorizados. De hecho, Skemp establece una diferencia clara entre la inteligencia
intuitiva y la inteligencia reflexiva.
216
Godino (2002) afirma que la comunicación sirve para organizar y consolidar el
pensamiento matemático. Al comunicar las ideas matemáticas, tenemos que analizar
previamente el pensamiento matemático y los procesos que queremos comunicar a
los demás. Por otro lado, siempre que se establece una conversación entre dos (o
más personas) sobre matemáticas, ocurre que tenemos que hacer el esfuerzo de
interiorizar lo que nos están diciendo, analizarlo, y crear una respuesta coherente con
la información que hemos recibido. Y eso es una forma de comprensión del
contenido matemático.
214
213
E- cuatro más cinco
nueve... éste está bien.
Menos ocho más...
menos diez, menos
tres, menos cuatro.
Éste me da menos
cuatro.
B- Sí, bueno, es que
éste lo hice aquí y me
dio menos cuatro...
E- Sí, menos cuatro.
Muy bien. ¿Éste lo
hiciste tú?
B- Sí, éste lo hice yo,
sí. Ahora, éstos ya, lo
que tú me dijiste, al
tanto, que ahora...
- A ver... dos y seis
ocho. Después aquí
tenemos cuarenta y
cuatro negativos y
siete negativos son 51
negativos...
B- Pero a ver,
¿éstos...? a ver, que
yo me entere bien
porque si no... esto se
cuentan ocho
positivos. Y éstos
siete negativos? ¿pero
se le quitan a éstos?
E- No, no, primero lo
de dentro del
paréntesis...
B- Ah, primero lo de
dentro del paréntesis.
Vale, vale...
E- Y entonces
venimos aquí.
Tenemos 51 negativos
y tenemos... son
treinta y seis...
B- O sea, que esto
como dice más es
más, pero negativos,
porque este es más
grande, el 44 es más
grande?
Analizando el discurso de las personas que han participado en el
Sí, bueno, esto que
pusiste tú... Pues
yo, a partir de esto,
todo esto ya lo
soluciono <se
refiere a una
ecuación que me
está enseñando y
se refiere a la parte
que va hasta la
resolución del
m.c.m. y la
eliminación de los
denominadores que
previamente ha
igualado>. Pero
entonces, esto,
pues yo puse: 2 por
3 aquí 6. Que yo
no sé si está bien o
está mal. Y dos por
equis, pues, igual a
2x, yo qué sé. Esto
no lo sé. Y luego,
éste, esta X es ésta,
no? Y, este 2 pues
es el mínimo
común, porque
sólo hay un
número. Este dos
yo lo multipliqué
dos veces por 180,
y me salió esto.
Pues a partir de
aquí ya, pues las
equis, nueve equis,
y esto, dividido por
nueve, 40. Y esto.
A partir de esto
muy bien. Pero
esto, lo puse
porque estaba ya
puesto. Pero yo no
sé, porque esto qué
quiere decir? Tres
equis igual a tres
equis, igual a
cuarenta, ciento
veinte. Y, yo digo,
y eso qué quiere
decir? Y, yo pensé,
bueno, pues
cuarenta...
trabajo de campo, se constata que en el fenómeno de la comprensión
intervienen la mayor parte de los procesos que señala Godino (2002).
Es cierto, sin embargo, que por lo general las mujeres prefieren
alcanzar los resultados correctos a las actividades y que sin el
resultado, a veces, la comprensión del concepto en cuestión es
imposible.
De hecho, como veremos más adelante, cuando analicemos la variable
instrumental, algunas de las mujeres del grupo repasan las actividades
que han realizado en el aula de ordenadores en sus casas, hasta
encontrarles el sentido.
Este hecho concuerda con Skemp (1980) en que el elemento
instrumental de la comprensión es, a menudo, más “popular” que la
parte relacional. No obstante, tal vez fuese necesario indagar más el
sentido en que se relacionan ambas partes. El aspecto que resaltamos
aquí es que los componentes prácticos, discursivos y lingüísticos del
aprendizaje de cada situación matemática, en un contexto con
aprendizaje dialógico, afloran en el discurso de las mujeres del Grupo
de matemáticas dialógicas. Y lo hacen mediante las conexiones que
establecen entre los diversos pasos necesarios para llegar a la solución
de un ejercicio, cuando los explican al resto de compañeros y
compañeras o cuando una señora señala sobre el libro la forma de
representar la solución, mientras le explica a otra compañera el
significado de una actividad matemática. El análisis semántico que
propone Chamorro (2003) nos sirve para ver esos elementos prácticos,
discursivos y lingüísticos de los que habla Godino (2002).
Durante las transcripciones nos encontramos con varios ejemplos en
lo cuales puede apreciarse perfectamente cómo las mujeres del Grupo
de matemáticas dialógicas desarrollan paso a paso su razonamiento,
hasta llegar a la solución. En el ejemplo que adjuntamos en la cita de
la página anterior, vemos como esa persona desarrolla un proceso
214
argumental para alcanzar la solución de una ecuación en la que
aparecen números quebrados, sabe que tiene que utilizar al m.c.m.
para llegar a la solución y reconoce los diferentes pasos para hacerlo.
Esta persona, mediante sus explicaciones, nos está comunicando su
argumento. El diálogo, por tanto, es una forma de aprendizaje que
obliga a la persona a organizar la información y encontrar las
conexiones lógicas, de manera que su discurso sea coherente y capaz
de explicar todo el proceso. Por tanto, existe una relación clara entre el
diálogo y la comprensión, por lo menos en el sentido que anuncia
Godino (2002) en su trabajo.
Los errores conceptuales
Respecto a la comprensión, un elemento al que nos tenemos que
referir son las ocasiones en las que se produce un error, es decir, esos
momentos en los que un concepto matemático es mal aprendido o no
se acaba de ver su significado correcto.
Ausubel y Novak (1983) hicieron de este hecho la base de su teoría
constructivista (desde el punto de vista de los ‘saberes’ previos). En la
didáctica de las matemáticas el error también ha sido un elemento
sugerente en cuanto a propuestas, como deja patente el trabajo
desarrollado por la línea francófona de Brousseau (1983) y Chevalard
(1991).
Uno de los peores elementos exclusores que se han puesto de
manifiesto en el diálogo con las personas participantes es la asunción
de los errores conceptuales. En ocasiones se han producido situaciones
en las que una persona desconocía el significado de algún concepto
que se estaba utilizando en ese momento y, pese al desconocimiento,
han continuado resolviendo los ejercicios. Ésta es una actitud
contraproducente, porque crea malos hábitos que después son difíciles
de transformar.
215
B.- Sí. Bueno, pero
a ver, éstos
digamos que son
negativos, aunque
ponga más, pero se
cuentan
negativos... pero
éste no tiene
paréntesis, bueno,
es igual, estará
dentro del
paréntesis...
En una situación de diálogo abierto e igualitario es difícil que ocurran
casos como éste, porque todas las personas participan y aprenden
juntas, de manera que cuando alguna de ellas hace algún comentario
que no es correcto, el resto de compañeras enseguida se lo hacen notar
y entre todas buscan la respuesta correcta. En estas circunstancias
asumir un error conceptual resulta más difícil.
En cambio, en contextos de aprendizaje individualistas sí que se
encuentran situaciones en las que la persona asume como correcto un
conocimiento que es erróneo (de hecho existe toda una línea teórica en
didáctica de las matemáticas que se dedica al estudio de estos
fenómenos y cómo transformarlos: la transposición didáctica). En
ocasiones, algunas de las dificultades que tienen las personas
participantes están motivadas por conceptos erróneos que tienen
asumidos.
Un ejemplo muy usual es pensar que siempre que encontramos el
signo negativo indica una resta. Como es bien sabido, el signo
negativo puede significar la idea de “número negativo” o la idea de
“operación de la resta”. Y son dos significados muy diferentes. La
contradicción aparece cuando en una resta de dos números enteros
negativos el resultado es una suma, porque se trata de un resultado
completamente contradictorio con la idea (de sentido común) de lo
que significa restar.217 En este caso se puede apreciar claramente la
existencia de un obstáculo epistemológico, que dificulta la
comprensión del concepto “operación de la resta”. Y esto es una
barrera para el aprendizaje.
217
Normalmente, cuando se explica el significado del signo – (que es un signo
totalmente arbitrario), se asocia a la operación de “resta”. Pero en matemáticas, al
ser un símbolo polisémico, ocurre que cuando aparece el otro significado que tiene,
da lugar a errores, no porque la persona desconozca el significado de “valor
negativo”, sino porque no lo asocia con ese símbolo.
216
Las metáforas
En muchas ocasiones las personas utilizamos metáforas en nuestro
discurso, como ejemplos para explicar nuestras ideas, nuestras
creencias, la manera que tenemos de hacer las cosas o cómo las
entendemos nosotros y nosotras. En este sentido, las metáforas son
recursos cognitivos muy útiles, que nos permiten comunicarnos con
otras personas y hacerles entender una idea cualquiera mediante un
llamamiento (implícito o explícito) a un referente de conocimiento,
que necesariamente tiene que ser compartido.
Las metáforas son una analogía que se hace entre dos fenómenos entre
los que se establece una relación de correspondencia.218
En didáctica este recurso se suele utilizar como herramienta que
“facilita” el aprendizaje de un concepto matemático abstracto. Lo que
se hace es establecer una analogía con algún fenómeno de la vida
cotidiana conocido por la persona que está aprendiendo y que le
resulte fácil de identificar.
En este caso, nos hemos encontrado con que algunas de las personas
participantes recurren al uso de las metáforas cuando quieren explicar
cómo han entendido el procedimiento de resolución de un problema
matemático o de una situación matemática concreta.
Una de las metáforas que más se suelen utilizar es la “metáfora del
dinero”.
Al
explicarse,
las
personas
participantes
recurren
frecuentemente al procedimiento de poner un ejemplo “con dinero”,
218
Existen varios tipos de “metáforas”, según sea el sentido de la relación entre el
referente y la idea. Según el Diccionario de la Real Academia Española, una
metáfora es una palabra que procede del latín metaphora, que a su vez procede del
griego µεταφορα. Esta palabra es un “tropo que consiste en trasladar el sentido
recto de las voces en otro figurado, en virtud de una comparación tácita”. También
viene definida como “alegoría en que unas palabras se toman en sentido recto y
otras en sentido figurado”. (Real Academia Española, 1980: 872). Las metáforas
pueden ser directas o indirectas, según la relación que exista entre el referente y la
idea, o bien metáforas puras cuando no existe el referente.
217
que les resulta mucho más cercano a la realidad. Las personas
participantes utilizan una estrategia pragmática para explicar los
conceptos y los procedimientos matemáticos y que toma como
referente la vida real.
B- Sí, bueno, es
que éste lo hice
aquí, y me dio
menos cuatro...
(...)
B.- Eso, o sea que
lo que te da lo
multiplicas por...
esto se llama
denominador?
Este tipo de explicación se caracteriza por ser particularista y práctica,
rasgos propios del modelo que hemos denominado como “matemática
de la vida real”. En el siguiente ejemplo, señalado al margen, se puede
apreciar claramente cómo la persona participante comprende
perfectamente el concepto de “resta de números enteros”. Esta
persona, para explicar el concepto, recurre a la “metáfora del dinero”,
ya que le resulta útil como herramienta cognitiva para argumentar de
dónde sale el resultado que expresa y explicarlo al interlocutor.
Además, es importante notar que ella es perfectamente consciente de
que sabe cómo resolver el problema, tal y como expresa en la última
frase.
La vivencia del bloqueo
En primer término trataremos un elemento exclusor: el bloqueo. A
menudo los conocimientos previos que están equivocados ocasionan
problemas de aprendizaje. Sin embargo, también es cierto que otras
veces ocurre que la persona se bloquea y no es porque exista una base
errónea de conocimientos, sino simplemente porque no se entiende el
concepto y el profesor tampoco logra comunicarlo.
A lo largo de las entrevistas que hemos realizado, hemos podido ver
varias situaciones de bloqueo. A veces el problema era la actividad,
que implicaba el uso de una serie de procedimientos matemáticos que
todavía no se habían asumido. Éste es el caso del uso de la constante
218
de proporcionalidad. En el vídeo digital se puede ver como las
mujeres del Grupo de matemáticas dialógicas de la escuela saben
resolver las actividades sobre proporciones, pero no utilizan la
constante de proporcionalidad, sino que aplican un método más
intuitivo, como es el cálculo aproximativo. En otros casos lo que
ocurre es que no se tiene suficiente conocimiento del funcionamiento
de la herramienta. A veces una persona se ha quedado parada por no
saber cómo pasar a la página web siguiente, por ejemplo.
Las personas participantes, cuando se encuentran ante una dificultad, a
veces se bloquean porque no saben por dónde continuar para encontrar
la solución. Entonces las personas participantes generan un discurso
negativo en el que se encierran y que impide cualquier iniciativa de
transformación para superar ese momento de crisis. En esas ocasiones
suelen aparecer sentimientos y sensaciones negativas, que influyen
emocionalmente a la persona y dificultan el aprendizaje totalmente.
¿Cómo superar estos momentos? En estos casos lo mejor es calmar los
nervios y preguntar, tal como comentan ellas mismas.
Coben (2000) propone un concepto para analizar este fenómeno, que
es lo que ella llama “pared de ladrillos” (the brick wall). Coben utiliza
este concepto para referirse a ese punto de la comprensión de los
conocimientos matemáticos (difícil de identificar) que es imposible de
rebasar. Se trata de un umbral de conocimiento a partir del cual todo
lo que está al otro lado resulta ser indescifrable e incomprensible para
uno.219
En ocasiones alguna persona del grupo de matemáticas dialógicas de
la escuela de La Verneda – Sant Martí se ha refugiado en un discurso
pesimista como respuesta al fenómeno cognitivo del bloqueo.
219
“The brick wall – the point (usually in childhood) at which mathematics ceased
to make sense; for some people it was long division, for others fractions or algebra,
while others never hit the brick wall. For those who did, the impact was often
traumatic and long-lasting.” (Coben, 2000: 54).
219
E.- ¿Y tú qué haces
para entenderlo?
Cuando una cosa
no la entiendes,
¿cómo te lo
montas? G.- Si no
lo entiendo, la
dejo. Cuando me
pongo nerviosa, la
dejo. Entonces, ya,
pues déjalo estar...
Entonces otro día
cojo y me miro de
entenderlo y si no
que me lo
expliquen.
El hecho de que
digas, pues mira,
pues me ha salido,
pues parece que no
seas tan tonto.
¿Verdad?
Sin embargo, la experiencia en la clase con las personas del grupo
muestra cómo entre todas buscan vías alternativas para vadear “la
pared” y conseguir resolver los problemas matemáticos, como muestra
la cita anterior. Este testimonio ejemplifica uno de los principios de la
A.- Sí, por
ejemplo... A ver, a
mí me gusta todo,
pero lo que más me
gusta es solucionar
los problemas,
digamos, y las
cuentas, cuando...
cuando hay que
dividir, restar o
multiplicar. Pues
eso me gusta.
pedagogía de la liberación de Paulo Freire: “las dificultades se pueden
transformar en posibilidades” (Freire, 1998).
El éxito
Sin embargo no todo son aspectos negativos. Las mujeres del grupo de
matemáticas, mediante el diálogo, logran superar todos los días un
montón de barreras al aprendizaje. Por esto, otro de los elementos
D.- Yo el
ordenador el
primer día de
venir, pues yo lo
tocaba, y me
temblaba mucho la
mano, bueno, es
que, es que, nada,
es que, jolines, no
sé si me atrevía. Y
ahora no, ahora
veo que ya lo he
superado un poco y
me gusta cantidad
el ordenador.
Principalmente
cuando hago un
ejercicio y me
pone: eres muy
buena con los
números, yo digo,
uy, que contenta
me pongo. Y me
emociono yo sola.
Es verdad. Sabes
que aquel día que
estuvimos tú y yo
en el ordenador, es
que me gusta, me
gusta... Es que yo
cuando hago una
cosa y me sale
bien, me pongo
contentísima.
importantes que aparece en el análisis de las entrevistas es el éxito en
la resolución de los problemas. Para las personas participantes
alcanzar los resultados correctos es clave, porque se demuestran a sí
mismas que son capaces de encontrar la solución a problemas
matemáticos.
El resolver un ejercicio con éxito nos remite a una de las ideas
conductistas que, tal vez, todavía pueden tener cierta vigencia (a pesar
de que ha sido demostrado que la perspectiva conductista es muy
limitada como explicación del aprendizaje). Se trata de la idea del
“refuerzo positivo”. Las personas adultas, cuando ven que son capaces
de resolver alguna de las actividades de las que aparecen en la pantalla
del ordenador, se motivan muchísimo y eso es un espaldarazo
importante a la confianza que tienen en sí mismas y a la seguridad que
muestran después en la resolución del resto de las actividades. En la
cita adjunta se puede apreciar cómo la persona entrevistada manifiesta
una motivación clara, cuando recibe un refuerzo positivo de parte de
la máquina. Este elemento es muy importante a la hora de diseñar
materiales didácticos en soporte informático.
220
Además, resolver problemas para algunas personas es una actividad
motivadora en sí misma, porque se une a las ganas que tienen por
aprender matemáticas y saber resolver los ejercicios que se les
presentan. Nos encontramos entonces con casos de personas que tratan
de comprender cómo se resuelve una actividad matemática en
concreto e indagan con todas las herramientas que tienen a su alcance
hasta encontrar tanto el resultado, como la manera de llegar a él (es
decir, el procedimiento matemático).
Esto significa que muchas veces motivación y cognición son dos
aspectos que aparecen relacionados directamente (sobre la base de un
contenido instrumental).
La percepción
La percepción es un elemento claramente subjetivo. Sin embargo lo
situamos en esta sección, porque nos referimos al fenómeno de la
percepción que tienen las personas del grupo de matemáticas
dialógicas de la escuela sobre los contenidos instrumentales de las
actividades.
Una de las hipótesis principales de este trabajo es que existe una
brecha entre las “matemáticas académicas” y “las matemáticas de la
vida real”, que se manifiesta de diferentes formas (hipótesis 1). Esta
afirmación que hemos enunciado de acuerdo con la lectura de diversas
investigaciones sobre el tema, se ha confirmado en buena parte
durante el trabajo de campo que hemos realizado. En el propio
discurso de las personas participantes aparecen elementos que nos
221
A.- Y las
matemáticas yo las
cojo mucho: el
libro lo tengo ya
gastado. Y, y... y el
cuaderno que
traigo también,
porque yo, a mi
manera, soluciono
los problemas,
pero a mi manera,
luego a lo mejor
los veo, los veo
que están hechos...
hay unos ejercicios
en matemáticas
que son así: tienen
una raya y otra
raya. Y yo muchas
veces pues digo y
esto ¿de qué va?
Entonces yo, con la
maquineta los
saco, y digo, pues
esto está bien. Pero
luego, claro, como
hay los signos y
hay la raíz
cuadrada y hay
esas cosas, pues no
sé de qué va: yo
sólo los soluciono,
pero después no sé
de qué va, porque
no los entiendo, no
lo entiendo...
llevan a pensar en la existencia de una brecha entre estos “dos tipos”
de matemáticas.220
Esto indica que existe una conciencia generalizada de que tal brecha
existe. Lo cual es positivo, porque las personas que “ven” dicha
brecha son conscientes de que ellas también saben matemáticas
(quizás otro tipo de matemáticas, pero matemáticas al fin y al cabo).
Por esto, la percepción consciente de la existencia de esta brecha es un
elemento claramente positivo, porque estimula el aprendizaje en la
medida que las mujeres del grupo son conscientes de que ellas
también saben matemáticas (aunque sea de una forma más intuitiva y
no tan académica).
G.- “Las
matemáticas que
hacemos las
mujeres, no las
hacéis los
matemáticos.
Porque para hacer
cada ejercicio
tenemos que hacer
saltos mortales.
Vull dir, me vengo
a referir, de que si
tú, una mujer que
sepa llevar el
ordenador, bueno,
hace maravillas,
porque, porque
mejor matemáticas
que ésas, sabes,
que llegas y que
has pagado el bus,
y cada vez pagas lo
mismo, si este mes
es lo mismo que
antes, vull dir, con
los recibos, con...
bueno, con la
cantidad de recibos
que manejan en
casa: el teléfono, el
colegio, el tal... el
entierro, todo.”
La práctica de ejercicios
“Las cosas se aprenden poniéndolas en práctica y cuanto más se
practica, mejor”. Esta máxima recuerda las teorías conductistas que
están detrás de los modelos didácticos tradicionales. La repetición221
es un modelo que ha utilizado los principios de la frecuencia y de la
proximidad temporal o ley del ejercicio de Thorndike (1913) como
estrategias cognitivas de aprendizaje. Se trata de un modelo
tremendamente popular, como ponen de manifiesto algunos de los
testimonios de las personas participantes.
La práctica de ejercicios es una estrategia cognitiva subjetiva que
hemos adquirido socialmente, porque este tipo de discurso ha sido el
imperante en la mayoría de los contextos en los que nos hemos
encontrado. Y sí que las personas participantes dicen que se aprende
practicando mucho las actividades. La persistencia es un elemento
claramente transformador.
220
221
Ver el apartado “El descuido de las matemáticas en la vida real”.
Watson, 1914. Gurthrie, 1952.
222
Lo que no queda claro es cuándo se produce ese aprendizaje, si es
fruto de la repetición (que consigue generar una pauta de
comportamiento, como dirían aquellas personas más cercanas al
conductismo) o si lo que ocurre es que en algún momento de las
“repeticiones” la persona logra captar el significado de la operación
que está realizando y, entonces, es cuando dicha operación cobra
sentido para ella y se puede decir que la ha aprendido.
Desde la Psicología del Aprendizaje las posturas son muy dispares.
Mientras que algunas personas afirman que la repetición asociada a
algún tipo de recompensa produce, a la larga, un resultado
satisfactorio, otras personas afirman que el aprendizaje funciona en
B.- Siempre, pero
si tengo... mira,
nada más que
tenga... para que
veas... nada más
que
tenga
un
poquito de papel,
ya está. Antes de
irme a dormir
siempre
hago
cuentas, siempre:
dos o tres
(...)
G.- Las haces una
vez y otra vez y sí.
Siempre se
aprende, siempre.
base a la interiorización de esquemas de conocimiento. Y hasta que
una persona no es capaz de entender (es decir, dar sentido) un
esquema concreto, no se produce ningún tipo de aprendizaje efectivo.
A lo largo del trabajo de campo que hemos realizado hemos visto
como las personas que han participado señalaban la importancia de la
repetición en la resolución de las actividades. Sin embargo, también
hemos visto que por más repetición que hubiese, el aprendizaje no era
efectivo hasta que la persona no era capaz de comprender el
significado de un concepto matemático determinado. Es importante
señalar que varias de las personas participantes entrevistadas vieron
claramente la diferencia que existe entre responder a los ejercicios de
la web site sin más y “captar la idea” de lo que estaban haciendo. Y
esto sí que podemos decir, junto con todas esas personas, que es una
diferencia clave en el aprendizaje.
En todo el proceso el diálogo que se produce entre las compañeras
permite debatir sobre diferentes formas de alcanzar un resultado y
consensuar la forma que más clara resulta. La práctica de ejercicios lo
que permite es poder tener material sobre el que discutir y debatir en
la clase, para poner sobre la mesa los diferentes procedimientos de
resolución y compartirlos entre todas.
223
A.- Y entonces
pues voy haciendo
y hago tres
números y miro y a
lo mejor uno lo
tengo bien y dos
mal. O sea, yo lo
hago y después me
fijo a ver si lo he
hecho bien o lo he
hecho mal, que no
me fijo porque a
mí lo que me gusta
es entender las
cosas, porque así
las hago,
fijándome entonces
no las entiendo y lo
que quiero yo es
entenderlas, pero
vaya...
La existencia de conceptos desconocidos
B.- Bueno voy a
ponerlos, y uno por
uno es uno. Y
ahora los ceros...
Son mil cajetillas...
Ah, claro! Es que
yo estoy liada en el
exponente, estoy
liada en el
exponente. Pero
claro, el exponente
es que es 3 veces
esto. Ya, ya, ya...
bueno, pero ¿cómo
lo hago ahora? Eso
lo tengo que poner
en limpio...
Otro de los problemas que nos encontramos a la hora de aprender
matemáticas es la existencia de conceptos desconocidos. A veces
suele ocurrir que en un problema, de repente, aparece un concepto
desconocido, que bloquea a la persona que está tratando de resolver
dicho ejercicio. Por ejemplo, en la cita adjunta la persona nos comenta
que los exponentes suponen una dificultad para ella. Tal vez lo que
ocurre es que el concepto de potencia y su representación simbólica
(mediante la base y el exponente) es nuevo para la persona
participante, que sí que entiende cómo funciona la multiplicación,
pero se confunde en cuanto aparecen las potencias. De hecho,
visualmente no es lo mismo escribir en la libreta 10 x 10 x 10, que
103. Para entender este tipo de notación es necesario comprender bien
B.- Mil seiscientos
veinticinco, menos
cuarenta y cinco,
menos cuarenta y
cinco. De cinco a
cinco cero, de
cuatro a doce, seisocho, y llevo una.
De una a seis
cinco, y el uno qué
se hace ahora, se
baja
también?
Claro, porque no
tiene... ¿Se hace
así?
(...)
E.- Muy bien.
Éstas ya veo que
las controlas... Y a
ver éstas, con un
decimal: 2305 más
32,03.
B.- Sí. Espérate, no
me digas nada, a
ver si la sé poner.
A ver, dos mil
trescientas cinco.
Treinta y dos...
¿Pero se pone la
coma primero, no?
el concepto de potencia y las normas que rigen su funcionamiento. Y,
aunque parezca lo mismo escribirlo de una manera que de la otra, para
tener esta impresión (de que parezca lo mismo) hay que tener los
conocimientos matemáticos necesarios para ello. En caso contrario, lo
que ocurre es que las personas se confunden, mezclan conceptos
(bastante parecidos) y esto se convierte en un obstáculo (propiciado
por la notación matemática simbólica).
Lo mismo que ocurre con la multiplicación y las potencias y cuando
introducimos en la clase el uso de números decimales. La aparición
sobre el terreno de números que tienen “comas” supone la dificultad
de saber cómo colocar esos números, requisito fundamental para ser
capaz de resolver un problema sobre el papel.
La existencia de conceptos matemáticos desconocidos se convierte en
un problema de aprendizaje, especialmente cuando se utilizan para
explicar otros conceptos que también resultan nuevos para la persona.
En esas situaciones resulta que la dificultad del nuevo concepto se ve
incrementada por el desconocimiento de los procesos matemáticos que
están asociados. Un ejemplo clave es la resolución de sumas o restas
224
con números quebrados. Cuando no se ha terminado de entender el
funcionamiento del m.c.m., resolver una expresión del tipo “1/2 + 2/3
=” puede llegar a constituir todo un reto para la persona. Por eso es
clave poder identificar estos vacíos, a fin de debatirlos en la clase y
llegar a comprender todos los contenidos instrumentales del
currículum de matemáticas.
15.1.4. Los componentes normativos
Los símbolos matemáticos
Un aspecto a tener en cuenta que ha aparecido en bastantes ocasiones
a lo largo del trabajo de campo es la escritura de los símbolos
A.- Sí, ya, pero
esto claro, esto es
más fácil que
hacerlo así con el
mínimo común.
Pero el mínimo
común es más fácil
para hacerlo yo
porque, a partir del
mínimo común, yo
ya más o menos
me lo sé. Pero
cuando no me lo
sé, ahora te
enseñaré luego
cómo las he hecho,
bueno, las he
hecho, he hecho
dos <se refiere a
dos ecuaciones>,
bueno, que hay
muchas cosas que
las he copiado,
pero no sé cómo
van.
matemáticos. Con esto nos queremos referir a que es diferente, por
ejemplo, hacer una multiplicación “de cabeza” que hacerla “sobre el
papel”.
En el caso de utilizar la libreta para hacerla, la operación se puede
plantearse “en vertical” o “en horizontal”. Normalmente se empieza
poniendo los números en vertical, uno debajo del otro, con una equis
al lado y una raya debajo del todo, que separa el enunciado del
resultado. Entonces ocurre que la persona tiene que hacer toda una
serie de movimientos con los números y conocer bien dónde tiene que
apuntar los resultados, qué número multiplica a qué número, si “nos
llevamos alguna”, saber dónde se pone y a quién suma después, etc.
En fin, hacer una multiplicación sobre el papel supone conocer toda
una serie de normas que rigen la resolución de esta operación sobre el
papel, sin las cuales es imposible lograr llegar al resultado (a pesar de
que a lo mejor esa persona sepa perfectamente encontrar la respuesta
“de cabeza”).
225
E.- Sí, 1025 por
0,24.
Entonces
hacemos
una
multiplicación
normal... 4 por 5
veinte, me llevo
dos, 4 por 2 son
ocho, y dos 10, te
llevas 1, cero y
dos, cero, y una
que te llevabas es
una, y 4 por una es
4. Y abajo lo
mismo. Dos por
cinco, diez, 2 por 2
cuatro, cero, y dos.
Total: 246.
B.- Cero, cero, seis
cuatro y dos. No,
lo que no sabía yo,
Javi, es que se
ponía así para
multiplicar. ¿Esto
qué quiere decir,
que son decimales?
Y algo parecido ocurre cuando se plantea la operación en formato
horizontal.
A.- Sí, claro. Y de
memoria, mira, de
memoria estoy
en... por las
noches, los martes
no puedo dormir
porque estoy
pensando:
zicuzicuzi... y yo
de mi cabeza lo
saco y lo sé. Pero
luego, cuando yo
quiero hacer un
ejercicio, tengo
que poner: la mitad
de no sé qué, la
mitad de no sé
cuántas, la octava,
y yo qué sé, la
octava muchas
veces la pongo
encima o al revés...
no sé, eso no sé. Y
no sé cómo lo voy
a aprender, lo veo
difícil.
En la cita adjunta, por ejemplo, destaca el concepto de “multiplicación
normal”. El adjetivo de “normal” indica que la persona que lo utiliza
distingue entre una “multiplicación normal” y otra que no es
“normal”. En este caso, por el contexto, se ve claramente que la
multiplicación usando números decimales es la que se considera como
“no normal”, en el sentido que rompe con los esquemas previos que
tiene esa persona de lo que es una multiplicación. Formas del discurso
como ésta es lo que nos lleva a identificar un concepto de las
matemáticas más próximo al nivel intuitivo que al académico.
El análisis del trabajo de campo nos muestra, una y otra vez, que
existe una gran distancia entre la forma de hacer las operaciones “de
cabeza” y la resolución sobre el papel de las mismas operaciones. El
hecho de tener que escribirlas utilizando los símbolos matemáticos
correctos
A.- Y yo pues a mi
manera los
resuelvo y todo los
resuelvo a mi
manera. Pero luego
al colocarlos no sé,
¿qué te tengo que
decir?
(matemáticas
académicas)
añade
una
dificultad
al
aprendizaje, porque la escritura implica el uso de los símbolos
matemáticos, que a veces no se tienen bien familiarizados.
Por tanto, el conocimiento de las normas para colocar correctamente
los números y hacer las operaciones adecuadas es un requisito
indispensable para resolver las actividades. Y estos procedimientos
suelen ser diferentes para las matemáticas académicas y para las
matemáticas de la vida real. Su desconocimiento constituye una
barrera que dificulta (cuando no impide) el aprendizaje de las
matemáticas.
226
Los procedimientos matemáticos
La matemática está regida por un conjunto de símbolos y de normas
que regulan las relaciones que se pueden establecer entre los
diferentes símbolos (agrupados en axiomas, principios, conceptos,
leyes, teorías, etc.). Saber matemáticas implica no sólo conocer dichos
símbolos (que corresponderían al componente instrumental), sino
también conocer y saber aplicar las normas que rigen los diversos
procedimientos matemáticos.
En las citas señaladas al margen se puede apreciar cómo las personas
adultas resuelven diferentes tipos de actividades, tales como
operaciones básicas con números enteros, resolución de paréntesis,
etc. Las personas van siguiendo el hilo de las operaciones, apuntan los
resultados parciales y los retoman para proseguir con los cálculos,
hasta llegar al final de la serie de operaciones.
Es importante resaltar el papel que tiene el diálogo en la resolución de
las actividades. Las personas van comentando las operaciones que
están realizando y preguntan para comprobar que están en el camino
correcto. Por otro lado, también es importante resaltar el uso de
normas popularizadas (como la conocida regla de los signos para los
números enteros), como herramientas que permiten llegar al resultado
correcto.
El uso del lenguaje matemático
Uno de los primeros elementos que hay que tener en cuenta dentro de
las variables instrumentales objetivas es precisamente el lenguaje
matemático, es decir, el conjunto de símbolos que se utilizan desde
las matemáticas para modelizar y describir el mundo.222 El lenguaje
matemático formal se distingue del lenguaje natural porque es unívoco
222
Alcalá, 2002.
227
<contexto:
resolución de
operaciones con
números enteros.
No hay un
planteamiento del
enunciado. Se trata
de una operación
planteada y se
espera la respuesta
de la persona
participante> B.34 menos 36, eso
son dos, más 12,
son 14.
E.- No, menos 2
más 12... 12 menos
2:
B.- Ah, sí, sí, 10...
a ver que yo me
entere bien. Éste es
esto, éste yo lo he
sacado de aquí, y
esto son treinta y
cuatro. Y ahora,
éstos son
multiplicados
porque tiene el
puntico. O sea, que
12 por 3, hemos
dicho que son 36.
Vale. Ahora vamos
aquí: menos 3, esto
cuenta menos 3? O
menos por menos
es más? Ése es
menos.
(...)
<contexto:
resolución de una
operación con
paréntesis> B.Bueno, ahora ya,
como hemos
quitado el éste, era
más 4, menos 1, tú
ya vas contando,
así que son más 3.
y ahora hay que
hacer todo lo del
paréntesis,
digamos, que son
45, 47... 47 y 3 que
tengo de aquí, no?
Son 50. ¿O no son
50? Porque menos
por más también
queda menos.
y no está sujeto ni a interpretaciones arbitrarias, ni a dobles
significados o exageraciones.
En las citas que se adjuntan vemos cómo personas participantes se
esfuerzan en utilizar dicho lenguaje, para resolver las actividades que
aparecen en la web site.
En estos ejemplos se aprecia cómo las personas participantes están
operando con números enteros. A continuación se muestran casos
referentes a otros contenidos instrumentales, como el concepto de
número entero negativo o el concepto de denominador.
En todos estos ejemplos se pone de manifiesto cómo las personas
B.- Entonces son:
45, 47, pero que da
menos. 47, que son
menos. Bueno. Y
éste
es
multiplicado. 3 por
2 seis, pero como
no tiene nada aquí,
¿qué es, positivo
o...? Y ¿esta rayita,
que había aquí una
rayita?
E.- No, esta rayita
era un corchete que
cierra
todo
el
paréntesis...
B.- Ah! era el
paréntesis...
Bueno, vamos a
ver si yo lo
entiendo ahora. Así
que esto se queda:
3 positivos, y esto
es 47 negativos...
¿multiplicamos?
E.- Sí.
B.- Multiplicado...
pero esto ¿se hace
junto?
E.- Sí.
B.- 3... ¿ya se
multiplica esto?
adultas del Grupo de matemáticas dialógicas utilizan con soltura los
diferentes conceptos e, incluso cuando no conocen el significado de
alguno de ellos, también son capaces de utilizarlos para indagar cuál
es su significado y cómo se utilizan.
Otro elemento destacable es el uso de expresiones matemáticas o de
conocimientos matemáticos en el lenguaje cotidiano, que han acabado
por institucionalizarse en la jerga popular. Ejemplo de ello es la
conocida “regla de tres”, que es una forma cotidiana de resolver
ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Sin embargo, también es cierto que el razonamiento lógicomatemático
formal
es
complicado
por
sí
mismo:
existen
procedimientos, reglas, normas, maneras de hacer, operaciones
prohibidas, incongruencias, etc., que es necesario conocer para saber
resolver una operación académica.
En matemáticas no todo vale. Existen unas normas que se tienen que
respetar y su desconocimiento es una dificultad al aprendizaje
matemático. Durante las entrevistas, la tertulia y las actividades que se
realizaron para el trabajo de campo, aparecieron numerosas ocasiones
228
de bloqueo debidas precisamente a este motivo que estamos
comentando.
El estudio de las normas
Ya hemos comentado que las personas adultas suelen esforzarse en
repasar los ejercicios realizados en la clase, hasta que entienden cómo
funcionan y saben encontrar el resultado (y el por qué de ese
resultado).
Algunas personas, cuando estudian las actividades, combinan, a veces,
diferentes formas de llegar al resultado y las contrastan entre sí, para
comprobar que por todos los caminos son capaces de llegar al
resultado correcto.
Esta forma de hacer es particularmente fecunda, porque permite
aprender a utilizar varias formas de resolver una actividad, lo cual
redunda en un mayor aprendizaje.
15.2. El análisis de la relación entre la persona y el grupo
En este apartado analizamos la relación que se establece entre la
persona y el grupo-clase. Como es sabido, el aprendizaje no es nunca
un fenómeno exclusivamente individual. Desde un punto de vista
social, varios autores han señalado la importancia de pertenencia a un
grupo, que es el referente en la transmisión de los conocimientos, a
través de la institución escolar.223 Tal y como podemos leer en La
construcción social de la realidad
224
, el conocimiento se construye
socialmente. Pero una vez construido, se institucionaliza y se
223
224
Berger y Luckmann, 1988.
Berger y Luckmann, 1988.
229
B- Sí, bueno, es
que éste lo hice
aquí y me dio
menos cuatro...
(...)
B.- Eso, o sea que
lo que te da lo
multiplicas por...
esto se llama
denominador?
transmite a través de la escuela en un largo proceso de “socialización
secundaria”.
A.- Pero cuando
eso de las equis,
pues eso no las
entiendo. Lo de
arriba
no
lo
entiendo,
no.
Porque es que yo
no sé si tiene que
jugar el número de
abajo con el de
arriba, si tiene que
multiplicarlo con el
de arriba, o hay
que multiplicar con
el de abajo, no lo
sé
<se
está
refiriendo
a
realizar ecuaciones
donde
algunos
números
son
fracciones y es
necesario calcular
el m.c.m. para
resolverlas. Lo que
dice que no sabe
hacer es el m.c.m.
para
quitar
denominadores>
(...)
A.- Pues claro,
cuando no hay
fracciones ya me
lío, porque ya no
sé... qué tengo que
multiplicar, si el
número de abajo
por la equis de
arriba, yo no sé si
va esto con la equis
de arriba, o, eh?
No me entero.
Desde un punto de vista mucho más concreto, Vigotsky (1979a,
1979b), con sus experimentos a principios del siglo XX, ya dictaminó
que existe un fuerte componente social en el aprendizaje.225 A lo largo
de las secciones siguientes analizaremos más en detalle qué
fenómenos cognitivos, afectivos, instrumentales y normativos les
suceden a las personas del grupo de matemáticas dialógicas de la
escuela, a fin de mostrar de qué forma la interacción de las personas
con el grupo incentiva el aprendizaje y la superación de barreras.
Los fenómenos que vamos a discutir son los siguientes:
Cognitivos
-
La interacción
Preguntar para aprender
La igualdad de las diferencias
Afectivos
-
La solidaridad en el aprendizaje
La transformación
Instrumentales
-
El diálogo
Normativos
-
∅
Esquema 15.2. Fenómenos del análisis de la relación entre las personas y el grupo.
225
Otro autor que es de referencia ineludible es Mead (uno de los “padres” del
interaccionismo simbólico), que estudió cómo los niños, mediante el juego,
interiorizan las normas sociales y construyen una imagen del otro en sí mismos. Para
referirse a esa “conciencia social”, Mead utiliza el dativo “mí”, que contrapone al
nominativo “yo” y al prefijo “self”.
230
La interacción
El aprendizaje no es un proceso individual exclusivamente. Las
personas siempre aprendemos en contextos de interacción con otras
personas, mediante el intercambio de ideas, como ya nos mostró
Vigotsky con su concepto de la “zona de desarrollo próximo” (ZDP).
En la escuela de personas adultas de La Verneda – Sant Martí todas
las personas que hay en el aula participan en el desarrollo de la clase.
Así, cada persona aporta sus conocimientos, su experiencia, sus
vivencias, que constituyen herramientas básicas utilizadas por todas
las personas participantes y por el profesorado, para aprender los
diferentes conceptos matemáticos y dotarlos de sentido.
Ese “sentido” sólo se alcanza plenamente a través de la participación
igualitaria de todos los estudiantes y de todas las estudiantes (es decir,
de dar las mismas oportunidades para que todo el mundo participe por
igual en la clase).
Esta participación igualitaria se pone de manifiesto en el uso del
diálogo intersubjetivo, mediante el cual las personas comparten
experiencias propias con el resto de compañeros y de compañeras
(experiencias que varias veces resultan ser compartidas por más de
una persona). Esas “experiencias” ayudan sensiblemente en el
aprendizaje de nociones matemáticas abstractas, porque cada persona
las sitúa en un contexto de vida concreto, caracterizado por unos
referentes que tienen “sentido” para ella.
Por otro lado, cada persona aporta su bagaje personal de
conocimiento. De esta manera los contenidos formales de la clase de
matemáticas quedan sensiblemente enriquecidos con la experiencia de
las personas que están en la clase. Cuando esta experiencia se presenta
231
G.- Muy bien, que
te sirve de mucho
hablarlo con la
señora de al lado y
a lo mejor alguna
pues encuentra el
resultado, porque
tú sólo te bloqueas,
te bloqueas y no
vas pa l’ante, y
hablarlo ayuda, la
verdad. Pero antes,
antes me pasaba la
vida con el libro en
el pasillo, porque
yo normalmente
soy una persona
que, que... bueno
que hablo y que
tampoco me puedo
quedar callada, y
eso antes te
mandaban al
pasillo... Y si
tienes alguna duda
determinada, pues
una va y lo
pregunta, o lo
comenta, y entre
todas sale. Y,
entonces, pues esto
de que se pueda
compartir, muchas
veces nos
quedamos abajo en
el bar y
comentamos,
hacemos los
ejercicios y a veces
quedamos en casa
de alguna, para
hacer los
ejercicios, sí, vull
dir, que sí, que yo
encuentro que sí.
en un contexto dialógico e igualitario, este proceso revierte muy
positivamente en el aprendizaje.
Cuando una persona está aprendiendo una asignatura cualquiera en la
escuela, es habitual que pregunte cuando le surge alguna duda. Por lo
B.- Pues esto es,
que me lo dijo la
M, sí. <está
intentando ver de
dónde salen unos
apuntes que hay en
su libreta, mientras
busca el anterior
ejercicio> Y me lo
enseñó y... pero
bueno... ¿cómo has
sacado el
resultado? Pues a
ver si lo saco yo
<B durante varias
semanas ha estado
fuera de viaje y
hay una parte de
los apuntes que se
los ha pasado M>
Mira, en un
paquete hay 10
cajas, cada una
contiene 10
cartones... a ver, a
ver, no es tan
difícil... un
paquete, hay 10
cajas, cada una
contiene 10
cartones... a ver,
Javi, ¿cómo se
hace? Aquí tengo
hojas vacías y
luego ya lo pongo
yo en limpio. Es
que a mí no me
gusta copiarlo, si
no, no tiene gracia.
A ver, en un
paquete hay 10
cajas: y qué se
pone ¿10?
general, las personas participantes suelen preguntar al profesor las
dudas que les aparecen cuando están resolviendo las actividades. Pero,
también resulta muy habitual que las personas participantes
establezcan un diálogo entre ellas para resolver conjuntamente las
dudas que aparecen a lo largo de la clase. Y el hecho de poner en duda
es un elemento que consideramos importante en el aprendizaje, porque
indica que existe un proceso de reflexión detrás. El “poner en duda”,
el “cuestionar” son elementos de la interacción, que generan
aprendizaje.
Vigotsky (1979a, 1979b) ya se percató de este aspecto social del
aprendizaje. Desde su punto de vista, todas las personas tenemos la
capacidad para aprender unos determinados conocimientos y, para
ello, sólo es necesario contar con la ayuda de otra persona que tenga
ya esos conocimientos adquiridos. Mediante la comunicación entre
esas dos personas, la que no sabe llega por fin a alcanzar el
conocimiento que la otra persona le transmite con su ejemplo. Desde
el punto de vista del aprendizaje dialógico, todavía se puede añadir
otro aspecto fundamental a las estrategias cognitivas sociales: la
intersubjetividad.
Y al contrario, en el caso de utilizar argumentos de poder, lo más
habitual es que se generen aprendizajes mecánicos, carentes de sentido
para la persona que los aprende. Este aspecto es uno de los principales
obstáculos epistemológicos con los que se tienen que enfrentar las
personas que tienen una experiencia negativa de su escolarización.
232
Preguntar para aprender
Una forma concreta de interacción es el fenómeno de “preguntar para
aprender”. Algunas personas adultas recurren a las preguntas como
estrategia para aprender. Las preguntas (que muchas veces pueden ser
retóricas) aparecen en contextos diferentes. Existen personas que no
saben cómo se resuelve un problema concreto, entonces preguntan
para averiguar qué tienen que hacer para solucionarlo. En otras
ocasiones, en cambio, saben resolverlo perfectamente, pero preguntan
para asegurarse de que lo que están haciendo es correcto. A veces
también ocurre que no saben cómo se hace algo y preguntan, no para
averiguarlo, sino simplemente para que se lo digan y ya está. En
cualquiera de estos casos la pregunta es una estrategia de aprendizaje
clara. En este sentido, queremos resaltar el primer caso y el segundo,
porque tienen connotaciones que son importantes.
En el primer caso (la pregunta como herramienta para averiguar cómo
se llega a la solución) las personas utilizan la pregunta para indagar
qué camino tienen que seguir para alcanzar la respuesta. Es un
ejemplo que muestra el aprendizaje como un proceso social, tal y
como decía Vigotsky (1979a, 1979b). Más aún, dado que las
preguntas casi siempre implican un diálogo con otra(s) persona(s), son
una muestra del carácter intersubjetivo del aprendizaje, tal y como se
sostiene desde la perspectiva del aprendizaje dialógico.
Lo importante es que durante la investigación se puso de manifiesto
cómo el ambiente igualitario de la clase potenció que surgieran esas
preguntas. La participación de todas las personas permitió compartir
sus conocimientos y sus experiencias, de manera que todo el mundo se
sintió libre para expresar dónde estaban los obstáculos que no les
permitían captar el significado de un concepto determinado. Al existir
varios puntos de vista diferentes (varias maneras de llegar al mismo
resultado, no necesariamente académicas todas ellas), la pregunta fue
233
B.- ¿Pongo
cartones?... Esto es
lo que me falta a mí
mucho, saber
cómo... Cartones de
tabaco. Cada uno
de los cuales
contiene a su vez
10 cajetillas. O sea,
yo comprendo muy
bien que cada
cartón de éste son
10 cajetillas. Y
pongo cada cartón,
para saber yo que
es... Cada cartón
contiene pones, no?
E.- Ahá...
B.- Aquí o no?,
aquí, sí. También
con una equis así?
... Contiene 10
cajetillas ... 10
cajetillas... Expresa
en forma de
potencia, el número
total de cajetillas.
Entro un tres... me
voy a arriesgar, y lo
coloco ahí... me
parece que está
bien, no?
B.- No te digo que
nosotros teníamos
un pequeño
negocio, y cuando
salió lo del IVA, y
mis hijos pues
venga a echar
números y cuentas,
y por qué hacéis
esas cuentas, la
mama sabe lo que
es, si son 101
pesetas pues son
21 pesetas, porque
si es el 20%, 7, 14,
21. Y se quedaban
mirando, pero
mama, ¿cómo
puede ser? De
cabeza me sale
bien. A parte que
yo había ido al
colegio. Luego, ya
no eran las
enseñanzas de
antes, luego ya me
tuve que poner a
trabajar, he
trabajado para mí,
pero bueno, no ha
sido una cosa de
haber ido a otro
sitio a aprender
más ni, pero la
cabeza sí... mi
vecina a veces
vamos a comprar,
y el otro día eran...
nos cobraban 3400
y pico. Y yo, no
puede ser, es que
no puede ser: esto
no cuesta 400
pesetas más. Pero
yo sabía, si llevaba
una compra de 7 u
8 cosas, sabía si se
había equivocado.
Porque decía, 200
de esto, 100 y pico
de lo otro... y claro,
encuentras alguna
cosa bien y luego
metes la pata.
Bueno, vamos a
ver...
una de las mejores estrategias cognitivas que utilizaron las personas
para compartir sus conocimientos y aprender.
En el segundo caso al que nos referíamos antes (preguntar para
asegurarse de que se está haciendo bien el ejercicio), la pregunta no es
tanto una estrategia de aprendizaje, como una forma de ganar
confianza en uno mismo. Y éste es uno de los elementos cruciales en
el aprendizaje de personas adultas en lo que hemos podido ver hasta
ahora. En este caso la persona sabe perfectamente que conoce la
solución y sabe cómo hallarla. No obstante, ocurre que no confía en
sus propias posibilidades. La pregunta aquí sirve más para asegurar
que lo que se sabe es correcto que para aprender.
La igualdad de las diferencias
En la misma línea que venimos comentando, resaltamos la idea de la
“igualdad de las diferencias” propia del aprendizaje dialógico. No
todas las personas resuelven de la misma manera las actividades que
se encuentran en la pantalla del ordenador. Muchas veces, en la misma
actividad, una mujer del grupo de matemáticas dialógicas procede de
una manera, mientras que otra compañera sigue un procedimiento
completamente diferente y ambas llegan al mismo resultado. A este
fenómeno, desde el aprendizaje dialógico, se le denomina “igualdad
de las diferencias”. Lo que quiere decir es que dentro del aula se
encuentran personas que tienen diferentes bagajes culturales y eso les
abre los ojos para ver diferentes formas de alcanzar la solución de un
problema. En el caso de las actividades que realizamos en las sesiones
del Grupo de matemáticas dialógicas de la escuela, esto es
particularmente cierto. Cada persona revierte en la clase su propia
formación o experiencia.
Es interesante señalar que cada persona desarrolla sus propias formas
de resolver las situaciones problemáticas, aplicando una serie de
normas de las que se ha apropiado y ha hecho suyas.
234
Los contenidos instrumentales de cada situación matemática son
iguales para todas las personas. Sin embargo, cada cual aplica sus
propias maneras de resolver el problema, que son igualmente válidas
si el procedimiento y el resultado al que se llega son correctos. El
diálogo lo que hace es permitir que aflore toda esta riqueza de
situaciones, maneras y formas de resolver los ejercicios, de manera
que todo el mundo tiene la ocasión de utilizar la manera que mejor le
sirve para aprender matemáticas. Durante las veces que nos hemos
encontrado las personas participantes y yo en el aula de informática,
hemos
podido constatar la existencia de este amplio mosaico de
estrategias cognitivas para resolver los problemas matemáticos.
Vuelvo a citar el caso de la señora que usaba la calculadora, mientras
que su compañera prefería el cálculo mental, como ejemplo de esto
que estamos diciendo.
La solidaridad en el aprendizaje
En el ejemplo anterior se puede apreciar que la persona participante
prefiere el método del aprendizaje dialógico al método de aprendizaje
tradicional, que se utilizaba en las escuelas hace medio siglo. El tipo
de metodología al que se refiere implícitamente no produce un
sentimiento de motivación por el aprendizaje.
La motivación, como se puede apreciar en otras partes de la entrevista,
partía de la propia competitividad entre los compañeros y las
compañeras de la clase. Dentro de la clase siempre había quien sacaba
buenas notas y quien las sacaba malas.
235
B.- Claro, yo antes
no me puedo
quejar, igual que la
gente se queja
porque les daban
con la tabla, yo no,
está feo decirlo,
pero yo casi
siempre ponía...
antes ¿sabes cómo
era? Al más
espabilado lo
ponían delante. Y,
yo siempre... la
verdad es que no
estaba de las de
atrás. Es lo que
recuerdo.
En varias investigaciones se ha mostrado que la competitividad
produce diferencias dentro del aula entre las personas que obtienen el
éxito académico y las que no.226 Lejos de incentivar al aprendizaje de
todas las personas que hay en el aula, la competitividad polariza a los
estudiantes, que quedan estigmatizados dentro del aula por la imagen
social que se les atribuye.227 Este tipo de procesos, ampliamente
estudiados en investigaciones que toman el referente de las teorías del
etiquetaje, explican por qué dentro de la clase hay personas a las que
la competitividad anima para aprender más, mientras que existen otras
que se sienten desazonadas e, incluso, llegan a abandonar todo interés
por los estudios, con lo que implícitamente asumen una autoexclusión.
Sí, claro. Mira, la
otra misma, es una
mujer que lo ha
cogido, y a veces
hemos venido aquí
para esto de tutoría
y no ha venido
nadie, pues ella nos
lo ha dicho...
La solidaridad produce el efecto contrario. Las personas dentro de la
clase se animan y se ayudan mutuamente durante el aprendizaje.
Comparten conocimientos, puntos de vista y maneras de explicar los
conceptos matemáticos. Esta forma de proceder transforma las
imágenes sociales que se asocian a las personas dentro del aula, de
manera que es más difícil que el discurso pesimista o la desmotivación
E.- ¿Sí? Y cómo es
que ahora es una
gloria y antes no?
¿qué es... el trato, la
manera de cómo
enfocar las clases, o
los contenidos, que
son más variados...?
B.- También,
también. Pero la
manera... hombre
habrá personas de
todo, pero yo como
he tenido la suerte
de venir aquí y
todas han sido
estupendas, de
verdad, una gloria,
es una gloria, sí, sí.
producidas por la interiorización de una imagen social negativa de uno
mismo tengan lugar. Este cambio de punto de vista se refleja en la
ilusión de las personas que están dentro del aula.
Esta ilusión es un elemento indispensable para superar las dificultades
que van apareciendo a lo largo del aprendizaje de las matemáticas.
Siempre resulta más fácil aprender cuando el ambiente social en el que
uno está inmerso es alentador y potencia la capacidad que todas las
personas tenemos para aprender. Sin embargo, esta solidaridad es más
difícil que aparezca en una escuela donde se utilice una metodología
de enseñanza – aprendizaje basada en los principios de la diferencia y
de la competitividad. Cuando la base es la solidaridad, la propia
226
Secada, Fennema y Adajian, 1997.
Este fenómeno en educación se conoce como “efecto Pigmalión” (García Serón,
1995). El efecto Pigmalión consiste en acabar juzgando a una persona según la
etiqueta que le han colocado. Por ejemplo, si pensamos que es una persona
“inteligente”, acabaremos por pensar que todo lo que hace es inteligente. Y, al
contrario, si pensamos que es un “negado”, haga lo que haga, siempre estará mal.
227
236
enseñanza transforma la actitud de las personas participantes, que
están mucho más dispuestas y animadas a aprender, a pesar de las
dificultades de los contenidos instrumentales. Los testimonios de las
mujeres que han sido entrevistadas durante el trabajo de campo
muestran ejemplos fehacientes de ello.
La transformación
Esto nos lleva a un segundo elemento crucial: la transformación. Se
trata de uno de los siete principios que se resaltan en el aprendizaje
dialógico desarrollado por CREA. Para las personas del grupo,
aprender matemáticas significa un sueño que cumplen cada día, pero
también significa transformar su sentimiento hacia las matemáticas
(porque las consideran difíciles, complicadas, fuera de su alcance,
etc.).
Algunas de las mujeres que han participado en el grupo de
matemáticas siempre han sido “amas de casa”, jamás pudieron ayudar
a sus hijos con las tareas de la escuela, siempre se sintieron inferiores,
y, ahora, resulta que alcanzar logros en la escuela les sirve para
conquistar un espacio de igualdad en sus espacios de vida.
Por tanto, “transformar” aquí significa aprender nuevos conocimientos
matemáticos, pero también cambiar la imagen de sí mismas. Y éste es
un elemento emocional que juega un papel realmente importante para
superar las barreras sociales contra las que tienen que luchar esas
personas para lograr aprender matemáticas.
237
R.- Hombre, claro.
Yo, me quedé
también admirada
de un señor, que no
sé cómo se llama,
me acerqué a darle
la enhorabuena,
porque nos dio una
charla que te dan
ganas hasta de
llorar y todo,
porque decir que él
no nos ayudaba a
nosotros, que
éramos nosotros los
que le habíamos
enriquecido a él...
eso se te cae el
alma encima, chico.
Es una gozada
escuchar eso... si
hubiera muchas
personas como esa,
que estuvieran
dispuestas a eso, a
demostrarles a los
demás que
cualquier persona
que vaya por la
calle que apenas
sepa hablar, tiene
algo que enseñarte,
eso es una gozada,
chico. Es una
maravilla, escuchar
eso (...) Las
personas que no
tienen autoestima,
que se sienten
inferiores, que,
que... que yo a
dónde voy a ir, y yo
qué voy a hacer...
escuchas a este
señor y dices, cómo
que no soy yo nada.
Claro que soy, soy
una persona y tengo
mi personalidad y
tengo mi
autoestima y sirvo
para algo. (...)
todos somos
iguales. Entonces,
algo hay...
Pues mira. Las he
ido aprendiendo,
hmmm... yo no
había forma de que
entraran las de dos
cifras. Y,entonces,
S, que yo estaba
con S en
certificado, dice,
mira M, para saber
si lo que te da... a
ver si te lo sé decir,
que no me sale... Sí
hombre, si yo tengo
por ejemplo 78
entre 63, pues a
ver... o quien dice
esa cifra pues dice
otra, pues entonces
multiplico 63,
pongo por un, y a
ver, entonces veo
por qué puedo. Así
es como me las
arreglo.
El diálogo228
A lo largo de las transcripciones que hemos analizado, vemos
innumerables ejemplos en los que aparece el diálogo como vehículo
transmisor de ideas. Pero, además, el diálogo aparece también como
herramienta de aprendizaje propiamente dicha. En otras palabras, es a
través del diálogo como las personas son capaces de plantear sus
dudas y encontrar soluciones, o transmitir sus hallazgos a otras
personas del grupo.
De hecho, muchas veces se prefiere comentar las cosas para
aprenderlas, como muestran las citas adjuntas.
Por otro lado, comentar las diversas actividades en el grupo también
sirve para detectar los errores y resolverlos. El diálogo es un
mecanismo para solucionar problemas de los que ya habíamos
A mí, es que yo
necesito que me
expliquen mucho
las cosas para que
se me quede algo.
hablado antes, como son el bloqueo o los errores conceptuales.229
Siempre las equivocaciones en clase son errores llamémosles
“académicos”, es decir, errores motivados por el desconocimiento de
la simbología matemática. El diálogo es el mecanismo para que las
personas, con conocimientos diferentes de las matemáticas, puedan
Y ella, como sabe
más, esa chavala es
joven y sabe más,
bueno, lo planteó
de una forma, dice:
¡Ya está! dice,
mira, así y así.
Digo, oy, pues yo
no me entero, je-jeje. Entonces vino a
explicármelo a mí y
se había confundido
ella.
Explicándomelo a
mí, vi el error suyo.
poner en común sus impresiones y, a través del proceso comunicativo,
lleguen a acuerdos sobre el significado de cada símbolo matemático.
Como dice una de las personas participantes, siempre es mejor
228
Incluimos el diálogo dentro de los componentes instrumentales porque es la
forma que utilizamos para transmitir los contenidos matemáticos al resto de personas
del grupo, por excelencia. No es que el diálogo sea, en sí mismo, un elemento
instrumental, pero hace de puente (de medio) para que una persona pueda comunicar
ideas matemáticas a otra(s) persona(s).
229
Independientemente de la naturaleza de esos errores (sea porque la persona ha
aprendido mal los conceptos o, sencillamente, los desconoce o no sabe con qué
relacionarlos), el diálogo es una de las formas para corregirlos o aclararlos. Según
Piaget, lo que ocurre es que la nueva información crea un conflicto con las
estructuras cognitivas previas, de manera que la persona tiene que reestructurar su
conocimiento para acomodar los nuevos conceptos en su “estructura de
conocimiento” y llegar a un nuevo equilibrio.
238
comentar las cosas con alguien que esperar a que se te encienda “la
bombilla”, porque en muchas ocasiones no se te enciende.
“Porque a veces nos hemos puesto A. y yo juntas, un par de veces:
pues, mira, y ¿cómo será esto? Pues mira, esto, esto es así, o asao. O
sea, comentando y... ah! Pues, esto es así. Y, si no se le ocurre a uno,
se le ocurre a otro. Pero uno solo, si no se te enciende la bombilla,
pues estás allí y, ay, cómo será, cómo será. Pero siempre va mejor
comentarlo con alguien o preguntar.”
El
aprendizaje
dialógico
introduce
un
nuevo
elemento:
la
intersubjetividad, que caracteriza a todos los aprendizajes que se
producen en un marco igualitario. Las mujeres del grupo de
matemáticas para entender algo siempre lo plantean al resto de la clase
y es mediante este diálogo como aparecen las diferentes maneras de
entender los contenidos matemáticos.
Durante el diálogo, de alguna manera, se produce algo parecido a la
idea gestáltica de “entendimiento súbito”. Cuando varias personas
comparten el esfuerzo por entender un razonamiento lógico y buscan
argumentos juntas para entenderlo. Lo que ocurre, normalmente, no es
que repitan mecánicamente la idea de una de ellas, sino que las
explicaciones de una compañera “alumbran” a otra y se produce un
avance de la comprensión compartido.
Por otro lado, al utilizar el aprendizaje dialógico, los diálogos que se
producen en el aula parten de una relación de igualdad entre todas las
personas que intervienen. La dinámica en la clase no se basa en
relaciones de poder, es decir, en una relación unidireccional (y
vertical) entre profesor y alumnas, en la que es el docente quien
“conoce la materia” y las alumnas escuchan “porque no saben”. Al
contrario, en las diferentes sesiones que se han llevado a cabo con el
Grupo de matemáticas dialógicas, la relación ha partido de la
igualdad y cada persona ha aportado conocimiento al resto de la clase
desde su experiencia previa. El diálogo, en este contexto, es una forma
239
de transmitir los argumentos para sustentar una afirmación o rebatir
otro argumento. De esta forma, como ya hemos comentado
anteriormente, han aparecido diversas explicaciones para un mismo
concepto matemático y varias maneras de resolver un mismo
problema.
Sí, pero más bien
de cabeza. Mira,
este ejercicio que
hicisteis de las
cajetillas, pues yo
dije, bueno, tantas
cajas, pues tantas
cajas tiene, y lo fui
apuntando. Y luego
pensé: 10 cajas, a
10 cartones, son...
15.3. El análisis de la relación entre la persona y el
medio tecnológico
En este último apartado nos detenemos para analizar la relación que se
establece entre las personas del Grupo de matemáticas dialógicas y el
A ver, yo siempre
he hecho las cosas
en la libreta, o sea,
que en papel
siempre sabes cómo
poner las cosas, las
operaciones... vull
dir, que la libreta es
lo que has utilizado
siempre. En el
ordenador también,
vas siguiendo las
pantallas, etc, no
sé... Por la pantalla,
o en un papel,
midiendo y
poniendo, porque
así lo vas viendo, y
es una manera de
que te vaya
quedando más en la
mente
medio tecnológico en el que se desarrollan las actividades de
aprendizaje. Bien es sabido que el medio es un elemento fundamental
en el análisis del aprendizaje y que en diferentes medios también
ocurren diferentes procesos que condicionan el aprendizaje de
diferente manera. Los medios tecnológicos, por ejemplo, introducen
mayores ventajas en aspectos como el dinamismo en la representación
geométrica o la posibilidad de hacer cálculos enormes en un
instante.230 Así, por ejemplo, no es lo mismo aprender las
proporciones en una clase, en la pizarra, que delante del ordenador,
porque los medios técnicos al alcance de la mano son distintos. En las
secciones siguientes vamos a analizar diferentes fenómenos que
hemos ido observando a lo largo del trabajo de campo, desde el punto
de vista de las cuatro variables que consideramos en este trabajo.
230
Hay muchos profesionales de la educación que no están de acuerdo con el uso de
tecnologías en el aula, como es el caso de las calculadoras científicas, porque
impiden que el alumno sea capaz de encontrar el resultado por sí mismo. Desde mi
punto de vista, lo importante no es que la calculadora sustituya el razonamiento del
estudiante, sino que evite los esfuerzos de cálculo innecesarios. Lo que tenemos que
pensar son actividades en las que el estudiante pueda utilizar la calculadora (o el
ordenador) como una herramienta de trabajo para llegar al resultado, pero el camino
para alcanzarlo lo tiene que pensar él o ella.
240
Cognitivos
-
Afectivos
-
Desconocimiento de la herramienta
El cálculo mental
El uso de diferentes soportes para
resolver las operaciones
El salto del papel a la pantalla
La incomprensión y el medio
El gusto por la diversidad y por la
novedad
La imagen del ordenador como juguete
Instrumentales
-
La barrera del conocimiento de la
herramienta
Diferencia entre las matemáticas
“habladas” y las matemáticas que
aparecen “escritas” en la pantalla
Normativos
-
∅
Esquema 15.3. Fenómenos del análisis de la relación entre las personas y el
medio tecnológico. Elaboración propia.
En los siguientes apartados hablaremos tanto de ejemplos de
fenómenos transformadores, como exclusores.
Desconocimiento de la herramienta
Dentro de las variables cognitivas sociales un elemento que debemos
resaltar es el conocimiento de la herramienta que se está utilizando
para aprender matemáticas. Algunas investigaciones sobre las
implicaciones educativas de las tecnologías de la información y de la
comunicación en la educación de las personas adultas (CREA, 1998,
1999) ponen de manifiesto que el desconocimiento de la herramienta
(en este caso, del ordenador) es una barrera que en un primer
momento dificulta el aprendizaje. En el caso del aprendizaje de las
matemáticas, el desconocimiento de cómo se utiliza el ordenador se
241
G.- Hombre pues
claro que sí, vull
dir, que algo
siempre se aprende,
siempre, yo creo
que sí... Pero
también va más
lento, como lo
tienes que pensar,
es más lento,
porque hasta que no
lo tienes por la
mano... bueno. Una
vez que coges el
truquillo vas más
rápido, claro, que
hacerlo a mano.”
añade a la propia dificultad inherente a la materia (a las matemáticas),
por lo que aparece una doble barrera al aprendizaje. En esta
investigación se ha puesto de manifiesto la necesidad de dedicar unas
sesiones previas a la formación en el uso de ordenadores. De este
modo, una vez que se consigue romper el miedo hacia ese tipo de
herramientas, la motivación se genera en las personas adultas y
descubren que son capaces de utilizar una nueva herramienta,
aumentando las ganas de aprender matemáticas.
A nivel cognitivo, aprender a utilizar el ordenador supone también la
adquisición de formas nuevas de proceder, de pensar, de actuar (por
ejemplo, utilizar herramientas para resolver cálculos, no hacerlos “de
cabeza” cuando son muy fatigosos de realizar, y “comprobar” el
resultado haciendo estimaciones de lo que debería dar el resultado,
aspecto que desarrolla la habilidad matemática de la estimación y de la
aproximación).231
Por otro lado, si bien al principio el desconocimiento bloquea el
aprendizaje, a medida que la persona va adquiriendo soltura en el uso
Si... Y ¡ay! Y cómo
le doy y cómo le
doy. Y no sabía ni
cómo coger el
ratón. Y ahora ya
sí, ya lo veo... y
además me gusta.
del ordenador, también gana en rapidez y desenvoltura en la
resolución de los problemas matemáticos (ya que se va directamente
al problema y no se pierde con cálculo fatigosos, que a veces pueden
provocar que uno pierda la globalidad del problema). Al final, el
rechazo inicial hacia un medio desconocido acaba convirtiéndose en
justamente lo contrario.
Por tanto, el desconocimiento de la herramienta es un elemento
exclusor, siempre y cuando no se encuentren formas de transformarlo.
231
La estimación es una de las habilidades matemáticas que destaca Bishop (1991,
2000).
242
El cálculo mental
Una de las estrategias cognitivas subjetivas que más utilizan las
personas participantes es la realización de operaciones matemáticas
“de cabeza”, sin necesidad de utilizar soportes, como el papel o la
pantalla de un ordenador. El operar, sin dejar constancia escrita de las
operaciones que se están realizando, implica el uso de la memoria.
En cambio, cuando se utiliza el papel o cualquier otro soporte para
realizar operaciones, el dejar constancia escrita de los números,
“libera” a la memoria de esa tarea de “retener la información” y
permite poner más énfasis en otros procedimientos cognitivos
subjetivos, tales como la compresión o la atribución de significados,
entre otros.232
En 1979 Pólya recogió diversas estrategias cognitivas subjetivas que
las personas utilizamos para resolver los problemas matemáticos.
Estas estrategias, básicamente, eran las siguientes: descomponer el
problema en sus elementos más simples, tal como ya aconsejaba
Descartes en su conocido método para “llegar a la verdad”; esperar a
que aparezca la “brillante idea” que permitirá resolver el problema
(aspecto
que
Pólya
retoma
de
la
tradición
gestáltica);
el
establecimiento de analogías entre el problema que se tiene entre
manos y situaciones parecidas; o el uso de figuras como herramientas
gráficas para comprender el problema y encontrar la vía de solución.
La cita adjunta, que aparece al margen, revela que las personas
adultas, cuando realizan operaciones “de cabeza”, utilizan estrategias
para “atajar” o “simplificar” esas operaciones. No disponemos de
datos suficientes para afirmar que es la estrategia preferida por las
personas adultas, pero sí que es cierto que la mayor parte de las
232
Esto puede contribuir a explicar por qué hay personas que tienen una mayor
agilidad mental, mientras que otras dependen de escribir las operaciones sobre un
papel para poder resolverlas con éxito. Se trata de dos formas diferentes de resolver
operaciones.
243
B.- De cabeza sí,
pero claro, es que
esto...
E.- Pero cómo lo
haces?
B.- No, porque yo
pienso, 28, o sea,
menos 36, menos
ocho, pues son 6
que quito y dos de
los otros... te vas a
reír de mí...
Pero entonces, esto,
pues yo puse: 2 por
3 aquí 6. Que yo no
sé si está bien o está
mal. Y dos por
equis pues igual a
2x, yo qué sé. Esto
no lo sé. Y luego,
éste, esta X es ésta,
no? Y este 2 pues
es el mínimo
común, porque sólo
hay un número.
Este dos yo lo
multipliqué dos
veces por 180 y me
salió esto. Pues a
partir de aquí ya,
pues las equis,
nueve equis, y esto,
dividido por nueve,
40. Y esto. A partir
de esto muy bien.
Pero esto, lo puse
porque estaba ya
puesto. Pero yo no
sé, porque esto qué
quiere decir? Tres
equis igual a tres
equis, igual a
cuarenta, ciento
veinte. Y yo digo, y
eso qué quiere
decir? Y yo pensé,
bueno, pues
cuarenta... E.- ¿Esto
de dónde lo
sacaste? A.- Del
libro, del libro no,
del cuaderno que
tengo yo. Te voy a
explicar lo que
hice. Bueno, pues
este cuarenta lo
multiplico por esto,
cuarenta por tres,
ciento veinte, que
es el dinero que
tiene, digo y la
equis y este dos, ni
idea. Y entonces el
cuarenta éste lo
dividí por dos, y
sale veinte, y
entonces digo, pues
ya está: 20, 40 y
120, que cada uno
tiene.
personas del grupo de matemáticas dialógicas trataban de simplificar
las situaciones y quedarse sólo con aquello que consideraban esencial
para entender (y resolver) el problema.
Entre las estrategias de “simplificación” que utilizan las personas del
grupo de matemáticas en el aula cabe destacar varios ejemplos, como
el duplicar cantidades (tanto para la suma como para la resta); hacer
números “redondos”; operar con las cantidades “enteras” y añadir el
resto al final de la operación (por ejemplo, en la suma 52 más 37, se
dice: 50+30 son 80, 7+2 son 9, y 80 son 89); partir un número en
cantidades más “manejables”; etc. Todas estas estrategias cognitivas
aparecen cuando las personas participantes hacen las operaciones “de
cabeza” para resolver un ejercicio cualquiera.
En general, la idea que se desprende del análisis de todas las
operaciones que hacen las personas adultas “con la cabeza” es que
suelen utilizar estrategias simplificadoras de agrupación o de
fraccionamiento de los números en cantidades más grandes o más
pequeñas. Esta estrategia les permite operar de manera rápida y
recuerda a la teoría de conjuntos como forma de organizar la
información dentro de la mente de cada cual.233
Esta manera de resolver situaciones matemáticas problemáticas indica
la existencia de una diferencia muy grande entre la manera que
tenemos de pensar las personas que hemos aprendido a resolver
operaciones de manera académica234 y la que tienen otras personas
para resolver las mismas operaciones utilizando otras vías más
imaginativas, que han aprendido a lo largo de su vida.
233
Aunque la idea de los conjuntos pasó ya de moda, sí que es verdad que se ajusta
bien para describir las estrategias cognitivas subjetivas que utiliza cada cual en sus
razonamientos.
234
Nos referimos aquí a la serie de pasos y procedimientos estandarizados que una
persona sigue apuntando las cifras sobre un papel, en el sitio normativamente
“adecuado” el resultado de la operación y con todos los símbolos matemáticos que
acompañen a esa operación.
244
Ahora bien, ¿por qué se prefiere el uso del “método de hacer las
cuentas de cabeza” si en teoría exige mayor esfuerzo porque implica
tener que recordar las cantidades a la vez que se opera con ellas? La
respuesta vuelve a estar en el desconocimiento (o falta de hábito en el
uso) de la simbología matemática escrita. Cuando las personas
participantes ven por escrito aquello que han hecho “de cabeza”, a
menudo, no lo reconocen de entrada y tienen que invertir grandes
esfuerzos para aprender a “reconocer” operaciones que en sus vidas
cotidianas hacen cada día “sin tanto símbolo”.
En la clase muchas veces se ha comentado que encontrar la respuesta
pensándola o buscarla escribiendo en la libreta (o en la pizarra, o en la
pantalla) son dos cosas totalmente diferentes (y algunas personas
E.- Y otra de las
cosas que ha salido
es que muchas
personas lo que
hacen es apuntar en
una hoja los
resultados, para
después poder saber
cómo han resuelto
ese ejercicio para el
próximo día...
G.- Normal, es que
es normal, porque
muchas veces vas y
miras cómo lo has
hecho para ver
cómo lo puedes
hacer, y miras la
libreta... y vas
viendo la lógica,
vull dir...
haciéndolo.
adultas se sorprenden de que después de hacer unos cuantos cálculos,
aparentemente sin sentido, el resultado sea el mismo que han
encontrado mentalmente). Eso revela la existencia de procesos
cognitivos diferenciados en ambos tipos de situaciones.
El uso de diferentes soportes para resolver las operaciones
Todo lo anterior nos lleva a resaltar la diferencia que existe entre
diferentes soportes en lo que se refiere a la volatilidad / permanencia
de los datos y a su comprensión.
Un dato importante, que pone de manifiesto el análisis del trabajo de
campo, es la paradoja que se produce cuando se utilizan las
tecnologías de la información y de la comunicación para resolver
problemas matemáticos (presentados en formato html).
Las personas participantes prefieren utilizar el “método de hacer las
cuentas de cabeza” para resolver los ejercicios, antes que hacerlos
sobre el papel, como ya hemos comentado, pese al esfuerzo de
memorización y manejo mental de cierto número de cifras.
245
Bueno, yo es que en
la pantalla no es
que lo vea
diferente. Lo que
pasa es que, por
ejemplo, en el libro
lo tengo como más
para repasar yo, no?
Lo leo allí 20 veces,
y lo controlo, y lo
vuelvo a anotar, lo
vuelvo a leer...
Sin embargo, cuando esas mismas personas están delante de la
pantalla, entonces ocurre que les gusta más hacer las cuentas sobre el
papel, porque pueden escribir y dejar constancia de todo lo que hacen,
mientras que en el ordenador no saben cómo hacerlo (se trata de
personas que no están habituadas al uso de los ordenadores y que no
Es que los jóvenes,
que están ahora con
los ordenadores y
que van subiendo
con esta posibilidad
nueva, pues claro,
ya lo ven todo
mucho más fácil:
aquí busco, aquí...
Ya tienen eso en
mente. Mientras
que yo por ejemplo
casi ya no pienso en
el ordenador,
porque, claro, soy
ya gente grande y,
entonces, pues
claro, je-je, lo que
más tengo es mi, en
mi conciencia o lo
que se diga, pues es
esto, el libro, y
repasarlo allí o
preguntarlo.
tienen claros conceptos como “guardar la información”, “imprimir”, o
“usar la libreta electrónica”, por ejemplo, por falta de práctica y por la
novedad de la herramienta).
¿Por qué ahora las personas participantes prefieren escribir las
respuestas a las preguntas, antes que hacerlas “de cabeza” y apuntar el
resultado –y el procedimiento- en el ordenador? La explicación de esta
paradoja nos la dan las propias personas participantes: resulta que la
libreta, a pesar de la dificultad del código matemático, es un soporte
conocido que se puede recuperar para repasar y estudiar los ejercicios
realizados (práctica muy frecuente entre las personas adultas que están
estudiando). El ordenador, para la mayor parte de las personas
participantes que formaron el grupo de matemáticas dialógicas de la
escuela, era una herramienta desconocida y ese desconocimiento fue
lo que motivó que prefirieran la libreta al ordenador.
Lo que pasa es que,
mmm, por ejemplo,
yo, que soy mayor,
lo tengo ya como
más mentalidad,
pues el libro y los
apuntes... Es, es
psicológico. Ya, es
que la otra opción,
la del ordenador, no
me la planteo casi.
Por otro lado, también existe una cierta creencia de que el ordenador
es para las generaciones jóvenes. Es una concepción totalmente edista
que tiene consecuencias claramente exclusoras y que además no
responde a la realidad, porque en la propia escuela de La Verneda nos
encontramos con personas de todas las edades que trabajan con los
ordenadores en el aula de informática.
Este discurso pesimista que esgrimen algunas personas no es más que
una justificación para no enfrentarse a nuevos conocimientos o
“cubrirse las espaldas”, por si no los acaban de entender y les “salen
mal” los ejercicios.
246
El salto del papel a la pantalla
Ya hemos analizado la importancia que tiene el soporte del material y
de la herramientas que se utilizan en el aprendizaje de las
matemáticas. A veces el uso de los ordenadores como herramientas
didácticas no siempre es positivo. El éxito depende del conocimiento
previo que se tenga de las tecnologías, de la actitud, de la práctica,
etc., como ya hemos comentado.
Algunas personas afirman que cuando una persona se encuentra ante
una herramienta que le resulta desconocida, a la dificultad de la
materia (en este caso las matemáticas) se le suma la complejidad de la
herramienta (el ordenador). No obstante, varias investigaciones, que
han sido ampliamente contrastadas por la comunidad científica
internacional, muestran que ocurre lo contrario: ese desconocimiento
estimula a las personas a aprender más todavía.235
Sin embargo, las entrevistas muestran que algunas de las personas del
grupo de matemáticas tienen unas expectativas de sí mismas muy
bajas y, cuando están delante de la pantalla, se bloquean y se olvidan
de la curiosidad para descubrir la nueva herramienta.
El efecto negativo de las tipificaciones lleva a la construcción de una
imagen propia negativa que se justifica de acuerdo con esas
tipificaciones. Además, asume su situación como algo normal, cosa
que constituye una barrera muy fuerte al aprendizaje.
235
Ejemplo de esto son las experiencias de Success for all y aprendizaje acelerado
en Estados Unidos y las Comunidades de Aprendizaje en España.
247
G.- Hombre claro,
claro que lo
utilizamos. Y lo
importante es que
sepamos utilizarlo,
claro... porque las
matemáticas en el
ordenador, pues te
parece que vas más
despacio y, claro,
porque te parece
que aquello pues ya
lo hacías de seguida
en el papel, pues,
me entiendes...”
La incomprensión y el medio
A veces, algunas personas participantes lo que hacen es apuntar en sus
libretas lo que está escrito en la pizarra, sin comprender el significado
de lo que están escribiendo. Esta práctica, que es un deje
absolutamente académico, no aporta nada bueno al aprendizaje y se
Y esto. A partir de
esto muy bien. Pero
esto, lo puse porque
estaba ya puesto.
Pero yo no sé,
porque esto qué
quiere decir? Tres
equis igual a tres
equis, igual a
cuarenta, ciento
veinte. Y yo digo, y
eso qué quiere
decir? Y yo pensé,
bueno, pues
cuarenta...
convierte en un elemento claramente exclusor.
Las personas participantes apuntan lo que hay en la pizarra para no
perder ningún paso de la explicación. La mayor parte de las veces
aquellos símbolos que han apuntado en la libreta sirven después como
material para comentar dentro o fuera del aula, en sus casas, con
personas de sus familias, etc. Sin embargo, cuando esa interacción no
se produce, suele ocurrir que esas personas se encuentran ante unos
apuntes que no comprenden y, más que ayudar, generan el efecto
contrario.
El gusto por la diversidad y por la novedad
G.- Yo me lo paso
muy bien, con el
ordenador, la
verdad es que me
gusta mucho. Es
más entretenido.
Haces más cosas,
cosas diferentes, no
sé, me gustan.
Como ya dijimos en el capítulo 14, un elemento afectivo claramente
transformador es la motivación que produce en las personas
participantes el uso como herramientas didácticas de tecnologías
nuevas, como los ordenadores. Este tipo de instrumentos llaman
mucho la atención y son un elemento positivo que anima a todo el
mundo a participar con más ilusión en la clase, porque las personas
participantes ven que el futuro está en saber utilizar este tipo de
herramientas y quieren aprender también a usarlas.
248
La imagen del ordenador como un juguete
Por otro lado, en el ámbito de las tecnologías de la información y de la
comunicación, hay que volver a destacar que los ordenadores animan,
pero que este sentimiento está socialmente compartido. En primer
lugar, el hacer la clase en el aula de ordenadores rompe la dinámica de
la clase y la vuelve más “atractiva” y, en segundo lugar, el usar unas
herramientas innovadoras siempre es interesante (además de
divertido), porque las personas participantes saben muy bien que el
futuro está en saber cómo utilizar esa clase de tecnologías.
La barrera del conocimiento de la herramienta
Las tecnologías motivan y son transformadoras siempre y cuando no
se abuse de ellas y se parta del conocimiento que tienen las personas
participantes de estas herramientas. En caso contrario lo que suele
ocurrir es que, a pesar de la motivación que produce hacer
matemáticas utilizando un ordenador, el no saber usar la herramienta
puede convertirse en un elemento de bloqueo que dificulte
precisamente aquello que quiere potenciar: el aprendizaje de las
matemáticas. En alguna ocasión nos hemos encontrado con
comentarios de personas que se quejaban de la falta de conocimiento
de la herramienta y pedían aprender primero a utilizar bien el
ordenador, antes de utilizarlo para aprender matemáticas.
249
D.- Es que no es tan
sencillo. Bueno,
claro, para quien
sabe utilizar el
ordenador es más
rápido, pero... para
el que no sabe...
Diferencia entre las matemáticas “habladas” y las matemáticas que
B.- Sí, claro, es que
no sé qué pasó,
porque, yo... claro,
porque eran
números bajos,
bueno, el último sí
que era de millón,
lo tengo en la otra
libreta, bueno ya lo
hice superbien (jeje). Pero el otro día
es que, claro, a lo
mejor vi muchos
números ahí y ya
no supe, ya no...
como vaya con la
cosa de que eso ya
no lo saco, uy, eso
ya no lo saco. Pero
vaya, pensándolo
bien, eso, no sé,
más o menos lo voy
haciendo. Y ves?
Esto, esto que
también me dijiste,
también lo había
hecho. Bueno, en
graduado ya lo
hice, ¡ay! En
graduado...
aparecen “escritas” en la pantalla
Una de las dificultades más interesantes que hemos observado es la
diferencia que existe entre las matemáticas “habladas” y las
matemáticas que aparecen “escritas” en la pantalla. Aparentemente el
código es el mismo: en un sitio aparece escrito y en el otro se comenta
de viva voz. Sin embargo, la representación simbólica es diferente en
ambos casos.
La cita adjunta en la parte superior relata el caso de una persona que
intentó resolver en el ordenador un ejercicio que consistía en decir qué
número seguía a una cantidad (acabada en 9), pero puesta de tal
manera que el número siguiente implicaba el cambio a una unidad
inmediatamente superior (por ejemplo, a 1.199.999 le sigue el “un
millón, doscientas mil”).236
Esta persona encontró dificultades para pasar del código simbólico al
lenguaje hablado, lo que pone de manifiesto las dificultades ante las
representaciones o códigos semióticos.
Me lo explica un
hijo, después otro,
me chillan, pero
bueno, no es cómo
me lo explican, es
problema de que yo
hace años que no
estudio, hace años
que yo aquello no
lo he tocado,
porque hasta ahora
todo esto pues ya lo
había hecho, lo que
pasa es que ya lo
había olvidado. No
sabes, y es normal.
En otros casos, lo que sucedió fue que las personas eran capaces de
encontrar la respuesta a las preguntas que se formulaban, pero no
sabían cómo escribirlo en la libreta. Este desconocimiento también es
una barrera que dificulta el seguimiento de un libro de matemáticas,
por ejemplo.
Por tanto, cuando estamos hablando de contenidos matemáticos
formales, no sólo tenemos que estar atentos a la dificultad propia de
esos contenidos, sino también a la dificultad añadida del lenguaje
236
Se trató de una actividad que formaba parte del paquete de actividades
matemáticas del Clic, que es una aplicación didáctica desarrollada por la “Xarxa
Telemática d’Educació de Catalunya”.
250
simbólico matemático (de la escritura), sobre todo cuando no hay una
relación directa y aparecen conflictos semánticos.
A lo largo de este capítulo hemos ido analizando diferentes elementos
que intervienen en el aprendizaje de las matemáticas al utilizar las
tecnologías de la información y de la comunicación como recurso
didáctico.
La primera aportación relevante que resaltamos es la importancia del
diálogo en todo el proceso de aprendizaje. Éste es un elemento
claramente transformador. Las mujeres del Grupo de matemáticas
dialógicas se enfrentan a situaciones problemáticas que son nuevas
para ellas. Y lo son en dos sentidos. Así, por un lado, desde el punto
de vista matemático, aparecen conceptos que desconocen y, por otro,
la propia herramienta de trabajo les exige un conocimiento previo, que
no tienen siempre. El reto, por tanto, es doble: resolver las actividades
y hacerlo utilizando los ordenadores. A lo largo de las páginas
precedentes, se puede apreciar como el diálogo es lo que más se utiliza
para afrontar problemas que uno no sabe resolver. Comentando las
dificultades del contenido matemático, cada persona aporta su “saber”
y entre todas logran resolver los problemas propuestos (y encontrar
muchas más vías de solución).
Muchas de las mujeres del grupo acaban por preferir los métodos
tradicionales y recurren al uso del lápiz y del papel, o bien, prefieren
hacer las cuentas “de cabeza”. Esto no significa que tenga que ser
exclusor. Lo que ocurre es que primero resuelven el ejercicio en la
libreta y, luego, apuntan en la pantalla el resultado que han
encontrado. Los motivos de este comportamiento son diversos: falta
de hábito en el uso del ordenador, deseo de conservar las operaciones
251
realizadas para poder repasarlas en otro momento, desconfianza de su
capacidad para utilizar el ordenador, desconocimiento de la máquina,
etc.
Lo cierto es que hemos detectado que a nivel cognitivo existen claras
diferencias entre el uso de la libreta y el uso del ordenador, como
soporte para resolver las actividades.
En cualquier caso, siempre el diálogo es la forma elegida para resolver
las dudas y transmitir los pasos que se han seguido para resolver cada
ejercicio. A través de los diversos ejemplos, vemos como las mujeres
del
grupo
se
juntan
en
grupos,237
comparten
experiencias,
conocimientos, dudas, discuten sobre la interpretación correcta del
planteamiento de las actividades y, finalmente, llegan a la solución del
ejercicio por consenso. Cada persona aporta diferentes argumentos
para justificar su punto de vista y la respuesta que da a cada ejercicio.
El diálogo es la manera de compartir esos argumentos y ponerlos en
común para toda la clase. Ejemplo de ello son las ocasiones en las que
la persona que había logrado descubrir la solución a un determinado
ejercicio lo decía en voz alta para el resto de la clase y explicaba la
manera de hacerlo.
Otra de las aportaciones relevantes que aparece en el análisis que
realizamos durante este capítulo es la concepción del aprendizaje
desde la dimensión cognitiva de los contenidos matemáticos. A lo
largo de las páginas anteriores aparecen ejemplos que muestran la
complejidad del aprendizaje. A diferencia de lo que han defendido
siempre los investigadores que se sitúan en el paradigma atomista (de
las teorías del aprendizaje), leyendo las transcripciones de los
comentarios de las mujeres del Grupo de matemáticas dialógicas,
vemos que en el aprendizaje intervienen multitud de –llamémosles237
Unos grupos que definimos como “grupos interactivos”, porque se juntan
personas con diferentes grados de conocimiento del medio y del contenido y
funcionan a través del diálogo igualitario, en base a argumentos, no a relaciones de
poder.
252
factores internos de la mente (como la experiencia previa, las
prenociones, las creencias, los estereotipos, etc.). Todo este “mundo
de la vida” (siguiendo la nomenclatura de Schütz y Luckmann, 1973)
interviene en el aprendizaje, aunque de una manera mucho más
compleja de lo que dicen Novak, Ausubel y Hanesian (1983).238 Estos
tres autores simplemente analizan el aprendizaje desde un punto de
vista estrictamente individualista (como proceso cognitivo interno que
ocurre dentro de cada persona), y recogen las aportaciones de la teoría
de la equilibración de Piaget (1968, 1980), haciendo alguna precisión
más.
Sin embargo, el aprendizaje siempre se produce en un entorno social,
de manera que también hay que tener en cuenta las relaciones
intersubjetivas. La experiencia previa, las creencias, las prenociones o
los estereotipos de los que antes hablábamos, son elementos que se
han formado socialmente (aunque después se interioricen y actúen
sobre la respuesta individual que da cada persona ante cada ejercicio
de matemáticas).239
En este capítulo aparecen múltiples elementos para respaldar esta
interpretación, como son la inteligencia cultural, la interacción, el
diálogo, la solidaridad que manifiestan las personas durante el proceso
de aprendizaje, etc.
Por otro lado, esto no quiere decir que no intervengan variables
internas. También aparecen elementos que nos sitúan claramente en la
tradición del individualismo metodológico. Las mujeres del grupo
explican, por ejemplo, la importancia de la repetición en el
aprendizaje. Este aspecto es una referencia explícita hacia la ley de la
238
Estos autores trabajan desde otro punto de vista totalmente diferente. Ellos se
sitúan en el constructivismo, mientras que Schütz y Luckmann (1973) están
ubicados en la fenomenología. Posteriormente Luckmann, junto con Berger (1988),
ponen los pilares de la corriente del constructivismo social.
239
Para comprobar esta afirmación ver Berger y Luckmann, 1988. También se puede
utilizar de referencia (aunque desde una temática diferente a la que tratamos aquí) a
Gómez, 2004.
253
frecuencia establecida por Watson (1913), por ejemplo,240 que tanto
ha calado en el “sentido común” general, a pesar de estar demostrado
que no tiene por qué existir ninguna relación entre repetir una cosa y
entenderla.241
Desde el punto de vista individual (de la agencia), otro de los aspectos
que resaltan en esta investigación es la importancia de los
componentes afectivos en el proceso de aprendizaje. La actitud de las
personas es fundamental. El creerse las cosas que estás haciendo es un
ingrediente básico para obtener el éxito. Y, al contrario, cuando no
crees en lo que haces, es prácticamente seguro que fracasarás. Esta
apreciación se pone de manifiesto en temas como la vivencia del
bloqueo (que normalmente tiene un carácter exclusor) o el éxito (que
es transformador). Si repasamos esos apartados, vemos abundantes
ejemplos que nos sirven para discutir la segunda de las hipótesis de
este trabajo. Más adelante entraremos pormenorizadamente en este
tema.
240
La ley de la frecuencia indica que la fuerza de un vínculo entre un estímulo (E) y
una respuesta o reflejo (R) depende del número de veces que se produce.
241
De hecho, la “ley de la repetición” ha sido varias veces criticada y no sólo desde
la perspectiva cognitivista (que sería lo más lógico, por otro lado). También autores
que se sitúan en la tradición atomista han criticado con fuerza esta idea, como el
propio Thorndike, que después de proponer la “ley del ejercicio” (una reformulación
del modelo watsoniano), la rechazó e introdujo el “principio de pertenencia”, según
el cual si dos ideas mantienen algún tipo de relación de pertenencia entre ambas,
será mucho más fácil que se establezca un vínculo entre ellas.
254
16. ANÁLISIS DE LAS TRAYECTORIAS
COGNITIVAS DE APRENDIZAJE
En este capítulo nos centramos en estudiar el aprendizaje en un entorno dialógico,
como es la escuela de La Verneda – Sant Martí. Para ello, partimos de las categorías
que han utilizado otros investigadores desde la Psicología del Aprendizaje o la
didáctica de las matemáticas. En concreto, utilizamos un modelo de análisis basado
en la dicotomía concreto/abstracto, que ha sido utilizada en diversas ocasiones en el
aprendizaje de las matemáticas (Piaget, 1980; Skemp, 1980; Resnik y Ford, 1990,
Alcalá, 2002; Dienes, 1970) o en el desarrollo del conocimiento (Chalmers, 1991).
El modelo de análisis que proponemos son las trayectorias cognitivas de aprendizaje
y está basado en los modelos de análisis que utilizan Dreyfus, Hershkowitz y
Schwarz (1998, 2002). Este modelo nos sirve como herramienta para comprender
algunos aspectos del aprendizaje del concepto matemático de proporción. Para ello,
utilizamos la técnica del análisis del discurso, de acuerdo con una serie de tipos de
discurso que hemos categorizado.242 A lo largo del capítulo se muestran los
resultados obtenidos desde varios puntos de vista. Por un lado, se presenta una
visión descriptiva, a partir de la cuantificación de los diversos tipos de discurso.
Después, se muestran las diferentes trayectorias cognitivas de aprendizaje para cada
una de las actividades y se analiza el significado respecto al aprendizaje. Finalmente,
se analizan las regularidades que muestran las diferentes trayectorias cognitivas en el
aprendizaje.
242
Ver la parte de metodología.
255
16.1. El análisis de las intervenciones
Dice Chalmers (1991) que para llegar al conocimiento podemos
proceder de dos maneras distintas: bien por inducción, bien por
deducción.243 En el primer caso, lo que hacemos es pasar de los casos
concretos al concepto general y en el segundo, de enunciados
generales deducimos consecuencias concretas. Teniendo en cuenta lo
que dice Chalmers (1991), resulta que el conocimiento implica (por lo
menos) la capacidad de pasar de lo concreto a lo general (generalizar)
o, a la inversa, de lo general a lo concreto.244 Partiendo de esta idea,
aplicamos el diseño metodológico desarrollado por
Dreyfus,
Hershkowitz y Schwarz (1998, 2002): utilizamos una categorización
basada en el binomio concreto/abstracto para ver cómo se manifiesta
en los diálogos la capacidad de pasar de uno a otro registro. Para ello
hablamos de “casos particulares” frente a enunciados que implican un
“reconocimiento
generalizado”
o
las
“interpretaciones
comprensivas”.245
243
Hay muchas personas que nos ofrecen análisis de la racionalidad. Popper, 1967a,
1967b, por ejemplo, es uno de ellos, pero no el único. Así, nos podemos remontar
hasta Euclides, pasando por Descartes y tantos otros. En la didáctica de las
matemáticas, un libro interesante es Matemática. Verdad. Realidad. (compilado por
Newman –1969-, que junto con Nagel son las dos personas que han popularizado la
obra de Kurt Gödel). En este libro encontramos textos de Hempel, Wilder, Nagel,
Newman, Veblen, Wesley, Gaskin, von Mises, que nos ofrecen una breve
introducción a la matemática como ciencia axiomática con un cuerpo lógicodeductivo.
244
Piaget (1968), por ejemplo, no estaría del todo de acuerdo con esto. Según él, “la
abstracción a partir de acciones o de operaciones no consiste en una simple
segregación, ni en una simple lectura de elementos disociados, sino que conlleva
necesariamente una reconstrucción por medio de elementos proyectados o
“reflejados” del plano inferior al superior.” (Piaget y Beht, 1968: 265). Es decir,
que la generalización no es un proceso lineal, sino que implica un proceso previo de
reestructuración a nivel cognitivo, que da lugar al nuevo esquema de conocimiento,
que se acomoda junto a los demás esquemas de conocimiento previos.
245
Como ya hemos dicho, recurrimos al binomio concreto/abstracto, porque
consideramos que es un indicador que nos permite acercarnos a la división entre
matemáticas de la vida real y matemáticas académicas. Los problemas matemáticos
que nos interesan son los que tienen que ver con la realidad (en el sentido de la
perspectiva realista holandesa –ver Goffree, 2000–). Aunque el planteamiento sea
concreto y contextualizado en la experiencia cotidiana de las personas del grupo de
matemáticas (Abreu, 2000), para resolverlos hay que ir del planteamiento concreto a
la solución a través de métodos más o menos abstractos. El binomio
256
Si las matemáticas, como dice Alcalá (2002), son una ciencia
abstracta, entonces, aprender matemáticas tiene que significar ser
capaz de aprender esa “abstracción” (por lo menos, en el sentido que
damos aquí a la palabra “aprender”).246 Por eso, durante el proceso de
aprendizaje tienen que aparecer diálogos que sean “interpretaciones
comprensivas”, “reconocimientos generalizados” y no sólo referencias
a los “casos concretos”. Una colección de “casos concretos” no nos
indica si la persona entiende (o no) el concepto de proporción. Y,
además, si es cierto que todas las personas somos capaces de aprender
y
utilizar
las
matemáticas,
entonces
los
“reconocimientos
generalizados”, así como las “respuestas explicativas” no tienen que
ser dominio exclusivo del docente y menos en un entorno de
aprendizaje dialógico, donde la participación es igualitaria.
Reconocimiento Generalizado (RG)
Provoca (p)
Asentimiento (a)
Enunciado dubitativo (ed)
Respuesta explicativa (re)/(r)
Enunciado Asertivo (ea)
1
6
9
2 35
2
1
5
5
2 71
P2
0
0
2
1
0
3
2
1
0
2
0 11
P3
1
1
2
4
0
2
1
4
1
2
1 19
P4
5
4
1
9
2 13
2
2
3
5
1 47
P5
10
1
5
5
1
1
5 15
7
0 52
2
Total intervenciones
Interpretación Comprensiva (IC)
3
Corrección Clarificadora (cc)
Diversos casos Particulares (DP)
P1
Evocación de la constante (Ek)
Caso Particular (CP)
Total
P6
6 0 4 3 1 2 3 3 6 3 0 31
Total
25 7 20 31 6 57 11 16 30 24 4 231
Tabla 16.1. Cuantificación de las intervenciones durante la
resolución de los problemas propuestos. Datos absolutos. Fuente:
concreto/abstracto permite ver desde ese punto de vista el desarrollo de la
trayectorias cognitivas durante el aprendizaje, para ver de qué manera se produce
éste, y, sobre todo, qué relación tiene con el contenido matemático. Para ampliar esta
reflexión ver la parte de metodología.
246
“Aprender” desde un punto de vista cognitivo, no atomista.
257
Al contar la cantidad de veces que se generaliza el discurso, vemos
que las “generalizaciones” superan a los “casos particulares” (de
hecho, vemos que frente a 31 generalizaciones aparecen 25 casos
particulares).247
Estos datos parecen indicar que la generalización es un nivel del
discurso habitual en la clase de matemáticas y que predomina sobre
las intervenciones relacionadas con casos particulares, como muestra
del esfuerzo que se realiza en la clase por comprender los diferentes
conceptos matemáticos que aparecen planteados en las actividades.
No obstante, los casos particulares también son utilizados por todas
las personas participantes, tal y como se puede apreciar en los datos
adjuntos.248
Sin embargo, cuando miramos el caso de los enunciados que implican
un “reconocimiento generalizado” de alguna regla o principio
matemático de las proporciones, cabría esperar que la figura de la
profesora predominase, pero no es así. En la tabla 16.1 se ve
perfectamente cómo la profesora “empata” a “reconocimientos
generalizados” con la persona 4.249 Y esta persona, junto con la 5,
forman una pareja que aporta la mayor parte de las generalizaciones
que aparecen en la tabla.250 Esta distribución “democrática” de los
enunciados que nos remiten al reconocimiento de un principio general
o una norma matemática sugiere que, efectivamente, existe un diálogo
igualitario en la clase y que las mujeres del Grupo de matemáticas
dialógicas participan activamente en la construcción del conocimiento
matemático.
247
Ver tabla 16.1.
Ver tabla 16.2.
249
Podríamos imaginar que la persona 4 está actuando como catalizador, quitando
protagonismo a la profesora.
250
Hay que decir que el número que se ha asignado a cada persona coincide con el
lugar que ocupaba en la mesa en torno a la que se sentaron todas las mujeres del
grupo. Aquel día había seis mujeres y se juntaron haciendo “pareja” con la de al
lado: la dos y la tres juntas, la cuatro y la cinco, y la seis, sola, aunque de vez en
cuando hablaba y se juntaba con la cuatro y la cinco.
248
258
En la cita que adjuntamos al margen vemos como la persona 2
primero responde de manera concreta al ejercicio que se le plantea: si
en el ejercicio aparece una tabla que combina kilos y euros (“a tantos
kilos”, “tantos euros te gastas”), en la que hay que completar los
diferentes espacios en blanco, la persona 2 primero lo que hace es
decir en voz alta las respuestas, pero inmediatamente se da cuenta que
hay una regla inherente. Así, cuando dice “y, así sucesivamente”, nos
está diciendo que “ve” claramente esa regla y “sabe” que el resto de
espacios en blanco se completan conforme a ese criterio. Aquí no
P2.- A ver, 1 kg...
importe en euros
3€, 2 kg, 6€...
Entonces sería
calcular el importe
de los demás kilos,
lo que cuestan, no?
P1.- Sí, ¿3kg?
P2.- Serán 9€, no?
Y así
sucesivamente.
Actividad 1
aparece el significado teórico del concepto de constante de
proporcionalidad, pero queda claro que la persona 2 tiene la idea de lo
que significa y la sabe aplicar.
En general, son las personas 4, 5 y 6 las que más referencias hacen a
los casos concretos. Esto se debe a que son las personas más activas
dentro del aula. Si volvemos a la tabla anterior, donde se recoge el
total de las intervenciones, para tomar un punto de referencia,
apreciamos que efectivamente son las tres mujeres que más participan
dentro de la clase. Si es un rol en el grupo o bien es debido a su nivel
previo de conocimiento, no lo sabemos. Pero en nuestra experiencia
siempre alguien asume ese rol y sin él no funcionaría el grupo.
En las transcripciones vemos que, la mayor parte de las veces, estos
“casos concretos”, en realidad, son las respuestas concretas a cada una
de las actividades planteadas. En la cita adjunta ponemos un ejemplo
de ello: una situación en la que la persona 3 está completando las
casillas en blanco de la tabla (de la actividad 1) donde se compara la
cantidad con el importe. En la cita leemos que la persona 3 sabe que
para resolver el ejercicio tiene que multiplicar por 3 cada uno de los
números que aparecen en la fila de los kilos,251 pero lo que no sabe es
251
Ver la parte de metodología para la descripción de las actividades. Allí se pueden
encontrar los enunciados de cada una de ellas.
259
P3.- A ver.
Espera... 3 por 4,
doce. Y tres por
siete... 21. Y así. Y
6 por 3, dieciocho,
euros. Tres por
cinco, 15 euros.
Tres por cuatro, 12
euros y siete por
tres, 21 y ocho por
cuatro <una
compañera corrige,
ocho por tres> ocho
por tres, 24...
Actividad 1
que ese “3” significa “constante de proporcionalidad” en terminología
matemática.252
Esto deja patente una cosa: las mujeres del grupo de matemáticas
saben resolver perfectamente situaciones problemáticas que implican
conocimiento matemático. Sin embargo, lo que no saben (porque
nadie se lo ha explicado antes o lo han olvidado) es el nombre que a
“eso” se le da en matemáticas (sea “constante de proporcionalidad”,
“razón”, “cociente”, etc.).
Caso particular
P1 P2
P3
P4
P5
P6
TOTAL
Actividad 1
0,0 0,0 0,0 4,2 0,0 0,0
4,2
Actividad 2
0,0 0,0 0,0 8,3 12,5 8,3
29,2
Actividad 3
4,2 0,0 0,0 0,0 4,2 0,0
8,3
Actividad 4
4,2 0,0 0,0 0,0 4,2 0,0
8,3
Actividad 5
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 8,3
8,3
Actividad 6
0,0 0,0 0,0 4,2 8,3 8,3
20,8
Actividad 7
0,0 0,0 0,0 4,2 8,3 0,0
12,5
Actividad 8
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
0,0
Actividad 9
4,2 0,0 4,2 0,0 0,0 0,0
8,3
Actividad 10
0,0 0,0 0,0 0,0 4,2 0,0
4,2
TOTAL
12,5 0,0 4,2 20,8 37,5 25,0 100,0
resolución de los problemas propuestos. Casos concretos. Fuente:
Elaboración propia.253
En cambio, por lo que respecta a los enunciados que implican un
“reconocimiento generalizado” de la norma matemática que hay
detrás, cabría esperar que hubiese una mayor disparidad entre las
personas participantes y la profesora, en cuanto a porcentaje de
intervenciones.254 El hecho de que haya una persona que sobresalga
por encima del resto nos sugiere que (como ocurre en ocasiones) hay
252
No lo sabe, porque líneas después aparece una intervención de la profesora (P1)
explicando qué es la constante de proporcionalidad y pone el ejemplo del 3, que han
utilizado las mujeres del grupo para resolver la actividad.
253
Tenemos que decir que la sesión duró dos horas y las tres últimas actividades se
tuvieron que hacer deprisa, sin poder destinarles todo el tiempo que hubiese sido
necesario. Las personas participantes priorizaron el resolver las actividades y
entregar los resultados en papel al investigador y no se pararon a discutir tanto como
en las siete primeras actividades.
254
O por lo menos esto es lo que cabría esperar que ocurriese en una clase que
funcionase según el modelo académico de enseñanza-aprendizaje (Medina, 1994,
1996).
260
una persona que es más protagonista que el resto (quizás porque le
gusta intervenir más en clase, o porque trata de mostrarse más que el
resto). De todas maneras, los datos muestran claramente que el resto
de las personas del grupo (salvo la persona 2) también son capaces de
utilizar, reconocer y expresar la norma generalizada.
Un dato a destacar es el tipo de intervenciones que hace la persona 3.
Esta persona, a pesar de ser una de las que menos participa, cuando lo
hace es para introducir alguna reflexión en la línea del reconocimiento
de las ideas matemáticas abstractas.255
Reconocimiento generalizado
P1 P2 P3
P4
P5
P6
TOTAL
Actividad 1
0,0 3,2 6,5 6,5 0,0 0,0
16,1
Actividad 2
3,2 0,0 0,0 6,5 0,0 0,0
9,7
Actividad 3
6,5 0,0 0,0 0,0 0,0 6,5
12,9
Actividad 4
9,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9,7
Actividad 5
3,2 0,0 6,5 3,2 0,0 0,0
12,9
Actividad 6
3,2 0,0 0,0 12,9 6,5 3,2
25,8
Actividad 7
3,2 0,0 0,0 0,0 6,5 0,0
9,7
Actividad 8
0,0 0,0 0,0 0,0 3,2 0,0
3,2
Actividad 9
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
0,0
Actividad 10
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
0,0
TOTAL
29,0 3,2 12,9 29,0 16,1 9,7 100,0
resolución de los problemas propuestos. Reconocimientos
generalizados. Fuente: Elaboración propia.
Esta interpretación anterior también es aplicable al caso de las
“interpretaciones comprensivas” y que se refieren a los argumentos
que utilizan las personas de la clase para entender los conceptos que
aparecen en las diferentes actividades matemáticas propuestas (gráfico
16.1).
255
Ver tablas 16.1 y 16.3.
261
Frecuencia de las interpretaciones comprensivas
ACTIVIDAD 10
ACTIVIDAD 9
ACTIVIDAD 8
ACTIVIDAD 7
ACTIVIDAD 6
ACTIVIDAD 5
ACTIVIDAD 4
ACTIVIDAD 3
ACTIVIDAD 2
P1.- La forma
matemática se
presentaría así, la
constante... Son 10
qué, ¿qué significa
eso?
P4.- Lo de abajo es
la hora, ¿no? Lo
que has puesto
abajo es la hora...
P1.- Sí.
Actividad 1
ACTIVIDAD 1
0
1
P1
2
P2
P3
3
P4
P5
4
P6
Gráfico 16.1. Frecuencia de las interpretaciones
comprensivas. Fuente: Elaboración propia.
La cita adjunta es un ejemplo de “interpretación comprensiva”. En ella
vemos primero la intervención de la profesora, que explica una
manera de presentar la constante (escribe en la pizarra 10 kg/h; k =
10).256 Y, después de escribir inmediatamente “constante igual a diez
kilos cada hora” en la pizarra, pregunta qué significa eso. Entonces la
persona 4 mira lo que aparece escrito en la pizarra e interpreta que la
“h” que aparece debajo de “kg” significa “la hora”. Lo que está
haciendo esa persona es intentar entender la nomenclatura que ha
Reconstrucción del
contenido de la
pizarra. Fuente:
escrito la profesora. Por eso, se trata de una interpretación
comprensiva: le está buscando el sentido a eso que ve apuntado.
Otro ejemplo de “interpretación comprensiva” lo encontramos en la
P6.- Pues ahora es
al revés.
P1.- Al revés, sí,
¿por qué?
P6.- Porque el
doble de personas,
en una hora, pues
les costará la
mitad...
Actividad 3
cita adjunta correspondiente a la actividad 3. Ahora la actora principal
es la persona 6. Primero hace una afirmación tajante (dice “pues ahora
es al revés”), que nosotros categorizamos como “enunciado asertivo”,
pero no explica el por qué de su afirmación. Por eso la profesora la
“provoca”: primero le confirma que tiene razón, pero después le
pregunta por qué. Entonces es cuando la persona 6 hace una
interpretación comprensiva en la que aparecen dos conceptos
256
Ver imagen adjunta.
262
matemáticos claves: el concepto de “doble” y su opuesto, “mitad”. La
persona participante no llega a cuantificar la constante de
proporcionalidad (2 y ½), pero tiene una idea muy clara del concepto
doble / mitad.257
Este tipo de discurso no es tan habitual como los dos anteriores, pero
aparece con suficiente frecuencia (en 20 ocasiones) como para
permitirnos pensar que forma parte del esfuerzo colectivo que se
realiza en la clase, para aprender los contenidos instrumentales que
aparecen planteados en las diferentes actividades. Además, el gráfico
16.1. ya nos muestra que (a pesar de algún caso esporádico que se sale
de la norma), por lo general, todas las personas utilizan por igual las
“interpretaciones comprensivas”.
Estos
tres
indicadores
(frecuencias
de
“casos
particulares”,
“reconocimientos generalizados” e “interpretaciones comprensivas”)
nos permiten constatar la existencia de un diálogo fluido en la clase
para construir el “conocimiento matemático”, en el que participan
todas las personas del grupo de matemáticas.
Por otro lado, otro de los elementos a destacar son las
“provocaciones” al diálogo. Con este nombre nos referimos a las
invitaciones al diálogo, todas esas veces en que una de las personas de
la clase le pide a otra que explique un resultado, un comentario, o
cualquier otra cosa en ese sentido.
257
Estos conceptos matemáticos son una de las ideas matemáticas más básicas (casi
de la misma categoría que la idea de orden o de aditividad). Cualquier otra relación
de proporcionalidad implica realizar muchos más cálculos y la idea no es tan clara
(incluso si se habla de las fracciones con denominador igual a 4, referentes a la
partición de la unidad: ¼, 2/4, ¾). Por eso, en la parte de metodología hemos
establecido como la segunda de las dimensiones en el proceso de abstracción esta
idea, que se encuentra entre la noción de “aumentar / decrecer” y la dimensión
cuantitativa de la proporción.
263
La mayor parte de las “provocaciones” corresponden a la profesora
(35 sobre un total de 57).258 Este dato parece indicar que el rol que
desempeña la profesora en el aula es el de “dinamizadora”: la persona
que anima a las mujeres del grupo de matemáticas a intervenir en la
clase. En el ejemplo que adjuntamos en la cita, vemos una muestra
P1.- Sí, bueno, muy
bien. Pero ¿cómo
va la tabla?
Actividad 1
clara del tipo de “provocaciones” que hace la profesora para dinamizar
la clase. La profesora lo que suele hacer es lanzar preguntas al grupo,
para que reflexionen más sobre las ideas matemáticas y razonen el por
qué de las cosas.
Frecuencias de las "provocaciones"
ACTIVIDAD 9
ACTIVIDAD 7
ACTIVIDAD 5
ACTIVIDAD 3
ACTIVIDAD 1
0
2
P1
4
P2
6
P3
P4
8
P5
10
P6
Gráfico 16.2. Frecuencia de las provocaciones.
Fuente: Elaboración propia.
Sin embargo, no es sólo la profesora quien lanza preguntas al resto del
grupo, como cabría esperar en una clase académica “tradicional”
donde quien pregunta es el profesor y los estudiantes responden a las
preguntas. Las personas 4 y 5 también intervienen varias veces para
“dinamizar” el grupo y plantean sus preguntas, como hace la profesora
(gráfico 16.2). No obstante, estas dos personas lo hacen de dos
maneras diferentes: bien porque están leyendo los enunciados de las
258
Debemos decir que no es un objetivo de nuestro trabajo sistematizar
“completamente” todas las interacciones, aunque hay material para hacerlo.
264
actividades (y entonces es normal que hagan una “provocación”,
porque la pregunta aparece en el propio enunciado de la actividad);
bien en el decurso de una conversación, porque algo no ha quedado
suficientemente claro. Estas últimas son, a nuestro parecer, las más
provechosas para el aprendizaje.
En la cita adjunta al margen aparece el fragmento del razonamiento
que hace la persona 6 para resolver uno de los ejercicios propuestos.
La persona va “completando” los espacios en blanco que aparecen en
la tabla del libro en voz alta:259 “una persona tarda sesenta minutos
en limpiar el puesto del mercado, dos tardan treinta minutos, tres,
veinte...” Entonces pregunta si lo está haciendo bien (éste es uno de
los aspectos más sobresalientes de la educación de personas adultas: el
hecho de hacer preguntas para “asegurar” que lo que están diciendo es
correcto). De todos modos, el tipo de tarea facilita que se produzca
este fenómeno naturalmente. Cuando la profesora responde que sí,
entonces sale la persona 5 “provocando” la continuación de la
actividad y pregunta cuál sería la solución en el caso de que las
personas que estuviesen recogiendo fuesen cuatro. Esto es una forma
normal que adoptan las “provocaciones” en el caso de las personas
participantes.
Si utilizamos la información de los gráficos y de las tablas como
herramienta para captar el uso de un aprendizaje de carácter dialógico,
podemos apreciar que las categorías que corresponden a una actitud de
“poder” o “autoritaria” del profesor en la clase (como es el caso de las
situaciones en que es el docente quien da la explicación de un
concepto, en el hilo de su explicación “magistral”) son básicamente
puntuales.
259
Ver los enunciados de las actividades, en la parte de metodología.
265
P6.- Una persona
tarda sesenta
minutos, dos
personas, 30; tres
personas, 20... ¿no
lo hago bien?
P1.- Sí, sí.
P5.- ¿Cuatro
personas?
Actividad 3
P1
P2
Total intervenciones
Corrección Clarificadora (cc)
Enunciado Asertivo (ea)
Respuesta explicativa (re)/(r)
Enunciado dubitativo (ed)
Asentimiento (a)
Provoca (p)
Evocación de la constante (Ek)
Reconocimiento Generalizado (RG)
Interpretación Comprensiva (IC)
Diversos casos Particulares (DP)
Caso Particular (CP)
Total
1,3 0,4 2,6 3,9 0,9 15 0,9 0,4 2,2 2,2 0,9 31
0
0 0,9 0,4
0 1,3 0,9 0,4
0 0,9
0 4,8
P3
0,4 0,4 0,9 1,7
P4
2,2 1,7 0,4 3,9 0,9 5,6 0,9 0,9 1,3 2,2 0,4 20
P5
4,3 0,4 2,2 2,2 0,4 0,9 0,4 2,2 6,5
P6
2,6
0 0,9 0,4 1,7 0,4 0,9 0,4 8,2
3
0 23
0 1,7 1,3 0,4 0,9 1,3 1,3 2,6 1,3
0 13
Total
11 3 8,7 13 2,6 25 4,8 6,9 13 10 1,7 100
resolución de los problemas propuestos. Porcentajes respecto del
total de intervenciones. Fuente: Elaboración propia.
No obstante, sí que aparecen “respuestas explicativas” de la profesora,
pero lo hacen junto con otras “respuestas explicativas”, que
corresponden con el resto de personas que hay en el aula (de hecho, a
la vista de los datos, la persona 5 da tres veces más respuestas
explicativas que la profesora). Este aspecto sugiere que la profesora
P4.- ... durante la
hora que hemos
estado en el puesto,
se han vendido 10
kilos de
champiñones. a) Si
se mantiene
constante el ritmo
de venta, ¿qué
valores va tomando
la magnitud kilos
de champiñones en
la siguiente tabla?
está aportando sus conocimientos, igual que lo hacen el resto de
mujeres del grupo de matemáticas dialógicas de la escuela, y explica
aquello que ella sabe.260
De hecho, es cierto que la profesora es la persona que más interviene
durante la sesión (un 31% de las veces, gráfico 16.4). A pesar de ello,
si analizamos más detenidamente de qué manera interviene,
rápidamente vemos que lo hace para animar la conversación. Así, de
Actividad 1
260
Ver tablas 16.1 y 16.4.
266
“las explicaciones” se encarga la persona 5 (especialmente) que, junto
con la persona 6, son las dos personas participantes que más
intervenciones hacen en la línea de “reconocimientos generalizados” e
“interpretaciones comprensivas”. Sin menospreciar, por ello, que la
persona 4, por ejemplo, participa un 20% de las veces (justo por detrás
de la profesora) y que también desempeña un rol de “animadora” (o,
en otros términos, también juega el papel de “tirar” de las
compañeras). De hecho, si repasamos la transcripción de la grabación,
es la persona cuatro la que más veces lee los enunciados de las
diferentes actividades.
¿Qué podemos decir, entonces, a la luz de todos estos datos? El
análisis cuantitativo preliminar que llevamos hecho hasta el momento
deja patente que la dinámica de la clase es diferente a la que se
establece con un modelo de aprendizaje tradicional, en el que aparece
el docente ante la clase y da la explicación magistral, mientras los
estudiantes atienden (en el mejor de los casos) callados, tomando sus
correspondientes apuntes. Estas características nos remiten al “modelo
escolar” que ha sido teorizado por Óscar Medina en su tesis
doctoral.261
En cambio, los datos que hemos presentado hasta ahora nos llevan a
otro modelo diferente de aprendizaje. Medina (1994, 1996) lo llama
“modelo social” y se caracteriza por la participación igualitaria de
todas las personas en el desarrollo de la clase. El diálogo no sigue una
flecha unívoca desde el docente hasta el alumno, sino que es
bidireccional. Además, no hablamos de “alumnos”, sino de “personas
participantes”, concepto que representa mejor la idea de una persona
crítica y reflexiva en la clase.
A continuación exploraremos la forma de ese aprendizaje desde el
punto de vista de las trayectorias cognitivas de aprendizaje (TCA).
261
Ver Medina, 1994, 1996.
267
Con ellas esperamos poder dibujar cómo se desarrolla el aprendizaje
sobre una línea, donde se representan (entre dos polos) los aspectos
concretos y los aspectos abstractos del razonamiento.
16.2. Sobre las trayectorias cognitivas de aprendizaje
En los gráficos262 que muestran las trayectorias cognitivas de
aprendizaje263 correspondientes a las actividades aparecen diferentes
tipos de trayectorias. Encontramos trayectorias verticales, así como
también trayectorias diagonales. Las primeras indican que el proceso
de aprendizaje es lineal y no se produce ningún tipo de transición de
las categorías más concretas (“caso particular” y “diversos casos
particulares”)
hacia
las
categorías
abstractas
(“interpretación
comprensiva”, “reconocimiento generalizado” y “evocación de la
constante”). En cambio, las trayectorias que avanzan en diagonal
muestran que la(s) persona(s) hace(n) una argumentación que va de lo
concreto a lo abstracto, o a la inversa. Este aspecto indica que existe la
capacidad de cambiar de nivel de razonamiento, hecho que sugiere la
existencia de una cierta capacidad de comprensión del concepto
matemático abordado en ese momento. En estos casos lo que suele
ocurrir es que el dibujo final de la trayectoria cognitiva de aprendizaje
(TCA) acaba adoptando la forma de una línea de avanza en zig-zag,
porque constantemente se producen transiciones de lo concreto a lo
abstracto y vuelta a lo concreto (o al revés). Son estas formas las que
más sugieren que existe un esfuerzo de comprensión en el diálogo que
se produce dentro del aula.
A continuación vamos a analizar las diferentes trayectorias.
Repasaremos actividad por actividad, resaltando los aspectos más
relevantes que han aparecido.
262
Ver los gráficos que se adjuntan en este apartado, en cada una de las actividades.
Ver la definición de “trayectoria cognitiva de aprendizaje” en la parte de
metodología, en la nota a pie 162.
263
268
1) La venta de champiñones en el mercado (I)
Descripción esquemática de la TCA1.264 Se trata de una trayectoria serpenteante, que
presenta 3 momentos diferenciados: a) una línea ligeramente curva, que tiende hacia
lo abstracto; b) varias diagonales en forma de parrilla, que van de lo concreto a lo
abstracto repetidas veces; y c) de nuevo otra ondulación suave de lo concreto a lo
265
abstracto, con un intento de interpretación comprensiva en medio.
Esta trayectoria comienza con la provocación de la persona 2 y la
profesora, que animan al diálogo al resto de las mujeres del grupo de
matemáticas. Después, la persona 2 hace una “interpretación
comprensiva” de la pregunta que le plantea su profesora y, tras otra
“provocación” (en este caso de la profesora), P2 llega a un
“reconocimiento generalizado”.
En la cita adjunta vemos todo el proceso. La persona 2 lee el
enunciado del problema. La profesora llama la atención sobre los
números que aparecen en la tabla. Y la persona participante enseguida
P2.- Completa la
siguiente tabla...
masa kilos...
importe en euros
(...)
P1.- Sí, pero mira
lo que pone, ¿qué
puede significar ese
1, ese 6, ese 2 y ese
6...?
P2.- A ver... 1
kilo... importe en
euros 3 euros, 2
kilos, 6 euros...
Entonces sería
calcular el importe
de los demás kilos,
lo que cuestan,
¿no?
P1.- Sí. ¿3 kilos?
Actividad 1
“ve” que existe una regularidad y comienza a responder a cada caso
particular, con el resultado correcto... Cuando esta persona pregunta
“sería calcular el importe de los demás kilos, ¿no?”, lo que hace es
interpretar lo que se le pide en el problema: pregunta para asegurarse
si lo ha entendido bien.
P1.- Sí, ¿3kg?
P2.- Serán 9€, no?
Y así
sucesivamente.
Actividad 1
Entonces es cuando la profesora le responde que sí, que ha entendido
bien, y la provoca con una nueva pregunta (“sí, ¿3 kilos?).
Adjuntamos de nuevo la cita que ya aparecía en el apartado anterior,
correspondiente al primer “reconocimiento generalizado” que se hace
en la sesión. Como decíamos antes, el adverbio “sucesivamente”
indica claramente que la persona 2 ha “visto” la relación de
264
Trayectoria Cognitiva de Aprendizaje.
Ver gráfico adjunto de la TCA 1, situado justo a continuación de esta
explicación.
265
269
proporcionalidad que existe entre los diversos números que aparecen
en la tabla (aunque no lo teorice, ni lo llame por su nombre
matemático). Esto es un ejemplo de que efectivamente esa persona
entiende qué es una proporción y la sabe aplicar. Quizás, lo que le
falta es identificar ese conocimiento previo que ya tiene con el nombre
académico que se le da.266
A primera vista, sorprende la rapidez con la que se llega al
“reconocimiento generalizado” de las reglas que se encuentran detrás
de los problemas matemáticos planteados. Como se puede apreciar,
tanto en el gráfico de trayectorias como en el fragmento que
adjuntamos, la persona 2 sólo necesita un par de frases para encontrar
la solución al problema planteado y, aunque no hace una “evocación
de la constante” explícita, queda patente que sabe perfectamente cómo
interviene la constante de proporcionalidad en el problema planteado.
P2.- Serán 9 euros,
¿no? Y así
sucesivamente.
Todas.- ¡Sí!
P2.- ¿Continúas tú
ahora? <a una
compañera>
P3.- Es que yo soy
novata.
P1.- Cuatro kilos,
¿cuánto costarían,
por ejemplo?
P3.- A ver. Espera.
Tres por cuatro, 12.
Y tres por siete...
21, y 8 por cuatro
<otra compañera
corrige 8 por 3>
P3.- ...ocho por
tres, 24.
Sin embargo, a pesar de la rapidez de la respuesta de la persona 2, la
continuación del diálogo muestra que no ha quedado nada claro para
el resto del grupo. Aunque todas las mujeres del grupo coinciden con
la persona 2 cuando dice “y así sucesivamente” para expresar que ha
entendido cómo se resuelve el problema, la persona 3 se declara como
“novata” y se resiste a dar ella una respuesta al problema. Y, cuando
lo hace, se equivoca y es corregida por otra compañera. Después de
esto, como se aprecia en la cita que aparece al lado de estas líneas, la
propia persona 3 entra en un (llamémosle) monólogo267 en el que va
completando los espacios en blanco de la tabla. En el gráfico de la
trayectoria de aprendizaje268, este fragmento coincide con el momento
Actividad 1
266
Como veremos, esta es una “constante” durante toda la sesión. Las personas
participantes utilizan conocimientos matemáticos, pero no lo saben porque tampoco
reconocen el concepto académico que están utilizando. Nos atrevemos a decir que
éste es uno de los rasgos más característicos de la educación de personas adultas.
Los conocimientos académicos se refieren a conocimientos que las personas ya
tienen y utilizan a menudo durante sus vidas. El diálogo sirve para hacer evidente
esta situación (es decir, para sacarla a la luz) y, a través de ese diálogo, las personas
llegan a ser conscientes de todo lo que ya saben.
267
Porque sólo habla ella.
268
Ver páginas 265 y ss.
270
en el que la línea adopta una forma de “zig-zag”, entre los “diversos
casos particulares” que aparecen (las respuestas a cada uno de los
espacios en blanco) y el reconocimiento de la regla que es necesaria
para contestar bien a esas preguntas. Como no aparece en ningún
momento
referencia
explícita
a
la
idea
de
constante
de
proporcionalidad, interpretamos que la persona 3 “ve” que para
resolver el ejercicio tiene que multiplicar por 3 cada uno de los
números que se encuentra en la fila superior de la tabla. No obstante,
el reconocimiento de esa operación multiplicativa (Alcalá, 2002) no
tiene por qué significar que también se “vea” la conexión con la
constante de proporcionalidad.
Aquí se inicia una segunda parte del diálogo a partir de la intervención
de la persona 3 que, junto con la 4, serán las dos protagonistas de la
explicación pormenorizada de la constante de proporcionalidad que
aparece en esta actividad. Cuando la profesora las provoca
preguntándoles “¿cómo va la tabla?”, se inicia un diálogo que acaba
con el reconocimiento del significado de la constante de
proporcionalidad.269 Es la persona 4 la que toma la palabra esta vez
para explicar cómo cree que funciona la “k”.
La profesora introduce un nuevo concepto en el diálogo intentando
clarificar su significado (apoyándose en el uso del libro como soporte
didáctico). No obstante, la intervención de la persona 3 (que intenta
hacer una interpretación comprensiva de lo que dice la profesora, pero
sin éxito) deja entrever la existencia de una dificultad en todo este
proceso. La persona 3 confunde la letra “k” de constante con la “k” de
kilogramo. Estos dos conceptos entran en contradicción en su mente,
tal y como nos induce a pensar el hecho de que mueva
dubitativamente la cabeza al decirlo. La profesora, entonces, adopta
un papel director en el aula y se apresura a clarificar que la “k” se
refiere al concepto de “constante de proporcionalidad”, para evitar
P3.- ... la k es tres
euros, k es de k, de
kilo... <mueve la
cabeza
dubitativamente>
P1.- k es la
constante, significa
constante.
P4.- O sea, dando a
k distintos valores
de la primera
magnitud, masa,
vamos obteniendo
los valores de la
segunda magnitud.
P1.- ¿Es lo que
habéis hecho de
cabeza, no?
Actividad 1
269
Ver anexo.
271
inmediatamente que se produzca un error para resolver el conflicto
semántico. En el gráfico de la trayectoria cognitiva de aprendizaje
vemos que la intención de la profesora (claramente perlocucionaria)
tiene éxito y, la persona 4 reacciona enseguida llegando al
reconocimiento más generalizado del concepto de proporcionalidad.
Después de esto, la profesora comenta que lo que ahora han hablado
en clase (la resolución de la primera de las tablas de proporciones), ya
lo habían hecho “de cabeza” al inicio de la sesión (aquí se refiere a la
primera respuesta que dio la persona 2, cuando comenta que el
resultado de una de las casillas en blanco serán 9 euros).
Es importante comentar este punto, porque normalmente las personas
participantes “hacen las operaciones de cabeza”. De hecho, es una
terminología que suelen utilizar mucho en su discurso. Cuando las
mujeres participantes dicen que una operación la han resuelto “de
cabeza”, lo hacen para diferenciar la forma “académica” de resolver
un problema.270 Las mujeres del grupo cuando ven el enunciado del
problema lo que hacen es pensar: si un kilo de champiñones vale 3
euros, entonces 3 kilos, por ejemplo, valen 9 euros. Eso es lo que han
hecho “de cabeza”. La diferencia con el procedimiento académico es
que han tenido que apuntar en la libreta 3 x 3 = 9. Además, ese tres es
la constante de proporcionalidad.
Así, si nos fijamos en las diversas franjas de abstracción por las que
atraviesa el diálogo durante esta actividad, podemos constatar que, al
principio, el diálogo se sitúa en la franja de abstracción alta. Sin
270
En ese caso implicaría resolver el problema con el lápiz y el papel, pero hacerlo
así supone conocer el lenguaje matemático (por lo menos la notación correcta para
escribir las operaciones correctamente en la libreta) y saber cómo funciona. Por
ejemplo, en la resta hay que saber que en la libreta un número se pone debajo del
otro y debajo se pone una raya, mientras que a la izquierda se pone un guión que
significa “resta”. El resultado se apunta debajo de la raya. Para encontrarlo, hay que
empezar por la columna de la derecha e ir de derecha a izquierda, restando los
números por columnas. Si nos pasamos de diez, nos llevamos la decena y apuntamos
la unidad. Todo esto resulta muy complicado para una persona acostumbrada a restar
sumando mentalmente desde el número más pequeño hasta el más alto y viendo lo
que le queda (que es normalmente como lo hacemos en realidad).
272
embargo, inmediatamente después, tras las provocaciones de la
persona 2, el diálogo gira hacia el polo de lo concreto al intervenir la
persona 3 en la conversación (y afirma que ella es “novata”).
Entonces, a través de la interacción con otra de las personas del grupo
(la persona 5) y de la provocación de la profesora, la trayectoria de la
persona 3 adopta un aspecto de zig-zag, ir y volver de lo concreto a lo
general, para volver a seguir el mismo proceso y acabar en la emisión
de un “reconocimiento generalizado”. Este aspecto, marcado por las
diagonales que adopta la trayectoria del diálogo, muestra cómo la
persona 3 entra en una reflexión, que la lleva a interpretar diversos
casos particulares en la búsqueda de la norma generalizada que se
encuentra detrás. Finalmente, esta persona acaba encontrando la
norma después de un proceso de diálogo, que podríamos calificar de
inductivo, porque la persona 3 va dando las respuestas correctas, pero
no aparece explícito en ningún momento que parta de un enunciado
general.
A continuación se adjunta el gráfico que representa la trayectoria
cognitiva de aprendizaje colectiva.271
271
Los gráficos nos permitirán comparar la posible influencia de las tareas en el tipo
de desarrollo.
273
Trayectoria cognitiva de aprendizaje de la actividad 1(a)
<continúa en la
próxima página>
RG
P3
P3
DP
RG
DP
P3
Todas
p
P2
p
P2
a
RG
p
p
Leyenda
P2
P1
IC
tiempo
P3
P2
P3
Enunciado de la
Actividad 1
RG = Reconocimiento generalizado
CP = Caso particular
DP = Diversos casos particulares
IC = Interpretación comprensiva
Ek = Evocación de la constante k
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
ed = enunciado dubitativo
re = respuesta explicativa
r = respuesta
ea = enunciado asertivo
cc = corrección clarificadora
Proceso desde lo más simple a lo más complejo
274
Trayectoria cognitiva de aprendizaje de la actividad 1 (b)
FIN de la
Actividad 1
RG
ea
P3
P4
P1
IC
Vuelve sobre el enunciado
de la actividad 1
RG
P4
CP
p
P1
Respuesta evasiva
p
tiempo
P4
P3
P1
<viene de la página
anterior>
Leyenda
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
275
2.) La venta de champiñones en el mercado (II)
Descripción esquemática de la TCA2. La trayectoria que aparece en esta actividad es
una trayectoria en general muy lineal, que comienza situándose en el nivel de lo
concreto (con el uso de diversos ejemplos particulares). La trayectoria pasa después
a ser más abstracta, para continuar por la línea de lo concreto hasta casi el final,
cuando aparece de nuevo un zig-zag hacia categorías más generales. Esta primera
aproximación que hacemos en la “descripción esquemática de la TCA” nos presenta
dos momentos claros en la dinámica de la clase: a) uno al principio, cuando la
trayectoria de aprendizaje avanza de un lado a otro, como resultado de un diálogo
protagonizado sobre todo por la persona 4 (y en menor medida por la 5, que también
entra en algunos momentos), y b) otro al final, momento en que la trayectoria vuelve
a torcerse. El resto del tiempo la trayectoria adopta una línea casi vertical, que
denota poca relevancia de la parte del reconocimiento generalizado de las normas
matemáticas.
P5.- ¿Cuál es el
valor numérico y el
significado de la
constante, kilos, en
este caso?
P1.- No, kilos, no...
la constante...
P5.- La constante
de k...
P1.- ¿Qué quiere
decir la constante
en este caso, cuál es
la constante?
P5.- Diez.
P1.- Diez, ¿qué?
P2.- Diez horas.
P5.- Diez kilos,
¿no? En una hora se
venden 10 kilos...
Actividad 2
La actividad comienza con la lectura del enunciado. Después,
inmediatamente, comienzan a ocurrir “cosas”. En la segunda respuesta
(que da la persona 2) aparece un nuevo elemento: además del valor
numérico de la constante, también sale qué es la constante (¿kilos?,
¿horas?, ¿champiñones?...). Y, esto crea una nueva dificultad para las
mujeres del grupo, tal y como se ve en la cita adjunta. La persona 5,
cuando lee el enunciado, en vez de decir “k”, dice directamente
“kilos”.272 La profesora lo ve, enseguida la corrige, y le pregunta qué
significa “constante” en este caso. Aquí, la persona 5 ha confundido la
“k” de constante con “k” de kilo (igual que le pasó a su compañera en
la actividad anterior). Por esto, si antes hablábamos de “obstáculo
epistemológico” (en el sentido de Brousseau), ahora tenemos otra
prueba más para reforzar nuestra interpretación anterior. Las personas
participantes del grupo de matemáticas, cuando veían la “k” la
asociaban a “kilo”, no a “constante”. Eso es así, porque en su
experiencia previa siempre “k” es “kilo”. Es la primera vez que ven
que puede tener otro significado. Éste es otro ejemplo del conflicto
entre el formalismo de las matemáticas académicas y las matemáticas
272
El enunciado es el siguiente: ¿Cuál es el valor numérico y el significado de la
constante (k) en este caso? Ver en la parte de la metodología, el planteamiento de las
actividades.
276
de la vida real (o, en general, del significado que se asocia a los
símbolos en la escuela y el que les asociamos en la vida real).273
Cerrado el debate (y, aclarado que “k” es “constante” y nada tiene que
ver con kilo), la profesora introduce una idea que no aparecía en el
libro y que está íntimamente relacionada con el lenguaje matemático
propiamente dicho: escribe en la pizarra 10 Kg / h.274 Este nuevo reto
genera un debate en el que las mujeres del grupo tratan de entender
por qué “vender diez kilos cada hora” se escribe de esa manera en la
pizarra. Como dijimos anteriormente, en el discurso aparece una
“interpretación comprensiva”. Para facilitar la asimilación de la nueva
expresión matemática, la profesora pone una metáfora como ejemplo:
el caso de un coche que marcha a 10 kilómetros por hora (10 Km / h).
P1.- Es como si un
coche fuera a 10
Km por hora, ¿qué
significa?
P6.- Que cada hora
recorre 10
kilómetros.
Actividad 2
La profesora cierra el debate de esta actividad haciendo referencia, de
nuevo al significado de los dos tipos de proporción. Tal y como se ve
en la cita adjunta (la proporcionalidad significa que “cuando una cosa
aumenta, aumenta todo lo demás...”), la profesora resume de manera
muy elemental la idea de proporcionalidad directa.275 De igual modo,
la profesora destaca la característica cualitativa de la proporcionalidad
(la idea de aumentar o disminuir).
273
Utilizamos aquí la terminología empleada por Ferdinand de Saussure, por ser uno
de los principales teóricos que han estudiado el lenguaje desde el punto de vista de la
semántica. Por tanto, nos ofrece unas herramientas conceptuales que nos pueden
servir para analizar este “obstáculo epistemológico” desde su dimensión semántica.
Ver De Saussure, 1974.
274
Ver la figura de la página 262.
275
Nosotros situamos esta definición en la primera dimensión de abstracción que
habíamos concretado en el apartado de las técnicas de análisis de la información.
277
P1.- Por ahora se va
entendiendo qué es
la proporcionalidad:
cuando una cosa
aumenta, aumenta
todo lo demás.
Actividad 2
Trayectoria cognitiva de aprendizaje de la actividad 2 (a)
P5
P4
DP
P5
CP
P4
RG
ed
P4
DP
P4
RG
<continúa en la
próxima página>
IC
Leyenda
Ek
P4
P4
CP
Intervención P1
tiempo
DP
P4
Enunciado de la
Actividad 2
P4
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
278
P4 P5
P1
P2
<continúa en la
próxima página>
CP
p
ed
P2
p
P1
ea
CP
P2
P1
P5
Leyenda
p
CP
Ekc
P1 Aclaración
p
P1
P4
tiempo
P4
DP
anterior>
Ek
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
279
Trayectoria cognitiva de aprendizaje de la actividad 2 (c)
RG
P1
P1
IC
re
<continúa en la
próxima página>
analogía
P1
P1
a
P1
IC
P4
ea
Ek
P1
tiempo
P6
CP
p
P1
CP
P6
anterior>
Leyenda
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
280
Trayectoria cognitiva de aprendizaje de la actividad 2 (d)
Leyenda
FIN de la
Actividad 2
p
tiempo
P4
P1
a
anterior>
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
281
3) Ordenando el puesto del mercado (III)
Descripción esquemática de la TCA3. La trayectoria que hemos dibujado en esta
actividad es la que dura más. A lo largo de los diferentes gráficos vemos que la
trayectoria atraviesa por tres momentos bien diferenciados: a) un momento inicial
con alguna ruptura de la línea vertical, b) la verticalidad absoluta que toma la
trayectoria durante casi todo el rato, y c) un tercer momento en el que se vuelve a
romper la linealidad y aparece un trayecto en zig-zag. Hay que destacar que en
medio de todo aparece un monólogo de la persona 5, que habla consigo misma
mientras trata de resolver un problema. Momentos como ése explican en gran
medida el por qué de la linealidad de esta trayectoria.
En esta actividad se introduce un nuevo elemento: el concepto de
proporcionalidad inversa. Es un concepto bastante más complicado
que el de proporcionalidad directa. Hasta ahora, desde el punto de
vista del contenido matemático, se habían tratado aspectos como la
aditividad o las operaciones multiplicativas. Sin embargo, con la
proporcionalidad inversa aparece una idea nueva, el complementario
de la multiplicación: la división.
Alcalá (2002) sitúa la división en el mismo nivel que la
multiplicación.276 Ambas son operaciones opuestas y complementarias
a la vez.277 En el caso de las proporciones ocurre algo semejante. La
proporcionalidad inversa es a la proporcionalidad directa, lo que la
división es a la multiplicación: su opuesto. Las personas adultas
enseguida ven (en el ejemplo de la actividad 3) que si una persona
tarda 60 minutos en arreglar el puesto del mercado, si fuesen dos
personas, tardarían la mitad de tiempo (30 minutos). El binomio de
doble / mitad es una idea que está muy arraigada en la experiencia
276
Alcalá (2002) sitúa a ambos conceptos en las operaciones de segundo orden. Dice
Alcalá que “la experiencia de haber trabajado antes la multiplicación va a hacer
que tengan más facilidad para la construcción de la división, pues tienen rasgos
comunes: estructura verbal narrativa tripartita, estructura notacional idéntica,
distinto nivel de significación de los números, etc.” (Alcalá, 2002: 118).
277
La multiplicación incluye varios factores. Según Alcalá (2002), cuando
trabajamos con operaciones multiplicativas, estamos trabajando con problemas de
razón, de conversión, combinatorios y de comparación. En el caso de la división los
contenidos son exactamente los mismos, solo que a la inversa.
282
previa de las personas adultas. En la cita adjunta vemos cómo la
persona 6 utiliza este tipo de terminología con toda naturalidad y, da
por hecho que si hay el doble de personas trabajando para limpiar el
puesto del mercado, les costará la mitad de tiempo el hacerlo. “Pues
ahora es al revés”, es el comentario que hace la persona 6. En esta
frase queda claro que esa persona entiende perfectamente el
P6.- Pues ahora es
al revés.
P1.- Al revés, ¿por
qué?
P6.- Porque el
doble de personas,
en una hora, pues
les costará la
mitad...
Actividad 3
significado de “contrario” (“opuesto”) de la proporcionalidad inversa.
Si continuamos leyendo el diálogo entre la persona 6 y la profesora en
la trascripción, enseguida vemos que la persona 6 da los resultados
correctos para los casos en que el número de personas se dobla, se
triplica, se multiplica por 4, etc. Cada vez que hay una personas más
recogiendo el puesto, el tiempo total se reduce proporcionalmente,
detalle que no se le escapa a la persona 6, como se puede apreciar en
la cita adjunta.
¿Qué podemos decir a la luz de estos datos? Se puede decir que (por
lo menos) la persona 6 comprende perfectamente el concepto de
proporcionalidad. Y, lo hace tanto a un nivel más o menos intuitivo
(como muestra la corrección con que utiliza las ideas de doble /
mitad), como desde el punto de vista de la dimensión cuantitativa del
concepto de proporcionalidad (dado que también da los resultados
correctos para cada caso). Sin embargo, lo que no aparece es la
formulación teórica de la proporcionalidad. Cuando la profesora le
pregunta por qué da los resultados que está dando, la respuesta de la
persona 6 es “porque el doble de personas, en una hora, pues les
costará la mitad”.
Esto da lugar a una visión parcial del fenómeno matemático, porque la
persona 5, que no tiene una idea tan afianzada de la proporcionalidad
como la persona 6, se queda con esta explicación y, entonces, pasa de
los treinta minutos que tardan dos personas en recoger el puesto a
quince que tardarán tres personas (30/2). Y, en el caso de cuatro, la
283
P6.- Una persona
tarda sesenta
minutos, dos
personas, 30; tres
personas, 20... ¿no
lo hago bien??
P1.- Sí, sí.
P4.- ¿Cuatro
personas?
P5.- ... treinta...
quince... ¿no lo
hago bien?
Actividad 3
persona 5 dice que tardarán la mitad de 15 minutos, es decir, siete
minutos y medio (ver cita adjunta).
Para la persona 5, la proporcionalidad inversa responde a esta
P5.- ... treinta...
quince... ¿no lo
hago bien? Y tanto,
la mitad de treinta
son quince. Cuatro
personas, ¿cómo lo
digo? ¿Siete y
medio? Pero,
¿cómo lo
represento? Siete y
medio sería siete
coma cinco.
Actividad 3
estructura:
Entonces, para ella, la constante de proporcionalidad consiste en
dividir entre 2 cada uno de los resultados que va obteniendo.
La persona 5 ha perdido de vista que el número de referencia (el que
no puede cambiar) es 60. Y, la constante de proporcionalidad tiene
que ser un número que multiplicado a 60, dé el resultado correcto. En
este caso aparecen dos aspectos importantes. Así, por un lado, la idea
de sentido común de proporcionalidad inversa es “dividir”, repartir el
tiempo que se tarda en arreglar el puesto del mercado entre todas las
personas que participan en la limpieza. Y, por otro lado, desde un
punto de vista teórico, lo que en realidad estamos haciendo es una
multiplicación por un número menor que uno (un cociente cuyo
numerador es 1 y el denominador siempre es mayor o igual a 1).
En este caso, no es que la persona 5 no sepa matemáticas, las conoce
perfectamente (por lo menos las tiene claras hasta la dimensión
cuantitativa).278 Lo que falta precisamente es clarificar esos conceptos
previos y, reflexionar sobre cuándo se pueden utilizar y cuándo no.279
278
Siguiendo con la metáfora de la “caja de herramientas” que hemos utilizado en
otros momentos, las matemáticas son como una caja de herramientas, que nos
proporcionan un montón de utensilios para arreglar y resolver situaciones
problemáticas. Sin embargo, no todas las herramientas sirven para lo mismo, ni se
pueden aplicar de la misma manera. Un destornillador de estrella no nos servirá para
quitar un tornillo normal. Lo que haremos seguramente será forzar el tornillo, y a lo
mejor borrar la hendidura a fuerza de forzarlo, porque utilizamos la herramienta
incorrecta. Con las matemáticas ocurre lo mismo.
279
284
Contextualizar la situación, quizás permitiría que la persona 5 no
aplicase un algoritmo desvinculado de su significado.
En este caso, el diálogo sirve para mostrar y sacar a la luz este error, y
aprender de él.
Más adelante, mientras las mujeres del grupo continúan resolviendo la
actividad 3, la profesora propone otro contenido añadido: pasar un
número decimal al valor que le corresponde en la escala sexagesimal,
para expresarlo en forma de horas y minutos. En este caso vemos que
el problema es un cambio de escala numérica.
En la cita adjunta vemos, de nuevo, que la respuesta de la persona 6 es
inmediata: a la pregunta de cuánto representa 3,75 en horas y minutos,
responde, sin dudar 3 horas y 45 minutos. Podemos atrevernos a decir
que la persona 6 tiene una forma de comprensión de tipo relacional:
enseguida “ve” las pautas que hay detrás de los ejemplos, y sabe dar la
respuesta correcta. Más adelante aparece otro ejemplo clarificador con
el número 1,87: dice que representa “una hora y algo más de tres
cuartos”. De nuevo aparece esta característica –que hemos
denominado relacional– que tiene la persona 6 de entender las cosas.
Se trata de una forma muy habitual en las personas adultas que están
acostumbradas a hacer las cuentas “de cabeza”. En general, lo que
hacemos cuando realizamos una operación siguiendo ese método, es
agrupar los números y aproximarlos a los grupos de referencia más
habituales. Así, si trabajamos con una medida en base 100, por
ejemplo el euro, los céntimos los agrupamos tirando siempre hacia las
decenas; si trabajamos con unidades de tiempo (como es el caso) y
partimos la hora en cuatro partes, entonces aproximamos el resultado
a cada uno de los cuartos (por ejemplo, decimos, “un poco más de un
cuarto, algo menos de tres cuartos, entre dos y tres cuartos...”). Como
vemos en la cita adjunta, la persona 6 recurre a esta forma de expresar
el resultado matemático, con lo cual aparece un nuevo elemento en la
285
P6.- ... cinco
personas, la mitad
de 7,5 sería...
P5.- 3,75.
P1.- 3,75 pasado a
minutos... 3 horas...
P6.- ¿Cómo pasado
a minutos?
P1.- Sí, pásamelo a
minutos... es como
3,5 es tres horas y
30 minutos, en este
caso...
P6.- Tres horas y 45
minutos.
Actividad 3
reflexión que estamos haciendo (desde el punto de vista del contenido
matemático): la aproximación por estimación.
P6.- 1,87... que
representa uno y
algo más de tres
cuartos...
P2.- Sí, 1,87 son
casi 2 horas...
P5.- No llega.
Actividad 3
Esta forma de calcular es un rasgo característico de la “matemática de
la vida real”. En la conversación vemos más casos de ello. La persona
5, por ejemplo, dice que el 0,87 corresponde a “unos diez minutos o
algo así” (que hay que sumar a los tres cuartos de hora). El cálculo lo
hace por aproximación (aunque no lo explica).
El proceso que sigue para dar esa respuesta es parecido a éste:
Coge 1 hora y la divide en 4 partes (cada uno de los cuatro cuartos):
Y, entonces, lo que hace es asignar a cada cuarto su valor decimal:
0,25
0,50
0,75
1
Por lo tanto, el 0,87 tiene que estar entre el 0,75 y el 1. Y, si entre esas
dos marcas hay 15 minutos, entonces el 0,87 (que parece que está un
poco más allá de la mitad de la distancia que separa el 0,75 y el 1),
valdrá aproximadamente 10 minutos.
P6.- Unos 10
minutos o algo así
será...
P1.- A ver, si
multiplicamos 0,75
por 60, que salía
antes... teníamos
3,75, ¿no? Y
habéis dicho que
esto eran 45
minutos, ¿no?...
pues multiplicad
0,75 por 60, a ver
cuánto sale...
Actividad 3
Es la profesora la que introduce la forma académica de resolver este
tipo de operaciones, cuando dice que tienen que multiplicar la parte
decimal del número por 60 minutos que tiene una hora, para ver
cuántos minutos le corresponden. La idea de fondo es la misma que en
el caso anterior (en el del procedimiento de las “matemáticas de la
vida real”). La profesora, en realidad, lo que está haciendo es situar el
punto que corresponde a 0,87 sobre una recta, que en vez de estar
dividida en 4 partes (cuartos) lo está en 60 partes (minutos). Con este
procedimiento se gana en precisión, pero no comporta un
286
conocimiento conceptual de naturaleza diferente. Lo que cambia es
que trabajar con la idea de “cuartos” es más cómodo (más intuitivo)
que trabajar con los minutos, porque el orden de la agrupación es
diferente (mientras que en un caso exige trabajar en base sexagesimal,
en el otro se opera simplemente con cuatro particiones de la hora).
Como vemos en el análisis de los diálogos que se han producido
mientras las personas participantes resolvían esta actividad, existe una
diferencia clara entre la forma que tiene la profesora de resolver las
diferentes operaciones y las que utilizan ellas. La diferencia está en
que la profesora aplica métodos aritméticos alternativos a distintas
situaciones, que son muy precisos, mientras que las personas
participantes actúan más por aproximaciones basadas en estimaciones
(que de todas maneras, parten de la misma idea conceptual que el
procedimiento utilizado por la profesora), y como les funcionan en
una situación, intentan aplicarlo a todas las semejantes.
Por lo general, las resistencias aparecen en este punto: el paso de un
método al otro. Para las personas adultas resultan más habituales los
procedimientos de las “matemáticas de la vida real” que forman parte
de su experiencia previa y les da resultados satisfactorios. Por este
motivo, las personas participantes prefieren resolver las operaciones
utilizando ese tipo de procedimientos. De hecho, como se ve en la
trayectoria cognitiva de aprendizaje que reproducimos a continuación
(en toda su extensión), los únicos momentos en que aparecen
“reconocimientos generalizados” corresponden a intervenciones que
hacen la profesora o la persona 6, que, como hemos visto, es la que
tiene más claras las ideas matemáticas.
287
P6
P1
CP
re
P1
tiempo
P6
P1
p
P6
RG
IC
P6
p
ea
Enunciado de la
Actividad 3
<continúa en la
próxima página>
ed
DP
P6
RG
P1
P6
Leyenda
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
288
P5
ea
P6
p
<diálogo consigo
misma>
re
tiempo
P4
<continúa en la
próxima página>
P5
ed
P5
re
P5
ed
P5
re
P5
ed
P5
Leyenda
p
anterior>
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
289
Trayectoria cognitiva de aprendizaje de la actividad 3 (c)
P1
<continúa en la
próxima página>
re
P5
ed
P6
ea
P1
cc
Leyenda
tiempo
P6
ed
P1
p
P5
ea
P1
p
anterior>
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
290
Trayectoria cognitiva de aprendizaje de la actividad 3 (d)
P1
IC
ed
P6
<continúa en la
próxima página>
cc
P6
P1
re
p
P1
Leyenda
P6
re
RG
tiempo
P6
P5
ea
P6
p
anterior>
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
291
Trayectoria cognitiva de aprendizaje de la actividad 3 (e)
P1
<continúa en la
próxima página>
IC
r
P3
<mandato imperativo> P1
re
P1
RG
P6
r
p
P5
P5
Leyenda
P1
CP
ea
IC
P5
tiempo
P1
P1
p
anterior>
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
292
Trayectoria cognitiva de aprendizaje de la actividad 3 (f)
Leyenda
FIN de la
Actividad 3
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
Ek
tiempo
P6
P1
ea
P1
p
anterior>
293
4) De lenguados va la cosa (IV)
P1.- Claro, antes
tenemos que pensar
si a más kilos
pagamos más, antes
de empezar a hacer
nada, no sea que
nos liemos y resulta
que estamos ante
una pregunta de
esas de a más
personas, más o
menos tiempo.
¿Entendéis?
Siempre hay que
hacer esa pregunta.
A no ser que nos
hagan ofertas, a
más kilos, más
tenemos que pagar.
Pues entonces ya
sabemos que
tenemos que
multiplicar.
Actividad 4
Descripción esquemática de la TCA4. Esta actividad tiene una trayectoria mucho
más sencilla que la anterior. En este caso, nos encontramos ante una línea que va
desarrollándose en vertical hasta casi el final, momento en el que se curva hacia el
polo de la abstracción. La dinámica de la conversación es responder primero al
ejercicio planteado y, luego se comenta un concepto teórico que aparece: la
magnitud.
Con esta actividad volvemos al concepto de proporcionalidad directa.
Se trata de una actividad para reforzar los conocimientos que se han
aprendido a lo largo de la sesión. Los conceptos matemáticos que
aparecen en este caso son los mismos que los de las actividades 1 y 2.
La primera de las aportaciones de la conversación que se genera en
este caso la hace la profesora. Se trata de uno de esos conocidos
“trucos matemáticos” que a veces utilizamos para resolver situaciones
problemáticas y, que nos remiten más a una idea de “recetas de la
abuela” válidas para resolver operaciones que a los criterios de la
matemática formal.
P1.- Vale, cuando
veis que es
directamente
proporcionales, al
aumentar la una
aumenta también la
otra. Al comprar
más kilos de
lenguado, más
pagamos. Al
disminuir una,
disminuye también
la otra en la misma
proporción.
Al haber hecho problemas de proporcionalidad directa e inversa,
ahora, la profesora se ve ante la “necesidad” de encontrar alguna
forma para distinguir ambos tipos de problemas, a fin de elegir el
método adecuado para resolverlos. Por esto, partiendo de una idea
cualitativa de la proporcionalidad,280 la profesora asocia la idea de
“aumentar” con el algoritmo de la multiplicación, mientras que a la
idea de “decrecer” le asocia la división. De esa manera, da una “regla”
para identificar el tipo de proporcionalidad que aparece en el
problema. La cita adjunta es un ejemplo de esto que estamos diciendo.
Actividad 4
En este caso, la profesora actúa con una intencionalidad claramente
perlocucionaria: quiere ofrecer a las personas adultas una herramienta
280
Ver las diferentes dimensiones del concepto de proporcionalidad que se explican
en la parte de metodología.
294
que les permita discernir entre el tipo de actividades, para poder
resolverlas. No obstante, como vemos en la trayectoria cognitiva, el
diálogo que se produce está dirigido por la profesora y, de hecho,
todos los “reconocimientos generalizados” le corresponden a ella. Y,
además, todos esos “reconocimientos generalizados” corresponden a
la idea cualitativa de “crecimiento / decremento” que comentábamos
antes.281
Lo que creemos importante resaltar es que a lo largo de esta actividad
la profesora parte de la idea más elemental de la proporcionalidad (la
cualitativa) y, a partir de ahí, da orientaciones para que sean las
personas adultas las que incorporen al concepto el resto de
dimensiones (la cuantitativa y la teórica).
Durante la conversación vemos que las mujeres del grupo dan los
resultados del problema (de nuevo es la persona 6 quien habla, este
hecho nos indica que se trata de una persona que al saberse con
conocimiento sobre el tema, se siente más confiada).282 No obstante,
tampoco aparece una reflexión conjunta del por qué de esos
resultados, de manera que el nivel teórico del contenido matemático se
sigue sin tocar en la clase.
Finalmente, la otra de las aportaciones de la actividad es la noción de
magnitud.
281
Pensamos que esta intencionalidad se debe a que se trata de una actividad de
refuerzo y, entonces, no se genera tanto diálogo como en las anteriores, donde al
aparecer los conceptos por primera vez, pues dan lugar a más comentarios.
282
Esto nos remite a la importancia de los componentes afectivos en el aprendizaje.
Por ejemplo, la persona 3, que apenas si participa en toda la sesión, cuando lo hace
dice “es que yo no soy muy buena”. Eso explica claramente su resistencia a
participar de manera igualitaria al resto de sus compañeras y es un elemento de
autoexclusión. Se trata de un caso bastante habitual en la educación de personas
adultas. Por eso es tan importante partir siempre del diálogo igualitario, reconocer la
forma que tienen esas personas de resolver los problemas en sus vidas y, aplicarlas a
la clase, porque a menudo resultan ser fórmulas válidas o que contienen un principio
de validez muy importante.
295
ed
P1
P3
<continúa en la
próxima página>
P3
a
ed
p
P1
CP
P5
DP
P1
r
Leyenda
P6
<hay varios DP
implícitos>
tiempo
RG
P1
Enunciado de la
Actividad 4
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
296
P1
FIN de la
Actividad 4
RG
Leyenda
IC
P6
p
P1
CP
P1
RG
tiempo
P1
anterior>
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
297
5) El mercado cierra sus puertas (V)
Descripción esquemática de la TCA5. La trayectoria que se dibuja en esta actividad
es una línea sinuosa, que avanza en zig-zag desde el principio hasta el final. Se trata
de una trayectoria corta, dado que las personas participantes no se detuvieron
demasiado en esta actividad.283
Igual que en el caso anterior, ésta es una actividad de repaso. Ahora,
lo que se vuelve a trabajar es la idea de la proporcionalidad inversa. El
P3.- Cuanto más
dependientes,
menos... es decir,
cuanta más gente,
menos tardan...
P6.- Un
dependiente lo hace
en 24 minutos.
P3.- Dos, en menos,
en la mitad.
Actividad 5
contexto es el tiempo que se tarda en despachar a unas personas que
están en el puesto, antes de cerrar. La idea es: a más dependientes,
menos tiempo van a tardar en despacharlas, tal y como dice la persona
3.
De nuevo vuelve a aparecer la idea del binomio “doble / mitad”. Se
trata de un concepto resistente, que varias de las personas
participantes relacionan con la proporcionalidad (antes era el caso de
la persona 5, ahora es la persona 3 quien hace la referencia a ello). De
todas maneras, aquí la persona 3 utiliza correctamente la idea de
“doble y mitad”, tal y como se aprecia en la cita adjunta. Dice,
sencillamente, que dos dependientes tardarán la mitad de tiempo en
atender a toda la gente que si sólo estuviese uno de ellos. En este caso
no se incurre en ningún error formal.
P1.- Suponiendo
siempre en
matemáticas, las
cosas son siempre
casi experiencias de
laboratorio, que
todo el mundo hace
el mismo trabajo, y
bueno, pero eso no
es así en la realidad.
Actividad 5
A continuación, la profesora hace un comentario importante, porque
hace explícito el rasgo que tienen las matemáticas para modelizar la
realidad. Las matemáticas, como instrumento heurístico, sirven para
confeccionar modelos ideales (que no tienen por qué corresponderse
con la realidad, pero que sirven mucho para entender su
funcionamiento). Como vemos en la cita adjunta, aclara que los
cálculos que están haciendo parten de la base de que todos los
dependientes de un puesto en un mercado trabajan lo mismo: sólo así
283
Creemos que el motivo fue por el imperativo de la hora, porque tenían todavía
que hacer las actividades del ordenador, el tiempo iba pasando, y no daba para
invertir mucho tiempo por actividad.
298
podemos resolver la actividad planteada. De todas maneras, las
mujeres del grupo de matemáticas dialógicas tampoco es que hagan
demasiado caso a este comentario, porque no les aporta nada nuevo y
lo que les interesa es resolver el ejercicio.284
La aportación de esta actividad reside en que tanto la profesora, como
las mujeres del grupo de matemáticas dialógicas, utilizan de manera
cualitativa el concepto funcional de proporción. Cuando la persona 3 y
la profesora afirman que “si una aumenta, la otra disminuye”, aquí
aparece la idea de dos variables vinculadas entre ellas mediante una
relación funcional inversamente proporcional, aunque no se explicite
en qué razón o proporción lo hace.
Esta reflexión se hace desde el punto de vista cualitativo y, responde a
la idea intuitiva que todas las personas del grupo de matemáticas
dialógicas tienen de este tipo de relaciones, en base a la experiencia
que han ido adquiriendo. Sin embargo, las personas adultas no entran
en esta reflexión. De hecho, si miramos la trayectoria cognitiva que se
adjunta a continuación, la mayor parte de los comentarios “abstractos”
los realiza la profesora. No obstante, esto no significa que no los
entiendan: la persona 3 también dice exactamente lo mismo que la
profesora (y antes que ella).
284
Pensamos que esto ocurre porque el comentario de la profesora corresponde a la
dimensión “teórica” de las matemáticas, y esa dimensión carece de conexiones con
la aplicabilidad concreta de las matemáticas en la vida cotidiana. Como las personas
adultas están interesadas más por este segundo aspecto, no hacen caso del
comentario de la profesora.
299
Trayectoria cognitiva de aprendizaje de la actividad 5
FIN de la
Actividad 5
P1
P4
RG
P1
RG
P3
p
IC
P7
RG
CP
RG
tiempo
P7
Leyenda
P1
CP
Enunciado de la
Actividad 5
P3
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
300
6) Midiendo una puerta (VI)
Descripción esquemática de la TCA6. Se trata de una trayectoria en la que podemos
distinguir cuatro momentos bien diferenciados: a) al principio sigue una línea
vertical recta; b) después, encontramos dos diagonales, en medio de las cuales
aparece una zona de transición vertical; c) a continuación, vuelve la misma
tendencia rectilinea; y d) finalmente, se produce una curva hacia el polo de lo
abstracto. La aparición de zonas “verticales” indica los momentos del debate en que
las personas participantes buscan respuestas a través de los ejemplos concretos. Esto
es debido a que esta actividad es “diferente” de las anteriores. Es una actividad en la
que el planteamiento del problema no está claro. La persona participante tiene que
“encontrar” la respuesta correcta, pero puede haber múltiples respuestas correctas.
Por esto, en términos no académicos, estos (y los que siguen hasta el, final) son
problemas “de pensar”.285
Con esta actividad entramos en los ejercicios que se hicieron
utilizando el soporte del ordenador. En esta actividad se plantea una
reflexión sobre un ejemplo de aplicación de la relación proporcional
inversa. A diferencia del caso anterior, la propuesta aquí se hace desde
el punto de vista de un fenómeno físico, como es la perspectiva entre
varios cuerpos, situados a distancias distintas, uno de los cuales se va
moviendo desde el segundo plano hasta el primero.
Como podemos apreciar a través de la trayectoria cognitiva de
aprendizaje, las mujeres del grupo de matemáticas lo primero que
hicieron fue buscar una manera concreta de resolver el problema. En
ese sentido, a una de ellas se le ocurre preguntar si se tiene que guiar
por el dibujo que aparece en la página web,286 y otra se pone en la
situación y dice que depende de dónde se coloque, si al lado de la
puerta o delante justo de la persona que mira para hacer la medición.
Entonces es cuando se genera una conversación en la que todas
proponen ideas para encontrar la solución. La profesora se pone justo
P1.- ¿Qué pensáis
de esto?
P4.- Si me tengo
que guiar por el
dibujo, la puerta.
P5.- Pero si miras
muy lejos, pues
quizás sí, si tu te
pones en la puerta y
yo me voy muy
lejos...
P1.- ¿Qué, qué
pensáis? Lo
podemos
comprobar si
quiréis...
P4.- Si uno se pone
en la puerta, si tú te
pones muy lejos...
P1.- Si queréis, me
pongo en el pasillo,
y lo comprobamos,
¿qué pensáis?
Actividad 6
285
Cosa que indica la importancia de que todo tipo de imágenes que salgan en unos
materiales didácticos estén pensadas para el aprendizaje y, no como adornos o desde
un punto de vista estético.
286
301
debajo del quicio de la puerta para comprobarlo, y avanza o retrocede
por la clase para jugar con el efecto de la perspectiva. Algunas de las
mujeres del grupo se ponen de pie, cogen a la profesora y la ponen
más lejos o más cerca, para comprobar si en algún momento sus
respectivas alturas llegan a igualarse.
Aquí aparece una idea nueva que no había aparecido hasta el
P6.- Si se pone
delante de la puerta,
de lejos se ve más
grande.
P5.- Si te’n vas més
lluny, sí ho veus
igual o...
P4.- Yo creo que
no, que seguirá
siendo más
pequeña...
Actividad 6
momento: la conjetura. Las personas participantes hacen conjeturas de
cómo puede solucionarse el problema y las contrastan con la realidad
(las ponen a prueba), para ver si dan resultados satisfactorios. El
hecho de que las personas adultas hayan utilizado un procedimiento
propio del método científico con tanta soltura y de una manera tan
natural es un elemento muy importante. Comentarios como “yo creo
que se seguirá viendo más pequeña” indican el uso de hipótesis por
parte de las personas adultas.
A través del diálogo igualitario, y con las tareas adecuadas, las
mujeres del grupo de matemáticas presentan sus creencias (que en
realidad es una hipótesis que ellas hacen de cómo funcionará el
modelo con la realidad), después van a la realidad y miran a ver si
funcionan o no.
Desde el punto de vista del contenido matemático, aparecen tres
modelos de “interpretación comprensiva” de la situación planteada.
El caso es que hay que descubrir si la relación proporcional que se
establece entre las alturas de una puerta y de una persona acaba por ser
en algún momento igual a cero (es decir, si las alturas llegan a
coincidir a “nuestra vista”).
El primer modelo conjeturado por algunas de las mujeres del grupo
parte de la idea de que ellas están en un punto fijo desde donde miran
y, quien se mueve por el espacio que las separa a ellas de la puerta es
la profesora. La persona será “igual” de alta que la puerta en el
302
momento que “tape” todo el ángulo de visión de la persona que
observa, tal y como se ve en la figura adjunta (en este caso, la solución
es la posición “2” en la que aparece la profesora).
c c
1
1
2
Figura 16.1. Esquema del primer modelo elaborado por las
personas participantes. Fuente. Elaboración propia.
En el segundo modelo planteado por las personas participantes, quien
se mueve no es la profesora, sino la propia persona participante.
Entonces, lo que ocurre es que “todo aumenta o disminuye en la
misma proporción”, como dice la persona 6. En la figura siguiente se
esquematiza este segundo modelo.
P6.- ... Pero es que
aquí no dice eso.
Dice que la
compañera y la
puerta tienen que
estar quietos, y
somos nosotros los
que tenemos que
acercarnos o
alejarnos, y
entonces yo lo que
digo es que todo
aumenta o se
reduce en
proporción.
Actividad 6
c
1
1
1
2
Figura 16.2. Esquema del segundo modelo elaborado por
las personas participantes. Fuente. Elaboración propia.
Finalmente, hay una tercera persona que dice entender el problema
como “real” (y utiliza concretamente esta palabra). La persona 3
comenta lo siguiente: “yo lo entiendo como real, no como proporción,
303
yo la entiendo como real. Como yo sé que una puerta mide 2,20 m,
más o menos, y mi compañero pues 1,60, pues, en perspectiva, vale,
pero siempre en perspectiva, la persona sigue siendo más pequeña
que la puerta.” En otras palabras, para ella la puerta siempre mide
2,20 m y la persona 1,60 m, de manera que por mucho que avance o
retroceda (ella o la profesora), las medidas continuarán siendo las
mismas, y no cambian.
Estos tres modelos sugieren varias cosas. Por un lado, que todas las
personas del grupo recurren a procedimientos no formales (desde el
punto de vista de la “matemática académica”) para contrastar sus
hipótesis. Esta forma de actuar nos lleva, de nuevo, a pensar que una
de las características de la “matemática de la vida real” es
precisamente su utilidad y pragmatismo. Normalmente, en la elección
del instrumental matemático formal287 se declina la precisión que
ofrecen los cálculos aritméticos y se prefiere utilizar otras técnicas de
estimación más aproximativas. Estas técnicas son más habituales en la
vida cotidiana de las personas adultas, ya que tienen más sentido para
ellas (sobre todo si les sirven para resolver las situaciones
problemáticas). Esto es un ejemplo de la importancia que tiene la
experiencia previa en la educación de personas adultas.
Por otro lado, todos los modelos (salvo quizás el último) tienen un
contenido matemático muy importante. Esto es un ejemplo de que
todas las personas somos capaces de utilizar las matemáticas para
resolver situaciones problemáticas. Lo que ocurre es que la diferencia
está en el tipo de procedimientos que usamos (unos corresponden con
una dimensión más cualitativa de los contenidos matemáticos, como
en el caso de estos tres modelos, mientras que otros son más
cuantitativos, 288 e incluso los encontramos teóricos del todo).
287
Esto es una referencia a la dimensión normativa de las matemáticas.
Los ejemplos que estamos mostrando, se situarían en el caso de la aplicación del
Teorema de Pitágoras para solucionar el problema.
288
304
Pasando a consideraciones más concretas (desde el punto de vista del
contenido matemático), se puede apreciar una clara diferencia entre
los modelos 1 y 2. En el primero, las mujeres que lo proponen tienen
claro que el concepto de proporción es un concepto que se utiliza para
referirse a situaciones de la vida real en las que existe una relación de
dependencia funcional entre dos variables (en este caso, el cociente
entre el tamaño de la profesora y la puerta).289 En cambio, la persona 6
no “ve” que exista una relación de dependencia funcional entre puerta
y profesora, porque para ella la diferencia entre el tamaño de la puerta
y la altura de la profesora es siempre al misma. Lo que sí ocurre es
que se ven más o menos grandes dependiendo de la distancia a la que
se encuentre la persona que observa. En este caso, la relación
funcional se sitúa entre ella (que observa) y el conjunto de puerta y
profesora. En cambio, la idea matemática que hay implícita a la
relación entre altura de la puerta y altura de la profesora es una idea de
relación estática completamente.
En el tercer modelo este concepto estático de la proporción es todavía
más marcado, porque la persona 3 ni siquiera comenta en ningún
momento que tal relación exista. En cambio, ella sí que ve muy
claramente la relación estática que existe entre dos magnitudes.290
Todas estas concepciones aparecen a lo largo de la conversación. El
diálogo sirve para reflexionar sobre ellas e ir construyendo poco a
poco la idea matemática de proporción a través de la reflexión crítica
(y práctica) sobre modelos. La participación igualitaria de todas las
personas del grupo en la dinámica de la clase permite que aflore una
gran riqueza conceptual y, es la forma de que todas las personas
puedan utilizar lo que ya saben previamente y revertir sus
conocimientos en el resto de la clase, para construir conjuntamente el
289
Según la profesora se acerca o se aleja a la persona participante, el resultado del
cociente entre la altura de ella y la de la puerta crece o decrece, hasta que llega un
momento en que se iguala a cero. En ese momento es cuando puerta y profesora
“son” aparentemente “iguales”.
290
Ver el capítulo en el que se define la proporcionalidad. Esta idea de proporción
ha sido muy trabajada por Behr y Giménez, 1989.
305
conocimiento. De hecho, esta situación es un ejemplo de cómo el
conocimiento se construye socialmente (con la suma de esfuerzos de
todas las personas).
Si pensamos de qué tipo son las intervenciones que se suelen hacer,
llegamos a la conclusión de que en casi todas las ocasiones todas las
personas de la clase (mujeres del grupo y profesora también) utilizan
el lenguaje en un sentido ilocucionario, es decir, para buscar la
solución del problema, y no para cambiar el comportamiento de los
demás. En ese sentido, la dinámica que se ha generado aquí es muy
diferente de las dos actividades precedentes.
Finalmente, la solución a la que se llega es por consenso:
“P4.- ... Y como era la R, ponemos metro sesenta...
P3.- Yo he puesto, la puerta 2,20m, y R 1,60m, ¿no?
P1.- ¡Uy! 1,60m, no sé yo. Pues la verdad es que no me acordaba.
P5.- Sí, porque yo hago metro sesenta y somos más o menos iguales.
P1.- ¿Ya está, no? Esta pregunta se ha acabado.” (Fragmento de la
trascripción. Actividad 6).
A continuación se incluyen las trayectorias cognitivas, que muestran
todo el proceso de interacción.
306
Trayectoria cognitiva de aprendizaje de la tarea 6 (a)
P6
RG
IC
p
P1
ed
P5
p
P1
CP
P5
CP
P4
p
P1
a
P2
<continúa en la
próxima página>
P5
tiempo
ea
P3
<todas leen el enunciado de las actividades>
Enunciado de la
Actividad 6
Leyenda
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
307
Trayectoria cognitiva de aprendizaje de la tarea 6 (b)
P1
re
p
P6
<continúa en la
próxima página>
P4
CP
ea
P5
Leyenda
P5,4
tiempo
p
p
P1
RG
P5
RG
P1
anterior>
308
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
Trayectoria cognitiva de aprendizaje de la tarea 6 (c)
<continúa en la
próxima página>
RG
P4
P4
cc
P6
CP
P3
re
p
P1
cc
re
P5
P3
Leyenda
P6
CP
RG
tiempo
IC
a
P4
P5
P6
anterior>
309
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
Trayectoria cognitiva de aprendizaje de la tarea 6 (d)
FIN de la
Actividad 6
a
P3
Leyenda
P1
ed
P4
tiempo
p
RG
P4
RG
<todas asienten>
P1
anterior>
310
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
7) Los folios de papel (VII)
Descripción esquemática de la TCA7. Nos encontramos ante una trayectoria que
atraviesa tres momentos bien diferenciados: a) desde el inicio el diálogo sigue una
trayectoria cognitiva sinuosa, de lo concreto a lo abstracto, marcada por las
“interpretaciones comprensivas”; b) en un segundo momento, la trayectoria se
vuelve rectilínea y vertical; y c) finalmente, nos encontramos con otro tramo en el
que se produce un marcado zig-zag, porque se trata de una generalización en la que
las personas 4 y 5 utilizan el ejemplo de un caso particular para dar mayor fuerza a
sus argumentos.
En esta actividad el tema consiste en comparar dos hojas de papel (dos
folios, uno entero y el otro cortado por la mitad) y decir si ambas
hojas son proporcionales.
Igual que en el caso de la actividad anterior, el planteamiento del
problema dista mucho de los ejercicios presentados en el libro. Se
trata de un problema “abierto”, que admite muchas maneras de
enfocarlo y encontrar la solución (o soluciones) correcta. Las mujeres
del grupo de matemáticas se encuentran ante un reto que las obliga a
pensar para encontrar la solución. Lo que ocurre es que
inmediatamente se genera un diálogo para tratar de “definir” el
problema y entender lo que se pide.291 No obstante, si vemos la
trayectoria cognitiva, la profesora enseguida marca ese diálogo en una
dirección. Como se puede apreciar en la cita adjunta, la profesora
indica a las mujeres del grupo que tienen que dividir la altura y la
anchura de cada uno de los folios y compararlos entre sí.
A pesar del efecto perlocucionario de la intervención de la profesora,
eso no impide que otras personas del grupo piensen otra manera de
resolver el ejercicio. De hecho, en la lectura de la trascripción vemos
291
Esto nos recuerda al “diálogo-consigo mismo-en voz alta” del niño del
experimento que hizo Vigotsky, 1979b con la tableta de chocolate. El niño, que no
podía alcanzar el chocolate (que estaba sobre un armario), comenzó a hablar consigo
mismo, verbalizando el problema para tratar de entenderlo y encontrar una solución.
Finalmente descubre que moviendo la silla contra el armario y subiéndose a ella
puede alcanzar el chocolate. Aquí ocurre lo mismo, pero a nivel social. Las personas
se preguntan unas a otras para aclarar el problema y saber qué hacer.
311
P1.- Lo hacemos de
forma matemática,
a ver, ¿no es cierto?
Medid el largo y el
ancho, y a ver si es
la misma
proporción en los
dos. Sí que es
cierto, supongo que
es la misma
proporción en los
dos casos, pero
vamos a medirlo.
Actividad 7
<a la vez, otras
señoras van
diciendo las
medidas de los
folios>
P5.- ... quinze i
quinze, i l’altre
vint-i-u.
(...)
P4.- Quince por
veintiuno.
P1.- ¿Dividido?
Mirad bien el
orden.
P5.- Igual a 0,71.
dos procedimientos completamente distintos para resolver la
actividad.292
Por un lado, está lo que la profesora llama “forma matemática”. Se
trata de una estrategia formal que recurre a la aritmética para resolver
la situación. Así, según la teoría del concepto de proporción, sabemos
que si se cumple que:
P(a/b) = P(a’/b’)
Actividad 7
entonces nos encontramos ante un caso de proporcionalidad.293 En
nuestro caso, a y b corresponderían simultáneamente a la altura y
P1.- Pues tiene que
salir la misma
proporción.
Primero el grande.
P4.- 21 por... por
30, igual a 0,7.
P1.- 0,7. Y ahora
tienes que hacer
éste por éste.
P4.- 15 por 21, 15
dividido por 21,
que da 0,71.
P1.- ¿Lo veis? Es
correcto.
Actividad 7
anchura del folio completo, y, a’ y b’ a la altura y anchura del folio
doblado por la mitad. En el caso de que ambos cociente sean iguales,
entonces significa que ambas hojas de papel son proporcionales. A
través del diálogo vemos como las personas 4, 5 y 6 exploran este
camino (aunque lo hacen por indicación de la profesora).294
Por el otro, encontramos un método más gráfico (o visual) que
consiste en medir los lados de ambos folios, superponiéndolos, y que
es lo que hacen la persona 2 y la persona 3.
Esta categorización nos recuerda la división que hace Skemp (1980)
de los diferentes modos de imaginación. Él distingue entre la
“imaginación visual” y la “imaginación verbal-algebraica”.
<otra señora coge
un folio y lo dobla
por la mitad, luego
coge uno entero y
lo pone uno junto al
otro>
P3.- A ver, esto es
un rectángulo y esto
es otro rectángulo,
¿va por ahí la cosa?
Actividad 7
La primera consiste en una forma de imaginación caracterizada por la
abstracción de las propiedades espaciales (tales como la forma o la
posición), y se trata de una forma de imaginación intuitiva, que es
difícil de comunicar. Efectivamente, la persona 3 tiene algunos
292
Hay que decir que hay dos procedimientos diferentes, porque las personas se
sentaron formando tres grupos diferentes, uno de ellos se fusionó, quedando al final
efectivamente dos grupos interactivos.
293
Fiol y Fortuny, 1990.
294
Ver las citas adjuntas.
312
problemas para comunicar su idea y, finalmente, lo que hace es
mostrar a la cámara cómo está comparando los lados de los folios,
mientras pregunta: “¿va por ahí la cosa?”.
La segunda, en cambio, se caracteriza por abstraer propiedades que
son independientes de la configuración espacial, tales como el número
o la forma. Es un tipo de imaginación más lógico, que se estructura de
manera secuencial y es más fácil de comunicar.
Como se puede apreciar por las citas situadas en la página anterior, los
procedimientos utilizados por las personas participantes se pueden
enmarcar perfectamente en el modelo propuesto por Skemp (1980). El
diálogo en la clase permite que ambos puntos de vista salgan a la luz y
se planteen.
Desde el punto de vista del contenido matemático, está claro que el
procedimiento que utilizan las personas 4, 5 y 6 es el “más elaborado”,
ya que pasa de una idea cualitativa de las matemáticas a utilizar
métodos aritméticos para resolver el problema. En cambio, la persona
2 y la 3 se limitan a comparar la forma de las hojas para ver si son
proporcionales.295 Aquí tiene un papel clave la actitud de la profesora,
dado que las indicaciones que hace a las personas 4, 5 y 6 tienen un
efecto completamente perlocucionario, puesto que, finalmente, lo que
consigue es condicionar la respuesta que dan esas tres personas del
grupo.
295
Si hubiesen marcado las diagonales de ambas hojas y las hubiesen comparado
para ver si coinciden, entonces podríamos decir que habrían hecho de manera
cualitativa lo mismo que sus compañeras hicieron con números. Calcular los
cocientes es lo mismo que trazar la diagonal de los lados.
313
P1
<continúa en la
próxima página>
IC
p
P1
ea
P4
CP
P5
P2
IC
P2
ea
ed
P3
Leyenda
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
IC
P1
p
P1
p
tiempo
P3
Enunciado de la
Actividad 7
314
Trayectoria cognitiva de aprendizaje de la tarea 7(b)
RG
P4,5
FIN de la
Actividad 7
P4,5
CP
RG
Ek
P1
P1
tiempo
P4
ea
p
P1
re
P4
ea
P1
p
P1
ea
P4
Leyenda
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
anterior>
315
8, 9 y 10) El precio de la butifarra. Cambiar moneda. Hoy tenemos
invitados a comer (VIII, IX, X)296
Descripción esquemática de las TCA8,9
y 10.
La primera de las trayectorias
consideradas sigue una línea casi vertical, en la que sólo aparece una generalización.
La trayectoria de la actividad 9 es todavía más escueta y sencilla. En cambio, en la
actividad 10 encontramos dos momentos diferenciados: a) al inicio la conversación
sigue la misma tendencia que en los dos casos anteriores (es decir, que la trayectoria
es vertical); y b) hacia el final de la conversación, la trayectoria se separa (porque
los grupos interactivos trabajan por separado) y, aparecen tres líneas diferentes en
las que se combinan elementos tanto abstractos como concretos.
En la actividad 8 se plantea una situación semejante a las que aparecen
en el libro de matemáticas. La acción transcurre en un mercado. Las
mujeres del grupo de matemáticas quieren comprar butifarra para
comer. A partir de aquí, se hacen una serie de preguntas para
relacionar la cantidad con el precio y estudiar el efecto de la
proporcionalidad sobre dicha relación.
P5.-... pues me
habré ahorrado... Es
té que dividir per 3,
25 per 3. I després
una part...
(...)
P5.- Pues te has
ahorrado 1 kilo, que
son... 5 euros, 5
euros te has
ahorrado.
Actividad 8
Durante el diálogo se nota perfectamente la importancia de la
experiencia previa. Ejemplo de ello es la respuesta que da la persona 5
a una de las actividades donde se pregunta: ¿cuánto ahorras en el caso
de encontrar una oferta en la que te llevas 3 kilos de butifarra al precio
de 2? La persona 5 enseguida dice que lo que hay que hacer es dividir
para saber lo que cuesta un kilo (que es el que te ahorras).
Ésta es una muestra de aplicación de un concepto matemático, como
es el algoritmo de la división y el concepto de repartición, en la vida
cotidiana.
Después de esto, las personas del grupo de matemáticas se pusieron a
hacer la actividad 9. Esta actividad consistía en pasar una determinada
cantidad de dinero, de euros a pesetas. En el momento en que se
296
Juntamos estas tres actividades porque debido al tiempo disponible para hacer la
clase, las aportaciones y el debate fueron muy reducidos, de manera que el material
recogido no justifica que hagamos la presentación por separado.
316
planteó era una actividad interesante, porque era el momento de
cambio de moneda, de las antiguas pesetas a los euros. De todas
maneras, como se deduce de la trayectoria que se adjunta, la actividad
no provocó demasiado debate en clase. Creemos que eso fue debido a
dos causas: a) por un lado, al poco tiempo que disponíamos ya de
clase, y b) por el otro, a que el paso de una moneda a otra es algo que
ya lo tenían muy sabido, que hacían rápidamente y sin pensarlo
demasiado.297
Finalmente, las mujeres del grupo hicieron la actividad 10. En esta
actividad volvemos al caso de la butifarra. Las mujeres del grupo de
matemáticas resulta que tienen una comida en casa con invitados.
Ahora de lo que se trata es calcular lo que le toca a cada comensal. De
nuevo, aplican el concepto de la “división” para saber cuántas
personas podrán comer con la cantidad de butifarra que tienen en casa.
Aquí podría haber aparecido una dificultad, que es el hecho de tener
que hacer una división con un denominador menor que la unidad. Sin
embargo, las personas participantes lo que hicieron fue recurrir a la
calculadora, y ayudarse de ella a fin de resolver la división.
Por otro lado, y, desde el punto de vista del contenido matemático, es
importante resaltar que las mujeres del grupo no dudaron un momento
en aplicar la división como método para llegar al resultado correcto.
Se repite, de nuevo, la idea de que para resolver una proporcionalidad
inversa se tiene que dividir la cantidad original por los diferentes
valores que va tomando la variable. Sin embargo, no aparece en este
procedimiento la constante de proporcionalidad (cuya aplicación ya no
es intuitiva, puesto que implica resolver la operación mediante una
multiplicación por un cociente menor que uno).298 Lo que sugiere este
hecho es la idea que tienen las personas del grupo de matemáticas
297
De hecho, en la escuela de La Verneda – Sant Martí se hizo durante todo un año
un taller específico para enseñar a las personas adultas a pasar de una moneda a la
otra. Se trata de un tema muy trabajado a nivel del currículum que se ofrecen en la
escuela.
298
Ver el comentario de la actividad 3.
317
P5.- ... Tenim 3
kilos de butifarra, i
venen a dinar...
cada persona come
0,25... 3 kilos,
dividit per 0,25
Actividad 10
sobre la proporcionalidad inversa es que se trata de una relación
decreciente entre dos variables, que se relacionan a través de la
división.
Trayectoria cognitiva de aprendizaje de la tarea 8
P5
p
P4
P5
p
re
tiempo
P5
p
RG
P4
P4
ea
re
P4
FIN de la
Actividad 8
re
Leyenda
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
P5
p
P5
p
P1
Enunciado de la
Actividad 8
318
Trayectoria cognitiva de aprendizaje de la tarea 9
<la actividad termina
discutiendo sobre que el
precio es muy caro>
tiempo
re
Leyenda
P5
P3
ea
CP
P3
P1
p
CP
P1
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
Enunciado de la
Actividad 9
319
P5
P4
<continúa en la
próxima página>
p
ea
P5
p
P4
IC
P5
re
p
P4
tiempo
Leyenda
re
P5
p
P4
CP
P5
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
Enunciado de la
Actividad 10
320
Trayectoria cognitiva de aprendizaje de la tarea 10 (b)299
P5,6
re
P6
p
P1
IC
P6
P5
Conversación del
grupo b
<intento>
P1
re
P6
ed
IC
P2
tiempo
P5
re
p
Leyenda
Pn = Persona n
p = Provoca
a = asentimiento
r = respuesta
ea
p
ea
Conversación del
grupo c
Conversación del
grupo a
P3
P4
re
P2
anterior>
299
En el esquema correspondiente a los diálogos que se produjeron durante la
resolución de la actividad 10 se incluyen conversaciones paralelas simbolizadas con
líneas en puntos suspensivos. Las mujeres del Grupo de matemáticas dialógicas se
agruparon en dos-tres grupos: a) las personas 2 y 3; b) las personas 4 y 5; y c) la
persona 6, que a veces se juntaba con el grupo b.
321
¿Qué nos aporta este capítulo al análisis? Varias cosas tanto a nivel
social, como del contenido matemático y del medio.
Por un lado, a lo largo de las diferentes actividades vemos que el
diálogo es la herramienta que utilizan las mujeres del Grupo de
matemáticas dialógicas para solucionar las diferentes situaciones
problemáticas ante las que se encuentran. Por lo general, la dinámica
siempre, consiste en dar las respuestas concretas a las preguntas
planteadas. Y, en ese proceso es cuando las mujeres “reconocen” los
conceptos matemáticos que hay detrás de cada actividad. De todas
maneras, esto es así sólo para las actividades del libro, donde las
preguntas aparecen claramente planteadas de forma explícita. En el
caso de las actividades presentadas en formato html, las situaciones
problemáticas se presentan de una forma mucho más abierta, de
manera que las mujeres del grupo tienen que pensar primero en cómo
responder a cada pregunta antes de resolverla. Por esto, en este caso lo
que suele suceder es que primero se recurre a la abstracción y, después
,se va a los ejemplos concretos para ver si lo que ellas pensaban
funciona realmente.
Esto nos lleva a la segunda de las aportaciones de este capítulo: la
importancia que tienen las “interpretaciones comprensivas” como
guías que orientan la resolución del problema (y, por extensión, la
construcción del conocimiento matemático subsiguiente). Las
“interpretaciones comprensivas” son la forma que utilizan las personas
del grupo de matemáticas para entender los conceptos matemáticos
que están estudiando. Como vemos en varias de las actividades
anteriores (por ejemplo, la 3, o la 6), la “interpretación comprensiva”
es el paso previo para empezar a resolver el problema. Primero se
entiende, y, después, se busca la solución.
322
En tercer lugar, es importante resaltar la importancia de la dimensión
afectiva en el aprendizaje. Durante la sesión en la que las mujeres
resolvieron las diez actividades estudiadas, una de las personas, en un
momento dado, dice que ella es una novata. La persona que hace esa
afirmación es precisamente una de las personas que menos participan
durante toda la sesión. Esto es una muestra del efecto perturbador que
puede tener la confianza en uno mismo durante el aprendizaje de las
matemáticas. La falta de autoconfianza es un elemento exclusor que
dificulta claramente la participación igualitaria en el aula. Y, uno de
los requisitos sine qua non de la creación de sentido es, precisamente,
la participación. Una persona sólo se hace suyo un concepto cuando lo
interioriza. Y, para ello se tiene que sentir capaz de utilizarlo como el
resto de las personas.
En cuarto lugar, otro de los aspectos que hemos podido ver es que
cuando las mujeres del grupo están inseguras por algún motivo, lo que
hacen es recurrir a preguntas (del tipo: ¿esto esta bien?, ¿lo hago
bien?, etc.) para superar esa inseguridad. Este tipo de preguntas
suponen una estrategia que transforma lo que sería una dificultad,
como es la inseguridad, en una posibilidad de aprendizaje.
En quinto lugar, la dinámica de la clase es diferente a la de una clase
tradicional. Las personas participan de manera activa, como deja
patente el análisis cuantitativo que se realizó al principio del capítulo.
Además, la mayor parte de las veces, se trata de una participación
igualitaria, en la que cada persona aporta sus argumentos, lo que ella
entiende o deja de entender sobre cada uno de los temas planteados.
De ese modo, pocas veces encontramos dinámicas propias del modelo
escolar definido por Medina (1994, 1996).300 Lo que sí hemos podido
constatar es que cuando este tipo de dinámicas aparecen, las
trayectorias se vuelven verticales, no hay prácticamente oscilación
entre el polo concreto y el polo abstracto y, la mayor parte de las
300
En nuestro caso la actividad 7 es el ejemplo más claro de modelo escolar.
323
intervenciones corresponden a la profesora, que adopta un papel
perlocucionario en el aula. De alguna manera, lo que ocurre (como se
puede apreciar en las trayectorias) es que la profesora va explicando
cómo se resuelven los ejercicios, mientras que el resto de la clase
escucha y toma nota de ello. En este caso la participación es mínima.
En cambio, cuando todo el mundo está participando en la clase, lo que
ocurre es que la dinámica de la clase es ilocucionaria (o
perlocucionaria, pero basada en el diálogo igualitario). En este
contexto es donde resulta más fácil que las personas creen sentido a
todo lo que están aprendiendo.
En sexto lugar, desde el punto de vista del contenido matemático, lo
que muestra el análisis es que las mujeres del Grupo de matemáticas
dialógicas conocen y saben aplicar la idea matemática de
proporcionalidad, pero aparece un conflicto de contenido. La
proporcionalidad directa se asocia a la idea de “aumentar”, mientras
que la proporcionalidad inversa remite a la idea de “decrecer”.
Además de este –llamémosle– primer nivel de elaboración del
concepto de proporción,301 las mujeres del grupo de matemáticas
también tienen muy claro que la proporcionalidad directa es
multiplicar, mientras que la proporcionalidad inversa implica dividir,
aspecto que implica una idea “teórica” de las matemáticas. En todo
esto, queda clara la idea de que ambos tipos de proporcionalidad son
“opuestos”. Así, aparece una simplificación estratégica, que es al
mismo tiempo una barrera para el contenido matemático completo.
En efecto, la afirmación de aumentar y decrecer correspondería a la
función de creciente y decreciente (no a lo proporcional) y, además,
no se explicita el valor de la constante, ya que se dice multiplicar, pero
no se habla de multiplicar siempre por la misma cantidad.
301
Nos estamos refiriendo aquí a las cuatro dimensiones del concepto de proporción:
cualitativa, doble / mitad, cuantitativa y teórica. Ver el capítulo sobre la teorización
del concepto de proporción, en la parte de metodología.
324
En séptimo lugar, tenemos que resaltar la confusión en el significado
de la letra “k”, debido al desconocimiento del sistema de notación
matemática y a la experiencia previa que tienen las mujeres del grupo.
Para ellas, la letra “k” significa “kilo” (además, aparece justo en un
problema donde se habla de kilos), pero, en lenguaje matemático la
“k” corresponde a la constante de proporcionalidad. Este contenido
polisémico es el que creó el conflicto a algunas de las personas adultas
de la clase.
En octavo lugar, destaca un rasgo muy característico de las
“matemáticas de la vida real”, que es el hacer las cuentas “de cabeza”.
Operar de esta manera implica (además de una gran agilidad mental)
el uso de ciertas habilidades, como simplificar las cantidades, por
ejemplo. 302
Esto nos lleva a la novena aportación: las aproximaciones al resultado
por estimación. Las mujeres del grupo de matemáticas lo que hacen al
operar con cantidades es coger la unidad y “partirla en trozos” más
manejables al hacer el cálculo mental. Por ejemplo, en el caso de
tener que calcular a cuántos minutos corresponde 0,87 (como ocurre
en la actividad 3), lo que hacen es partir el minuto en 4 partes, de
manera que tienen 4 partes de 25 minutos cada una y, buscan el 87 en
la última parte. De este modo, como el 87 se encuentra entre el 75% y
el 100% de la hora (que va del 45 al 60), sabemos que el 0,87
corresponde, aproximadamente, a 52 minutos.
Esta forma de hacer los cálculos dista mucho de los procedimientos
usuales en la matemática formal. Sin embargo, esto no significa que
no sean válidos. El método de aproximación por estimación es la
décima aportación. Este método sirve igual que las operaciones
aritméticas formales para encontrar la solución a los problemas
302
Por ejemplo, para sumar 12 y 25, se suma primero 10 y 20, que son 30, y luego 2
y 5, que son 7. Total: 37. Esto es muy diferente de escribir el 12 y el 25 sobre un
papel, uno debajo del otro, y hacer el cálculo.
325
planteados. La diferencia consiste en el nivel de precisión: mientras
que la aproximación no es un método preciso, el procedimiento
académico (en este caso) sí que lo es.
La undécima aportación se refiere al uso del método de ensayo-error
por las personas del grupo de matemáticas. Ante actividades donde el
planteamiento deja bastante abierta la respuesta, las personas
participantes lo que hacen es construir modelos posibles de respuesta
y comprobar después (mediante la práctica) si sus conjeturas son
acertadas o no.
Terminamos diciendo que a lo largo de estas páginas hemos podido
comprobar cómo el diálogo y la participación en un entorno igualitario
son dos elementos básicos en el proceso de aprendizaje. Las personas
resolvemos los problemas hablando sobre ellos, reflexionando de
manera crítica y compartiendo los diferentes puntos de vista, para
llegar a la solución correcta. Por tanto, cualquier estudio que pretenda
aportar algún aspecto a la mejora de la calidad del aprendizaje en
nuestras aulas, tiene que partir con la inclusión de esta dimensión
social en el análisis e, identificar cuáles son los elementos que
intervienen en el proceso, para poder actuar sobre ellos.
326
PARTE V
CONCLUSIONES
“No debemos pensar que este es un
aprendizaje matemático, ya que la habilidad
para escribir cifras no tiene nada que ver
con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlos correctamente. Así mismo, la
incapacidad para escribir un número no
debe confundirse con la incapacidad para
comprender las matemáticas.” (Castro, Rico
y Castro)
327
328
Comenzábamos esta tesis diciendo que todas las personas somos capaces de hacer
matemáticas y utilizarlas en nuestras vidas. Para Hempel (1969) las matemáticas
son un “sistema deductivo axiomatizado”. A lo largo de estas páginas hemos visto
que las “matemáticas” son un entramado de conocimientos más complejo. Niss
(1995), por ejemplo, distingue cuatro tipos de “matemática”.303 Bishop (1999),
por su parte, las define como un proceso cultural. Newman y otros (1969) hablan
de las matemáticas desde un punto de vista exclusivamente lógico-formal.
Nosotros por nuestra parte, nos hemos propuesto acercarnos a esta disciplina
desde cuatro puntos de vista diferentes, a fin de aprehender la globalidad del
concepto. Al hacerlo así, enseguida percibimos que se trata de un campo de
conocimiento bien acotado desde el punto de vista instrumental, al que podemos
aproximarnos de diversas maneras, que dependen, como dice Bishop (1999), de la
cultura y el entorno societal.
Como también decíamos en la presentación, las matemáticas están rodeadas de
mitos y falsas creencias, que en parte se han construido a propósito, por personas
que querían hacer de esta disciplina un símbolo de distinción. Niss (1995) se
refiere a alguno de esos mitos (la invisibilidad, por ejemplo) y Bishop (2000) los
denuncia.
Al comenzar esta tesis pensábamos que entre la idea académica de “matemáticas”
y las matemáticas “de la vida real” existía una gran brecha, de manera que nada
tenían que ver las unas con las otras. Nuestro objetivo era mostrar cómo se
manifiesta esta brecha, para ver de qué manera afecta en la educación de personas
adultas. Pretendíamos mostrar, desde el punto de vista cognitivo, cómo las
personas saben utilizar las matemáticas, para tenerlo en cuenta a la hora de
planificar un currículum académico, por ejemplo. Por eso, nos centramos en el
ejemplo de las proporciones (escogido por las personas adultas con las que hemos
trabajado), de gran valor para la educación matemática. Así, hemos utilizado las
trayectorias cognitivas de aprendizaje para ver cómo podemos mejorar la
enseñanza de las matemáticas y lograr encontrar vías para transformar los mitos
que existen en torno a esta disciplina científica.
303
Ver el apartado “Matemáticas y vida cotidiana” en el capítulo correspondiente.
329
Conclusiones sobre la primera hipótesis
En la primera hipótesis decíamos que “Existe una brecha entre las
matemáticas de la vida real y las matemáticas académicas. Esta
brecha se manifiesta de diferentes formas.”
•
Ahora, después de estos años de trabajo, podemos decir que realmente
existe tal brecha. Creemos que a lo largo de estas páginas hemos
corroborado la primera de nuestras hipótesis. Y no sólo ha sido así
únicamente mediante el análisis de la abundante bibliografía que existe
sobre el tema. Así, podemos recordar aquí los trabajos de Nunes, por
ejemplo, por lo que respecta a la street mathematics.304 El análisis de las
entrevistas, de la tertulia y de la sesión de actividades con las personas
participantes también nos ofrecen múltiples ejemplos de ello, como el
comentario de “G”, cuando dice que “las matemáticas que hacemos las
mujeres, no las hacéis vosotros los matemáticos...”.305 ¿A qué se refiere
esta persona? Se refiere a que, para ella, los números significan pagar
recibos, comprar el billete del autobus, calcular lo que le queda para final
de mes, etc., pero eso no lo ve ella como matemáticas (o, por lo menos, no
son las matemáticas que se encuentra en los libros de “matemáticas”). Para
esta persona no existe una identificación de esos “conocimientos de la vida
cotidiana” como matemáticas (lo cual parece ser un ejemplo de la
“paradoja de la invisibilidad” de la que habla Niss, 1995). Al principio de
la investigación, las mujeres del Grupo de matemáticas dialógicas de la
escuela, decían que las matemáticas consistían en aplicar el m.c.m. para
resolver una ecuación, por ejemplo, o resolver un problema de paréntesis.
Cuando hablan de “matemáticas”, se refieren siempre a las matemáticas
académicas.306
304
Ver Carraher, Carraher & Schliemann, 1982, 1985; Nunes, Schliemann & Carraher, 1993.
Ver cita del apartado “la práctica de ejercicios” en el capítulo 15.
306
Se trata de una idea descontextualizada de las matemáticas, que es heredera del movimiento de
“renovación” de la matemática moderna.
305
330
A lo largo de los capítulos anteriores se citan multitud de ejemplos que lo
corroboran: el hecho de resolver una tabla, el preguntar salteado, las
respuestas a multitud de ejercicios que aparecen a lo largo de las citas,
etc.307 Son éstas las matemáticas que ellas consideran difíciles. Alguna de
las mujeres, incluso cuando respondía a las preguntas de la entrevista, era
completamente consciente de la existencia de tal brecha, por ejemplo la
persona A, que después de explicar cómo resuelve los ejercicios, más tarde
dice que no los entiende, en el sentido de que no les encuentra el sentido ni
la utilidad.
•
Por otro lado, otra idea importante que ha quedado clara durante el trabajo
de campo es que, por lo general, las mujeres del grupo de matemáticas
prefieren éste método de cálculo (el “hacer las cuentas de cabeza”) antes
que utilizar las posibilidades que les ofrecen para ello los ordenadores.
Como hemos mostrado en el segundo capítulo de la cuarta parte esto se
debe, en gran medida, al desconocimiento del medio tecnológico. Éste es
uno de los elementos cruciales que explican el no utilizar de manera
generalizada los ordenadores, sino sólo para acceder al enunciado de los
problemas. Utilizar los ordenadores como herramienta requiere una cierta
“predisposición”, es decir, unas ciertas habilidades que podríamos
denominar “uso de tecnologías como herramientas” para resolver
situaciones problemáticas. Y, es algo a lo que las personas del grupo no
están habituadas, porque las tecnologías no han sido algo “normal” en sus
vidas. Este es un ejemplo fehaciente de nueva desigualdad en la sociedad
de la información, de la que habla Eco (1993).
•
La mujeres del grupo de matemáticas utilizan estrategias que nos
recuerdan a ejemplos de resolución de problemas que están ampliamente
documentados en el caso de la educación infantil. Así, por ejemplo, el
agrupar las cantidades cuando se opera con ellas en vez de utilizar el
método aritmético (Gravemeijer, 1997).
307
Ver las citas qua aparecen en la parte correspondiente al análisis del trabajo de campo.
331
Por ello, pensamos que es adecuada la idea de ir de lo concreto a lo
abstracto (desde el punto de vista teórico), y que está situada en la
perspectiva de la “educación matemática realista” (realistic mathematics
education). Esta idea parte de la fenomenología de Freudenthal (1983).308
En matemáticas, el último nivel de conceptualización es el de la
formalización a través de la vía de la axiomática. Freudenthal (1983) dice
que es un error pensar la didáctica desde la generalización: es un error
querer enseñar directamente las matemáticas como conjuntos de axiomas
que se rigen por una serie de leyes y de principios.309
•
Nos parece adecuado que el trabajo se contextualice. Sin embargo, como
las mujeres del grupo tienen carácterísticas heterogéneas (es decir, no
tienen una historia o una profesión común, como por ejemplo en Hoyles,
Noss, Pozzy, 2001), no es fácil decir que un ejemplo de actividad
contextualizada es mejor que otro.
•
Como se puede ver, nosotros hemos podido comprobar que las mujeres del
Grupo de matemáticas dialógicas saben resolver por métodos aritméticos
y geométricos las situaciones de proporcionalidad. Ellas optan por recurrir
a métodos intuitivos, más relacionados con el sentido común que al
análisis formal del problema. Aspecto que no es, en absoluto, algo
negativo, sino al contrario. Como dice Davis (1995), “la cultura
subyacente no tiene que ser despreciada”310: implica tanto las estrategias
intuitivas, como el lenguaje lógico-formal.
308
Aunque ya encontramos referencias en la obra de Piaget, por ejemplo.
Lo que propone Freudenthal (1983) es la reinvención de las matemáticas, es decir, dice que en
la clase lo que hay que hacer es ir descubriendo las ideas matemáticas. Para ello crea modelos a
partir de situaciones de la vida cotidiana. Se llama matematización. Lo que hace es quitar todos
aquellos aspectos que pueden despistar del contenido matemático, y poner situaciones que
provoquen aprendizaje de las ideas matemáticas.
310
“The surrounding culture cannot be neglected. Mathematics is taught, studied, applied,
discovered, created, elaborated a discussed using a mixture of common and specialized languages
and symbolic techniques.” (Davis, 1995: 36).
309
332
•
Durante la clase hemos visto la combinación de ambos niveles de trabajo:
cualitativo y cuantitativo en el tratamiento de la proporcionalidad.
Schliemann y Carraher (2002) dicen que lo que prima en el caso de los
adultos son los métodos de resolución de problemas basados en la
experiencia de la vida cotidiana, pero cuando un problema se “sale” de esa
“experiencia previa” las personas adultas, entonces, lo que hacen es
demandar procedimientos más formales.311 Nosotros hemos podido ver
algo parecido a lo largo del trabajo de campo. Un ejemplo claro es la
resolución de las actividades 6 y 7. En el primer caso, las mujeres lo que
hicieron fue jugar con los puntos de referencia (la profesora o ellas
mismas), para responder si las alturas de la profesora y de la puerta en
algún momento llegaba a ser “iguales”. En cambio, en el segundo caso, el
de las dos hojas de papel, como no resultó ser un ejemplo habitual para la
mayor parte de las mujeres del grupo, al final aplicaron el método
aritmético para ver si los folios eran proporcionales siguiendo las
indicaciones de la profesora. Lo que no aparece es ningún intento de
formalización, que queda relegado al ámbito de la matemática profesional.
•
Por otro lado, otro de los elementos que hemos podido constatar a través
del análisis de las entrevistas, la tertulia y la sesión práctica ha sido la
existencia de diversas formas de resolver las actividades. Siguiendo la
actividad 6, sobre la comparación de las alturas (relativas) de la profesora
y de la puerta, durante la resolución de la actividad aparecieron 3
estrategias diferentes para afrontar el problema. 312 Ahora bien, a la luz de
los datos recogidos, no podemos decir si las personas adultas prefieren
unos procedimientos de resolución más “visuales” o más “notacionales”.
311
“These results suggest that everyday situations can ‘‘prime’’ reasoning in novel contexts. The
fisherman had experience with ratios between quantities of processed versus unprocessed seafood
and the cooks had experience with quantities involved in recipes. Those experiences seem to allow
them to recognize that problems involving such relations can be solved through the same
computation procedures they use for prices. But when subjects had no prior experience with the
context, as was the case of medicine formula in the cooks study, they did not assume that the
amounts in the problem should involve the same relationships.” (Schliemann and Carraher, 2002:
252).
312
Ver el capítulo 15.
333
Lo cierto es que las personas adultas del Grupo de matemáticas dialógicas
recurren a ambos tipos de procedimientos de resolución de problemas.
Conclusiones sobre la segunda hipótesis
La segunda de las hipótesis que propusimos a la hora de hacer esta tesis
era que “La distancia entre las matemáticas de la vida real y las
matemáticas académicas genera actitudes negativas que dificultan el
aprendizaje de las matemáticas.”
•
Contamos con varias evidencias de que esta hipótesis se cumple y,
ejemplo de ello son los comentarios que alguna de las mujeres del grupo
hacía al encontrase con actividades que no sabía resolver. Vemos, a veces,
en las trascripciones que las personas adultas dicen “no servir para las
matemáticas” o que “son muy difíciles”. Estos comentarios coinciden con
las aportaciones de otras investigaciones en el terreno de la educación
matemática de personas adultas y las emociones. Evans (2002), por
ejemplo, muestra el caso de una mujer, Fiona, que vive las matemáticas
con un sentimiento de “ansiedad”.313 Ingleton y O’Regan (2002), a su vez,
muestran ejemplos de personas que han tenido experiencias negativas con
las matemáticas, aspecto éste que les ha generado un profundo rechazo
hacia ellas.314
•
El papel del “tutor” en este aspecto es crucial. El efecto del etiquetaje y las
“bajas expectativas” desaniman a las personas adultas, y eso constituye
una barrera clara que dificulta, cuando no impide, el acceso al
conocimiento matemático.315 Nosotros vemos algo parecido en el recuerdo
313
“I always had difficulty with that, I didn’t enjoy it at all. School wasn’t a particularly happy
time for me anyway, so you might well find that a lot of my answers are negative...” (Evans, 2002:
86). En este estudio, Evans lo que hace es analizar el discurso desde dos puntos de vista: hace un
análisis estructural y un análisis textual. A través de ambas perspectivas ve las interrelaciones entre
la actitud hacia las matemáticas dentro del aula, y elementos como las prácticas laborales de los
padres (referencia a la clase social), el entorno familiar en el que está inscrita la persona, etc.
314
Ingleton, O’Regan, 2002.
315
“Why should he be so nervous in this learning situation? The tutor’s judgement of his ability is
unequivocal: ‘he had no idea... it would be impossible for him to pass... ther is not much hope.’
334
que tienen las mujeres del grupo de las matemáticas que hicieron en la
escuela. A menudo, los adjetivos que se utilizan para referirse a ellas
tienen un matiz negativo. Ingleton y O’Regan (2002) describen en su
trabajo varias “actitudes” frente a las matemáticas, como el rechazo y la
baja autoestima. Nosotros hemos visto que la “baja autoestima” es uno de
los aspectos que produce situaciones de bloqueo ante los problemas de
matemáticas. No obstante, estos problemas, por otra parte, cuando
aparecen contextualizados, las personas son capaces de resolverlos
perfectamente, como es el caso de una actividad sobre el uso de las
potencias316 donde la persona comprende perfectamente la idea de
multiplicar varias veces el mismo número. Sin embargo, durante el diálogo
aparecen, una y otra vez, sus bajas expectativas, que las conducen a buscar
que el profesor les conteste la pregunta.
•
En cambio, la solidaridad y las “altas expectativas” tienen efectos
totalmente contrarios: transforman las situaciones problemáticas en
posibilidades de aprendizaje y de adquisición de nuevos conceptos, así
como ideas y estrategias matemáticas de resolución de problemas.
•
Así pues, constatamos lo acertado del esquema de las dos líneas de
Ingleton y O’Regan (2002), porque hemos encontrado numerosos
ejemplos que lo confirman. La primera línea es: orgullo – solidaridad –
confianza – disposición al aprendizaje. La segunda línea es: vergüenza –
alienación – miedo – indisposición al aprendizaje. Ambas líneas dependen
de las relaciones sociales que se establecen dentro del aula.
The tutor’s negative judgement is reinforced by another student’s easy handling of the problem.”
(Ingleton, O’Regan, 2002: 98).
316
Ver anexo.
335
Conclusiones sobre la tercera hipótesis
La tercera de las hipótesis que marcamos al inicio de este estudio era que
“Las personas utilizan formas de aprendizaje basadas en el diálogo
igualitario para aprender el concepto matemático de proporciones.”
Esta hipótesis parte de una concepción del aprendizaje muy concreta: el
aprendizaje dialógico.317 Una concepción del aprendizaje que es, ante
todo, social. No se puede entender el aprendizaje como un proceso
individual, desligado del contexto donde se produce.318
•
Uno de los elementos más destacados del aprendizaje dialógico, cuya
importancia hemos señalado a lo largo del trabajo de campo, es la
“creación de sentido”.319 Ya vimos que “sentido matemático” y “creación
de sentido” son dos ideas que nada tienen que ver entre sí.320 A lo largo del
trabajo de campo se puede observar cómo las personas del grupo de
matemáticas responden de manera más segura a las actividades que les
resultan “familiares” que a las que no lo son.
•
A lo largo de la investigación aparecen múltiples casos de la importancia
de la experiencia previa (como fuente de sentido) en la resolución de las
diferentes actividades sobre proporciones. El análisis de las respuestas que
317
Flecha, 1997, 2000.
El aprendizaje dialógico es “social” en otro sentido. No sólo es igualitario e intersubjetivo,
porque supera la polémica de si es conveniente dejar a las personas participantes a su libre
albedrío, para que descubran las matemáticas por sí solas (cuando si alguien no sabe algo, es muy
difícil que llegue a descubrirlo, como está históricamente demostrado). Lo que tenemos que hacer
es aprovechar el conocimiento que han descubierto otros y, como decía Newton, “caminar a
hombros de gigantes”. Para eso, es importante que cada cual aporte su conocimiento, y que la
búsqueda del conocimiento sea una búsqueda social, compartida, y creada entre varias personas,
no individualmente, porque el conocimiento es social. De la misma manera, el aprendizaje también
es social, es la apropiación individual de ese cuerpo de conocimientos, pero esa apropiación tiene
más probabilidades de alcanzar el éxito si se hace con otras personas (que te pueden ayudar, echar
un cable cuando lo necesitas, compartir inquietudes, y despertar inquietudes nuevas, etc., como ya
mostró Vigotsky, y después de él, la línea de la psicología soviética).
319
Bishop dice que la formación formal de matemáticas debería ser, por lo menos, una formación
que aporte “algo relevante para sus vidas presentes, que para ellos tenga significado aprenderlo y
sea útil en sus vidas futuras.” (Bishop, 2000: 38). Las matemáticas tienen que motivar, estimular y
enriquecer.
320
Ver capítulo 15.
318
336
hemos analizado en el capítulo 16 son ejemplo de ello. A través de las
diferentes “interpretaciones comprensivas” podemos ver cómo las
personas participantes recurren a su acervo de conocimiento para
responder a las preguntas de la profesora. Las personas adultas razonan
siempre de lo concreto a lo abstracto. Citamos como ejemplo el uso de la
estructura “doble / mitad”, que es una de las ideas más básicas subyacentes
al concepto de proporción, y que aparece en expresiones cotidianas como
“inversa” o “al revés”.
Cuando las mujeres del grupo de matemáticas se encontraban ante un
problema que no les resultada conocido, ni tenía rasgo alguno que fuese
habitual para ellas, tendían a responder utilizando conocimientos básicos
que ya sabían, como es el ejemplo de las cajetillas de tabaco, referenciado
antes.321
Estos ejemplos muestran la importancia que tiene el uso de la experiencia
previa como fuente de sentido para entender y resolver un ejercicio
matemático.
•
Todo esto nos lleva a reflexionar sobre el contenido instrumental de la
enseñanza de las matemáticas (que es precisamente otro de los principios
del aprendizaje dialógico). Como dice Bishop (2000):
“Las investigaciones nos recuerdan que gran parte de este conocimiento se
adquiere fuera del aula y fuera de la escuela. De hecho, algunos
argumentarían que, por lo tanto, no es necesario enseñar las habilidades y los
conocimientos básicos relacionados con la alfabetización numérica en clase
de matemáticas. Pero este es un supuesto peligroso. El hecho de que gran
parte del conocimiento matemático básico del alumnado proceda de un
aprendizaje no escolar no significa que todos los alumnos adquirirán el
mismo conocimiento fuera de la escuela.” (Bishop, 2000: 41).
321
En vez de calcular 103, lo que hizo la persona participante es razonar que tenía que multiplicar
10 tres veces. Ver anexo.
337
Esto es particularmente cierto en el caso de la enseñanza de las
matemáticas: un aspecto son los procedimientos por los que se llega al
conocimiento, que pueden ser diferentes según la experiencia previa que
tenga uno (aquí es donde hablamos nosotros de “matemáticas académicas”
y “matemáticas de la vida real”). Sin embargo, lo que no se puede rebajar
son los contenidos instrumentales, como a veces ocurre en algunas
escuelas (sobre todo, de infantil, primaria y secundaria), donde en vez de
hacer un currículum académico de calidad, se aplica la llamada “vía de la
felicidad” (es decir, se rebaja el nivel de exigencia). La LOGSE se basa en
la estrategia de la adaptación curricular, teniendo en cuenta el principio de
la diferencia (en lugar de la igualdad de las diferencias). El resultado es
que, en base a dicho principio, se justifica que haya currículums menos
exigentes para unas personas que para otras, lo cual genera exclusión
educativa y social. Esta situación es muy usual en la asignatura de
matemáticas, donde muchas veces lo que ocurre es que, sencillamente, se
segrega a los estudiantes en función de si “saben” o “no saben”,
generándose un “efecto Mateo” (tal y como dice Merton, 1968).322 Desde
el aprendizaje dialógico, lo que se propone es una enseñanza sin barreras
para todo el mundo.
•
Por otro lado, otro elemento importante a destacar es el papel de la
igualdad en el aprendizaje, y no únicamente por lo que se refiere al acceso,
sino también en el propio proceso de adquisición del conocimiento. A lo
largo del trabajo de campo hemos podido corroborar que las personas
adultas utilizan el diálogo para aprender y superar las dificultades.
Hemos visto ejemplos claros de cómo la participación igualitaria, la
solidaridad, la valoración del conocimiento que tienen todas las personas
del grupo (inteligencia cultural), el dar las mismas oportunidades a todas
las personas respetando sus diferencias, han tenido como resultado una
“creación de sentido” en torno a los contenidos instrumentales referentes a
las proporciones matemáticas.
322
Merton, 1968.
338
De la misma manera, cuando han aparecido en la clase diálogos basados
no en la igualdad, sino en las relaciones de poder (manifestadas a través de
un lenguaje muy perlocucionario), entonces hemos visto como ha ocurrido
el caso contrario, es decir, las personas del grupo no han “creado sentido”
a lo que estaban aprendiendo, e, incluso, se han producido errores
conceptuales. Nosotros hemos explorado, sobre todo, la perspectiva
cognitiva.
•
Las personas que asistieron a una clase basada en los principios del
aprendizaje dialógico323 cambiaron totalmente su actitud: la solidaridad
que se generó en el grupo sirvió para que esas mujeres acabaran “tirando
del grupo” y participando activamente durante la clase para encontrar la
solución a los problemas planteados.
•
En el caso de la sesión de proporciones hemos podido ver cómo la
participación igualitaria, por otro lado, no sólo transforma las situaciones
de exclusión, sino que, además, abre la clase hacia “otras formas” de hacer
matemáticas y “otros procedimientos” que, como hemos visto líneas más
arriba, son totalmente válidos (me estoy refiriendo aquí a la distinción
entre las “matemáticas académicas” y las “matemáticas de la vida real”).
•
Por todo ello, es muy importante la actitud que se mantiene en la clase.
Cuando alguien de la clase (sea la profesora, sea alguna compañera) se
sitúa por encima del resto de personas del grupo aparece, entonces, un
desnivel que no resuelve las dificultades y genera rechazo.324 Nosotros
hemos visto que se produce algo parecido a través del análisis del efecto
perlocucionario o ilocucionario de los actos de habla, tanto de las mujeres
del grupo, como de la profesora. Cuando este acto de habla es
perlocucionario, y parte de una situación de desnivel, no da lugar a la
reflexión colectiva, ni a la aparición de nuevas formas de resolver un
323
324
Flecha, 1997, 2000.
Algo que han confirmado diversas investigaciones. Ver Ingleton y O’Regan, 2002, por ejemplo.
339
ejercicio, al margen del procedimiento “académico”. Esto es lo que vemos
en el caso de la actividad sobre los folios, ya referenciada. En cambio, en
un entorno de diálogo igualitario ocurre todo lo contrario: todas las
personas intervienen y “construyen” las ideas matemáticas conjuntamente.
Lo cual, además, les da todo el sentido, porque todas las personas acaban
por “apropiarse” dichas ideas y hacérselas suyas.
Perspectivas de futuro
Hemos visto que existen varias investigaciones precedentes que estudian
la existencia de la brecha que nosotros afirmamos que existe entre las
“matemáticas académicas” y las “matemáticas de la vida real.” Incluso,
algunos autores señalan el impacto que generan esas “matemáticas
académicas”, más formales, sobre la expectativas y la confianza que tiene
cada uno en sí mismo.
La innovación de esta investigación se encuentra en reconocer, mediante
el análisis, que existe la capacidad de las personas adultas para superar esa
“brecha” y hacer matemáticas.
Estamos convencidos que las cuatro dimensiones que hemos señalado
están interrelacionadas de una forma mucho más estrecha de la que
aparece en esta tesis. Los estudios actuales que se están realizando en la
educación matemática van en la misma línea.
El debate social que despierta el concepto de numeracy (frente a math
literacy), el papel del contexto en la matematización, el cómo análizar
más los elementos exclusores dentro del aula para mejorar la calidad del
currículum y de los aprendizajes, el análisis exhaustivo de las tecnologías
como soportes para el aprendizaje, el rol del género, el análisis sobre las
minorías, la exploración detallada del alcance de la dimensión
instrumental para saber cuáles son las habilidades básicas y cuáles no, son
340
temas de estudio en torno a los que se está trabajando en la actualidad y a
los que esta tesis no ha podido dar respuesta.
Se abre aquí, pues, un camino para continuar con la investigación en años
venideros.
341
342
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371
372
ANEXOS
373
374
En las páginas siguientes se adjuntan algunos modelos correspondientes tanto al
trabajo de campo, como al análisis realizados durante todo el estudio. Primero se
ofrecen dos fragmentos del diario de campo. A continuación se incluye la
trascripción de la tertulia comunicativa, seguida de una de las entrevistas en
profundidad que se hicieron. Después, se puede encontrar la misma entrevista,
codificada según las categorías de la matriz que definimos en la parte de la
metodología. Finalmente, se adjunta también la trascripción de la sesión de
actividades gravada en vídeo digital.
375
EJEMPLO DEL DIARIO DE CAMPO
fragmento 1
(.../...)
GRUPO DE TRABAJO – 23/10/01
Nos hemos reunido el grupo de mates en el OMNIA. Son todo mujeres. Nos
hemos distribuido en dos grupos de tres personas (por ordenador) y tres grupos de
dos personas. Primero he introducido el tema, especificando que el motivo de
reunirnos es trabajar sobre el tema de las matemáticas, buscando aspectos que nos
interesen (he puesto el tema del euro como ejemplo). He dicho que el interés de
este grupo es buscar temas que nos interesen, y entonces ver de dónde proceden,
cuál es su historia, cuándo aparecen por primera vez, qué diferentes caminos hay
para resolver los problemas, qué hemos aprendido, cómo lo hacemos. Entonces he
preguntado si alguien había tocado antes un ordenador. Dos personas se han
animado y me han dicho que sí enseguida, y después algunas otras también han
dicho que alguna vez habían ido al OMNIA a hacer cursos u horas de
autoformación. Pero hay varias personas que no han tocado nunca los
ordenadores. Yo les he dicho que las primeras clases estarán destinadas a aprender
a utilizar el ordenador, porque lo que haremos será que ellas mismas harán las
actividades matemáticas, y entonces utilizarán el ordenador como una herramienta
para escribir, dibujar, hacer páginas web, buscar información, etc. Para empezar
les he explicado cómo funciona el ordenador: he puesto la metáfora del armariofichero, con un dibujo explicativo en la pizarra, y después les he explicado cómo
se organiza la información, que es la c:, la a:, y la d:, y dónde vamos a guardar
nuestra carpeta (haremos una carpeta dentro de “participantes”, que se llamará
“grupo mates”, y dentro cada cual tendrá su propia carpeta). Yo he percibido que
la gente estaba muy atenta, y han mirado dónde estaba la disquetera cuando lo he
señalado, y me han seguido con interés. Entonces, una persona ha comentado que
el otro día hicieron el Clic en clase, y me ha preguntado dónde estaba: yo se lo he
dicho, y enseguida todas se han animado y hemos entrado en el Clic y hemos
estado veinte minutos haciendo una actividad de fracciones. Las mujeres del
grupo han hecho dos tipos de preguntas: 1) preguntas de contenido, no se sabía
qué se tenía que hacer, y yo lo he explicado en cada caso particular (me he ido
pasando de ordenador en ordenador); o no se entendían conceptos (y entonces los
tenía que explicar, por ejemplo, la asociación entre la división horaria en 24 horas
y la representación de fracciones); y 2) dudas respecto del uso del ordenador, que
han sido las más apremiantes, porque la gente no podía tirar adelante ni avanzar
en la actividad.
Luego, hemos entrado en Internet y les he explicado dónde está y cómo se busca
nuestra página web, y les he contado cómo funciona y qué pueden encontrar allí
dentro. Me han preguntado qué tenían que hacer con ese programa y les he
explicado que es su caja de herramientas para aprender matemáticas. Lo del forum
les ha gustado, porque han visto que no necesitan ir cada día para tener acceso a
toda la información. Eso les ha gustado a todas.
376
Luego hemos quedado que el próximo día nos haremos una cuenta en Internet de
correo-e, y luego elegiremos temas para trabajar. Los comentarios han sido
positivos, les ha gustado mucho. Yo les he explicado también antes de salir que
aprenderemos a utilizar el programa para escribir (el Word), el de dibujar, etc, a
medida que lo vayamos necesitando, y yo me iré pasando por las mesas para
explicar dónde está y cómo se utiliza.
(.../...)
fragmento 2
(.../...)
GRUPO DE TRABAJO - 03/12/01
Hoy han venido 6 personas: J, B, A, An, M y R. M y G me dijeron el otro día que
iban a ir a las tutorías de mates, que coinciden a la misma hora. Y A y An también
han ido a las tutorías. La gente que nos hemos quedado, nos hemos dedicado a
hacer los ejercicios del tema 3, sobre las dietas. Hemos estado con las dos
primeras actividades, que iban de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con
números decimales. R ha descubierto la utilidad de la calculadora del PC para
hallar los resultados, mientras que B y M estaban haciéndolo en papel, con la
ayuda de J, que se ha quedado con ellas explicándoles los mecanismos para hacer
las operaciones. J mismo me ha explicado a mí como hacer la división entre un
número decimal menor que 1 (0,24, para ser exactos), y me ha dicho que al
número del numerador, se le añaden tantos ceros como cifras haya detrás de la
coma del denominador, y después de hace normalmente la operación. También me
han explicado como se hace la prueba del 9 para ver si una división está bien
hecha. Se cogen los números del numerador y se suman, descontando los nueves.
Después se hace lo propio con el denominador y se hace otra cosa que no me
acuerdo ahora mismo. Joan me ha dicho también que me enseñará a hacer las
divisiones de otra manera que es mucho más fácil. Y hemos acabado así, porque
ya era la hora de clase.
(.../...)
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EJEMPLO
LA TERTULIA COMUNICATIVA
TRANSCRIPCIÓN DE LA TERTULIA DEL MIÉRCOLES 23 DE ENERO DEL 2002
Personas participantes: 8 personas del Grupo de matemáticas dialógicas.
Entrevistador: Javier Díez
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E.- Probando... probando...
(.../...)
E.- Bueno. Os explico. He preparado una serie de cosas de... para orientar un
poco la discusión. Entonces, bueno, la idea que tenía yo para empezar es que me
podáis explicar un poco si habéis tenido la oportunidad de estudiar matemáticas
en el colegio, si es la primera vez que estudiáis matemáticas, es decir, un poco la
experiencia... la experiencia previa que tenéis...
P1.- Yo no he tenido nunca la oportunidad de ir al colegio, solamente lo que
llevo en este colegio, y en verdad pues sí, a mí me gustan las matemáticas, pero
claro... siempre partiendo de la base que le puedas dedicar tiempo, también. A
parte de lo que se hace aquí, en la clase, también repasar en casa, porque si no...
es poco tiempo, y no se coge todo lo que se tendría que coger, no?
P2.- Yo lo mismo. Yo aprendí lo de las matemáticas pues aquí, porque yo de
pequeña no me acuerdo de... sí, de la base, de si sabías sumar, restar a penas, y
dividir nada. Lo que he cogido a sido aquí, de mayor... Por cierto me gusta pero
es lo que dice también P... También tendríamos, que yo no lo hago, hacer un
repaso en casa. Sería estupendo.
E.- Y ¿todas estáis igual?...
P3.- Yo había ido de pequeña al colegio, pero, vagamente lo que me acuerdo, a
parte que tenía la mala pata que cada poco me cambiaban de colegio, es que las
matemáticas que yo recuerdo que me enseñaban eran: sumar, restar, dividir,
multiplicar, los quebrados... pero siempre lo mismo. O sea, si estábamos con el
tema dividir, me acuerdo que era dividir, dividir, dividir... claro que era de
memoria y de cabeza lo hago, vull dir, con nada, no?...
E.- ... Ahá. Y que...
E.- Y qué era, ¿dividir de cabeza, u os ponían un montón de...?
P3.- ... de problemas... ¡Estábamos todo el día haciendo divisiones! Que tocaban
divisiones, pues todo aquel año divisiones; divisiones por decimales, pues todo
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aquel año divisiones decimales... Vull dir, jo, m’enrecordo… era muy monótono,
muy pesado... muy, no sé. Ahora las encuentro más amenas, porque son más
variadas...
P4.- ... más variado...
P3.- sí, difícil... bueno, para hacer la operaciones y tal, pero... son más divertidas:
entre el ordenador, entre que, bueno, también es competencia con los hijos, que
saben hacer eso, y tú también, y aún coges las cosas con más ganas, y sí que
realmente que si te gustan, las aprendes. Ara, si ya dices qué pesadas que son las
matemáticas, pues...
P5.- Pues yo también estoy mal. No he estudiado más porque no me ha dado la
gana... Siempre he trabajado con números, he trabajado siempre en contabilidad, y
he estudiado bastantes matemáticas, lo que pasa es que antes las matemáticas se
estudiaban de carrerilla...
E.- ¿...de carrerilla...? ¿Y cómo es eso de estudiar matemáticas de carrerilla?
P3.- Dos por dos... vull dir...
P4.- ... lo de siempre...
<muchas voces>
P5.- ... luego a lo mejor te ponían en fila, y te decían, pues a lo mejor el 54 más 9,
y no, no, porque te iba: plam <gesto de azote con la mano>, o sea, tenías que ir
contando de cabeza, y rápido, rápido, rápido, rápido. O sea, cada vez tenías que ir
cogiendo más velocidad... Y no te decían del multiplicar 3 por 3, por qué son 3
por 3, sino que 3 por 3 son 9, y son 9 y se acabó.
P1.- Yo me pasó igual. He aprendido a sumar, a restar, a multiplicar y a dividir. A
los quebrados, ahí ya me salí <del colegio>, ya no, ya no... Y ahora este trimestre
lo he empezado con más ganas, porque el otro estaba perdida... Yo decía, a ver si
el Javi pasa de tema... <se oyen voces de fondo> ... y el otro tema me sale mejor,
porque es que no me entero de nada, sí es verdad, porque es que no me entero de
nada, y me gusta, pero lo veía tan difícil, y decía, “que pase de tema, que pase de
tema, va es igual”. Yo vengo más por aprender lo que pueda aquí, porque en casa
no tengo tiempo. Lo que pueda aquí, y lo que se me vaya quedando aquí. Y ahora
estoy muy contenta porque ahora lo poquito que vamos dando, fíjate que bien lo
entiendo <se oyen risas de fondo> pero es que antes que no me enteraba de nada,
y ya digo, estaba deseando que, hala...
P3.- Y también que uno mismo aquel día pues no tiene ese día para nada... te lo
explica uno, te lo explica el otro, te lo explica el otro... Y al final, el último pobret
que dice, con dos palabras, y te has enterado.
P4.- ... es verdad...
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P3.- ... y es porque es a base de darles, y darles, y darles, y probarlo tú, y haciendo
tus pequeñas chuletas, y esto va con aquello... pero claro, no tenemos la cabeza
que tiene la juventud... que tienen más memoria, no tenéis tantos problemas...
P4.- ... claro, lo que pasa es que la gente joven sólo tiene los estudios, pero
nosotros, pues claro... Yo en mi caso, desde luego, lo que pasa es que tuve la
suerte que mi padre sabía bastante, y era de aquellos señores de aquellos entonces
que reunía a los vecinos y a los hijos de los vecinos, y en una mesa así nos ponía a
hacer cuentas... Y aprendí a sumar, aprendí a restar, a multiplicar y a dividir. Pero
lo que dicen ellas. Ahí se acaba.
P3.- Sí, sí... Yo hice más, pero siempre de lorito...
P4.- Bueno, porque tú eres más joven que yo... y claro... Yo fui al colegio...
P3.- ... <a la vez> pero claro, reconozco que no es como ahora...
P4.- ... Claro, pues es que la enseñanza, la enseñanza no era igual...
E.- ... ¿Y cuál es la... qué diferencia veis, qué... o sea, si tuvierais que diferenciar
entre las matemáticas que aprendisteis de pequeñas y las matemáticas tal y como
las habéis visto ahora aquí en la escuela...?
P4.- Pues eso, son muy diferentes, son muy variadas, son muy variadas...
P3.- Yo veo los problemas, por ejemplo, y venga, ya los haces, porque te han
entrado. Antes no. Antes era, no sé... siempre le veías...
P4.- ... siempre lo mismo, siempre lo mismo...
P3.- ... y lo hacer de otra manera, vull dir, claro, son unas matemáticas muy
diferentes. O sea, si no lo sabías, si aquello no te entraba, pasaban de ti
olímpicamente. No es como ahora, que vienes a repaso, porque es que mis hijos,
sobretodo el pequeño (vaya joya), va a repaso, pues claro. Ya le dan... o a lo mejor
tiene profesor, o tiene tutorías, que antes la tutoría no estaba ni por asomo. Antes
iban los de tercero, los de cuarto, los de quinto, los de octavo, todos a la misma
clase...
P4.- Sí que es verdad.
P5.- ... y cuando no te entraba una cosa, pues era muy sencillo para que te
entrara... copiarlo 50 veces y...
P7: ... y te lo aprendías...
<varias voces en sentido afirmativo>
P3.- Y te lo aprendías de mala gana...
P5.- ...Si, no... te lo aprendías pero no sabías qué aprendías...
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P3.- ... Exactamente.
Alguien: ... claro.
P3.- ... como un lorito. Y ahora pues es diferente porque las-en-tien-des <lo
remarca mucho al decirlo>.
P4.- Sí.
P3.- ... el profesor, depende del profesor que tengas, que es lo que hablábamos el
otro día, te motiva a que ese tema, sea matemáticas, sea globales, sea lo que sea, te
motiva a que ese tema te guste. O sea, si el profesor te motiva, tienes unas buenas
compañeras, que preguntan las unas a las otras, pues se ayudan, y se d’esto...
P4.- Eso antes no lo había: al contrario.
P3.- ... no lo había, porque a ti te veían hablar en la mesa, y de cara a la pizarra, o
al rincón, o te daban un sopapo que te dejaban sordo para toda la vida.
Alguien: ... Y tanto. Sí.
P2.- Yo, yo me parece que ahora depende mucho de los profesores. A la hora de
dar matemáticas, como todo, pero bueno, yo ahora tengo a mi pequeño, que es mi
pequeño, es un chaval, y lo es... vaya, se le han dado siempre bien estudiar. Y vino
aquí al instituto, y los dos primeros años le encantaron las matemáticas, decía, yo
voy a estudiar matemáticas, es que me gusta, uy lo que me gusta, es que me las
explica el profesor... Al tercero cambió: ya no le gustan las matemáticas porque el
profesor como no se las explicaba el no las entendía, ya cambió. Pero los dos
primeros años que tuvo un profesor que tuvo un profesor que él entendía bien las
matemáticas, él dice, mamá, dice, yo quiero hacer matemáticas.
P3.- <intentando intercalarse en la conversación> Para todo tiene que... para todo
tiene que haber...
P1.- ... y luego ya dice... ahora dice, mamá, ya no quiero hacer matemáticas... este
profesor es que no me entero de nada de lo que me dice. Y en la facultad le pasa
igual.
E.- O sea, que de alguna manera...
P6.- Yo he ido al colegio sólo dos años. De 9 años hasta 11. Y sólo aprendí a
sumar, multiplicar y restar y algo de dividir. Pero dividir cuando vine aquí ya casi
lo había olvidado. Y bueno, yo, para mí, ahora estas cosas que hacemos, como yo
no las había hecho nunca ni las había visto, pues para mí son muy difíciles.
Bueno, según que temas, porque el tema ése que hicimos ayer, el de la
multiplicación, eso sí que lo entiendo muy bien. Pero cuando esos ejercicios de lo
corchetes y los paréntesis, eso no me sale...
<varias personas>
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P4 (es la que más se oye): eso nos ha costado a todas.
P3.- Eso es a base nena... eso es a base de, primero que tengas voluntad desde
luego de... no me entero, pero yo lo quiero saber.
<Varias voces> Claro... Si hago muchos ejercicios en casa...
P3.- A nosotras nos pasaba lo mismo, con unos problemas, eh?... Y dijimos, pues
no, hemos venido a aprender, los tenemos que sacar como sea. Y llamamos a
muchas puertas: que si tutoría, que si el hijo de una, el hijo de la otra, que si el
profesor...
P6.- Yo por suerte tengo mucho tiempo libre en casa, bueno, no es que tenga libre,
es que estoy en casa y si no quiero hacer una cosa, pues me pongo a hacer otra.
Mira, yo leo los ejercicios muchas veces, y si hay algún ejemplo, pues lo hago y
me sale. Pero luego ya cierro el libro y quiero hacerlo yo, pues ya me lío, y ya
miro y ya veo que no me sale. Y mira que yo... yo de números me gusta mucho, y
empiezo desde sumar hasta dividir a ver si me sale. O sea, lo hago de todas las
maneras, pero encuentro que es muy difícil, sobretodo las ecuaciones y eso de
los... los paréntesis, corchetes, es que es muy difícil para mí.
<Varias voces> Para ti y para todas, para ti y para todas.
P6.- Y lo quiero aprender, y ahí días que se me queda más, porque yo por
desgracia soy muy nerviosa y el día que estoy muy nerviosa, no me entero de
nada. Luego voy a casa y yo sola pues digo ¡oh! pues qué sencillo que era, pues sí,
y lo hago. Pero aquí no me entero de nada, porque es que no, pero vaya, que me
gusta mucho, si por voluntad no...
E.- Entonces fijaros...
<Varias voces> ...
P6.- ... me costará más que a otras...
P4.- Bueno...
P3.- También hay que pensar que nosotros tampoco no tenemos 16 años...
P6.- ... pero es que a mí las matemáticas me gustan mucho, las matemáticas es lo
que más me gusta, bueno, y la lengua también me gusta.
E.- Bueno, pues, fijaros lo importante que en pocos momentos la importancia de
cómo te explican las matemáticas y también la motivación de las personas que
estáis aprendiendo las matemáticas, que son quizás dos variables que son muy
importantes a la hora de que vosotras estéis bien, y con ganas, y vayáis
aprendiendo. O sea de un profesor que no se implica, y bueno, no se implica, no le
interesa explicar el motivo de por qué aquello es así, sino que sencillamente te
pone una retahíla de operaciones “venga, hazlas”, a otro sistema de enseñanza,
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pues que te lo explica, el por qué es así, te da, te va explicando los motivos, pues
esto, supongo que os motiva, no sé cómo lo veis...
P3.- Sí, porque no te bloqueas, o sea yo hablo por mi propia experiencia, que el
trimestre pasado, eh, muy bien, anava fent, e iba preguntando e iba saliendo y
vale, todo iba saliendo y bien. Entonces ha empezado este trimestre que no te lo
pierdas, y el primer día bueno, no me enteré, no me enteré de nada porque, bueno,
te levantas y te vas o lo dejas para otro día. ¿Por qué? Porque yo pienso, pues, que
tanto las matemáticas como, lo que sea, lo que sea que estés enseñando, o sea, a
mí me parece muy bien, toda esta escuela de adultos, que nos estáis enseñando...
muy bien, nunca sabréis lo que estáis haciendo por nosotras, pero ya no sólo en
el... en el sentido de que nos enseñan, sino pues decir, a pues mira, pues conozco a
otra gente, que a veces nos parece que nosotras pues somos las únicas o que
estamos solas, o que tenemos problemas, o que de esto no salimos, o que estamos
gordas, en fin, mil cosas... Entonces vienes aquí y es un poco como la válvula de
escape.
P4.- Sí. Para mí, yo me apunté al colegio por eso, como una válvula de escape.
P3.- Entonces tú vas a una clase que hay un profesor, que, eh... a su manera de
ver, y yo he tratado toda la vida con personas desde los 14 años que estoy de
dependienta, que explica un poco las matemáticas como antes nos las explicaban a
nosotros cuando éramos pequeñas, entonces ¿qué pasa? Que a mí se me bloqueó,
es decir: ¡ah! Punto, aquí me planto. Yo me fui con el pensamiento de plantarme.
Me planto. Si no me lo dan, no me lo dan... me entiendes. Parece ser que la cosa
se ha solucionado. Pero yo aquel día es que, ¡no! Yo venga a escuchar, decía, me
levanto y me voy...
P5.- Llevas toda la razón...
P3.- ... y eso no es así. O sea, no es así. Cuando tú estás enseñando, tanto a un crío
como a una persona mayor, porque mi hija es maestra, y yo se lo digo, y menos
mal que ya le sale de dentro, cada criatura es un mundo, cada persona es un
mundo. Hay uno de listo, pues vale, muy bien, que bien lo haces, pero si hay otro
que no funciona tanto, pues échale una mano...
P4.- ... hay que ayudarle... sí que es verdad...
E.- O sea, hay que buscar un poco la manera de cómo llegar...
P3.- Entonces, a las personas mayores pues pasa exactamente lo mismo. Nosotras
lo entendimos porque a base de darle al martillo... Había dos o tres señoras que no
lo entendían, pues particularmente pasé del profesor, y se lo expliqué a aquella
señora...
P4.- Muy bien, muy bien...
P3.- Ahora, si vamos a estar aquí: ¡Oye, no copies!, como cuando yo era pequeña,
entonces me voy porque la verdad es que no me hace falta venir aquí.
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<algunas voces de fondo>
P4.- Cuando la gente mayor tenemos ilusión por venir, entonces venimos...
P3.- ... es que yo no lo entiendo. Y la pobre mujer acomplejada porque nosotros lo
entendíamos y ella no. No. Es a base de haberse mantenido, de ser (...) he llamado
a la otra (...) y ahora esto, y ahora aquello...
<se oyen varias voces de fondo a la vez>
P5.- ... ves a la L... y enseñar lo mismo, pero dándole la vuelta para entenderlo. Si
de aquella manera... o sea, hay que ir buscando las maneras... no se ha de explicar
siempre igual para todo el mundo...
E.- y si os fijáis otra, otra... <entra la séptima persona de la tertulia y mientras
tanto se corta el hilo de la conversación>
P5.- <continua hablando de fondo> ... y las matemáticas es una ciencia que se
puede explicar las cosas de mil maneras... y es la única que se puede explicar de
mil maneras que vas a parar al mismo sitio.
P4.- Sí, es verdad, ¿eh?
<Otras voces de asentimiento>
P2.- O poniendo ejemplos que contacten con lo que se está haciendo, que entonces
también lo coges más fácil. Si pones ejemplos, esto así como a veces tú nos lo has
puesto, ejemplos, pues claro, entonces ya te da más idea de aquello. Te enteras
más. Yo para mí el punto más importante de todos es que te motives. Para mí.
P3.- ... Que el profesor te dé ganas de seguir con las matemáticas...
P2.- Eso es, y que dé ese punto de apoyo y que esté con todas las personas, porque
habemos más torpes, por ejemplo, como tú ya has dicho, pues que insista, pues
así, o asao...
<Varias voces> ...
P3.- No es que haya más torpes... es que aquella persona, particularmente la de
ayer, se ponía nerviosa porque pensaba que éste me va a soltar un “miquel”,
porque, porque ya lo había hecho anteriormente. Pues no, yo mira, yo lo he
entendido así, la L me lo ha explicado, y anem fent, y yo me he sacado bien mi
problema...
E.- Y fijaros que hay otra cosa muy importante que lo ha dicho M y tú también lo
estás diciendo y lo habéis dicho todas, que es el hecho de ayudarnos, no sé,
cuando tienes un problema, normalmente lo que haces es preguntar a la persona
que tienes al lado, “oye”...
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P3.- Ya no sólo eso, porque hay personas... yo me he encontrado, yo me he
encontrado... ahora no porque mira, ya como aquel que dice ya he perdido la
vergüenza, pero hay mucha gente que porque que porque le dé apuro decirle, oiga
es que no... pues a lo mejor porque los demás pensaran, pues que burra es ésta,
pues si se lo ha explicado cincuenta veces y no se ha enterado... entiendes... Y hay
personas que no gosarán a dir que no lo han entendido...
P4.- De todas formas no todas las personas tienen la misma capacidad... Tú por
ejemplo tienes a tu hija que es maestra, la otra tiene... tiene... el hijo y la hija que
la ayuda, la otra tiene el hijo, la otra... hay personas que no tienen a nadie...
P1: Yo no tengo a nadie.
P4.- Yo si tuviera a mis hijos en mi casa, yo tengo una nuera que es maestra. Si
yo, no porque ella siempre está haciendo cursillos y cosas, y no puedo...
demasiado, madre mía, y los críos, no puede, pero yo si la tuviera a mi lado, yo
me creo que a mí sí que me lo decía, estoy segurísima, y es nuera...
P3.- Sí... y a nosotras también. Pero lo que quiero decir es que cuando se está
haciendo, él, o el otro profesor, o quien sea, el profesor que está haciendo
aquello... a veces que uno se bloquea, y dice, ¡coi! pero si dos por dos es cinco,
pero mujer, que no te das cuenta que es cuatro, y la otra pues... que en aquel
momento pues te bloqueas...
<varias voces>
P3.- ... en cambio, si tienes una persona al lado, o quien dice, no sé... a lo mejor
no, pues esto es aquello: ah! Vale.
P7.- Para mí las matemáticas es cuestión de entenderlas. Hay quien las borda las
matemáticas. Las entiende de seguida. A mí me cuesta mucho. Entonces las
matemáticas...
E.- A ti y a mucha gente.
P3.- Es un mérito a su edad y estudiar matemáticas, ¿eh, guapa?
<Voces de fondo>
P3.- Diga la edad...
P7.- Sí, hacer las matemáticas... Pero si es que no las entiendo... (...) que estoy en
tercero, y seguiré en tercero, y seguiré en tercero...
P3.- Y no se mueva, no se mueva, ni se mueva...
P7.- <simultáneamente> Las matemáticas no es lo mío.
P6.- Pues a mí, a mí me parece que algunos profesores, algunos, no todos, eh?
Pues siempre ayudan al que más sabe. Y al que menos sabe lo dejan. El
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compañerismo siempre pues no es igual. Pero hay personas que saben, y tienen la
compañera al lado que está con un problema que a lo mejor son saber y la otra
pasa de ella... no todas,
<Varias voces de desacuerdo>
P6.- ... el caso de ¿ está muy claro y eso está muy mal. Porque el que sabe tiene
obligación de enseñar al que no sabe.
P4.- Yo no creo que pueda pasar eso, oye, porque yo soy muy torpe, y me molesta
preguntar...
P6.- No digo si en esta clase pasa a lo mejor y en otra...
<Muchas voces, no se entiende lo que dicen>
P3.- ... yo primero resuelvo el mío, porque claro, si tú no lo sabes, no ...
P6.- ... claro, no puedes enseñárselo ha otro...
P4.- Es que cuesta mucho de resolver. Pero si te empiezan a hablar por un lado y
por el otro, pues no te enteras. Es lo que digo yo, vamos a ver si lo saco, y
después, ¿eh? Porque si te empiezan a hablar... es que, es que es así la cosa, y ya
está.
P3.- Hay que estar muy volcados, hay que estar mucho por las cosas.
P4.- ... Claro, hay que estar mucho por las cosas, y claro...
<Voces de fondo>
P6.- Y yo, otra cosa que quería decir, yo he venido, yo vine al colegio la primera
vez, porque me pasaba una cosa muy rara, cada vez que iba al banco a sacar
dinero, no podía firmar. Porque mira, me temblaban las manos, una barbaridad.
Cuando vengo al colegio, que vine allá a certificado, le digo a la R: yo me pongo
sola en una mesa, dice, ¿por qué? Porque mira, a mí me tiemblan mucho las
manos, digo, y yo no soy capaz, con tanta gente que me mira, digo, nada...
P7.- ... los nervios...
P6.- ... y me puse el primer día y al segundo, P, esta no, la otra, me decía, pero
vente al lado mío, y yo decía ¡ay no! que yo no, me voy a... Y bueno, así como a
la semana y así ya me puse con la gente. Y entonces ya lo que he visto es lo que
yo he adelantado en mi seguridad, que ahora voy a firmar y no me tiembla la
mano, y tengo más seguridad, y en eso sí que...
<Varias personas asienten>...
E.- Es que este es uno de los temas importantes...
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P6.- ... y yo vine por eso a la escuela, porque digo, porque, ¿oi? porque si no va a
llegar el día en que no me voy a mover de, de... casa, porque entre tantos
complejos y tanto... nervioso pues nada. Y por eso más que nada me... Y por
aprender, porque...
P4.- Pues claro, porque es que aunque nos parezca que no, aprendemos. Siempre
te queda algo, siempre.
P6.- Sí algo se aprende.
P4.- Siempre. Aquí mi vecina siempre está porque yo no sé, porque yo no lo sé,
pero ella tiene sus cosas bien hechas. Y siempre está, porque no me entra, porque
no lo sé... <risas>
P7.- Nos acomplejamos nosotras mismas.
P2.- No me da vergüenza de decirlo: a mí, soy muy dura de mollera, yo, me cuesta
mucho entenderlo, tanto en matemáticas, como en lengua y en lo que me digan.
Soy muy cerrada de mollera <voces de desaprobación y comentarios varios>
E.- Sí, pero una cosa importante al venir a la escuela es romper todos estos
complejos, entre todas...
P3.- Pero, pero... tenéis en mente, es el que lo quiera hacer, el que lo quiera
aprender, me cueste lo que me cueste, y aquí yo...
P4.- Pero si es lo que le digo yo...
P3.- ... y aquí hay que echar la carne al asador. Esto es un punto.
P2.- Pero ¿tú sabes lo que es desvelarte a media noche y estar sin dormir? Porque
eso no lo entiendes...
P3.- Si ya lo sé, si ya lo sé...
<Varias voces en alto>
P1.- Eso me pasa a mí.
P5.- Estuve dos semanas, haciendo un problema...
<Muchas voces en alto>
P8.- Mira, yo me leo las cosas, y ya me las puedo leer trescientas veces, porque es
que no las comprendo. A ver lo que dicen... no las comprendo.
P5.- Pero bueno, cada persona es como, es como es...
<Varias voces>
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P8.- Hombre, algo se queda... pero es que no se te va a quedar como a una de
veinte años.
P3.- ... pero a ver, yo cuando empecé a venir, no tenía tanta memoria como ahora.
A ver, un poco más de memoria...
E.- ... es diferente el aprender cuando eres mayor al aprender cuando eres joven...
es muy distinto, es muy distinto...
<Varias voces>
E.- ... porque tampoco tienes otros problemas...
<Varias personas hablan a la vez>
E.- Bueno, ¿os puedo hacer otra pregunta? Eh, a ver ¿vosotros cómo habéis visto
esto del curso de matemáticas por ordenadores?
Varias personas.- Muy divertido. Pues eso está muy bien. A mí sí que me ha
gustado. Lo que pasa es que es eso...
P7.- Lo que pasa es que hay que entender el ordenador también y hemos venido
muy pocos días.
P6.- A mí me gusta mucho las matemáticas en el ordenador. Ayer lo que hice me
encantó. ¡Uy! es muy bonito. Lo que pasa es que ayer es muy sencillo, porque
claro, como ahí están las soluciones vas buscando, vas buscando, y alguna será.
<Risas>
P4.- Ah, no. Pero eso no tiene gracia. Entonces no.
P6.- Hombre, no tiene gracia, pero quiero decir, que si alguna no sabes, pues
tienes la solución, pero claro...
P4.- ... no, pero pasar, vale más preguntarlo...
P6.- ... no pasarlo, lo que quiero decir es que si es un ejercicio de siete números,
pues tú vas haciendo. Vas haciendo lo que te parece que está bien. Pues está bien.
Y si hay alguno que se pone pesado, pues claro...
P7.- ... ¡coges el ratón!
P6.- ... y hala, y alguno tiene que ser...
P4.- Pues yo no, ¿eh? Yo le digo, Javi, échame una mano.
P6.- Tú eres tú, pero yo no sé...
<Varias voces>
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P4.- El primer día que estuve con ello lo pasé fatal... ¡oiii!... estaba...
P6.- Lo que te quiero decir es que es como un juego, es muy divertido.
P7.- Porque lo han tocado mucho. El que haya estado trabajando mucho, pues...
<Varias voces>
P1.- ... y este año me apetece mucho... Así es que yo, los primeros días salía con la
cabeza así que yo le decía a mi hijo pequeño, entre la cabeza que es que no lo
entiendo y el ordenador, y que mamá no tienes el graduado...
P4.- ... es que a nosotras también nos pasaba lo mismo los primeros días, pero
ahora ya, vamos cogiendo un poquillo más...
<Varias voces>
P3.- ... no puedo parar... de los nervios, y ahora digo, pues mira, el ordenador me
gusta y si puedo venir a la clase pues, tantas horas.
E.- Sí, claro, es que es mucho <se refiere al hecho que empalman la clase de
ordenadores con la clase de matemáticas, que son 4 horas seguidas.>
P4.- Claro, quien tiene hijos en casa y eso...
E.- Eh, fijaros... Una pregunta, imaginaros que ahora hacemos una clase de
ordenador, pero que yo no estoy allí, que estáis solas, ¿cómo os parecería?
Varias voces.- ¡Uy, qué disparate! Yo no sabría... nada...
E.- Una de las cosas importantes que habéis dicho es el papel de que esté una
persona pues, orientando, o ayudando, alguien de referencia a quien preguntar...
P4.- Por eso el ordenador de casa no lo tocas.
E.- ¿Vosotras veríais que hubiera un profesor virtual allí en el ordenador y que le
apretaras encima y saliera hablando? ¿Cómo lo veríais eso?
P6.- Pues que no, porque si hay un profesor dentro, y hay una cosa que tú le
apretas y te dice: “esto está mal”, “error”...
P8.- ... “Vete a tal sitio”...
P6.- ... pues mira que bien, entonces no necesitabas un profesor fuera. Porque ya
te lo iba diciendo él. Eso está bien. Eso es tener un señor... como se mete en los
programas...
P4.- ... porque te puedo hacer una pregunta a ti, y tú me la contestas directamente,
me contestas con otra pregunta y ya me obligas a pensar. El de la pantalla no.
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P8.- Ya te dice si está bien o está mal. ¡Mira cómo te avisa, cuando haces una cosa
mal!
P4.- Pero no es lo mismo, él...te puede responder con otra pregunta, y me obliga a
pensar. El otro ya me dice la respuesta y ya...
P5.- Claro. Yo también encuentro que es mejor... no sé...
P6.- Hombre, pues el otro también es muy listo porque si tu haces un ejercicio,
hasta que no está correctamente no te dice “está bien”. O si está mal... Si está mal
te dice “error”, “error”, y hasta que no... como ayer el puzzle, que anda que no me
costó a mí hacerlo, porque no... no lo daba hecho...
P2.- ¿Pues no era poner los números, solamente? ¿O había que hacer el puzzle?
P6.- No, era un puzzle, mmm, de dibujos. Sólo ponía números enteros, y luego...
P2.- ¡Ah, no! Yo cuando tuve “números enteros” lo pasé, y ya está...
P6.- ¡Ah, no! Pues yo el puzzle ese lo intenté hacer, ¡y lo hice! Pero, me costó
mucho. Y hasta que no... yo decía: ¡pues ya está hecho!. Pero no, decía: “Resolver
el puzzle”, y yo, me cago en la le... <risas de fondo> “Resolver el puzzle”, ¡pues
si ya está resuelto! Y hasta que no estuvo, no dijo, pues igual, el ordenador es
bastante listo...
P4.- Lo que pasó es que pasó sin hacerlo... <con ironía>
P6.- No, yo puse, mmm... porque luego cuando ya lo tuve hecho dije, ¡ya está!
Una voz.- Claro! <de asentimiento>
E.- O sea, que una cosa importante en los ejercicios de ordenador es que tengáis la
solución allí puesta, además de que vayáis preguntando y así, pero que en
cualquier momento vosotras mismas podáis decir, pues mira, sabes qué, voy a
mirar si esto lo he hecho bien, lo he hecho mal, y a ver... Y en todo caso tener una
persona a quien preguntar, ¿y esto por qué es así, y esto cómo se hace?...
P8.- ... El inicio, saber a dónde tienes que ir...
E.- ... También...
<Varias voces a la vez>
E.- Y una cosa ¿el ordenador os ayuda a pensar? ¿No? ¿Y por qué no os ayuda a
pensar?
P8.- Pues yo que sé!
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P4.- Porque ayuda más a pensar un libro que no el ordenador <se oyen dos
conversaciones a la vez> te acabas perdiendo... acabas buscando y cogiendo,
buscando y cogiendo...
P5.- Es que no es tan sencillo. Bueno, claro, para quien sabe utilizar el ordenador
es más rápido, pero... para el que no sabe...
P4.- ... pues con el tema que, que... buscas, tardas...
P5.- Claro.
P4.- En cambio si coges la enciclopedia y buscas lo que buscas, pues lo
encuentras rápido. Y el ordenador que si te vas aquí, que si te manda allí, que si te
vas para el otro lado...
P5.- No, pero si el que sabe bien no hay ningún problema... Ahora, la que no
sabe...
P4.- ... que si entras en Internet, que si marcas la d’eso, que se te ha colgao, que si
ahora espera, que si... Vas a la biblioteca, coges el libro, no se cuelga nunca, pum,
ves qué fácil es...
E.- Entonces, así, para aprender más matemáticas con el ordenador, ¿qué
consideráis que os ha ayudado? Es decir, ¿qué cosas creéis que se pueden hacer
con el ordenador? O sea, hay cosas de aprendizaje que se hacen en clase, por
ejemplo comentar con el profe, o con las compañeras... en cambio con el
ordenador seguro que tiene que haber otras cosas...
P6.- Pero es que yo creo que lo que deberíamos hacer cuando venimos a hacer
matemáticas del ordenador, pues es coger y lo que sale en el ordenador y tú lo vas
haciendo, después apuntártelo para tú saberlo luego... porque si tú haces los
ejercicios, y como no los haces y no los copias, pues no sabes lo que has hecho...
P4.- Pero no lo hacemos porque no lo hacemos, pero se puede hacer...
E.- Ah, pues mira, pues eso lo podemos hacer...
<Varias voces a la vez>
E.- ... pero el trimestre pasado sí que lo hiciste, que te lo vi en la libreta...
P1.- Sí que lo hice, sí, Javi. Puse “matemáticas por ordenador”, y te entregué la
libreta...
E.- Pues mira, una cosa que puedo decir todos los días cuando haya grupo de
matemáticas es decir, pues mira, las personas que quieran, que lo vayan tomando
en la libreta y que me lo entreguen después el día 15 de marzo...
P6.- ... De momento van saliendo cosas fáciles, pero hay luego según qué cosas
que ya es más difícil, que ya tienes que ir pensando...
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P4.- Lo de ayer...
P6.- ... pues si tú tienes una hoja y vas apuntando los ejercicios, pues después esos
ejercicios te pueden servir para clase...
P2.- ... Pues yo creo que sí, eh, yo creo que sí...
P4.- Lleváis razón.
P2.- ... sí, sí...
P4.- ... apuntar...
E.- Pues lo puedo decir el próximo día, y así lo ponéis en la libreta de
matemáticas...
P4.- Ahora, sin saberlo tampoco no lo dejo, digo: ¡Javi, échame una mano!
P5.- Ah, no, a mí también me gusta. Me gusta...
P8.- Yo soy muy loro, yo esto yo... cuando una cosa no me sale digo, pues me
tiene que salir, y entonces pues venga, y darle vueltas, ¿no?
P4.- Se pregunta y ya está, ¿no? Aquí venimos a aprender.
P5.- ... a no ser que sea una cosa que ya no tenga ni puñetera idea y la deje pa...
P2.- A mí me parece que se aprende más haciéndolo en la libreta que por
ordenador...
P8.- Sí!... sí, sí, sí.
P2.- ... Yo bajo ese punto de vista lo veo que, cuando he venido al ordenador,
ahora mismo, con los corchetes y aquello, el último día que vine, lo hacía, y dije,
¡uy, pues mira que!... pero ¡si lo sé hacer! Pero no me preguntes cómo lo hice...
Yo lo daba y decía: pero, pues, si no es difícil... Fíjate con lo que me cuesta, y por
ordenador sí, pero no me preguntes cómo...
P4.- Por eso la verdad, por eso va bien apuntarlo, ¿eh? Lleva razón.
<Varias voces>
P2.- Si lo haces en la libreta, para mí, yo creo que te queda mejor. A mí por lo
menos.
P1.- Claro, porque son las notas que después te sirven en...
Una voz.- ... los miras...
P1.- ... recoger apuntes y luego sobre eso pues hacen ellos sus cosas.
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P4.- No, no, no... si llevas toda la razón de que es mejor tenerlo todo apuntado.
E.-Vale, ahora otra cosa, mira, mmm... ¿estamos aquí hasta las cinco?
Una voz.- No tenemos prisa...
Otra voz.- Yo puedo estar hasta las cinco y media, hasta las cinco y media no
tengo prisa.
E.- Os lo digo porque me han dicho que ahora a las cinco empieza a llegar gente,
y si luego no podemos pues no pasa nada, nos bajamos al bar... Como queráis.
A ver, ya sabéis que aquí en esta escuela hay una cosa que se llama el sueño,
entonces podemos empezar a ver cómo os imagináis la clase de mates ideal, la que
os gustaría, o sea, la que os imagináis que aprenderíais, y mucho además...
P8.- Yo te traía una cosa para preguntarte que ayer no...
E.- Sí...
P8.- Esto. Yo esto no lo entendí. O sea, lo entiendo aquí, pero en el 71... esto sí,
está hecho, pero esto... ¿tres al dos? ¿tres al cubo?
E.- Vale, ¿lo veis todas? Ayer lo estuvimos explicando... Esto es de las
potencias...
P5.- Es sumar las potencias.
E.- Mira, A te lo explica.
P5.-Es sumar las potencias y ya está. Mira, cinco y dos, poner... tres al siete. Y así
sucesivamente.
P8.- Sí, pero es que ayer, el Xavi no nos lo explicó así, por eso yo le quería
preguntar...
E.- Sí, sí, es así, es así... Fijaros, esto son potencias, ¿os acordáis? Cuando
tenemos una multiplicación con potencias con la misma base, es decir, el número
grande es el mismo, entonces los exponentes, los números pequeños de arriba, se
suman.
P8.- Yo así lo pensaba hacer, pero ayer no lo, no lo...
P4.- Y para dividir se resta.
E.- Exacto.
P4.- Y para dividir se resta.
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P5.- ... tres al siete. Aquí hay cuatro, y dos, seis y cinco, once. Pues dos al once. Y
así sucesivamente.
P8.- Ya, sí, así lo quería hacer yo, pero luego... y digo, pues voy a preguntárselo.
E.- Pues sí, es así.
P8.- ¿Es así?
E.- Ahá. Sí, sí. ¿Ves como es importante comentarlo entre todas? Porque ves, lo
que yo no sé, pues se lo comento a B, y B me lo explica si lo sabe...
P8.- Si es así, ya está.
E.- Vale, pues, no sé, ¿cómo sería una clase ideal? ¿Cómo os gustaría que os
enseñaran las matemáticas? ¿cómo creéis que os las enseñarían mejor?
Una voz.- Pues yo creo que como vas haciéndolas...
P4.- Sí, yo creo que de momento vamos medio cogiéndolas.
P5.- Cogiéndolas.
P5.- Yo para mí, lo de los paréntesis... sí eso...
P4.- Bueno, yo tampoco lo he aprendido, ¿eh? Y ya lo he hecho doscientas
veces...
P2.- Pero Javi dice que cómo para, para... hacerlo más agradable...
P3.- Pues yo diría que el temario no fuera tan grande, o sea, o has de ir a toda
prisa y se te queda la mitad abajo, o has de ir a marcha más lenta y no acabas el
temario, total que si te vas al otro nivel, y en el nivel aquel empiezas en el temario
que teóricamente has acabado. O sea que lo ideal sería que en lugar de tres meses
un temario tan largo, fuera más meses el mismo temario.
P4.- Claro.
E.- Ya, pero una cosa positiva de esta escuela es que vosotras decidís cuándo
queréis pasar, y nosotros pues vamos dando y dando siempre en cada nivel lo
mismo, y entonces cuando creéis que ya un nivel ya lo tenéis alcanzado y
asumido, pues el otro, y poco a poco... Y que tenéis toda la libertad para ir de un
nivel al otro, eso como... A ver, el objetivo aquí es aprender, aprender significa
que estéis tranquilas, y que lo llevéis todo pues bien...
P2.- No, yo de tercero... lo veo muy difícil, o sea... porque es que yo lo veo muy
difícil...
<varias voces>
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P5.- Y además como es que no he acabado de comprender todavía las situaciones,
pues volveré para el año que viene.
P3.- En el primer nivel enseñan me parece que a sumar y a restar, y en cosa de
doce meses ya te salen ecuaciones de segundo grado, o sea, es una barbaridad. En
un año aprender a nada a hacer...
P2.- Yo el año pasado estuvimos en segundo y, para qué me voy a pasar a tercero,
si más o menos sí que sabía hacer las cosas, pero tenía la cabeza como un
bombo...
E.- Pero fijaros que cuando más cosas sabéis, más fáciles os parecen las que ya
habéis hecho.
P5.- Ah, claro, una cosa que ya se sabe parece fácil, pero mientras que no...
P2.- Yo vengo a aprender, pero aunque me cueste tres o cuatro años...
P8.- Ya somos dos.
P5.- Yo creo que las matemáticas son más... difíciles, pues tendría que ser más
fácil explicarlo, pues explicarlo pues, yo que sé, la cuenta de la vieja. Si hay
números positivos y negativos, pues decir (debajo), de este a este dos, pues hale,
no sé... Ay, a ver si me explico, que se pudiera decir bien par que nosotras lo
comprendiéramos.
P8.- Pero te lo dicen hoy, y el martes que viene ya no te acuerdas. Eso por lo
menos a mí me pasa.
P5.- ... porque lo que dimos el año pasado, la multiplicación...
Una voz.- ... el mínimo común múltiplo...
P5.- ... eso, y la propiedad “comutiva”, “comutatina”, y todo eso, eso no se me
olvida, porque eso es muy sencillo, y eso de eso de dividir así el máximo común y
el mínimo común, eso tampoco se me olvida. Pero esto de... los corchetes...
<Varias voces>
P5.- ... cuando llego al tercero, ya me he perdido.
E.- De todas maneras tampoco sirve para mucho porque no lo vais a utilizar.
<Muchas voces> <Se inicia un pequeño paréntesis en el que se dice que las
matemáticas se complican y después viene el tema de las ecuaciones, y alguien
dice que hay ecuaciones con dos letras, ecuaciones de doble incógnita puntualizo
yo>
P5.- Pero bueno, aquí machacando, machacando, y yo digo como la S, si no en
dos años en cuatro.
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P4.- Como la S y muchas...
P2.- No, porque yo, a mí... yo no podía estar con mucha gente antes. O sea, yo no
he venido porque tenía que estar con poquita gente porque la cabeza enseguida se
me pone como un poco... Pero ahora, por eso no me quiero tomar las cosas,
porque si me las tomo muy a pecho, mi cabeza explota, digo: ¡anda no!, yo con
lenta... hasta que me salga bien, y lo que no, pues también.
P4.- Sí.
P6.- Pero me gustan, ahora que las voy entendiendo más, me gustan.
P4.- Claro, cuando se entienden es cuando más gustan. Claro, cuando no las
entiendes, es cuando te pones más...
P6.- Hombre, yo creo que si las personas que no le gustaran las matemáticas, yo
creo que vendrían, aprenderían a sumar, restar, multiplicar y se marcharían.
Porque después ya la cabeza tiene que sacar mucho. En cambio, si te gustan,
aunque tú no las entiendas, tú vienes porque te gustan, y quieres aprender más, y
más, y más <con gesto sobre la mesa para indicarlo con más expresividad> hasta
que aprendes. Pero las que no les gustan, pues vienen y aprenden lo mínimo...
pues hay muchas señoras que habían venido, no sabían leer ni escribir, han
aprendido a sumar, a restar, y a saber lo que es el dinero para que no las engañen,
y punto. Porque no les gustaban. Eso como todo, hay que gustar. Yo no vengo
cada día porque la cabeza la tengo muy mala, porque yo noto como me explota.
Pero si yo tuviera la cabeza bien y la vista bien, yo cada día vendría, a hacer cada
día una cosa, pero es que no puedo.
E.- ... Ya, es que cada cuál...
P4.- Si el que ya va así, es mejor...
<Se oyen muchas voces a la vez, y no se entiende nada>
P.- ... <gritando> ya no la doy ahora, imagínese si...
E.- Una cosa, os he traído un trabajo donde he aprendido cosas, bueno, que me
habéis enseñado vosotras...
P2.- ¡Anda!
E.- ... y era para decíroslo a ver si os parece bien, o me he liado. Es una cosa que,
que me habéis enseñado es que, cuando hacíamos las matemáticas en el
ordenador, era superimportante que los ejercicios fueran directos, es decir, nada
de poner un texto y buscas por aquí, buscas por allá, no sé qué... sino que fuera
una cosa directa, y en todo caso, que pues clicaras en algún sitio para sacar las
informaciones, pero que la pregunta tenía que estar bien hecha. No sé si me he
equivocado aquí.¿Qué pensáis
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P3.- Normal, porque con poco no atavalamos. No es lo mismo que las personas
jóvenes. Vull dir, tenemos que tener una cosa... estamos hablando, a ver, estamos
hablando de una pantalla, que muchas pues nos falla la vista, a mí particularmente
me falla la vista. Tienes... te atavalas... Tiene que ser muy concreto. Hablo por mí
misma.
P5.- Y yo hablo por mí. En una hora, en una hora no tienes más tiempo, entonces,
te vas pa’ca, te vas pa’lla, te vas pal otro lado...
P8.- Y no haces nada.
P5.- ... y una hora te pasa volando.
E.- Sí, sí, y es lo que comenta G también. A ver, yo creo que aquí la edad,
personalmente, yo creo que no es un tema importante, porque yo creo que lo más
importante aquí es que hayas tocado o no hayas tocado el ordenador antes, porque
a la que lo tocas por primera vez y enseguida ves tantas cosas diferentes, yo la
primera vez que lo toqué me lié. Y como yo, yo creo que todo el mundo.
P3.- Si por ejemplo, estás mirando la lista y llevas gafas o lo que sea, te cuesta
centrarte y coger... y te da dolor de cabeza.
E.- Aha, entonces es eso lo importante es que sea una cosa clara, directa, concisa...
P6.- Yo el ordenador el primer día de venir, pues yo lo tocaba, y me temblaba
mucho la mano, bueno, es que, es que, nada, es que, jolines, no sé si me atrevía. Y
ahora no, ahora veo que ya lo he superado un poco y me gusta cantidad el
ordenador. Principalmente cuando hago un ejercicio y me pone: eres muy buena
con los números, yo digo, ¡uy, qué contenta me pongo! Y me emociono yo sola.
Es verdad. Sabes que aquel día que estuvimos tú y yo en el ordenador, es que me
gusta, me gusta... Es que yo cuando hago una cosa y me sale bien, me pongo
contentísima.
P4.- Como todo el mundo.
<Varias voces en sentido afirmativo, a la vez>
P6.- ... pero cuando veo que me sale mal, ¡uy que no, mira que tonta que soy! Y
me acomplejo.
<Continúan hablando todas a la vez>
P3.- ... y para todo vale más un profesor... vull dir, el trato humano, más que las
máquinas, eso.
P6.- Ya, pero esto del ordenador es una cosa nueva, bueno, para mí, pues yo lo
veo muy divertido. Ahora me digas para hacer clases, pues mejor un profesor,
pues claro. Tu aquí ya te salen las soluciones, y te sale todo, y si tú vas a clase,
pues no, tienes que... te lo ponen en la pizarra, te lo explican, hombre, no va a ser
igual, una máquina que una persona, pero vaya...
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E.- También se pueden hacer las dos cosas, y de todos los sitios sacas...
P3.- Claro, claro...
E.- Pues una de estas cosas era eso, otra era el hecho de no haber tenido la
oportunidad de haber tocado un ordenador antes. An lo decía antes, la importancia
de saber encender el ordenador, dónde están las cosas, ...
P8.- Eso es lo primero.
P2.- Yo la primera vez que vine, y el señor que nos daba las matemáticas... pon
aquí el ratón... es que a mí me daba un miedo tocar con él aquí para tocar el ratón,
y el señor: pero no te dé miedo, tú lo tienes que coger... <risas> ... yo creo que
vine dos o tres veces...
P8.- A mí por, por (...) y este año he venido dos o tres veces y, vaya, parece que
estoy más animada. Pero el año pasado...
P6.- Yo me bailaba todo el cuerpo. Yo me ponía así y, ¡oy! es que no podía. Me
ponía nerviosísima, y yo: qué vergüenza, porque la gente venía por ahí y me veía.
Pero yo e... pobre de mí. Y ya digo, ya no voy a venir más, porque me da rabia. Y
esto año parece que no, que lo tenga más superado...
<Todas la animan>
P3.- Nadie nace enseñado.
<Varias voces asintiendo a la anterior>.- ¡Claro que sí!
P4.- A ver, las que venimos aquí es porque aspiramos a aprender...
P8.- Si no, no veníamos.
P6.- Pero yo soy una persona muy acomplejada que a lo mejor...
P8.- Eres nerviosa, eres nerviosa...
E.- Eres nerviosa...
P3.- Yo la primera vez que cogí el ratón, el ordenador, en casa, que en casa
siempre ha habido ordenador, el primero se estropeó sin utilizarse. Y hubo... Y
ahora es, la primera vez que cogí el ratón... con las dos manos! Y se me
escapaba... <final de la cinta>
(.../...)
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EJEMPLO
ENTREVISTA EN PROFUNDIDAD
(.../...)
TRANSCRIPCIÓN DE LA ENTREVISTA DEL MIÉRCOLES 6 DE FEBRERO DEL 2002
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E.- Un poco ahora lo que vamos a hacer es bueno, yo tengo aquí los ejercicios de
la página web, el mismo programa que hemos estado utilizando, y de lo que se va
a tratar es de que expliques cómo los has visto, de que los comentes, y que me
digas que impresión te han causado.
<hay una parte de la cinta que se oye muy mal y no se entiende>
<Yo le corrijo algunos ejercicios antes de empezar la entrevista>
E.- cuatro más cinco nueve... este está bien. Menos ocho más... menos diez,
menos tres, menos cuatro. Este me da menos cuatro.
B.- Sí bueno, es que este lo hice aquí, y me dio menos cuatro...
E.- Sí, menos cuatro. Muy bien. ¿Éste lo hiciste tú?
B.- Sí, éste lo hice yo, sí. Ahora, estos ya, lo que tú me dijiste, al tanto, que
ahora...
E.- A ver... dos y seis ocho. Después aquí tenemos cuarenta y cuatro negativos, y
siete negativos, son 51 negativos...
B.- Pero a ver, Javi, ¿estos...? a ver, que yo me entere bien porque si no... esto se
cuentan ocho positivos. Y estos siete negativos? ¿pero se le quitan a estos?
E.- No, no, primero lo de dentro del paréntesis...
B.- Ah, primero lo de dentro del paréntesis. Vale, vale...
E.- Y entonces venimos aquí. Tenemos 51 negativos, y tenemos... son treinta y
seis...
B.- O sea, que esto como dice más es más, pero negativos, porque éste es más
grande, el 44 es más grande?
E.- Claro, son 51 negativos, y 15 positivos, eso significa que al 51 le tienes que
quitar 15...
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B.- Sí. Bueno, pero a ver, estos digamos que son negativos, aunque ponga más,
pero se cuentan negativos... pero este no tiene paréntesis, bueno, es igual, estará
dentro del paréntesis...
E.- ... tienes una deuda de siete euros, llevas 15, te quedan 8 positivos, y ahora
resulta que a esos 8 le tienes que quitar 44...
B.- O sea que son 44 negativos, pero como pago 8, me quedan 36 negativos...
Esto está ya resuelto.
E.- Entonces aquí dentro del paréntesis tenemos 36, negativos, y por otro lado dos
más seis son ocho, positivos, 36 negativos y ocho positivos son 8 menos 36.
B.- 8 menos 36, ya. ¿Pueden ser a 28? A ver...
E.- Menos 28.
B.- O sea que son igual a 28.
E.- Negativos.
B.- Hasta aquí... sí, sí, esto me sale bien... Por aquí tenía otro...
E.- A ver: 34 menos, paréntesis, 12 por 3, más paréntesis, 3 por menos 4, se
cierran todos los paréntesis... Entonces, aquí tenemos que mirar 34 menos, 12 por
3 menos... Entonces sería: 3-4 son menos 1. ¿12 por 3?
B.- 12 por 3 son... 36.
E.- ¡36! Ves...
B.- De cabeza sí, pero claro, es que esto...
E.- Pero ¿cómo lo haces?
B.- No, porque yo pienso, 28, o sea, menos 36, menos ocho, pues son 6 que quito
y dos de los otros... te vas a reír de mí...
E.- Esto me lo tienes que explicar...
B.- No te digo que nosotros teníamos un pequeño negocio, y cuando salió lo del
IVA, y mis hijos pues venga a echar números y cuentas, y por qué hacéis esas
cuentas, la mama sabe lo que es, si son 101 pesetas pues son 21 pesetas, porque si
es el 20%, 7, 14, 21. Y se quedaban mirando, pero mama, ¿cómo puede ser? De
cabeza me sale bien. A parte que yo había ido al colegio. Luego ya, no eran las
enseñanzas de antes, luego ya me tuve que poner a trabajar, he trabajado para mí,
pero bueno, no ha sido una cosa de haber ido a otro sitio a aprender más ni, pero
la cabeza sí... mi vecina a veces vamos a comprar, y el otro día eran... nos
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cobraban 3400 y pico. Y yo, no puede ser, es que no puede ser: esto no cuesta 400
pesetas más. Pero yo sabía, si llevaba una compra de 7 u 8 cosas, sabía si se había
equivocado. Porque decía, 200 de esto, 100 y pico de lo otro... y claro, encuentras
alguna cosa bien, y luego metes la pata. Bueno, vamos a ver...
E.- Sí, 34 menos 36, eso es un menos...
B.- Ese es menos y éste es más...
E.- ... 4 por 3, 12, o sea, 3 por menos 4 menos 12, y como hay un menos delante
del paréntesis, pues lo cambiamos todo de signo...
B.- ¿Cambia de signo aquí?
E.- Exacto.
B.- Y entonces, menos por menos, que antes era más, ¿ahora que es?
E.- Más.
B.- ¿Siempre es más?
E.- Sí. Entonces dices, 34 menos 36?
B.- 34 menos 36, eso son dos, más 12, son 14.
E.- No, menos 2 más 12... 12 menos 2:
B.- Ah, sí, sí, 10... a ver que yo me entere bien. Éste es esto, éste yo lo he sacado
de aquí, y esto son treinta y cuatro. Y ahora, estos son multiplicados porque tiene
el puntico. O sea, que 12 por 3, hemos dicho que son 236. Vale. Ahora vamos
aquí: menos 3, ¿esto cuenta menos 3? ¿O menos por menos es más? Ese es
menos.
E.- Sí.
B.- Ese es menos. ¿Y entonces ese aquí se convierte en más?
E.- Sí, claro. Mira 3 por menos 4, son menos 12. Y menos, menos 12, es más 12.
B.- Claro: y más 12 más los que tenemos aquí...
E.- Entonces menos, menos, tiene ese significado, se vuelve positivo. Si tú le
quitas algo negativo a alguien, ese alguien sale ganando.
B.- Ya lo sé. Si tú debes, tú te quedas tranquila de que has pagado, pero si no lo
pagas todo, te queda por pagar... Esto es, claro, como es menos, se multiplica, y
son los 36 estos. Ya ahora éste, ¿éste se cuenta por menos?
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E.- No, es una multiplicación...
B.- ah, sí claro, si hay un puntico aquí. Que son 4 por 3 12, ¿no? Pero menos. Pero
ahora, menos por menos es más. Porque has puesto aquí más. Bueno, ahora ya lo
veo. Ahora ya está. Y ahora hay que sumarle los 36. Vale, ya está. claro, son
menos diez. Eso está cogido ya. Vale, ahora vamos a éste.
E.- 4, más paréntesis, menos 1, más paréntesis, 45 más 2, se cierra el paréntesis,
por paréntesis, 3 por 2, se cierra el paréntesis...
B.- Bueno, ahora, ya como hemos quitado el éste, era más 4, menos 1, tú ya vas
contando así, que son más 3. Y ahora hay que hacer todo lo del paréntesis,
digamos, que son 45, 47... 47 y 3 que tengo de aquí, ¿no? Son 50. ¿o no son 50?
Porque menos por más también queda menos.
E.- Ahá.
B.- Entonces tengo estos 3 positivos, 4 menos 1 son 3, pero positivos. Y ahora
éste menos por más ¿queda menos?
E.- Sí, menos por más es menos.
B.- Entonces son: 45, 47, pero que da menos. 47, que son menos. Bueno. Y éste es
multiplicado. 3 por 2 seis, pero como no tiene nada aquí, ¿qué es, positivo o...? Y
¿esta rayita que había aquí una rayita?
E.- No, esta rayita era un corchete que cierra todo el paréntesis...
B.- ¡Ah! era el paréntesis... Bueno, vamos a ver si yo lo entiendo ahora. Así que
esto se queda: 3 positivos, y esto es 47 negativos... ¿multiplicamos?
E.- Sí.
B.- Multiplicado... pero esto ¿se hace junto?
E.- Sí.
B.- 3... ¿ya se multiplica esto?
E.- Sí.
B.- ... 3 por 2 seis. Y multiplicado por esto que tenía de atrás, por los 47. Bueno.
47 multiplicado por 3, 21 y llevo 2. 12, 14, y de 14 una. Son 141. Y esas 141
tengo que quitarles 43. Que serán 138, me parece. De 3 a 11, 7 y una 8.
E.- ¿138?
B.- Calla. Es verdad, que ahí me llevo una. Claro, una que me llevo, de una a 4,
tres... ¿Ya pongo igual a, o hago todo junto?
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E.- Sí.
B.- Pero serán negativos... Muy bien. A ver éstos. Éstos son: éste menos por
menos, cuento más, ¿eh? Así que son: 3 y 5, ocho. Ocho...
E.- Ahá. 3 menos 5, menos dos...
B.- O sea, es menos, pero claro, si quitas el corchete, ya queda aquí, entonces ¿qué
se cuenta?
E.- No, yo no lo tocaría hasta no haber resuelto lo de dentro del paréntesis...
B.- Como tú me lo digas... Entonces, cuento, éste lo dejo, y ahora cuento éste.
Menos tres, menos dos. Menos dos, y ahora dónde lo pongo este menos dos.
E.- Mmm... tal como lo tienes aquí. ¿Y esto qué es?
B.- Esto era una rayita que había, que me dijiste que...
E.- ¡Ah, vale! Entonces, menos dos entre dos.
B.- ¿Menos dos entre dos? A una.
E.- A una, pero negativa.
B.- Claro, es negativa.
E.- Y ahora sí que tienes en cuenta este otro signo negativo, que afecta y le
cambia el signo a lo de dentro...
B.- ¿Y este signo menos es cuando es más?
E.- Exacto.
B.- Y entonces lo hago y da a ocho. ¿y el ocho qué es, dividido por dos?
E.- No.
B.- No, ya sale, ya está. Entonces ya está dividido por este, por lo del paréntesis.
Entonces son ocho negativos... digo positivos. ¿Y para positivos no se pone el
signo? Nada más que ocho. Cuando es negativo una rayita y ya se sabe... Bueno
pues ya está. Espero que se me haya quedado.
E.- Yo creo que sí, que se te va quedando. Además tú ayudas mucho a M...
B.- A M sí, estamos juntas muchísimos años, y nos tratamos muy bien.
E.- Bueno, pues ahora te explico lo de la entrevista.
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B.- Sí.
E.- La entrevista, eh, de lo que se trata un poco es... el otro día estuvimos viendo
qué relación habíais tenido con las matemáticas, cómo las habíais aprendido, eh,
etc. Entonces hoy vamos a entrar más en cosas como: qué es lo que te gusta
exactamente de las matemáticas, qué ejercicios concretos, cómo los resuelves...
Entonces la primera de las preguntas que yo tenía aquí apuntadas es cuáles son las
cosas de las matemáticas que te gustan?
B.- Hombre, pues me gustan, pues yo que sé, pues todo, todo lo que sea... me
gusta todo, la verdad. Unas cosas más que otras, las comprendo más que otras,
pero me gusta todo.
E.- ¿Qué te gusta más, contar y restar, o hacer ecuaciones, problemas de estos que
tienes que pensar...?
B.- Hombre, las restas es más fácil, ahora, lo que no estoy todavía muy eso es
cuando es decimales. Pero vaya, como ya me lo explicaste una vez, que si hay
decimales, se ponen abajo y arriba se pone un cero para poder... O sea que eso de
momento, no sé si se me habrá quedado bien, pero me lo contaste y je-je...
E.- ¿Y por qué te gustan todas estas cosas? ¿Qué es lo que ves en las
matemáticas?
B.- Me encantan los números, porque toda la vida los he... he estado con ellos...
No sé, porque yo creo que, mira, antes, pues nos fastidió, yo que sé, pues la
guerra, y lo que fuera, pues nos fastidió a todo el mundo. Porque yo me hubiera
gustado estudiar. Si, si... A mí me hubiera gustado estudiar...
E.- Le paso a mucha gente, ¿no?
B.- Sí, sí, mucha gente. Yo tenía la suerte de que la maestra era del pueblo y... y
era muy maja. Bueno, es que yo que sé, es que cuando iba al colegio, iba al
colegio, y no iba a... bueno, que no digo que no me guste hablar con todo el
mundo, pero igual que soy ahora, era antes. Hay gente que dice: es que vengo a
pasar el rato. Yo no, yo vengo a aprender. ¿Tú sabes qué ilusión me hace a mí
cuando sé hacer las cosas? Bueno, voy, la mar de contenta.
E.- Entonces una cosa, en todas estas cosas que hemos estado viendo de
matemáticas (ordenadores y así): ¿hay alguna cosa que tu digas, pues esto, no me
termina de convencer?
B.- ¡Ay! Lo que no supe el otro día es, de verdad, los números, aquellos números
que decían: cuenta el que va a continuación. Oye de verdad, no sé, y me hice un
lío. No sé por qué, no sé por qué me hice ese lío, cuando yo... hombre claro, si son
cifras bajas lo tengo clarísimo, pero si son altas, pues claro...
E.- Un millón ciento noventa y nueve mil, ¿cuál es el siguiente?
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B.- Pues un millón, ciento... pues, un millón doscientas...
E.- Y si te ponen: ¿un millón nueve mil novecientos noventa y nueve?
B.- ¿Un millón...?
E.- ... nueve mil novecientos noventa y nueve.
B.- Nueve mil novecientos noventa y nueve: sería un millón diez mil.
E.- Pues estas cosas que a nivel hablado parecen tan fáciles, al ver todos los
números es cuando vienen los líos...
B.- Sí, claro, es que no sé qué pasó, porque, yo... claro, porque eran números
bajos, bueno, el último sí que era de millón, lo tengo en la otra libreta, bueno ya
lo hice superbien (je-je). Pero el otro día es que, claro, a lo mejor vi muchos
números ahí y ya no supe, ya no... como vaya con la cosa de que eso ya no lo
saco, ¡uy! eso ya no lo saco. Pero vaya, pensándolo bien, eso, no sé, más o menos
lo voy haciendo. ¿Y ves? Esto, esto que también me dijiste, también lo había
hecho. Bueno, en graduado ya lo hice, ¡ay! En graduado...
E.- ... en certificado...
B.- En certificado. Lo había aprendido eso de multiplicar, y ayer no, casi no di...
yo qué sé, qué tonta, cómo estaba yo de tonta.
E.- Según los días...
B.- Claro, según los días. Lo que pasa es que sí, que yo eso nos lo habían
enseñado y la verdad es que me gusta, y lo hago bien, pero ayer, no sé... no di en
ello bien.
E.- Y después, ¿tú cuáles crees que son las diferencias entre las matemáticas que
estamos aprendiendo ahora en la escuela y las que tú aprendiste cuando eras
pequeña?
B.- Hay mucha diferencia. Por favor. Si entonces sólo era sumar, restar,
multiplicar y dividir. Pero ahora, si esto es una gloria. Yo no sé cómo es que no
les gusta estudiar a la mayoría. Yo, desde luego...
E.- Y antes que era, ¿muy repetitivo todo, muy...? ¿de carrerilla?
B.- Antes era todo de carrerilla. La tabla te la hacían aprender, todas. Pero
también te preguntaban salteado, sí., sí. A mí me lo preguntaban salteado. Es que
era muy diferente a ahora. El colegio de antes no había ni una parte. Ahora es una
gloria todo. Eso es, bueno.
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E.- ¿Sí? ¿Y cómo es que ahora es una gloria y antes no? ¿qué es... el trato, la
manera de cómo enfocar las clases, o los contenidos, que son más variados...?
B.- También, también. Pero la manera... hombre habrá personas de todo, pero yo
como he tenido la suerte de venir aquí y todas han sido estupendas, de verdad, una
gloria, es una gloria, sí, sí. Claro, yo antes no me puedo quejar, igual que la gente
se queja porque les daban con la tabla, yo no, está feo decirlo, pero yo casi
siempre ponía... antes ¿sabes cómo era? Al más espabilado lo ponían delante. Y
yo siempre... la verdad es que no estaba de las de atrás. Es lo que recuerdo.
E.- Entonces, si tú has estudiado matemáticas de pequeñas y toda la vida has
estado con números, ¿cómo es que ahora también continuas?
B.- Porque no los terminé, porque sólo se estudiaba aquello, y cuando yo
trabajaba pues claro, trabajábamos con una calculadora, porque no vas a estar
ahí... pero bueno, si era una cuanta pequeña yo me gustaba... es que ha sido toda la
vida, toda la vida que hemos trabajado para nosotros... y ahora la verdad... tengo
dos hijos, uno no lo tengo casado y vive aquí; y el otro se me casó y se me fue a
Valencia. Los dos son muy majos, pero el pequeño (dice algo que no entiendo)... y
me quedé cuando se fue, bueno cómo me quedé. Y entonces ya también vino la
hora de jubilarnos, de dejar la tienda. Y yo pensé: yo en casa... yo a mí me da
algo. Y entonces pensé en apuntarme al colegio y venir y bueno, de verdad venir a
la hora que lo hice, porque vengo a gusto. Lo que pasa es que claro, es una vez a
la semana, tampoco no puedes hacer mucha cosa. En certificado sí, porque venías
cada día, y era, hacías cada día un poquito. Ahora claro, ahora... bueno, que
continuo trabajando mucho. Pero antes madre mía, anda que no trabajábamos allí.
Sí. Fíjate lo que trabajábamos... <me enseña la libreta>
E.- Y con toda esta experiencia tan grande que tienes, tú si tuvieses que explicarle
a otra persona participante, a un compañera, para qué sirven las matemáticas, ¿qué
le dirías?
B.- No, eso más bien como no soy muy... yo reconozco que, a ver si me entiendes,
lo cojo todo bien. Pero luego no soy muy de palabra, no.
E.- No, yo lo digo porque... a ver, tu a lo largo de toda tu vida, por lo que explicas,
siempre has estado utilizando las matemáticas, pues para hacer cuentas... siempre
ha sido una cosa que siempre has hecho...
B.- Siempre, pero si tengo... mira, nada más que tenga... para que veas... nada más
que tenga un poquito de papel, ya está. Antes de irme a dormir siempre hago
cuentas, siempre: dos o tres. Y tengo lo cuadernos llenos... Ves: cuando tengo un
trocico, que a veces lo dejo por... pues tengo cuentas. Sí, sí, ¡es una cosa...! Mira,
me encanta. Y esto no lo has visto: mira. Y esta no me sale, pues entonces lo
pongo aquí (porque a veces lo hago muy deprisa y no...) a veces, para saber dónde
me he equivocado, pues lo pongo aquí; porque ésa la tengo a medias por eso,
porque esta la tengo bien. Pues hago la prueba, a estilo vieja. Mira... Ves, todo
esto lo volví a hacer <me está enseñando su libreta> lo aprovecho para...
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E.- Ahá. Y ¿cómo es eso de la prueba que dices?...
B.- Ah, ¿no lo sabes? Ahora te lo digo. Eso lo multiplicas por lo que has hecho. Y
te da igual que esto.
E.- Ah, digamos que el resultado de la división lo multiplicas por el denominador
y le sumas el resto...
B.- Eso, o sea que lo que te da lo multiplicas por... ¿esto se llama denominador?
E.- Esto es el numerador y esto es el denominador <señalando encima del papel>
B.- Ah, y esto es el resultado. Esto es lo que no estoy muy... con el numerador,
con el denominador...
E.- Pero lo sabes hacer, ¿no?
B.- Sí. Mira, ya te digo, me encanta. Cuando a lo mejor estoy cansada, me canso,
y no la hago bien, pues entonces la hago en otro sitio para ver dónde me he
equivocado.
E.- Y además de todas estas pruebas que haces en la libreta, de matemáticas,
¿haces alguna otra cosa más, o...?
B.- Ya, para aprenderlas. Pues más bien no...
E.- Pero bueno, aprovechas y haces cuentas en tu casa... no sé...
B.- Sí, pero más bien de cabeza. Mira, este ejercicio que hicisteis de las cajetillas
<se refiere a un ejercicio sobre potencias que dice que en una caja hay 10 cartones
de cigarrillos, y en cada cartón hay 10 cajetillas de cigarrillos, y hay que calcular
el total de cajetillas que hay> pues yo dije, bueno, tantas cajas, pues tantas cajas
tiene, y lo fue apuntando. Y luego pensé: 10 cajas, a 10 cartones, son... bueno, no
me acuerdo cómo lo hice: lo tengo aquí, era el 77 <número de ejercicio>, que no
lo tengo hecho porque te acuerdas que me tuve que ir... tenía que ir al gestor y no
me pude quedar. Éste, éste... no lo he hecho, y yo no sé cómo que lo tengo
apuntado... ¿Esto qué es?...
E.- Eso es del ordenador seguro.
B.- Pues esto es que me lo dijo la M, sí. <está intentando ver de dónde salen unos
apuntes que hay en su libreta, mientras busca el anterior ejercicio> Y me lo
enseñó, y, pero bueno... ¿cómo has sacado el resultado? Pues a ver si lo saco yo
<B durante varias semanas ha estado fuera de viaje y hay una parte de los apuntes
que se los ha pasado M> Mira, en un paquete hay 10 cajas, cada una contiene 10
cartones... a ver, a ver, no es tan difícil... un paquete, hay 10 cajas, cada una
contiene 10 cartones... a ver, Javi, ¿cómo se hace? Aquí tengo hojas vacías, y
luego ya lo pongo yo en limpio. Es que a mí no me gusta copiarlo, si no, no tiene
gracia. A ver, en un paquete hay 10 cajas: y qué se pone ¿10?
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E.- ... cajas.
B.- ¿Pongo cajas? Cada una... ¿también lo pongo? ¿no? Cada una contiene 10
paquetes...
E.- ... 10 cartones...
B.- ¿Y dónde los pondrías? ¿Aquí?¿Aquí?
E.- Sí.
B.- Pero tendré que poner cada una, ¿no?
E.- No, pero yo pondría, en cada caja, hay 10 cartones...
B.- Sí, ¿una flecha aquí?
E.- Sí, para decir, que en cada una de ésas, hay diez cartones.
B.- ¿Pongo cartones?... Esto es lo que me falta a mí mucho, saber cómo...
Cartones de tabaco. Cada uno de las cuales contiene a su vez 10 cajetillas. O sea,
yo comprendo muy bien que cada cartón de este son 10 cajetillas. Y pongo cada
cartón, para saber yo que es... Cada cartón contiene pones, ¿no?
E.- Ahá...
B.- ¿Aquí o no?, aquí, sí. ¿También con una equis así? ... Contiene 10 cajetillas ...
10 cajetillas... Expresa en forma de potencia, el número total de cajetillas. Entro
un tres... me voy a arriesgar, y lo coloco ahí... me parece que está bien, ¿no?
E.- A ver, tú tienes 10 cajas, ¿no?
B.- Sí.
E.- Abres la caja y tienes 10 cartones. Y abres el cartón y te encuentras con diez
cajetillas.
B.- Sí.
E.- Entonces, ¿cuántas...? lo que te pregunta es ¿cuántas cajetillas tiene cada caja
grande?
B.- Pero eso hay que, ¿qué hay que hacer, multiplicar las...? ¿Cuántas cajas tengo?
10 cajas, y luego están los cartones, hay que multiplicarlo por lo cartones...
E.- Ahá...
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B.- Son tres, hay que multiplicar 10 tres veces. Pero como dice en forma de
potencia, ¿cómo se hace?
E.- Pues se multiplica 10 por 10, por 10, igual a 10 elevado al cubo.
B.- Diez, y ahora aquí tienes que poner algo, una coma?
E.- Eh, multiplicado.
B.- ¿Lo multiplico?
E.- Sí.
B.- ... ¿es igual?
E.- a diez, por diez, por diez. O sea, que lo tienes que multiplicar tres veces.
B.- A ver que te lo vea yo, vamos a ver, que te lo vea yo hacer...
E.- Es simplemente decir, 10, por diez y por diez. Igual a 103.
B.- ¿Porque se cuentan los ceros?
E.- Exacto. No, no es que se cuenten los ceros... es que tú tienes 10 cajas, y en
cada caja dice que hay 10 cartones, y en cada cartón hay 10 cajetillas... total, que
si quieres saber el número total de cajetillas, simplemente tienes que multiplicar
las que hay en cada cartón, y en cada caja.
B.- Ah. Entonces el resultado son las cajetillas...
E.- Claro, que serían en este caso 1000 cajetillas.
B.- Que serían 300...
E.- No, a ver, 10 por 10?
B.- Que son 100.
E.- ¿Y por 10?
B.- 200.
E.- No. ¿10 por 100?
B.- Ah, eso ya es otra cosa.
E.- Claro.
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B.- Ah! Eso no lo había hecho yo. Claro, yo decía: 300, pero no, no... Tiene que
ser... 10 veces... ¡ayyyy!
E.-Claro. Y diez veces 100.
B.- Y ¿cómo lo hago?
E.- Pues 10 por 10, que son 100. Y ese 100, por 10, que son las mil.
B.- 10 por 10 cien, ya están las primeras. Y ahora qué... ¿porque será muy grande?
O sea, ¿serán muchos números? ¿Ahora qué hago?
E.- Ahora la multiplicas por estos números...
B.- ¿Pero los ceros no se ponen?
E.- Los tienes que poner, pero detrás...
B.- Detrás, ya.
E.- Es un 1, seguido de tres ceros.
B.- Bueno, voy a ponerlos, y uno por uno es uno. Y ahora los ceros... Son mil
cajetillas... ¡Ah, claro! Es que yo estoy liada en el exponente, estoy liada en el
exponente. Pero claro, el exponente es que es 3 veces esto. Ya, ya, ya... bueno,
pero ¿cómo lo hago ahora? Eso lo tengo que poner en limpio...
E.- Tú pon: 10 por 10, tres veces...
B.- 10, y el puntito, ¿no? Por 10 y por 10, es igual, a 10 a la 3. Bueno, ése ya está.
Si quieres que hagamos otra cosilla...
E.- Si, mira, yo me había traído aquí algunas cuentas, ¿las apuntamos? Mira: 1625
– 45.
B.- Mil, seiscientos veinticinco, menos cuarenta y cinco, menos cuarenta y cinco.
De cinco a cinco cero, de cuatro a doce, seis-ocho, y llevo una. De una a seis
cinco, y, el uno qué se hace ahora, se baja también? Claro, porque no tiene... ¿Se
hace así?
E.- Muy bien. Éstas ya veo que las controlas... Y a ver éstas, con un decimal: 2305
más 32,03.
B.- Sí. Espérate, no me digas nada, a ver si la sé poner. A ver, dos mil, trescientas
cinco. Treinta y dos... ¿Pero se pone la coma primero, no?
E.- Sí, treinta y dos coma tres.
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B.- Sí, ¿y ahora se suma, no? Pero cuando está bajo el cero no se pone nada, se
baja el cero. Siete, tres, tres y dos.
E.- Bueno, estás hecha una hacha. Ahora éste es 1025 por 0,24, multiplicado por
0,24.
B.- Ah, éste ya es más complicado. Cero veinticuatro. Es igual... A ver, esto sí que
no lo sé.
E.- Sí, 1025 por 0,24. Entonces hacemos una multiplicación normal... 4 por 5
veinte, me llevo dos, 4 por 2 son ocho, y dos 10, te llevas 1, cero y dos, cero, y
una que te llevabas es una, y 4 por una es 4. Y abajo lo mismo. Dos por cinco,
diez, 2 por 2 cuatro, cero, y dos. Total: 246.
B.- Cero, cero, seis cuatro y dos. No, lo que no sabía yo, javi, es que se ponía así
para multiplicar. ¿Esto qué quiere decir, que son decimales?
E.- Sí, esto significa que son decimales.
B.- Eso significa que son decimales. Ah, pues muy bien. No es muy complicado.
Es que no lo había hecho nunca, la verdad.
E.- Y éste de aquí abajo? 2367...
B.- ¿dos mil...?
B.- 2367 dividido, entre 14,05.
B.- Dos mil, trescientos, sesenta y siete, dividido... entonces ¿se pone un cero?
E.- Sí.
B.- Una coma, un cero y un cinco. 14 coma...
E.- Cero cinco.
B.- ¿Coma...?
E.- No, primero un cero, y después un cinco.
B.- A ver... así. Bueno, ¿y ahora qué? Ahora si que no sé yo.
E.- Bueno. Ahora tienes aquí una división con decimales. Entonces vamos
dividiendo con normalidad. Vamos y decimos, para 14, el 23...
B.- A ver.
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E.- dos, tres, seis, siete... entre 14,05. A ver, la coma, ahora, te olvidas de ella. Y
se hace todo. Lo único que tienes que poner aquí tantos ceros como cifras haya
detrás de la coma, ¿ves?
B.- Ah, ya, ya, ya... Estoy liada, ¿eh?
E.- A ver, 14, el doble sería 28... Yo lo probaría entre uno.
B.- Por uno, ¿al cinco?
E.- Sí.
B.- Pero empiezo aquí.
E.- Sí.
B.- A bueno, entonces sí. Claro. Dos entre 1, pues a dos, no? Cero por uno? Una
por una es una, a dos una. ¿eh?
E.- Cinco por una es cinco, a siete dos...
B.- Es que no sé qué quieres decir. Bueno, yo lo hago así... dos entre una a dos.
Dos por una es dos a dos cero. Y bajo el tres. El tres sí que no me coge a cuatro.
Entonces tengo que coger los dos. Es que claro, como está eso, pues ya, ya...
E.- Bueno. Esto es como si tuvieras esta división... <le escribo 2367 dividido entre
1405>.
B.- Entonces qué? ¿Cómo lo hago? Dime cómo lo tengo que hacer.
(.../...)
412
EJEMPLO
ANÁLISIS DE UNA ENTREVISTA EN PROFUNDIDAD
(.../...)
TRANSCRIPCIÓN DE LA ENTREVISTA DEL 6 DE FEBRERO DEL 2002
[EB1]
CUADRO DE ANÁLISIS
M. OBJETIVO
M. SOCIAL
M. SUBJETIVO
COGNITIVOS
1
2
3
AFECTIVOS
4
5
6
INSTRUMENTALES 7
8
9
NORMATIVOS
11
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10
413
TRANSCRIPCIÓN
CODIFICACIÓN
INTERPRETACIÓN
(en base a la graella)
TIPOLOGÍA DE
LOS ELEMENTOS
DE LA
COMPRENSIÓN
I = intuición
D = declaración
A = argumentación
TIPO
DE
FACTOR
E.- Un poco ahora lo que vamos a hacer es bueno, yo tengo aquí
los ejercicios de la página web, el mismo programa que hemos
estado utilizando, y de lo que se va a tratar es de que expliques
cómo los has visto, de que los comentes, y que me digas que
impresión te han causado.
<hay una parte de la cinta que se oye muy mal y no se entiende>
<Yo le corrijo algunos ejercicios antes de empezar la entrevista>
E.- cuatro más cinco nueve... este está bien. Menos ocho más... menos
diez, menos tres, menos cuatro. Este me da menos cuatro.
B.- Sí bueno, es que este lo hice aquí, y me dio menos cuatro...
E.- Sí, menos cuatro. Muy bien. ¿Éste lo hiciste tú?
Utiliza competencias
matemáticas
B.- Sí, éste lo hice yo, sí. Ahora, estos ya, lo que tú me dijiste, al tanto, que
ahora...
Alude al concepto de
E.- A ver... dos y seis ocho. Después aquí tenemos cuarenta y número entero
cuatro negativos, y siete negativos, son 51 negativos...
negativo
B.- Pero a ver, Javi, ¿estos...? a ver, que yo me entere bien porque si no...
esto se cuentan ocho positivos. Y estos siete negativos? ¿pero se le quitan Vuelve a utilizar el
a estos?
concepto de número
E.- No, no, primero lo de dentro del paréntesis...
entero negativo, y hace
B.- Ah, primero lo de dentro del paréntesis. Vale, vale...
referencia al proceso
E.- Y entonces venimos aquí. Tenemos 51 negativos, y tenemos... de suma de enteros
negativos
son treinta y seis...
B.- O sea, que esto como dice más es más, pero negativos, porque este es
Pregunta por cómo se
más grande, el 44 es más grande?
E.- Claro, son 51 negativos, y 15 positivos, eso significa que al 51 resuelve el paréntesis
le tienes que quitar 15...
B.- Sí. Bueno, pero a ver, estos digamos que son negativos, aunque ponga
más, pero se cuentan negativos... pero este no tiene paréntesis, bueno, es
igual, estará dentro del paréntesis...
Razonamiento del
proceso de suma/resta
de enteros
E.- ... tienes una deuda de siete euros, llevas 15, te quedan 8
positivos, y ahora resulta que a esos 8 le tienes que quitar 44...
414
9
A
T
9
A
T (porque lo está
utilizando, lo sabe
hacer)
10
I (pero en tono de
pregunta) yo diría que
es una pseudointuición
11 (la adopción de esta (un manera de
forma o procedimiento aprender el concepto)
de aprender –
preguntando sobre la
veracidad de los pasos
a seguir- viene de un
7E). 3 (porque aparece
una norma de
resolución matemática)
B.- O sea que son 44 negativos, pero como pago 8, me quedan 36
negativos... Esto está ya resuelto.
Se asume un error
E.- Entonces aquí dentro del paréntesis tenemos 36, negativos, y conceptual en el tema
por otro lado dos más seis son ocho, positivos, 36 negativos y ocho de los paréntesis
positivos son 8 menos 36.
B.- 8 menos 36, ya. ¿Pueden ser a 28? A ver...
E.- Menos 28.
B.- O sea que son igual a 28.
E.- Negativos.
B.- Hasta aquí... sí, sí, esto me sale bien... Por aquí tenía otro...
3
A
E
2
A
T
9
I
Alude a que lo hace de
cabeza
3
D
Explica el proceso que
utiliza para realizar las
operaciones de cabeza
3
A
Alude a su experiencia 3
de vida (el resultado es
aproximado)
A
Utiliza la metáfora del
dinero para resolver
una suma/resta de
enteros
E.- A ver: 34 menos, paréntesis, 12 por 3, más paréntesis, 3 por
menos 4, se cierran todos los paréntesis... Entonces, aquí tenemos
que mirar 34 menos, 12 por 3 menos... Entonces sería: 3-4 son
menos 1. ¿12 por 3?
B.- 12 por 3 son... 36.
E.- ¡36! Ves...
B.- De cabeza sí, pero claro, es que esto...
E.- Pero ¿cómo lo haces?
B.- No, porque yo pienso, 28, o sea, menos 36, menos ocho, pues son 6
que quito y dos de los otros... te vas a reír de mí...
E.- Esto me lo tienes que explicar...
B.- No te digo que nosotros teníamos un pequeño negocio, y cuando salió
lo del IVA, y mis hijos pues venga a echar números y cuentas, y por qué
hacéis esas cuentas, la mama sabe lo que es, si son 101 pesetas pues son 21
pesetas, porque si es el 20%, 7, 14, 21. Y se quedaban mirando, pero
mama, ¿cómo puede ser? De cabeza me sale bien. A parte que yo había ido
al colegio. Luego ya, no eran las enseñanzas de antes, luego ya me tuve
que poner a trabajar, he trabajado para mí, pero bueno, no ha sido una cosa
de haber ido a otro sitio a aprender más ni, pero la cabeza sí... mi vecina a
veces vamos a comprar, y el otro día eran... nos cobraban 3400 y pico. Y
yo, no puede ser, es que no puede ser: esto no cuesta 400 pesetas más. Pero
yo sabía, si llevaba una compra de 7 u 8 cosas, sabía si se había
equivocado. Porque decía, 200 de esto, 100 y pico de lo otro... y claro,
encuentras alguna cosa bien, y luego metes la pata. Bueno, vamos a ver...
Expresa satisfacción de
saberlo resolver
Planteamiento del
problema: 34(12·3+(3·(-4)))
Experiencia académica
E.- Sí, 34 menos 36, eso es un menos...
B.- Ese es menos y éste es más...
E.- ... 4 por 3 12, o sea, 3 por menos 4 menos 12, y como hay un
menos delante del paréntesis, pues lo cambiamos todo de signo...
B.- ¿Cambia de signo de aquí?
E.- Exacto.
415
T
B.- Y entonces, menos por menos, que antes era más, ¿ahora que es?
E.- Más.
12 / 7
A
T
7
I
T
10 / 7
A
E
Conoce varias maneras 10 / 3
de representar la
operación matemática
de la multiplicación
Hace la cuenta en voz
alta y se ve como va
ligando las operaciones
una con otra... Tiene
algunas dudas...
A
Uso cotidiano de las
matemáticas
B.- ¿Siempre es más?
E.- Sí. Entonces dices, ¿34 menos 36?
B.- 34 menos 36, eso son dos, más 12, son 14.
E.- No, menos 2 más 12... 12 menos 2:
B.- Ah, sí, sí, 10... a ver que yo me entere bien. Éste es esto, éste yo lo he
sacado de aquí, y esto son treinta y cuatro. Y ahora, estos son
multiplicados porque tiene el puntico. O sea, que 12 por 3, hemos dicho
que son 36. Vale. Ahora vamos aquí: menos 3, esto ¿cuenta menos 3? ¿O
menos por menos es más? Ése es menos.
Hace preguntas que
indican que sabe de la
existencia de números
enteros y su
funcionamiento
E.- Sí.
Utiliza una “regla”
matemática: la regla de
E.- Sí, claro. Mira 3 por menos 4, son menos 12. Y menos, menos los signos
B.- Ése es menos. Y entonces ¿ése aquí se convierte en más?
12, es más 12.
B.- Claro: y más 12 más los que tenemos aquí...
Se equivoca con el uso
E.- Entonces menos, menos, tiene ese significado, se vuelve de la regla de los
positivo. Si tú le quitas algo negativo a alguien, ese alguien sale signos
ganando.
B.- Ya lo sé. Si tú debes, tú te quedas tranquila de que has pagado, pero si
no lo pagas todo, te queda por pagar... Esto es, claro, como es menos, se
multiplica, y son los 36 estos. Ya ahora este, ¿éste se cuenta por menos?
E.- No, es una multiplicación...
B.- ¡Ah, sí claro! si hay un puntico aquí. Que son 4 por 3 12, ¿no? Pero
menos. Pero ahora, menos por menos es más. Porque has puesto aquí más.
Bueno, ahora ya lo veo. Ahora ya está. Y ahora hay que sumarle los 36.
Vale, ya está. claro, son menos diez. Eso está cogido ya. Vale, ahora
vamos a éste.
E.- 4, más paréntesis, menos 1, más paréntesis, 45 más 2, se cierra
el paréntesis, por paréntesis, 3 por 2, se cierra el paréntesis...
Se ve como entiende el
concepto (en principio
en contra del sentido
común) de que restar
un negativo implique
E.- Ahá.
una suma, a través de
B.- Entonces tengo estos 3 positivos, 4 menos 1 son 3, pero positivos. Y
la metáfora de las
ahora éste menos por más ¿queda menos?
deudas
E.- Sí, menos por más es menos.
Aparece una duda con
B.- Entonces son: 45, 47, pero que da menos. 47, que son menos. Bueno.
un signo de
Y éste es multiplicado. 3 por 2 seis, pero como no tiene nada aquí, ¿qué es,
multiplicación en
positivo o ? Y ¿esta rayita que había aquí una rayita?
B.- Bueno, ahora, ya como hemos quitado el éste, era más 4, menos 1, tú
ya vas contando así, que son más 3. Y ahora hay que hacer todo lo del
paréntesis, digamos, que son 45, 47... 47 y 3 que tengo de aquí, ¿no? Son
50. ¿o no son 50? Porque menos por más también queda menos.
416
3/9
A
T
3
A
T
10 (es una norma
objetiva, aunque la
positivo o...? Y ¿esta rayita que había aquí una rayita?
E.- No, esta rayita era un corchete que cierra todo el paréntesis...
B.- ¡Ah! era el paréntesis... Bueno, vamos a ver si yo lo entiendo ahora.
Así que esto se queda: 3 positivos, y esto es 47 negativos...
¿multiplicamos?
E.- Sí.
B.- Multiplicado... pero esto ¿se hace junto?
E.- Sí.
B.- 3... ¿ya se multiplica esto?
E.- Sí.
B.- ... 3 por 2 seis. Y multiplicado por esto que tenía de atrás, por los 47.
Bueno. 47 multiplicado por 3, 21 y llevo 2. 12, 14, y de 14 una. Son 141.
Y esas 141 tengo que quitarles 43. Que serán 138, me parece. De 3 a 11, 7
y una 8.
E.- ¿138?
B.- Calla. Es verdad, que ahí me llevo una. Claro, una que me llevo, de
una a 4, tres... ¿Ya pongo igual a, o hago todo junto?
E.- Sí.
B.- Pero serán negativos... Muy bien. A ver éstos. Éstos son: éste menos
por menos, cuento más, ¿eh? Así que son: 3 y 5, ocho. Ocho...
E.- Ahá. 3 menos 5, menos dos...
B.- O sea, es menos, pero claro, si quitas el corchete, ya queda aquí,
entonces ¿qué se cuenta?
forma de ·
Vuelve a repetir la
regla de los signos (la
ha memorizado)
Razonamiento
matemático. Queda
reflejado que sabe la
mecánica de resolver
los paréntesis.
También vuelve a
aludir a la regla de los
signos.
manera de enunciarla
es totalmente social)
7 / 10
A
T
3 / 10
A
T
No está segura de la
regla de los signos, y
pregunta...
3
A
Se confunde con un
corchete. Todavía no
los reconoce ni
entiende su papel
3
Va indagando con
E.- No, yo no lo tocaría hasta no haber resuelto lo de dentro del preguntas cómo se
paréntesis...
resuelve el ejercicio...
B.- Como tú me lo digas... Entonces, cuento, éste lo dejo, y ahora cuento
éste. Menos tres, menos dos. Menos dos, y ahora dónde lo pongo este
menos dos.
pero ella propone las
operaciones que debe
hacer...
E.- Mmm... tal como lo tienes aquí. ¿Y esto qué es?
B.- Esto era una rayita que había, que me dijiste que...
E.- ¡Ah, vale! Entonces, menos dos entre dos.
B.- ¿Menos dos entre dos? A una.
3 / 10
A
Concepto de la
multiplicación
E.- A una, pero negativa.
B.- Claro, es negativa.
E.- Y ahora sí que tienes en cuenta este otro signo negativo, que Error en la resta, se le 2 (pq interviene E en la A
hace una apreciación y resolución del
afecta y le cambia el signo a lo de dentro...
se da cuenta ella
problema)
B.- ¿Y este signo menos es cuando es más?
E.- Exacto.
misma
B.- Y entonces lo hago y da a ocho. ¿y el ocho qué es, dividido por dos?
E.- No.
Regla de los signos
417
T
B.- No, ya sale, ya está. Entonces ya está dividido por este, por lo del
paréntesis. Entonces son ocho negativos... digo positivos. ¿Y para
positivos no se pone el signo? Nada más que ocho. Cuando es negativo
una rayita y ya se sabe... Bueno pues ya está. Espero que se me haya
quedado.
No acaba de resolver
bien los paréntesis
3 / 6 (porque empieza
con una imagen
negativa de sí misma)
E.- Yo creo que sí, que se te va quedando. Además tú ayudas
mucho a M...
B.- A M sí, estamos juntas muchísimos años, y nos tratamos muy bien.
D
E
E.- Bueno, pues ahora te explico lo de la entrevista.
B.- Sí.
E.- La entrevista, eh, de lo que se trata un poco es... el otro día Símbolos matemáticos
estuvimos viendo qué relación habíais tenido con las matemáticas,
cómo las habíais aprendido, eh, etc. Entonces hoy vamos a entrar
más en cosas como: qué es lo que te gusta exactamente de las
matemáticas, qué ejercicios concretos, cómo los resuelves...
Entonces la primera de las preguntas que yo tenía aquí apuntadas Pregunta sobre una
operación (problemas 3 (estrategia cognitiva
es ¿cuáles son las cosas de las matemáticas que te gustan?
B.- Hombre, pues me gustan, pues yo que sé, pues todo, todo lo que sea...
me gusta todo, la verdad. Unas cosas más que otras, las comprendo más
que otras, pero me gusta todo.
con identificar las
operaciones que se
tienen que hacer)
E.- ¿Qué te gusta más, contar y restar, o hacer ecuaciones,
problemas de estos que tienes que pensar...?
B.- Hombre, las restas es más fácil, ahora, lo que no estoy todavía muy eso
es cuando es decimales. Pero vaya, como ya me lo explicaste una vez, que Verbaliza todo el
proceso
si hay decimales, se ponen abajo y arriba se pone un cero para poder... O
sea que eso de momento, no sé si se me habrá quedado bien, pero me lo
contaste y je-je...
E.- ¿Y por qué te gustan todas estas cosas? ¿Qué es lo que ves en
las matemáticas?
B.- Me encantan los números, porque toda la vida los he... he estado con
ellos... No sé, porque yo creo que, mira, antes, pues nos fastidió, yo que sé,
pues la guerra, y lo que fuera, pues nos fastidió a todo el mundo. Porque
yo me hubiera gustado estudiar. Si, si... A mí me hubiera gustado
estudiar...
E.- Le paso a mucha gente, ¿no?
B.- Sí, sí, mucha gente. Yo tenía la suerte de que la maestra era del pueblo
y... y era muy maja. Bueno, es que yo que sé, es que cuando iba al colegio,
iba al colegio, y no iba a... bueno, que no digo que no me guste hablar con
todo el mundo, pero igual que soy ahora, era antes. Hay gente que dice: es
que vengo a pasar el rato. Yo no, yo vengo a aprender. ¿Tú sabes qué
Motivación por las
il ió
h
í
d éh
l
?B
l
d
418
de preguntar para
aprender , tb como
elemento de
inseguridad)
T
ilusión me hace a mí cuando sé hacer las cosas? Bueno, voy, la mar de
contenta.
matemáticas
E.- Entonces una cosa, en todas estas cosas que hemos estado
viendo de matemáticas (ordenadores y así): ¿hay alguna cosa que Identifica un concepto
(la resta) que entiende
tu digas, pues esto, no me termina de convencer?
B.- ¡Ay! Lo que no supe el otro día es, de verdad, los números, aquellos
números que decían: cuenta el que va a continuación. Oye de verdad, no
sé, y me hice un lío. No sé por qué, no sé por qué me hice ese lío, cuando
yo... hombre claro, si son cifras bajas lo tengo clarísimo, pero si son altas,
pues claro...
E.- Un millón ciento noventa y nueve mil, ¿cuál es el siguiente?
B.- Pues un millón, ciento... pues, un millón doscientas...
E.- ... nueve mil novecientos noventa y nueve.
B.- Nueve mil novecientos noventa y nueve: sería un millón diez mil.
D
7/10
D
6
D
T
5/6
D
T
D
E
bien. Identifica ella
misma un concepto
que le resulta difícil:
los decimales. Tiene
nociones de cómo se
resuelven
académicamente
E.- Y si te ponen: ¿un millón nueve mil novecientos noventa y Relación entre los
nueve?
números y la vida
B.- ¿Un millón...?
6
T
(es transformador pq
se lo sabe, pero no da
información para saber
si lo comprende...)
debate sobre el
mecanicismo
cotidiana
Elementos que le
E.- Pues estas cosas que a nivel hablado parecen tan fáciles, al ver impidieron estudiar
todos los números es cuando vienen los líos...
B.- Sí, claro, es que no sé qué pasó, porque, yo... claro, porque eran
números bajos, bueno, el último sí que era de millón, lo tengo en la otra
libreta, bueno ya lo hice superbien (je-je). Pero el otro día es que, claro, a
lo mejor vi muchos números ahí y ya no supe, ya no... como vaya con la
cosa de que eso ya no lo saco, ¡uy! eso ya no lo saco. Pero vaya,
pensándolo bien, eso, no sé, más o menos lo voy haciendo. Y ves? Esto,
esto que también me dijiste, también lo había hecho. Bueno, en graduado
ya lo hice, ¡ay! En graduado...
E.- ... en certificado...
Característica de la
educación de personas
adultas que la
diferencia de la de
niños/as
B.- En certificado. Lo había aprendido eso de multiplicar, y ayer no, casi
no di... yo qué sé, qué tonta, cómo estaba yo de tonta.
E.- Según los días...
Se refiere a un
6
B.- Claro, según los días. Lo que pasa es que sí, que yo eso nos lo habían
enseñado y la verdad es que me gusta, y lo hago bien, pero ayer, no sé... no ejercicio que trabajaba
el paso de una unidad
di en ello bien.
E.- Y después, ¿tú cuáles crees que son las diferencias entre las posicional a otra
matemáticas que estamos aprendiendo ahora en la escuela y las que (decenas de miles a
centenas de miles, etc.)
tú aprendiste cuando eras pequeña?
B.- Hay mucha diferencia. Por favor. Si entonces sólo era sumar, restar,
multiplicar y dividir. Pero ahora, si esto es una gloria. Yo no sé cómo es
que no les gusta estudiar a la mayoría. Yo, desde luego...
1.199.000
1.200.000
Al hablar hace bien el
419
7
D
E.- Y antes que era, ¿muy repetitivo todo, muy...? ¿de carrerilla?
paso de unidades
B.- Antes era todo de carrerilla. La tabla te la hacían aprender, todas. Pero
también te preguntaban salteado, sí, sí. A mí me lo preguntaban salteado.
Es que era muy diferente a ahora. El colegio de antes no había ni una
parte. Ahora es una gloria todo. Eso es, bueno.
E.- ¿Sí? ¿Y cómo es que ahora es una gloria y antes no? ¿qué es... Diferencia entre las
el trato, la manera de cómo enfocar las clases, o los contenidos, que matemáticas
“habladas” y las
son más variados...?
matemáticas que
B.- También, también. Pero la manera... hombre habrá personas de todo,
aparecían “escritas” en
pero yo como he tenido la suerte de venir aquí y todas han sido
la pantalla
estupendas, de verdad, una gloria, es una gloria, sí, sí. Claro, yo antes no
me puedo quejar, igual que la gente se queja porque les daban con la tabla,
yo no, está feo decirlo, pero yo casi siempre ponía... antes ¿sabes cómo
era? Al más espabilado lo ponían delante. Y yo siempre... la verdad es que
no estaba de las de atrás. Es lo que recuerdo.
6
D
E
6
D
E
9
I
T
2 (ref. histórico)
D
6
D
E.- Entonces, si tú has estudiado matemáticas de pequeñas y toda la
vida has estado con números, ¿cómo es que ahora también
continuas?
Importancia del estado
B.- Porque no los terminé, porque sólo se estudiaba aquello, y cuando yo
trabajaba pues claro, trabajábamos con una calculadora, porque no vas a
estar ahí... pero bueno, si era una cuanta pequeña yo me gustaba... es que
ha sido toda la vida, toda la vida que hemos trabajado para nosotros... y
ahora la verdad... tengo dos hijos, uno no lo tengo casado y vive aquí; y el
otro se me casó y se me fue a Valencia. Los dos son muy majos, pero el
pequeño (dice algo que no entiendo)... y me quedé cuando se fue, bueno
cómo me quedé. Y entonces ya también vino la hora de jubilarnos, de
dejar la tienda. Y yo pensé: yo en casa... yo a mí me da algo. Y entonces
pensé en apuntarme al colegio y venir y bueno, de verdad venir a la hora
que lo hice, porque vengo a gusto. Lo que pasa es que claro, es una vez a
la semana, tampoco no puedes hacer mucha cosa. En certificado sí, porque
venías cada día, y era, hacías cada día un poquito. Ahora claro, ahora...
bueno, que continuo trabajando mucho. Pero antes madre mía, anda que no
trabajábamos allí. Sí. Fíjate lo que trabajábamos... <me enseña la libreta>
de ánimo – dimensión
emotiva
Ve claramente una
diferencia entre las
matemáticas
académicas de antes y
las “matemáticas
modernas”
E.- Y con toda esta experiencia tan grande que tienes, tú si tuvieses Referencia a
que explicarle a otra persona participante, a un compañera, para estrategias de
aprendizaje
qué sirven las matemáticas, ¿qué le dirías?
B.- No, eso más bien como no soy muy... yo reconozco que, a ver si me
entiendes, lo cojo todo bien. Pero luego no soy muy de palabra, no.
E.- No, yo lo digo porque... a ver, tu a lo largo de toda tu vida, por
lo que explicas, siempre has estado utilizando las matemáticas,
pues para hacer cuentas siempre ha sido una cosa que siempre
420
T
pues para hacer cuentas... siempre ha sido una cosa que siempre Pedagogía basada en
las relaciones de poder, 2
has hecho...
B.- Siempre, pero si tengo... mira, nada más que tenga... para que veas...
nada más que tenga un poquito de papel, ya está. Antes de irme a dormir
siempre hago cuentas, siempre: dos o tres. Y tengo lo cuadernos llenos...
Ves: cuando tengo un trocico, que a veces lo dejo por... pues tengo
cuentas. Sí, sí, ¡es una cosa...! Mira, me encanta. Y esto no lo has visto:
mira. Y esta no me sale, pues entonces lo pongo aquí (porque a veces lo
hago muy deprisa y no...) a veces, para saber dónde me he equivocado,
pues lo pongo aquí; porque ésa la tengo a medias por eso, porque ésta la
tengo bien. Pues hago la prueba, a estilo vieja. Mira... Ves, todo esto lo
volví a hacer <me está enseñando su libreta> lo aprovecho para...
D
y en reforzar la
diferencia (en el
sentido de potenciar la
competitividad)
E.- Ahá. Y ¿cómo es eso de la prueba que dices?...
B.- Ah, ¿no lo sabes? Ahora te lo digo. Eso lo multiplicas por lo que has
hecho. Y te da igual que esto.
E.- Ah, digamos que el resultado de la división lo multiplicas por el
denominador y le sumas el resto...
B.- Eso, o sea que lo que te da lo multiplicas por... ¿esto se llama
denominador?
Motivo personal para
E.- Esto es el numerador y esto es el denominador <señalando aprender (matemáticas,
encima del papel>
etc.)
B.- Ah, y esto es el resultado. Esto es lo que no estoy muy... con el
numerador, con el denominador...
E.- Pero lo sabes hacer, ¿no?
B.- Sí. Mira, ya te digo, me encanta. Cuando a lo mejor estoy cansada, me
canso, y no la hago bien, pues entonces la hago en otro sitio para ver
dónde me he equivocado.
E.- Y además de todas estas pruebas que haces en la libreta, de
matemáticas, ¿haces alguna otra cosa más, o...?
B.- Ya, para aprenderlas. Pues más bien no...
E.- Pero bueno, aprovechas y haces cuentas en tu casa... no sé...
B.- Sí, pero más bien de cabeza. Mira, este ejercicio que hicisteis de las
cajetillas <se refiere a un ejercicio sobre potencias que dice que en una
caja hay 10 cartones de cigarrillos, y en cada cartón hay 10 cajetillas de
cigarrillos, y hay que calcular el total de cajetillas que hay> pues yo dije,
Baja autoestima
bueno, tantas cajas, pues tantas cajas tiene, y lo fue apuntando. Y luego
pensé: 10 cajas, a 10 cartones, son... bueno, no me acuerdo cómo lo hice:
lo tengo aquí, era el 77 <número de ejercicio>, que no lo tengo hecho
porque te acuerdas que me tuve que ir... tenía que ir al gestor y no me pude
quedar. Éste, éste... no lo he hecho, y yo no sé cómo que lo tengo
apuntado... ¿Esto qué es?...
421
6
D
E
E.- Eso es del ordenador seguro.
B.- Pues esto es que me lo dijo la M, sí. <está intentando ver de dónde
salen unos apuntes que hay en su libreta, mientras busca el anterior
ejercicio> Y me lo enseñó, y, pero bueno... ¿cómo has sacado el resultado?
Pues a ver si lo saco yo <B durante varias semanas ha estado fuera de viaje
y hay una parte de los apuntes que se los ha pasado M> Mira, en un
paquete hay 10 cajas, cada una contiene 10 cartones... a ver, a ver, no es
tan difícil... un paquete, hay 10 cajas, cada una contiene 10 cartones... a
ver, Javi, ¿cómo se hace? Aquí tengo hojas vacías, y luego ya lo pongo yo
en limpio. Es que a mí no me gusta copiarlo, si no, no tiene gracia. A ver,
en un paquete hay 10 cajas: y qué se pone ¿10?
Motivación personal
por las matemáticas
6
D
3
T
T
Repite los ejercicios
hasta que le salen
Método personal para
resolver ejercicios
B.- ¿Pongo cajas? Cada una... ¿también lo pongo? ¿no? Cada una contiene - estilo de la vieja10 paquetes...
E.- ... cajas.
E.- ... 10 cartones...
B.- ¿Y dónde los pondrías? ¿Aquí?¿Aquí?
E.- Sí.
B.- Pero tendré que poner cada una, ¿no?
E.- No, pero yo pondría, en cada caja, hay 10 cartones...
B.- Sí, ¿una flecha aquí?
E.- Sí, para decir, que en cada una de ésas, hay diez cartones.
Hace la prueba de la
división, para ver si
está bien hecha
Pregunta por el
concepto de
denominador /
numerador
B.- ¿Pongo cartones?... Esto es lo que me falta a mí mucho, saber cómo...
Cartones de tabaco. Cada uno de las cuales contiene a su vez 10 cajetillas.
O sea, yo comprendo muy bien que cada cartón de este son 10 cajetillas. Y
pongo cada cartón, para saber yo que es... Cada cartón contiene pones,
¿no?
Siempre intenta
E.- Ahá...
averiguar dónde
B.- Aquí ¿o no? Aquí, sí. También con una equis ¿así? ... Contiene 10
comete los errores
cajetillas ... 10 cajetillas... Expresa en forma de potencia, el número total
de cajetillas. Entro un tres... me voy a arriesgar, y lo coloco ahí... me
parece que está bien, ¿no?
11
7 / 11
A
T
D
T
3
3
6/3
E.- A ver, tú tienes 10 cajas, ¿no?
B.- Sí.
E.- Abres la caja y tienes 10 cartones. Y abres el cartón y te Hace las cuentas “de
cabeza”
encuentras con diez cajetillas.
B.- Sí.
E.- Entonces, ¿cuántas...? lo que te pregunta es ¿cuántas cajetillas
tiene cada caja grande?
B.- Pero eso hay que, ¿qué hay que hacer, multiplicar las...? ¿Cuántas cajas
tengo? 10 cajas, y luego están los cartones, hay que multiplicarlo por lo
cartones...
422
3
T
E.- Ahá...
B.- Son tres, hay que multiplicar 10 tres veces. Pero como dice en forma
de potencia, ¿cómo se hace?
E.- Pues se multiplica 10 por 10, por 10, igual a 10 elevado al cubo.
B.- Diez, y ahora aquí tienes que poner algo, ¿una coma?
E.- Eh, multiplicado.
B.- ¿Lo multiplico?
E.- Sí.
B.- ... ¿es igual?
E.- a diez, por diez, por diez. O sea, que lo tienes que multiplicar
tres veces.
Desarrollo de un
B.- A ver que te lo vea yo, vamos a ver, que te lo vea yo hacer...
E.- Es simplemente decir, 10, por diez y por diez. Igual a 103.
B.- ¿Porque se cuentan los ceros?
ejercicio:
E.- Exacto. No, no es que se cuenten los ceros... es que tú tienes 10
cajas, y en cada caja dice que hay 10 cartones, y en cada cartón hay
10 cajetillas... total, que si quieres saber el número total de
cajetillas, simplemente tienes que multiplicar las que hay en cada
Está intentando
cartón, y en cada caja.
3
D
T
“dibujar” el problema 3
(representación gráfica
de un problema
matemático)
A
T
Relación entre el
3
enunciado del
problema y el esquema
E.-Claro. Y diez veces 100.
gráfico que representa
B.- Y ¿cómo lo hago?
la situación expresada
E.- Pues 10 por 10, que son 100. Y ese 100, por 10, que son las por el enunciado
A
T
A
T
B.- Ah. Entonces el resultado son las cajetillas...
E.- Claro, que serían en este caso 1000 cajetillas.
B.- Que serían 300...
E.- No, a ver, ¿10 por 10?
B.- Que son 100.
E.- ¿Y por 10?
B.- 200.
E.- No. ¿10 por 100?
B.- Ah, eso ya es otra cosa.
E.- Claro.
B.- ¡Ah! Eso no lo había hecho yo. Claro, yo decía: 300, pero no, no...
Tiene que ser... 10 veces... ¡ayyyy!
mil.
B.- 10 por 10 cien, ya están las primeras. Y ahora qué... porque ¿será muy
grande? O sea, ¿serán muchos números? ¿Ahora qué hago?
E.- Ahora la multiplicas por estos números...
B.- ¿Pero los ceros no se ponen?
E.- Los tienes que poner, pero detrás...
Pasa del esquema a la
representación
algorítmica del
problema. Utiliza el
concepto de
lti li ió
ld
423
3 / 7 / 10
B.- Detrás, ya.
E.- Es un 1, seguido de tres ceros.
B.- Bueno, voy a ponerlos, y uno por uno es uno. Y ahora los ceros... Son
mil cajetillas... ¡Ah, claro! Es que yo estoy liada en el exponente, estoy
liada en el exponente. Pero claro, el exponente es que es 3 veces esto. Ya,
ya, ya... bueno, pero ¿cómo lo hago ahora? Eso lo tengo que poner en
limpio...
E.- Tú pon: 10 por 10, tres veces...
B.- 10, y el puntito, ¿no? Por 10 y por 10, es igual, a 10 a la 3. Bueno, ése
ya está. Si quieres que hagamos otra cosilla...
multiplicación y el de
potenciación.
Explicación del
“sentido” del problema
Identifica claramente
el sentido del concepto
de la multiplicación
E.- Si, mira, yo me había traído aquí algunas cuentas, ¿las
apuntamos? Mira: 1625 – 45.
3 / 10
E
3
T
B.- Mil, seiscientos veinticinco, menos cuarenta y cinco, menos cuarenta y
cinco. De cinco a cinco cero, de cuatro a doce, seis-ocho, y llevo una. De
Muestra de inseguridad
una a seis cinco, y, el uno qué se hace ahora, ¿se baja también? Claro,
(antes lo hizo bien, y
porque no tiene... ¿Se hace así?
ahora lo pregunta
E.- Muy bien. Éstas ya veo que las controlas... Y a ver éstas, con un como si no lo supiera)
decimal: 2305 más 32,03.
B.- Sí. Espérate, no me digas nada, a ver si la sé poner. A ver, dos mil,
trescientas cinco. Treinta y dos... ¿Pero se pone la coma primero, no?
E.- Sí, treinta y dos coma tres.
B.- Sí, ¿y ahora se suma, no? Pero cuando está bajo el cero no se pone
nada, se baja el cero. Siete, tres, tres y dos.
E.- Bueno, estás hecha una hacha. Ahora éste es 1025 por 0,24,
multiplicado por 0,24.
Dificultad de entender
lo que significa el
concepto de
multiplicación cuando
se pide que se utilice
académicamente
B.- Ah, éste ya es más complicado. Cero veinticuatro. Es igual... A
ver, esto sí que no lo sé.
E.- Sí, 1025 por 0,24. Entonces hacemos una multiplicación
normal... 4 por 5 veinte, me llevo dos, 4 por 2 son ocho, y dos 10,
te llevas 1, cero y dos, cero, y una que te llevabas es una, y 4 por
una es 4. Y abajo lo mismo. Dos por cinco, diez, 2 por 2 cuatro, Dificultades originadas
por la inseguridad y
cero, y dos. Total: 246.
(creo) que también por 3
B.- Cero, cero, seis cuatro y dos. No, lo que no sabía yo, Javi, es que se
ponía así para multiplicar. ¿Esto qué quiere decir, que son decimales?
E.- Sí, esto significa que son decimales.
B.- Eso significa que son decimales. Ah, pues muy bien. No es muy
complicado. Es que no lo había hecho nunca, la verdad.
querer ir rápido y
responder de manera
mecánica, sin pensar
E.- Y éste de aquí abajo? 2367...
B.- ¿dos mil...?
E.- 2367 dividido, entre 14,05.
Se da cuenta del error
424
se mezclan varias
cosas: 7 / 10 / 4 ...
A
E
B.- Dos mil, trescientos, sesenta y siete, dividido... ¿entonces se pone un
cero?
E.- Sí.
B.- Una coma, un cero y un cinco. 14 coma...
E.- Cero cinco.
B.- ¿Coma...?
E.- No, primero un cero, y después un cinco.
Se pone nerviosa y
entonces olvida cómo
resolver el problema
(que antes había
identificado
perfectamente)
B.- A ver... así. Bueno, ¿y ahora qué? Ahora si que no sé yo.
E.- Bueno. Ahora tienes aquí una división con decimales. Entonces En vez de hacerlo ella,
pide que se lo hagan...
vamos dividiendo con normalidad. Vamos y decimos, para 14, el
23...
B.- A ver.
Identifica el obstáculo,
E.- dos, tres, seis, siete... entre 14,05. A ver, la coma, ahora, te que es el concepto de
olvidas de ella. Y se hace todo. Lo único que tienes que poner aquí exponente
tantos ceros como cifras haya detrás de la coma, ¿ves?
[interpretación mía: a
3 / 10
D
E
Hace el proceso
académico para
B.- Es que no sé qué quieres decir. Bueno, yo lo hago así... dos entre una a
resolver la resta
7 / 10
dos. Dos por una es dos a dos cero. Y bajo el tres. El tres sí que no me
coge a cuatro. Entonces tengo que coger los dos. Es que claro, como está
Muestra de inseguridad
eso, pues ya, ya...
A
T
A
E
B.- Ah, ya, ya, ya... Estoy liada, ¿eh?
E.- A ver, 14, el doble sería 28... Yo lo probaría entre uno.
B.- Por uno, ¿al cinco?
E.- Sí.
B.- Pero empiezo aquí.
lo mejor esta manera
de poner la operación
es lo que la ha liado:
En vez de 10x10x10;
103]
E.- Sí.
B.- A bueno, entonces sí. Claro. Dos entre 1, pues a dos, no? ¿Cero por
uno? Una por una es una, a dos una ¿eh?
E.- Cinco por una es cinco, a siete dos...
E.- Bueno. Esto es como si tuvieras esta división... <le escribo
2367 dividido entre 1405>.
B.- Entonces ¿qué? ¿Cómo lo hago? Dime cómo lo tengo que hacer.
7 / 10
Conoce la suma con
números racionales
La multiplicación de
un número entero por
un número racional
entre 0 y 1. No sabe
hacerla.
425
7
Dificultad para situar
correctamente los
símbolos matemáticos
para resolver la
operación en la libreta
10
E
6
T
3
E
Sabe que para resolver
una división de un
número entero entre un
decimal tiene que
poner ceros en el
dividendo cuando no le
cabe...
Dice estar liada
Tiene claro cuál es el
426
procedimiento correcto
para hacer la división
7 / 10
De nuevo aparece el
sentimiento de
inseguridad
[interpretación mía,
debido a la brecha
entre el conocimiento
académico y lo que
ella sabe hacer desde
su experiencia de vida]
427
T
EJEMPLO
SESIÓN DE ACTIVIDADES
[EV]
TRANSCRIPCIÓN DE LA CINTA DE VÍDEO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
P2.- Completa la siguiente tabla: masa, Kg...
P3.- ¿Dónde estás?
P1.- En la página 152.
P2.- ... masa y Kg... importe en euros <mueven las páginas, abren el
libro por donde toca.
<Están todas sentadas alrededor de una mesa>
P2.- no sé qué pone: 1, 2, 3...
P1. Sí, pero mira lo que pone ¿qué puede significar ese 1, ese 6, ese 2
y ese 6...?
<el ejercicio es éste:
Masa kg
Importe en euros
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
1
3
2
6
3
4
5
6
>
P2.- A ver, 1 kg... importe en euros 3 €, 2 kg, 6 €... Entonces sería
calcular el importe de los demás kilos, lo que cuestan, ¿no?
P1.- Sí, ¿3 kg?
P2.- Serán 9 €, ¿no? Y así sucesivamente.
Todas: ¡Sí!
P2.- ¿Continúas tú, ahora? <a una compañera>
P3.- Es que yo soy novata.
P1.- Cuatro kilos, ¿cuánto costaría, por ejemplo...?
428
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
P3.- A ver. Espera... 3 por 4, doce. Y tres por siete... 21. Y así. Y 6 por
3, dieciocho euros. Tres por cinco, 15 euros. Tres por cuatro, 12 euros,
y siete por tres, 21, y ocho por cuatro <otra compañera corrige 8 por
3> ocho por tres, 24 <va rellenando los resultados en la casilla
correspondiente, pero lo hace salteado, empezando por el final, y
yendo hacia delante>
P1.- Sí, bueno, muy bien. Pero ¿cómo va esta tabla?
P3.- Bien.
P1.- Sí bueno, pero ¿cómo va la tabla?
P1.- ... por tres... El precio del kilo, por los kilos que sean... Si vale tres
euros, pues cada kilo por tres euros.
P1.- ... quieres ir leyendo lo que es la constante de proporcionalidad...
P4.- Habrás observado que la masa Kg de champiñones y su importe
están relacionados de forma que depende el uno del otro. Esa
dependencia esta determinada por una constate k que nos permite
asignar a cada masa su importe. En este caso la constante es el precio
(k igual a tres euros el kilo).
P1.- La k es tres kilos. La k es lo que llamamos la constante... en este
caso es una k, que siempre es la misma, es 3, ¿no? Eso es la constante,
que siempre le llamamos k.
P3.- ... la k es tres euros, k es de k, de kilo... <mueve la cabeza
dubitativamente>
P1.- k es la constante, significa constante.
P4.- O sea, dando a k distintos valores de la primera magnitud, masa,
vamos obteniendo los valores de al segunda magnitud.
P1.- Es lo que habéis hecho de cabeza, ¿no? Cogéis los valores de los
kilos que tenéis, y lo multiplicáis por 3, ¿no? Venga a ver, el
problemilla número uno.
P4.- ... durante la hora que hemos estado en el puesto, se han vendido
10 kilos de champiñones. a) si se mantiene constante el ritmo de venta,
¿qué valores va tomando la magnitud kilos de champiñones en la
siguiente tabla?
(.../...)
Bueno, en una hora, pues se han vendido 10 kilos de champiñones. En
dos horas, pues 20...
429
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
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117
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127
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129
130
131
132
133
134
P1.- <simultáneamente> Y nos va diciendo que más o menos se van
vendiendo... bueno, suponemos que se van vendiendo esto cada hora lo
mismo, que no suele pasar...
P4.- Si se van vendiendo por un igual. Si en una hora han vendido 10,
en dos horas, valdrán 20, ¡Ay! venderán 20. O sea, multiplicando cada
uno por, por 10, ¿no? 35, 350, ¿no? 45 por 450... bueno, por tantas
horas, ya no me acuerdo por cuántas horas son...
P5.- 10...
P4.- No, pero, 10, 20, 30... 45 horas, por eso.
P5.- El de arriba es el de las horas...
P4.- Por 50 son 500, y por 100 son 1000.
P1.- ¿Vale? ¿Hacemos la siguiente? La b, la b ¿qué nos preguntan?
P5.- ¿Cuál es el valor numérico y el significado de la constante (kilos)
en este caso?
P1.- No kilos no, la constante.
P5.- La constante de k.
P1.- ¿Qué quiere decir la constante en este caso?, ¿cuál es la
constante?
P5.- 10
P1.- 10, ¿qué?
P2.- 10 horas.
P5.- 10 kilos, ¿no? En una hora 10 kilos, ¿no?
P1.- En una hora se venden 10 kilogramos...
P1.- En una hora se venden 10 kilogramos. ¿Y eso cómo lo ponemos
si luego se escribe en la pizarra? Si lo tenemos que poner en la
pizarra, ¿eso cómo se pone?
P2.- No sé.
P1.- Antes hemos hecho la k era 3 euros por kilo. Poníamos tres euros,
raya kilo. Aquí ¿cómo sería...?
P4 y P5- 10 por hora.
430
135
136
137
138
139
140
141
142
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181
182
183
184
P6.- 10...
P1.- 10, ¿qué?
P6.- 10 kilos por hora.
P1.- <se levanta y escribe en la pizarra> O sea pondríamos esa misma
k... 10, en este caso la k sería 10 kilos por hora. <escribe 10 k/h ‘en
vertical’> Y antes la k era que 3, 3 ¿qué?
<mira a P6>
P6.- 3 euros <mira a P6>
P1.- 3 euros, por..
P6.- 3 euros por kilo.
P1.- La forma matemática se presentaría así, la constante... Son 10
qué, ¿qué significa eso? ...
P4.- Lo de abajo es la hora, ¿no? lo que has puesto abajo es la hora...
P1.- Sí. Lo que has puesto abajo es la hora. Es como si un coche fuera
a 10 km por hora, ¿qué significa?
P6.- Que cada hora recorre 10 km...
P1.- Lo mismo, lo que pasa es que a nivel matemático se pondría así.
bueno pues vamos a ir leyendo hasta la 153 y luego nos ponemos con
el ordenador. Por ahora se va entendiendo que es la proporcionalidad:
cuando una cosa aumenta, aumenta todo lo demás...
Todas.- Sí.
P1.- Venga.
P6.- ¿Yo?
P1.- Sí.
P6.- Una vez cerrado el mercado las personas que trabajan tienen que
limpiar y ordenar. Suponiendo que el rendimiento de trabajo por
persona es el mismo, el tiempo que tarden en arreglarlo dependerá del
número de personas. Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta
que el doble de personas no tarda el mismo tiempo.
P6.- Pues ahora es al revés.
P1.- Al revés, sí, ¿por qué?
431
185
186
187
188
189
190
191
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230
231
232
233
234
P6.- Porque el doble de personas, en una hora, pues les costará la
mitad...
P1.- Pero ¿porque es así o porque lo dice el libro?
P6.- No, porque es así... el libro lo que te está diciendo es que el doble
de personas gasta la mitad del tiempo, por lo tanto... es que tiene que ir
haciendo...
P1.- Claro, no es como en el caso anterior. Si tenemos que hacer la
limpieza, y queremos acabar antes, pues cuantas más personas
tengamos, antes acabaremos...
<Una voz interrumpe: ¿vais a utilizar los ordenadores?>
P1.- ¿Cuáles?
(.../...)
P1.- Pues mira, éste y éste seguros.
(.../...)
P6.- Una persona tarda sesenta minutos, dos personas, 30; tres
personas, 20... ¿no lo hago bien?
P1.- Si, sí...
P4.- ¿Cuatro personas?
P5.- ... Treinta... quince... ¿no lo hago bien?... Y tanto, la mitad de
treinta son quince. Cuatro personas, ¿cómo lo digo? ¿7 y medio? ¿Pero
cómo lo represento? 7 y medio sería siete coma cinco.
P6.- Cinco personas, la mitad de 7,5.... sería...
P5.- 3,75
P1.- 3, 75 pasado a minutos... 3 horas...
P6.- ¿Cómo pasado a minutos?
P1.- Sí, pásamelo a minutos... es como 3,5 es tres horas y 30 minutos,
en este caso...
P6.- 3 horas y 45 minutos.
P5.- 3,75...
432
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
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258
259
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261
262
263
264
265
266
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272
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275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
P6.- 3,45
P5.- Y se representa con 3, 45...
P1.- Como tú quieras. 3, 75 es lo mismo que 3 horas y 45 minutos...
¿vale?
P5.- Ah, vale.
P1.- ¿Y seis personas?
P5.- Pues la mitad de 3,75... 1,72 y medio.
P6.- Repasando en horas... Pasado a horas, pues lo dividimos.
P3.- Uno, uno...
<se oyen voces de fondo>
P6.- Que era... no.
P5.- Setenta y cinco no es la mitad,
P1.- Ahora estamos haciendo la mitad
P5.- Dividido entre dos.
P1.- Bueno vale.
P5.- Bajamos, una...
P3.- Uno setenta y dos y medio....
P1.- ¿Cuánto sale la mitad?
P3.- Bueno, vamos a ver...
<la P1 sale a la pizarra a hacer la división...>
P6.- Uno, diecisiete con... veinti... eso <mientras P1 escribe en la
pizarra >
P5.- Bueno, eso.
<P1 escribe: 3,75 / 2>
P1.- 1, 7... ¿pongo alguna coma o algo? ¿Aquí?
P6, P7.- Sí... 1,1,7, 8, 5, 7, 1, 0. <lo van diciendo mientras P1 hace la
división en la pizarra, a la forma tradicional>
433
285
286
287
288
289
290
291
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295
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299
300
301
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305
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327
328
329
330
331
332
333
P6.- 1, 87... Que representa uno y algo más de tres cuartos...
P2.- Sí, 1,87 son casi 2 horas...
P6.- No llega.
P1.- Se tiene que pasar esto para saber cuántos minutos son...
P1.- 1 hora, ¿cuántos minutos son? Sesenta... pues mira, si queréis
cogemos...
P6.- 1, 75 son 1 y tres cuartos de hora... entonces esto es, 1,87...
P1.- ¿Pues 1, 87?
P6.- Unos 10 minutos o algo así será...
P1.- A ver, si multiplicamos 0,75 por 60, que salía antes... teníamos
3,75, no? Y habéis dicho que esto eran 45 minutos, no?... pues
multiplicad 0,75 por 60, a ver cuánto sale...
P2.- 0,75...?
P1.- Por sesenta.
P6.- 45.
P1.- Eso es lo que hemos dicho, 45 minutos. Lo que estamos diciendo
ahora, el sistema del 75 es decimal. Para pasarlo a minutos tenemos
que multiplicar o dividir por 60. Si tenemos 3 con setenta y cinco, en
decimal, para pasarlo a minutos multiplicamos por sesenta. El paso es
que yo considero que tengo 0, 75. Yo ya sé que tengo 3 horas.
Entonces, ¿cómo lo convertimos en minutos? Lo tenemos hecho por
nuestra cuenta, que va más rápida. Pero también lo podemos hacer por
calculadora, tenéis que multiplicar 0,75 por 60, entonces tengo ya
minutos. Entonces, haced esto, multiplicad 0,875 por 60.
P4.- 0,875... ¿por...?
P1.- 60... para pasarlo a tiempo... ¿igual?
P5.- 52,60.
P1.- Pues ya está. Entonces sería 1 hora y 52 minutos... pasado a... casi
2 horas
P6.- Faltan 8 minutos para 2 horas.
434
334
335
336
337
338
339
340
341
342
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346
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365
366
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375
376
377
378
379
380
381
382
383
P1.- ¿Cómo podéis pasar a veces cuando sale 1,25; o 1,5 ese 5 son 30
minutos, no?
P1.- Entonces en este caso, como 1,87 no sabemos cuantos minutos
son, pues multiplicamos 0,87, por 60, y nos da los minutos que
tenemos: 1 hora y 52 minutos ¿eh? Vale. Esto no entraba en el tema,
pero así ya hemos aprendido una cosa nueva.
<varias voces a la vez>
P6.- Es este caso la constante son los minutos... en este caso la
constante de proporcionalidad es el tiempo total del trabajo: 60
minutos. Dividiendo k por los valores de la primera magnitud, vamos
obteniendo los valores de la segunda.... o sea que la constante son los
minutos... proporcionalidad directa e inversa. Teniendo en cuenta que
el kilo de lenguado está a 30 euros. Completa la siguiente tabla.
P1.- Claro, antes tenemos que pensar si a más kilos pagamos más,
antes de empezar a hacer nada, no sea que nos liemos y resulta que
estamos ante una pregunta se esas de a más personas, más o menos
tiempo. Entendéis, siempre hay que hacer esa pregunta. A no ser que
nos hagan ofertas, a más kilos, más tenemos que pagar, pues entonces
ya sabemos que tenemos que multiplicar.
P6.- Son 60, 90, 120.
P1.- Vale, o sea, aquí en este caso, 1 kilo son 30 euros, 2 kilos, sesenta,
P5.- 3 kilos fan noranta... d’acord.
P1.- Seguimos leyendo lo de abajo, quiere seguir alguien lo que hay
debajo de esta tabla?
P3.- ¿Aquí?
P1.- Sí.
P3.- Es que yo no soy muy buena... Las magnitudes masa e importe
son directamente proporcionales porque tienen una relación de
dependencia tal que al aumentar una aumentará la otra en la misma
proporción.
P1.- Vale, cuando veis que es directamente proporcionales, al
aumentar la una aumenta también la otra. Al comprar más kilos de
lenguado, más pagamos. Al disminuir una, disminuye también la otra
en la misma proporción.
P1.- Ay, una cosa cuando hablamos de proporcionalidad utilizamos la
palabra magnitud. ¿Alguien ha oído hablar de ella?
435
384
385
386
387
388
389
390
391
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398
399
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429
430
431
432
433
P6.- Magnitud es lo que ocupa, lo que representa.
P1.- ¿Algo que se puede medir? ¿Todo lo que se puede medir? ¿Un
pensamiento, por ejemplo?
P5.- No, cosas materiales
P1.- O sea, cuando hablamos de magnitud en matemáticas, es todo lo
que se puede medir...
Vamos al caso contrario, a la derecha.
P3.- Aquí, arriba. Dice, al llegar el momento de cerrar, hay todavía
unas cuantas personas sin despachar, teniendo en cuenta que hacerlo
llevaría a un solo dependiente 24 minutos, completa la siguiente tabla.
O sea, 24 minutos.
<comentan entre ellas>
P6.- Uno tarda 24 minutos... 2, 12
P3.- Cuanto más dependientes menos... es decir, cuanta más gente,
menos tardan...
P6.- Un dependiente lo hace en 24 minutos...
P3.- Dos en menos, en la mitad.
P1.- Suponiendo siempre en matemáticas, las cosas son siempre casi
experiencias de laboratorio, que todo el mundo hace el mismo trabajo,
y bueno, pero eso no es así en la realidad.
<no se oye muy bien, continua leyendo>
P3.- ... al disminuir una, aumenta la otra en la misma proporción.
P1.- Esto es diferente que la otra. Cuando una aumenta, la otra
disminuye y cuando una disminuye, la otra aumenta. Si queréis, antes
de pasar a los ordenadores, hacemos el problemita siguiente.
P4.- ... velocidad media del coche...
P1.- ¿Sube más o menos? De más a más...
P4.- El d), número de litro de agua que... Cuantos más litros eche,
tardará menos...
P1.- O sea, que cuando el grifo eche más agua, tardará menos en
llenarse. Siempre hay que hacerse esas preguntas.
<se pasa a los ordenadores, minuto 19:34>
436
434
435
436
437
438
439
440
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<se oyen muchas voces>
P1.- ¿Qué es más grande, la puerta o tu compañero?
P3.- Hombre, la puerta es más grande.
(.../...)
P1.- ¿a qué distancia...?... la puerta...
P3.- La puerta es más grande, es más alta.
P1.- ¿Qué, qué pensáis de esto?
P4.- Si me tengo que guiar por el dibujo, la puerta.
P5.- Pero si miras muy lejos, pues quizás sí, si tu te pones en la puerta
y yo me voy muy lejos...
P1.- ¿Qué, qué pensáis? Lo podemos comprobar si queréis...
P4.- Si uno se pone en la puerta, y tú te pones muy lejos...
P1.- Si queréis me pongo en el pasillo, y lo comprobamos... ¿qué, qué
pensáis?
<P1 se va hacia la puerta y se pone en el quicio>
P1.- Vamos a comprobar si queréis...
P5.- El compañero se posa a la porta...
P6.- Si se pone delante de la puerta, de lejos, se ve más grande.
P5.- Si te’ns vas més lluny, si ho veus igual o...
P4.- Yo creo que no, que seguirá siendo más pequeña.
P1.- ...hay algún momento...
P5.- Hombre si te vas tú... a ver, si tú te vas más lejos, yo te voy a ver
más pequeña, pero la puerta continuará siendo la misma.
P1.- ¿Y hay algún momento en que mi altura sea igual que la de la
puerta?
P5.- A bueno, yo no, yo no, yo la distancia se vea de la puerta...
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P1.- Mirad a ver si en algún momento me veis igual que la puerta... si
me veis, ¿eh? desde vuestro sitio.
P5.- Desde aquí no...
P1.- ¿Y si me pongo aquí, delante de vosotras?
P4.- A bueno, si tu te pones...
P6.- Aumentas. Claro, al verlo en prisma...
P1.- ¿Y hay algún momento en que me veis igual que la puesta?
P5.- Pareces igual de alta que la puerta.
P1.- Si estoy bajada sí,
P4.- Cuanto más lejos te vayas... te verás más pequeña
P5.- Pero yo si estoy a tu altura, a ver yo así <está sentada> te veo
más, o sea, estás más alta...
P1.- Pero ¿no alcanzo la puerta, no?
P5.- Pero si me pongo aixís <se pone de pie> després en realitat, com
estem a la mateixa altura, doncs yo en realitat lo que veig és la
distància amb la porta <señala con la mano desde la cabeza de P1
hasta el quicio de la puerta>.
P1.- Entonces ¿qué? yo... ¿en algún momento me veis más alta que la
puerta?
P6.- No, más alta no.
P1.- ¿En ningún momento?
P5.- Yo creo que sí. Que si tu te pones aquí te veo más alta...
P1.- ¿Y ahora mismo me veis más alta que la puerta?
P4.- No, más alta que la puerta no.
P1.- Pues me pongo más cerca.
P5.- Tendrías que ponerte más cerca... Eso se vería en el pasillo
P1.- Y si me pongo más cerca, a ver, quito la silla... ¿ahora mismo me
veis más alta?
P5.- A ver, ponte aquí... yo diría que sí. Hombre, casi...
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P5.- Yo diría que sí...
P5.- Pero tú si te pones allí...
P4.- Sí, a qué distancia te tienes que poner...
P6.- A ver, la pregunta dice ¿qué es más grande tu compañero o
compañera, o la puerta?... pero no dice que tú te has de poner.
P5.- Si tú te pones más cerca...
P1.- Si me pongo más cerca, ¿tú me ves más alta que la puerta?
P5.- Si, sí, ya lo eres...
P4.- Ya está entonces.
P1.- Pues entonces sí que coincide. ¿Qué?... ¿podemos decir que sí a
eso?
P6.- Yo no lo leo así.
P1.- Pues a ver, léelo otra vez.
P6.- Dice que camines tú, dice, crees que si caminas hacia adelante, tú
(yo), o sea, no tú que
estás en la puerta, o hacia atrás, ¿llegará un momento en que será igual
de alto que la puerta...?
P5.- Si está muy pegada, cuando ella está muy pegada aquí...
P4.- Cuando te acercas tú más hacia aquí, o nosotras hacia ti, te
veremos más alta que la puerta.
P1.- ¿Y yo más a vosotras, no? ¿Es lo mismo, no?
P6.- Bueno.
P1.- Sí, ¿no?
(.../...)
P1.- ¿Quieres comprobarlo como lo ha comprobado ella?
P6.- No, si ya entiendo lo que dice, lo que no entiendo es cómo está
preguntado... interpretar la pregunta...
P2.- ¿Puedes acercarte cuando puedas? Interpretar la pregunta es lo
que no entiendo...
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P1.- A ver, dime, ¿qué problemas surgen ahí? ... ¿a qué distancia de la
puerta te has puesto para conseguirlo?
P6.- Entonces claro, si tú te pones encima nuestro, sí que llega un
momento en que pareces igual que la puerta. Porque estamos... pero si
tú te pusieras en la puerta como aquí dice, entonces claro, veríamos
todo más lejos en proporción.
P5.- Pero yo también te digo una cosa, tú y yo perquè som casi iguales
d’altura, però ella què és més alta, eh, jo després no sé la perspectiva
com és? Tú, per exemple, posat davant d’ella, tú posa’t davant d’ella...
<coge a la compañera y la pone delante de ella> te poses aquí, a mi ja
me tapes, som pràcticament iguales. Però ella, que és més alta, ella veu
la porta.
P4.- Claro, porque ella la ve por arriba, como es más alta, al ve por
arriba. Tiene que ser que seáis iguales, claro.
P4.- Ella lo ve por arriba, y claro.
P6.- Pero es que aquí no dice eso, dice que la compañera y la puerta
tienen que estar quietos, y somos nosotros lo que tenemos que
acercarnos o alejarnos, y entonces yo lo que digo es que todo aumenta
o se reduce en proporción.
P1.- ¿La pregunta se entiende así todo el mundo?
P3.- Yo lo entiendo como real, no como proporción, yo la entiendo
como real. Como yo sé que una puerta mide 2,20m más o menos, y mi
compañero pues 1,60, pues, en perspectiva, vale, pero siempre en
perspectiva la persona sigue siendo más pequeña que la puerta.
P6.- Exactamente.
P5.- No, pero en perspectiva yo la diferència que veig tú estan aquí
<P1 está bajo el quicio de la puerta>. En canvi, si tu estàs aquí, davant
meu, doncs és diferent.
P6.- Escolta, aquí diuen que la persona i la porta s’han de posar a on
estan, ets tu la que has d’anar i vindre, però tan si vas com si vens, tot
es veurà en conjunt o més petit, o tot es veurà en conjunt més gran.
No es veurà, de la manera que ho feieu, no s’entén.
P1.- Entonces ¿cuál sería la respuesta?
P6.- La respuesta es que proporcionalmente lo veríamos más pequeño
o más grande, depende...
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P3.- En realidad la puerta es más grande, siempre.325 La proporción...
<varias voces>
P3.- Yo no sé cómo lo hemos puesto esto...
P5.- La següent...
Yo, esto, es muy chapucero cómo lo he puesto...
P1.- La cercanía... a más cercanía los objetos se ven más grandes... Si
es lo que ya habíamos comentado, a más cercanía los objetos se ven
más grandes, y cuanto más lejos...
P4.- Más pequeño.
P1.- Es lo que habéis puesto, ¿más o menos? Vale.
P1.- Cuanto más cerca te pones más grande lo ves.
P2.- Y luego lo que te dice el compañero, mira que yo sé lo que mide
la puerta y es todo siempre igual, ¿no?326
P1.- O sea, puede ser más grande o más pequeño, pero siempre
proporcional, ¿no?
<hablan todas a la vez>
P4.- Y como era la Rosa, ponemos metro sesenta...
P3.- Yo he puesto, la puerta 2,20m, y Rosa 1,60m, ¿no?
P1.- ¡Uy!, 1,60m, no sé yo. Pues la verdad es que no me acordaba.
P5.- Sí, porque yo hago metro sesenta y somos más o menos iguales.
P1.- Ya está, ¿no? Esta pregunta ya se ha acabado.
<pasan a la siguiente pregunta>
P1.- Si lo ponemos así <saca un folio y lo muestra poniéndolo
verticalmente>
P3.- Por forma, se entiende el esquema, no?
(.../...)
325
Esta persona ha trabajado con otra señora, en un grupo de dos personas, que se ha mantenido al
margen de la conversación que ha mantenido el resto de la clase en torno a la perspectiva y a la
proporcionalidad.
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Es la otra señora que ha trabajado con la persona a la que nos referimos en la cita 1.
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P1.- Lo hacemos de forma matemática, ¿a ver si es cierto? Medid el
largo y el ancho, y a ver si es la misma proporción en los dos. Sí que
es cierto, supongo que es la misma proporción en los dos casos, pero
vamos a medirlo.
P2.- Y el otro que está sin doblar...
<otra señora coge un folio y lo dobla por la mitad, luego coge uno
entero y lo pone uno junto al otro>
P3.- A ver, esto es un rectángulo y esto es otro rectángulo, ¿va por ahí
la cosa?
P2.- Viéndolo así, claro, sólo que este es más grande y ese está más
pequeño.
<la señora coge los dos folios y comprueba que la altura de uno es la
misma que la del otro, haciendo coincidir los dos lados>
P3.- ... Éste es igual...
<a la vez, otras señoras van diciendo las medidas de los folios>
P5.- Quinze i quinze, i l’altre vint-i-u.
<la señora que está mirando los lados del folio, se pone a mirar lo que
está haciendo el grupo del otro lado>
P4.- Quince por veintiuno.
P1.- ¿Dividido? ... Mirad bien el orden...
P5.- Igual a 0,71.
P1.- Antes has dividido el grande con éste... ¿o ha sido al revés? <P1
ha dibujado los dos folios en la pizarra>
P5.- No, aquest amb aquest <señala los lados que ha dividido>
P1.- Pues entonces... es que se puede hacer de muchas maneras: o
comparáis éste con éste, y éste con éste, o éste con éste...
P4.- Éste, éste...
P1.- Pero has seguido el mismo orden, ¿el grande con el pequeño?
P4.- Espérate...
P1.- Pues tiene que salir la misma proporción. Primero el grande.
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P4.- 21 por, por 30, igual a 0,7.
P1.- 0,7. Y ahora tienes que hacer este por este.
P4.- 15 por 21. 15 dividido por 21, que da 0,71.
P1.- ¿Lo veis? Es correcto. Eso es la constante k. Hemos dividido éste
entre éste y os da 0,7. Y luego éste entre éste y os da 07. La constante
siempre es 0,7. Pero también lo podéis hacer de otra manera, podéis
dividir éste entre éste.
P4.- A ver, que son 15 por 30...
P5.- No 15 por 21.
P4.- 15 por 21.
P1.- Dividido...
P5.- Igual, 0,7.
P1.- Y ahora éste por éste. También.
<se pasa al ejercicio siguiente>
P4.- ... la butifarra vale 5 euros. 5 por 5, es igual a 25. 5 kilos... 25
euros.
P5.- ¿Crees que es verdad que a más cantidad de producto más tienes
que pagar? ¿Cómo lo sabes?
P5.- No home, surt igual.
... Si un día te encuentras con una oferta...
(.../...)
P4.- La primera pregunta és si et surt més barato?
P5.- No, no. Perquè tu vas pagant pel que compres... <leen con
atención la pantalla la continuación del ejercicio>
P4.- Si un día te encuentras una oferta que si compras 2 kilos de
butifarra, te dan tres... ¿cuánto te has ahorrado en euros?
P5.- Pues me habré ahorrado... Es té que dividir per 3, 25 per 3. I
després, una part...
P4.- Queden 5 kilos. Queden 5 kilos.
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P4.- I ara qué diu, si compres dos kilos te’n portes tres...
P5.- Pues te has ahorrado 1 kilo, que son... 5 euros, 5 euros te has
ahorrado.
(.../...)
P3.- yo con la calculadora
P1.- Es bueno saber cuánto es en pesetas...
P5.- 2 euros son 5 céntimos...
P3.- 1 euro son 166,386
P5.- ... doncs, llavors són 340 pessetes de les antigues...
P3.- 341 es lo que da la calculadora...
P2.- ¡Pues ya está!
P1.- Bueno, muy bien... lo habéis hecho muy bien... Venga, va, vamos
con el último...
P5.- Tenim 3 kilos de butifarra, i venen a dinar... cada persona come
0,25... 3 kilos, dividit per 0,25...
P4.- ¿Cuánto es eso?
P5.- Doncs, si cada kilo té 4 quarts... 3 kilos són 12.
P4.- ¿12?
P5.- Sí, fes-ho amb la calculadora...
P4.- ¡Ah!, claro, ya veo, tú coges el kilo y lo partes en cuatro, uno para
cada persona, y entonces te llega a... claro, a 12 personas...
P5.- Sí, es tracta de repartir, de dividir que vol dir augmentar els
bocins de butifarra...
P4.- Vale.
P5.- Llavors, poden dinar 12 persones...
(.../...)
P2.- ... aquí dice, ¿cuánta butifarra le toca a cada invitado...
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P2.- ... por ahí dicen 12...
P3.- Sí..., pero son 12 trozos... a un trozo por invitado...
<Se oyen conversaciones simultáneas>
P6.- ¿Qué significa cuánta butifarra? ¿Cuántos kilos?
P1.- Sí, de los tres kilos, ¿cuánto le toca a cada cuál?
P6.- Pues... Será dividir ¿no? Los kilos, por los comensales...
P1.- ... sí, y eso, ¿cuánto te da?
P6.- ... Pues... 3 dividido por siete... no, por ocho, que yo también
cuento... son... a ver... la calculadora pone 0,375...
<fin de la trascripción>
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facultad - Matematica e Informatica

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